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微积分中的海森堡不等式一、微积分中的海森堡不等式微积分是现代数学的重要分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。
微积分中的海森堡不等式是一条重要的不确定性原理。
它指出，在任何量子态下，粒子的位置和动量无法同时被精确测量，即存在不确定性。
这个原理对于粒子在微观世界中的运动和性质有着重要的意义。
二、不确定性原理的背景20世纪早期，量子力学的诞生为物理学家们带来了极大的惊喜和挑战。
量子力学与经典力学不同，强调量子态和量子力学中的测量和不确定性。
在经典力学中，我们可以通过精确的测量来得到物体的位置和速度，进而预测它的运动轨迹。
但在量子力学中，粒子的运动和性质需要用波函数来描述，并且存在测量不确定性。
为了证明不确定性原理，德国物理学家海森堡进行了严密的推导和思考。
他认为，任何量子态下，实验者无法同时精确测量粒子的位置和速度，这是一种不可避免的测量误差。
他将这个观点提出来并用严密的理论进行证明，最终得出了著名的海森堡不等式。
三、海森堡不等式的表述海森堡不等式是指，对于任意量子态，粒子的位置和速度的不确定性满足以下关系：$$ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$其中，$\Delta x$表示粒子位置的不确定度，$\Delta p$表示粒子动量的不确定度，$\hbar$为普朗克常数，其数值为$6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$。
海森堡不等式表明，无论我们用什么精确度来测量粒子的位置和速度，它们的乘积都不可能小于$\hbar/2$。
如果我们提高了对粒子位置的测量精度，那么对粒子速度的测量精度就会降低，反之亦然。
也就是说，对于粒子的位置和速度，我们无法同时精确地测量它们的值。
四、不确定性原理的意义海森堡不等式所预示的不确定性原理，不仅仅是一个数学定理，也是量子力学中最为重要的原则之一。
它揭示了微观世界的本质规律和运动特性。
不确定性原理是海森堡于1927年提出的物理学原理，它揭示了微观世界中粒子行为的一个基本特性。
该原理指出，不可能同时精确确定一个基本粒子的位置和动量，这是因为测量一个粒子的位置会不可避免地扰动其动量，反之亦然。
为了更好地理解这个原理，我们可以通过一个简单的数学公式来解释。
设粒子位置的不确定量为Δx，动量的不确定量为Δp，根据不确定性原理，有ΔxΔp≥h/4π，其中h是普朗克常数。
这个公式表明，在微观世界中，粒子的位置和动量都是以一定的不确定性存在的，这种不确定性是微观粒子波粒二象性的必然结果。
除了物理学上的意义，不确定原理还涉及到许多深刻的哲学问题。
海森堡自己曾说过：“在因果律的陈述中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所得出的并不是结论，而是前提。
我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。
”这句话意味着，由于不确定原理的存在，我们无法完全精确地预测未来，因为未来的状态取决于我们现在无法精确测量的粒子的位置和动量。
不确定原理对我们的世界观产生了深远的影响。
它告诉我们，在微观世界中，精确的预测是不可能的，因为粒子的位置和动量始终存在着不确定性。
这种不确定性不仅存在于微观世界，也可能影响我们对于宏观世界的理解。
此外，不确定原理还让我们意识到，我们在探索自然界的过程中始终存在着无法逾越的界限。
尽管我们可以通过科学方法不断逼近真理，但我们永远无法达到完美的确定性和预测性。
总之，不确定性原理是物理学中的一个基本原理，它揭示了微观世界中粒子行为的一个基本特性。
它不仅影响了我们对微观世界的理解，也影响了我们对整个宇宙的认知。
在探索自然的过程中，我们必须承认不确定性的存在，并意识到我们认知能力的局限性。
只有这样，我们才能更加谦虚地面对自然界的奥秘，不断追求科学真理的道路也将因此变得更加宽广和深远。
不确定性原理的前世今生· 数学篇（三）不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。
基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，也就对应着不同的数学定理。
但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中，最著名的当然是海森堡(W.Heisenberg)在1927年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。
它精确的数学描述是：假定一个信号的总能量为1，则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于1/16π2。
换言之，两者各自的能量都可能很集中，但是不能同时很集中。
如果时空域中能量的方差很小（亦即集中在一起），那么频域上能量的方差就不会太小（亦即必然会弥散开），反之亦然。
对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围，坊间相关的著作已有不少。
不过，下面简单胪列了一些相关的历史事实：海森堡在1927年的那篇文章标题为UeberdenanschaulichenInhaltderquantentheoretischenK inematikundMechanik（《量子理论运动学和力学的直观内容》）。
这篇文章很大程度上是对薛定谔(E.Schrdinger)在1926年所提出的薛定谔波动方程的回应。
相较于海森堡的矩阵力学而言，薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。
海森堡对此极为失落。
在1926年6月8日海森堡写给泡利(W.Pauli)的信中他说：「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。
」因此，他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。
海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释，但是并未给出任何严格的数学证明。
他把他的结论笼统地表达为ΔxΔp≥，其中x是位置，p是动量，是普朗克常数。
但他并没有详细说明Δx和Δp的严格意思，只针对若干具体情形做了一些直观的讨论。
不确定性原理概述：不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在量子力学中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，或者说粒子的位置和动量具有一定的不确定性。
不确定性原理改变了人们对物理世界的认识，揭示了微观世界的本质。
1. 不确定性原理的基本概念不确定性原理包括位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理两个方面。
位置-动量不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，其测量结果存在一定的不确定性。
能量-时间不确定性原理则表明，粒子的能量和存在时间也存在一定的不确定性。
2. 位置-动量不确定性原理位置-动量不确定性原理可以用数学表达式来描述，即Δx·Δp ≥ h/2π，其中Δx为位置的不确定度，Δp为动量的不确定度，h为普朗克常数。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的位置时，其动量的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的动量时，其位置的不确定度会增大。
3. 能量-时间不确定性原理能量-时间不确定性原理可以用数学表达式来描述，即ΔE·Δt ≥ h/2π，其中ΔE为能量的不确定度，Δt为时间的不确定度。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的能量时，其存在时间的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的存在时间时，其能量的不确定度会增大。
4. 不确定性原理的实验验证不确定性原理的实验验证是通过一系列精密的实验来观察和测量微观粒子的行为得出的。
例如，双缝干涉实验就是一种经典的实验，通过在射出粒子的路径上设置两个狭缝，观察粒子在屏幕上形成的干涉条纹，从而验证了不确定性原理。
5. 不确定性原理的意义和应用不确定性原理的提出对物理学产生了深远的影响。
它揭示了微观世界的本质，推翻了经典物理学中对粒子位置和动量的确定性认识。
不确定性原理也被广泛应用于量子力学的研究和技术应用中，如量子计算、量子通信等领域。
6. 不确定性原理的局限性不确定性原理并不意味着我们无法获得任何关于粒子位置和动量的信息，而是指在某一时刻上我们无法同时准确获得它们的值。
量子力学的三大原理量子力学是研究微观粒子行为的一门物理学科，它的发展已经超过了一个世纪。
量子力学的三大原理是不确定性原理、波粒二象性原理和叠加原理。
这三个原理是量子力学的基础，对于我们理解微观世界非常重要。
一、不确定性原理不确定性原理是量子力学最重要的基本原理之一，也是最为广为人知的一个。
它由德国物理学家海森堡在1927年提出。
不确定性原理表明，对于微观粒子，我们无法同时准确地测量它们的位置和速度。
具体来说，如果我们想要测量一个粒子的位置，我们需要用一些工具来探测它，比如说光子或电子等。
然而这些工具会影响到粒子本身的运动状态，从而使得我们无法同时准确地知道它的位置和速度。
不确定性原理可以用数学公式来表示：ΔxΔp≥h/4π。
其中Δx代表位置误差，Δp代表动量误差，h代表普朗克常数。
这个公式告诉我们，在任何情况下都存在着一种限制关系，即当我们尝试准确地测量粒子的位置时，就会失去对它的动量的精确测量，反之亦然。
二、波粒二象性原理波粒二象性原理是量子力学中另一个重要的基本原理。
它表明微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质。
这个原理最早由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出。
具体来说，如果我们用电子束照射到一块双缝上，我们会发现电子在经过双缝后会形成干涉条纹。
这个实验显示了电子既有波动性质又有粒子性质。
如果我们用光线进行同样的实验，我们也会得到干涉条纹。
波粒二象性原理告诉我们，在微观世界中，所有物质都具有波动和粒子两种不同的本质属性。
这种属性的选择取决于我们对它们进行什么样的实验或观察。
三、叠加原理叠加原理是量子力学中第三个基本原理。
它指出，在某些情况下，微观粒子可以同时处于多种不同状态之间，并以一定概率出现在这些状态中的任意一个。
具体来说，如果我们用电子束照射到一块双缝上，电子就会同时通过两个缝隙，并在屏幕上形成干涉条纹。
这个实验表明，电子可以同时处于两种不同的状态之间，并以一定概率出现在它们中的任意一个。
不确定原理名词解释
不确定原理指的是：
不确定性原理是由海森堡于1927年提出，这个理论是说，你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度，粒子位置的不确定性，必然大于或等于普朗克常数除以4π，这表明微观世界的粒子行为与宏观物质很不一样。
此外，不确定原理涉及很多深刻的哲学问题，用海森堡自己的话说：“在因果律的陈述中，即‘若确切地知道现在，就能预见未来’，所得出的并不是结论，而是前提。
我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。
”
不确定原理的宿命论：
很多人强烈地抵制这种科学决定论，他们感到这侵犯了“上帝”或神秘力量干涉世界的自由，直到20世纪初，这种观念仍被认为是科学的标准假定。
这种信念必须被抛弃的一个最初的征兆，它是由英国科学家瑞利勋爵和詹姆斯·金斯爵士所做的计算，他们指出一个热的物体——例如恒星——必须以无限大的速率辐射出能量。
按照当时人们所相信的定律，一个热体必须在所有的频段同等地发出电磁波。
例如，一个热体在1万亿赫兹到2万亿赫兹频率之间发出和在2万亿赫兹到3万亿赫兹频率之间同样能量的波。
而既然波的频谱是无限的，这意味着辐射出的总能量必须是无限的。
量子力学中的不确定性原理量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论，它主要研究微观粒子在微观尺度上的运动和相互作用。
在量子力学中，存在着一种基本的原理，即不确定性原理。
本文将详细介绍量子力学中的不确定性原理以及其对物理学和科学哲学的影响。
一、不确定性原理的提出不确定性原理最早由德国物理学家海森堡在1927年提出，并被称为“海森堡不确定性原理”。
不确定性原理表明，在粒子的位置和动量之间存在一种不可避免的不确定性关系，即无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
具体而言，如果我们想要精确地测量一个粒子的位置，那么我们必须使用较小的探测器，但这样做会导致对粒子的动量测量结果的不确定性增大。
反之亦然，如果我们试图精确地测量粒子的动量，那么我们必须使用较大的动量传感器，这又会导致对粒子位置的测量结果不确定性增大。
二、海森堡不确定性原理的数学表达海森堡不确定性原理可以通过下面的数学表达式来描述：ΔX · ΔP ≥ ℏ/2其中，ΔX表示位置的不确定度，ΔP表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
这个表达式说明了位置的不确定度和动量的不确定度的乘积不小于普朗克常数的一半。
也就是说，我们无法将位置和动量的不确定度同时减小到任意小的值。
三、不确定性原理的解释和意义不确定性原理的提出打破了传统物理观念中关于物理量确定性的认识。
在经典物理学中，我们可以同时准确地确定一个粒子的位置和动量，而在量子力学中却不再成立。
不确定性原理的解释可以借助波粒二象性来理解。
根据量子力学的波粒二象性，粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
位置和动量就是波动性质和粒子性质的对应关系，因此无法同时准确确定。
不确定性原理对于科学哲学也有重要的意义。
它揭示了人类对于微观世界认识的局限性，展示了自然界中的一些基本限制。
在量子力学的视野下，我们必须接受一种不完全确定性的观念，摒弃了绝对可知的观点，这对于哲学的发展和科学方法论的建设有深远的影响。
量子力学中的不确定关系量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学理论。
它的重要概念之一就是不确定关系，也称作海森堡不确定原理。
本文将详细探讨量子力学中的不确定关系，包括其起源、表达方式以及实际应用。
一、不确定关系的起源不确定关系最早由德国物理学家海森堡于1927年提出。
当时，他注意到无法同时确定粒子的位置和动量，即无法精确测量一个粒子的位置和动量，精确测量其中一个性质将导致另一个性质的不确定性增加。
海森堡通过研究确定了量子力学中的不确定关系。
二、不确定关系的表达方式根据不确定关系，粒子的位置和动量无法同时被精确测量。
量子力学中用数学表示不确定关系的方式是通过不确定性原理，即位置不确定性原理和动量不确定性原理。
1. 位置不确定性原理位置不确定性原理指出，在同一时刻对粒子的位置进行测量，得到的结果将存在一定的不确定性。
其数学表达式为：Δx · Δp ≥ ℏ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数（h除以2π）。
2. 动量不确定性原理动量不确定性原理表明，对粒子的动量进行测量时，得到的结果也会存在一定的不确定性。
动量不确定性原理的数学表达式为：Δp · Δx ≥ ℏ/2Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
这两个不确定性原理共同构成了量子力学中的不确定关系，限制了对粒子位置和动量的精确测量。
三、实际应用不确定关系在科学研究和技术应用中具有重要意义。
1. 实验验证通过实验验证不确定关系，科学家进一步验证了量子力学理论的正确性。
例如，通过对电子的位置和动量测量实验，验证了不确定关系的存在。
2. 精密测量不确定关系的存在限制了对粒子位置和动量的精确测量，但科学家们可以通过增加测量的重复性和改进测量设备，使得测量结果更加精确和可信。
这对于精密测量在科学研究和技术应用中有着重要意义，例如原子钟的精确定时。
3. 量子力学的发展不确定关系的提出和研究推动了量子力学的发展。
微观世界的不确定性原理微观世界的不确定性原理，也被称为海森堡不确定性原理，是量子力学的基本原理之一。
它揭示了微观粒子的位置和动量无法同时准确确定的事实，引起了科学界的广泛关注和讨论。
本文将介绍不确定性原理的基本概念、背后的数学原理以及其对科学研究和生活的影响。
不确定性原理的基本概念不确定性原理是由物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出的。
它指出，在量子力学中，对于一个微观粒子的位置和动量，我们无法同时准确地确定它们的值。
换句话说，我们无法同时获得一个粒子的位置和动量的精确数值。
具体来说，不确定性原理表明，在同一个时间点上，粒子的位置和动量满足以下关系：其中，表示位置的不确定度，表示动量的不确定度，是普朗克常数。
这个关系式意味着，我们越精确地测量一个粒子的位置，就越无法准确地知道它的动量，反之亦然。
不确定性原理的数学原理不确定性原理的数学原理可以通过波函数和算符表示来解释。
在量子力学中，粒子的状态可以用波函数来描述。
而算符则用来描述对物理量进行观测或操作。
在位置空间中，位置算符就是坐标变量本身。
而动量算符则通过平面波函数与动量算符之间的关系得到。
根据海森堡不确定性原理，位置算符与动量算符存在一个共享最小不可知区域。
这意味着我们无法找到一个波函数，既能够同时使测得的位置和动量都具有确定值。
不确定性原理的影响微观世界的不确定性原理深刻影响了科学研究和生活中所有需要测量物理量的领域。
以下是一些主要影响：1. 量子测量不确定性原理限制了我们在测量微观粒子时获得准确结果的可能性。
即使使用最先进的测量设备，也无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这对于一些实验研究和技术应用带来了挑战。
2. 原子核物理在原子核物理领域，尤其是涉及到测量粒子位置和动量的实验中，不确定性原理显得尤为重要。
它限制甚至改变了对重离子核、亚稳态核等一些特殊核态的研究方法和手段。
3. 电子学在电子学领域中，不确定性原理对于设计和制造微观器件以及信息存储技术构成了极大挑战。
理解量子力学中的不确定性原理量子力学是一门描述微观粒子行为的物理学理论，自20世纪初以来一直是物理学的基础之一。
在量子力学中，存在着一系列重要的原理，其中之一就是不确定性原理。
不确定性原理是由德国物理学家海森堡于1927年提出的，它揭示了微观世界的一些重要特性。
一、不确定性原理的基本概念不确定性原理是指在量子领域中，无法同时准确测量粒子的位置和动量。
换句话说，如果我们想要准确测量一个粒子的位置，那么它的动量就会变得不确定；反之亦然。
这种不确定性不是由于测量的精确度不够，而是固有于量子世界的本质。
二、不确定性原理的数学表达不确定性原理的数学表达由海森堡不等式给出。
对于一个粒子的位置和动量，其不确定性满足以下关系式：Δx·Δp ≥ h/4π其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式表明，位置和动量的不确定度的乘积大于等于普朗克常数的一半。
三、解读不确定性原理不确定性原理的实质在于，对于微观粒子而言，我们无法同时确定其位置和动量。
这是由于测量的行为本身会对被测量的粒子产生干扰，从而导致其位置或动量的不确定性。
这样的干扰可以理解为测量过程对量子系统的扰动。
此外，不确定性原理也暗示了自然界的一种基本局限。
如果我们能够同时准确测量一个粒子的位置和动量，那么我们将能够预测其未来的运动状态。
这将与量子力学中的概率性描述相悖，因为在量子领域，粒子的运动是具有随机性的。
四、不确定性原理的应用不确定性原理不仅仅是理论上的一个概念，它也在实际科学研究中得到了广泛的应用。
例如，在原子物理实验中，科学家们经常利用不确定性原理来限制测量精度，从而保证实验的可靠性。
此外，不确定性原理还对量子计算和量子通信等领域具有重要的影响。
在量子计算中，不确定性原理的存在使得我们无法同时准确读取一个量子比特的信息。
这对于量子计算的可靠性和安全性提出了挑战，同时也为相关领域的研究提供了新的方向。
在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇：信号(signal)。
当数学家们说起「一个信号」的时候，他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案，而是一段可以具体数字化的信息，可以是声音，可以是图像，也可是遥感测量数据。
简单地说，它是一个函数，定义在通常的一维或者多维空间之上。
譬如一段声音就是一个定义在一维空间上的函数，自变量是时间，因变量是声音的强度，一幅图像是定义在二维空间上的函数，自变量是横轴和纵轴坐标，因变量是图像像素的色彩和明暗，如此等等。
在数学上，关于一个信号最基本的问题在于如何将它表示和描述出来。
按照上面所说的办法，把一个信号理解成一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式，但是它对理解这一信号的内容来说常常不够。
例如一段声音，如果单纯按照定义在时间上的函数来表示，它画出来是这个样子的：这通常被称为波形图。
毫无疑问，它包含了关于这段声音的全部信息。
但是同样毫无疑问的是，这些信息几乎没法从上面这个「函数」中直接看出来，事实上，它只不过是巴赫的小提琴无伴奏Partita No.3 的序曲开头几个小节。
下面是巴赫的手稿，从某种意义上说来，它也构成了对上面那段声音的一个「描述」：这两种描述之间的关系是怎样的呢？第一种描述刻划的是具体的信号数值，第二种描述刻划的是声音的高低（即声音震动的频率）。
人们直到十九世纪才渐渐意识到，在这两种描述之间，事实上存在着一种对偶的关系，而这一点并不显然。
1807 年，法国数学家傅立叶(J. Fourier) 在一篇向巴黎科学院递交的革命性的论文Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides （《固体中的热传播》）中，提出了一个崭新的观念：任何一个函数都可以表达为一系列不同频率的简谐振动（即简单的三角函数）的叠加。
有趣的是，这结论是他研究热传导问题的一个副产品。
这篇论文经拉格朗日(J. Lagrange)、拉普拉斯(P-S. Laplace) 和勒让德(A-M. Legendre) 等人审阅后被拒绝了，原因是他的思想过于粗糙且极不严密。
1811 年傅立叶递交了修改后的论文，这一次论文获得了科学院的奖金，但是仍然因为缺乏严密性而被拒绝刊载在科学院的《报告》中。
傅立叶对此耿耿于怀，直到1824 年他本人成为了科学院的秘书，才得以把他1811 年的论文原封不动地发表在《报告》里。
用今天的语言来描述，傅立叶的发现实际上是在说：任何一个信号都可以用两种方式来表达，一种就是通常意义上的表达，自变量是时间或者空间的坐标，因变量是信号在该处的强度，另一种则是把一个信号「展开」成不同频率的简单三角函数（简谐振动）的叠加，于是这就相当于把它看作是定义在所有频率所组成的空间（称为频域空间）上的另一个函数，自变量是不同的频率，因变量是该频率所对应的简谐振动的幅度。
这两个函数一个定义在时域（或空域）上，一个定义在频域上，看起来的样子通常截然不同，但是它们是在以完全不同的方式殊途同归地描述着同一个信号。
它们就象是两种不同的语言，乍一听完全不相干，但是其实可以精确地互相翻译。
在数学上，这种翻译的过程被称为「傅立叶变换」。
傅立叶变换是一个数学上极为精美的对象：∙它是完全可逆的，任何能量有限的时域或空域信号都存在唯一的频域表达，反之亦然。
∙它完全不损伤信号的内在结构：任何两个信号之间有多少相关程度（即内积），它们的频域表达之间也一定有同样多的相关程度。
∙它不改变信号之间的关联性：一组信号收敛到一个特定的极限，它们的频域表达也一定收敛到那个极限函数的频域表达。
傅立叶变换就象是把信号彻底打乱之后以最面目全非的方式复述出来，而一切信息都还原封不动的存在着。
要是科幻小说作家了解这一点，他们本来可以多出多少有趣的素材啊。
在傅立叶变换的所有这些数学性质中，最不寻常的是这样一种特性：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（譬如一段声音或者一幅图像）通常在频域上的表达会很简单。
这里「简单」的意思是说作为频域上的函数，它只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。
例如下图是一张人脸和它对应的傅立叶变换，可以看出，所有的频域信号差不多都分布在中心周围，而大部分周边区域都是黑色的（即零）。
这是一个意味深长的事实，它说明一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域，而大部分频率是被浪费了的。
这就导出了一个极为有用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用少得多的数据来加以描述。
只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了，这样数据量就可以大大减少。
基本上，这正是今天大多数数据压缩方法的基础思想。
在互联网时代，大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输，所以数据压缩从来都是最核心的问题之一。
而今天几乎所有流行的数据压缩格式，无论是声音的mp3 格式还是图像的jpg 格式，都是利用傅立叶变换才得以发明的。
从这个意义上说来，几乎全部现代信息社会都建立在傅立叶的理论的基础之上。
这当然是傅立叶本人也始料未及的。
傅立叶变换这种对偶关系的本质，是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。
正如前面所提到的那样，一个信号可能在空域上显得内容丰富，但是当它在频域上被重新表达出来的时候，往往就在大多数区域接近于零。
反过来这个关系也是对称的：一个空域上大多数区域接近于零的信号，在频域上通常都会占据绝大多数频率。
有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢？有的，最简单的例子就是噪声信号。
一段纯粹的白噪声，其傅立叶变换也仍然是噪声，所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。
如果用信号处理的语言来说，这就说明「噪声本身是不可压缩的」。
这并不违反直觉，因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述，而噪声，顾名思义，就是没有结构和规律的信号，自然也就无从得以压缩。
另一方面，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢？换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？（零函数当然满足这个条件，所以下面讨论的都是非零函数。
）答案是不存在。
这就是所谓的uncertainty principle（不确定性原理）。
这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。
它甚至都不是很直观：大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起，看起来并没有什么道理啊。
这个原理可以被尽量直观地解释如下：所谓的频率，本质上反应的是一种长期的全局的趋势，所以任何一个单一的频率，一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。
反过来，任何只在很少一块时空的局部里存在的信号，都存在很多种不同的长期发展的可能性，从而无法精确推断其频率。
让我们仍然用音乐来作例子。
声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内，譬如一个声音只延续了一刹那。
声音也可以只具有极单一的频率，譬如一个音叉发出的声音（如果你拿起手边的固定电话，里面的拨号音就是一个440Hz 的纯音加上一个350Hz 的纯音，相当于音乐中的A-F 和弦）。
但是不确定性原理告诉我们，这两件事情不能同时成立，一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。
当声音区间短促到一定程度的时候，频率就变得不确定了，而频率纯粹的声音，在时间上延续的区间就不能太短。
因此，说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。
这看起来像是一个技术性的困难，而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律：任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。
一种波动在频率上被我们辨认得越精确，在空间中的位置就显得越模糊，反之亦然。
这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的，因为它为信号处理建立了牢不可破的边界，也在某种程度上指明了它发展的方向。
既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小，那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号，它们在某种意义上构成了信号的「原子」，它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率，而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。
这一思路在四十年代被D. Gabor （他后来因为发明全息摄影而获得了1971 年的诺贝尔物理奖）所提出，成为整个现代数字信号处理的奠基性思想，一直影响到今天。
但是众所周知，不确定性原理本身并不是数学家的发明，而是来自于量子物理学家的洞察力。
同样一条数学结论可以在两个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响，这大概是相当罕见的例子了。
不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。
基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，也就对应着不同的数学定理。
但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中，最著名的当然是海森堡(W. Heisenberg) 在1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。
它精确的数学描述是：假定一个信号的总能量为1，则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于1/16π2。
换言之，两者各自的能量都可能很集中，但是不能同时很集中。
如果时空域中能量的方差很小（亦即集中在一起），那么频域上能量的方差就不会太小（亦即必然会弥散开），反之亦然。
对这个定理在量子物理中的意义的详细讨论超出了本文的话题范围，坊间相关的著作已有不少。
不过，下面简单胪列了一些相关的历史事实：海森堡在1927 年的那篇文章标题为Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik（《量子理论运动学和力学的直观内容》）。
这篇文章很大程度上是对薛定谔(E. Schrödinger) 在1926 年所提出的薛定谔波动方程的回应。
相较于海森堡的矩阵力学而言，薛定谔的方程很快由于它物理上的直观明晰而吸引了越来越多物理学家的赞赏。
海森堡对此极为失落。
在1926 年 6 月8 日海森堡写给泡利(W. Pauli) 的信中他说：「我对薛定谔的理论想得越多我就越觉得恶心。
」因此，他迫切需要给他自己的理论配上一幅更直观的图象。
∙海森堡的这篇文章提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释，但是并未给出任何严格的数学证明。
他把他的结论笼统地表达为Δx Δp ≥ ħ，其中x 是位置，p 是动量，ħ 是普朗克常数。
但他并没有详细说明Δx 和Δp 的严格意思，只针对若干具体情形做了一些直观的讨论。
∙第一个从数学上证明不确定性原理的物理学家是E. Kennard。
