不确定性原理(非平稳作业)

短时傅立叶变换傅立叶变换将信号的时域表示和频域表示联系了起来。

在传统的信号分析中，平稳的随机信号在时域常用它的相关函数来表示，在频域常用它的功率谱来表示，相关函数与功率谱之间由傅立叶变换相联系。

但这种变换是一种全域变换，只是将信号在单个域（时域或频域）里表示，因此不能反映非平稳信号统计量的时间变化。

非平稳信号在局部可以认为是平稳的，对信号的局部进行傅立叶变换，以了解非平稳信号统计量的时间特性，这就是短时傅立叶变换STFT的基本思想。

一. STFT的定义给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗函数γ（t）在t轴上滑动，则信号x(t)的短时傅立叶变换定义为：STFT x(t,f)＝∫-∞∞[x(t＇)γ*（t＇- t）]e-j2πft＇dt＇ (1)该式的物理意义是，信号x(t)在时间t的短时傅立叶变换就是信号x(t)乘上一个以t为中心的“分析窗”γ*（t＇-t）所作的傅立叶变换。

由于乘一个时间宽度很短的窗函数γ*（t＇- t）等价于取出信号在分析点t＇＝t附近的一个切片，所以短时傅立叶变换直接是信号x(t)在“分析时间t”附近的“局部频谱”。

(t,f)既是时间的函数，又是频率的函数。

短时傅立叶变换（1）式也称为STFTx短时傅立叶分析。

二. STFT的时间－频率分辨率由于在时间t的STFT是被窗函数γ*（t＇- t）预加窗后信号x(t)的谱，所以位于以时间t为中心的局部窗间隔内的所有信号特性都会在时间 t的STFT内显示出来。

显然，STFT的高的时间分辨率要求窗函数γ（t）越窄越好；另一方面，在频率f处STFT的高的频率分辨率要求窗函数γ（t）越宽越好。

如果用Δt和Δf分别表示STFT的时间分辨率和频率分辨率，则它们的乘积满足不确定性原理：时宽·带宽＝Δt·Δf ≥ 1／4π（2）不确定性原理也称测不准原理。

不确定性原理的重要意义在于它告诉我们，既有任意小的时域宽度，又有任意小的频域宽度的窗函数是根本不存在的。

3) 通过谐波分量间的相位关系，可检测和表征时间序 列中的非线性，以及辨识非线性系统。
4) 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平 稳信号。 高阶循环统计量能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪 声的影响。
2。确知信号的矩谱分析
2.1确定性信号的能量与功率 设 {X(k)})(k=0;±1,…为实确知信号,其瞬时功率为 !X(k)!2，总能量为:
➢由于频率与周期成反比，因此反映信号高频成份需要用窄时窗，而 反映信号低频成份需要用宽时窗
6.5时频分布的一般理论
更一般的方法是讨论二维的时频分布方法： 1.几个基本概念 （1）信号的能量
（2）时频分布的基本性质
希望时频分布所具有的性质： ➢时频分布必须是实的（最好是正的）一种能量的表示方式，所以为实的。 ➢时频分布关于时间t和频率f的积分为信号的总能量
第五章时频分析基础及短时傅利叶变换
所谓时变，是指信号的统计特性是随时间变化的。由于平稳信 号只不过是非平稳信号的最简单的例子，所以本章要着重讨论的信 号分析方法对任何信号都是适用的。这类分析方法统称为时频分析 方法，它是在时间—频率域而不是仅在时域或仅在频域上对信号进 行分桥的
6.1非平稳信号的研究领域 傅里叶变换及其反变换建立了时域(信号x(t))和领域(谱x(f))之间的—对一(射)关系。
双谱的性质
(1) 双谱满足以下对称性
(2) 零均值高斯信号的高阶谱(阶数大于2) 等于零。 因此双谱很适宜于分析淹没在高斯噪声中的非高斯信号, 理 论上可以完全抑制噪声, 提取有用信息。 (3) 双谱保留了信号的相位信息, 可以用来描述非线性相位耦合。 使用中常将双谱做归一化处理得到双相干谱
双相干谱的物理意义为: 频率X1 与X2 二次相位耦合产 生的能量在X1+ X2 处总能量中所占的比例。双相干谱 函数的平方, 值在0 与1 之间, 定量描述了二次耦合的程 度。当双相干谱函数的平方值为1时, 表示X1+ X2 处的 能量全部来自X1 与X2 间的相位耦合; 当其值为0 时, 表 示不存在相位耦合。

设计与应用计算机自动测量与控制.2001.9(4)　Computer Autom ated Measurement &Control 收稿日期:2000212215。

作者简介:刘林(1973-),男,江西省赣州市人,硕士研究生,主要从事故障诊断、信号处理、计算机应用方面的研究。

文章编号:1007-0257(2001)04-0044-02 中图分类号:TN91117 文献标识码:A时频分析理论和应用刘　林,郝保国(北京科技大学环境工程系,北京,100083)摘要:介绍了时频分析理论及常用的时频分析方法,概述了时频分析的应用和研究状况。

关键词:信号处理;时频分析;小波变换Theory and Application of Time -Frequency AnalysisL IU Lin ,HAO Bao 2guo(Department of Environmental Engineering ,Beijing University of Science and Technology ,Beijing 100083,China )Abstract :The theory of Time -Frequency Analycis and general method of Time -Frequency Analysis are introduced.The situation of application and research of Time -Frequency Analysis is described.K ey w ords :signal processing ;time -frequency analysis ;wavelet transform 在工程实践中,需要传递各种数据,其目的是把某些信息借一定的信号传递出去。

信号是信息的表现形式,信息则是信号的具体内容。

信息的利用程度和信号与信息处理技术的发展紧密相关。

第7章 机械信号的时频域处理方法及应用
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1、概述
对一个给定的信号，如 x(t) ，我们可以用 许多的方法来描述它，如x(t) 的函数表达 式，通过傅立叶变换所得到的x(t) 的频谱， 即 ，X(再j)如 的x相(t)关函数，其能量谱 或功率谱等。在这些众多的描述方法中， 有两个最基本的物理量，即时间和频率。
需要整个 X(0) 的“知识”。
X(0) 是信号在整个积分区间的时间范围内所具有 的频率特征的平均表示。
因所此对应，的如频果率我是们多想少知，道或在对某某一一个个特特定定时的间频，率如，t 0 ， 如 0 ，所对应的时间是多少，那么傅立叶变换则 无能为力。
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信号的频率不 随时间变化， 频率分布在所 有时间上。
x(t) A
X(Ω) 2AT
-T
0
t T
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0
Ω
14
显然，矩形窗的宽度
T和其频谱主瓣的宽度（
T
~
）
T
成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截
短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持
在时域有高的分辨率，那么由于 X() 的主瓣变宽因此
在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅
立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。
Short Time Fourier Transform, STFT）
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STFT公式的意义实际上是用g( ) 沿着轴t滑 动，因此 g( ) 可以不断地截取一段一段的 信号，然后对其作傅立叶变换，得到的 是二维函数 (t,) 。
g( ) 的作用是保持在时域为有限长（一般 称作“有限支撑”），其宽度越小，则 时域分辨率越好。

风力发电机组预防叶片扫塔监控技术研究发布时间：2022-11-04T07:28:13.099Z 来源：《科学与技术》2022年第7月13期作者：雷政平[导读] 风力发电机组为更好捕获风能，塔筒高度逐步增高、叶片长度逐渐加长，本文主要针对长叶片发电机组在运行过程中常发生的扫塔故障，通过现场检测叶片生产、运输、吊装、运行工况等确认其发生诱为极端风况下局部低空垂直风切变。

考虑到机组运行环境风况的不确定性，本雷政平中广核大悟阳平风力发电有限公司湖北孝感 432800摘要：风力发电机组为更好捕获风能，塔筒高度逐步增高、叶片长度逐渐加长，本文主要针对长叶片发电机组在运行过程中常发生的扫塔故障，通过现场检测叶片生产、运输、吊装、运行工况等确认其发生诱为极端风况下局部低空垂直风切变。

考虑到机组运行环境风况的不确定性，本文通过净空系统、叶片弯曲度、噪声检测等3种实时监测系统的设计方案，使风力发电机组在极端工况下机组安全稳定运行，保证有效实现极端工况下的保护功能，为大兆瓦风力发电机组安全可靠运行提供参考。

关键词：风电机组；长叶片；叶片扫塔；激光净空；叶片弯曲度、实时监测引言：随着大兆瓦风力发电机组的应用，风机叶片越来越长，塔筒越来越高，在叶片结构失效情况下，叶尖可能会接近塔筒与之发生碰撞扫塔，造成安全事故和经济损失，本文以某风电项目为例，该项目安装某主机厂家80+米叶片的风力发电机组，试运行期间，F6号机组监控后台报“振动冲击故障”报文，经现场查看发现F6号机组1#叶片出现叶尖开裂、脱落现象，且塔筒T19-20段上有叶片扫塔后残留的红色油漆痕迹，现场勘察比对，确定为叶片扫塔导致。

研究叶片扫塔防范的技术措施，对于优化大兆瓦机组运维管理、安全运行，提高经济效益具有现实意义。

1故障检查与分析1.1故障检查1、XX日06:00，F6号机组及周边机组数据显示机舱方位风向由230方向突变至70方向，平均风速和湍流强度显著提升，且机舱外温度骤降。

第五章 非平稳信号处理方法


经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，
但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲 击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。
本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳




x(t ), h(t )e j 2ft
(5.1.2)
h(t ) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t ) 所观察到的信 号 x(t ) 的部分是 x(t )h(t )。 h(t )e j 2ft 是 STFT的基函数。
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
2018年10月17日
τ
t
5
机械工程学院机自所动态室
5.1 短时傅里叶变换
窗函数 h(的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 t)
hG (t ) 1 2 e
t2 4
0
(5.1.3)
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ， 1/16
2018年10月17日 机械工程学院机自所动态室 17
5.2 小波变换
5.2.1 多分辨分析及其工程意义
j Z; 3) 伸缩规则性： x(t ) V j x(2t ) V j 1 , (5.2.9)
性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到， 在不同的分辨率时，逼近运算相同。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。

关键词
心磁图(MCG) 心电图(ECG) 非平稳信号 进化谱 特征参数
心脏是血液循环系统的动力器官, 心肌细胞在 其生命过程中跨膜电位(transmembrane potential)的 变化, 是一种活性介质生物电磁场信号源. 通过体表 探测可以得到心电图(electrocardiography ECG)与心 磁图(magnetocardiography MCG)[1~4], 它们的形态相 似, 都是人体心脏系统电磁信息的数据载体, 都属于 非平稳信号[5]; 它们都包含Ｐ波、QRS 波群(complex) 和 T 波等, 其中 P 波代表左、右心房除极化过程, QRS 波群代表左、右心室除极化等过程, S-T 波段反映心 肌细胞复极化状态. QRS 波群蕴涵的瞬态信息, 对识 别心脏系统的电磁状态变化极其重要, 也能提供心 脏系统某些病态的先兆.理论上, 在时-频域中, 非平 稳信号的频谱是一种时变谱, 传统的 Fourier 变换和 一般小波变换都不适合于分析此类信号[6]. 进化谱 的计算方法适合于非平稳信号的时-频域特征识
Q = fz /Wb,
(1)
Q, fz 称为 MCG 进化谱的时-频域特征参数(同样适合 于 ECG), 这些是 QRS 波群的一种生物物理参数.
2 正常人 MCG 与 ECG 数据的时-频域特征 参数分析
本文使用的正常人 MCG 与 ECG 信号是北京大 学物理学院人工微结构和介观物理国家重点实验室, 利用北京大学研制的目前我国拥有自主知识产权的 射频心磁测量系统, 射频超导量子干涉仪(the super-
2010 年 7 月 第 55 卷 第 21 期
ECG 更早地预测心肌梗塞等心脏病, 作为医生判断 的基本手段之一. 这也是近年来人们努力发展 MCG 医学应用研究的主要原因[11~13].

（3-8）
海水是个复杂的系统，由于悬浮体和海水的各种不均匀性，使得 光被强烈地散射、吸收而衰减（徐啟阳，杨坤涛，王新兵，等.蓝绿 激光雷达海洋探测：国防工业出版社，2002）。研究中，海水透过率
，c为海水的衰减系数，可表示为海水对光的总吸收系数和总散 射系数之和（查冰婷，张合，谭亚运，水下激光引信回波功率研究： 传感器与微系统，2013），其他参数均取决于激光引信本身。
(3)
2.1.2 频率分辨率 频域信号 信号的能量密度
，总能量为
(4)
可以计算出磁异常信号各个频点的能量（马世伟，非平稳信 号的参数自适应时频表示及其应用的研究，2000）。为描述信号能量随 频率的分布，对 ，定义信号能量分布的时间中心 f = f0和均方根宽带 B = Δf ，Δf 称为信号的频窗半径，f0称为频窗中心，则它们分别满足：
5.实验数据分析
下面首先就系统作用距离进行分析：
水下宽度为40cm的PVC平板在10m处样机输出电压峰值信号，
信号幅值为104mv，在实验中发现，在10.6m处，目标信号就已经
被噪声淹没，无法探测到目标信号。
发射脉冲激光的峰值功率为
接收
到的目标回波信号为
。
就已经被噪声淹没，无法探测到目标信号，理论计算分析与实验结
果存在大约分别存在0.5m的误差。
误差原因分析如下：整形后激光光束能量分布不完全符合高斯
分布，而计算过程中将光束能量视为高斯分布。
下面根据示波器显示数据计算理论距离，测量实际距离并与理
论值相比较进行目标测距分析。
以40cmPVC平板在距离出光位置5米处获得的为例信号进行
频分析的LFM及数字信号处理与参数识别研究，2012）。为描述信
号能量随时间的分布，对 ，定义信号能量分布的时间中心t = t0

傅里叶变换分析信号的缺点基于傅里叶(Fourier ）变换的信号频域表示，揭示了时间函数和频谱函数之间的内在联系，在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极其重要的作用,很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用。

但是傅里叶变换存在着严重的缺点:用傅里叶变换的方法提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信息,这是一种整体变换,缺少时域定位功能,因此必须对其加以改进.傅里叶变换的特点及其局限性设函数f(t ）在(-∞,+∞）内有定义,且使广义积分F (ω)=∫f (t )e −jωt +∞−∞dt (1) f (t )=12π∫F (ω)e jωt dω+∞−∞ (2) 都收敛，则称(1）式定义的广义积分为函数f(t ）的傅里叶变换，记为F ｛f （t ）｝,(2)式定义的广义积分为逆傅里叶变换，记为F −1｛F （ω)｝.傅里叶变换可以完成从时域到频域的转换(正变换)，也可以完成从频域到时域的转换（逆变换），但不能同时具有时域和频域信息。

其核函数是e jωt ,由于三角函数具有填满整个空间的特性,其在物理空间中是双向无限延伸的正弦波，在积分变换中体现为积分范围从+∞到-∞.因此，傅里叶变换是先天的非局限性,它对信号f(t)中体现任何局部信息处理都是相同的。

而事实上,工程技术中的许多信号,如：语音信号、地震信号、心电图和各种电脉冲，他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔∆t 内，以后快速减为零,∆t 以外是未知的,可能为零，也可能是背景噪音,如果用(1）式从信号中提取谱信号F(ω),就要取无限的时间量，使用过去的及将来的信号只为计算单个频谱，不能反映出随时间变化的频率，实际上我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。

这就使人们想到改进傅里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。

Gabor提出的窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。

另外,傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不开的。

非平稳时间序列的预测方法研究在现实世界中，许多现象都可以用时间序列来描述。

这些时间序列可能受到各种内部和外部因素的影响，表现出复杂的动态特征。

非平稳时间序列是指那些不能通过简单的参数化方式来描述的时间序列，其预测方法研究具有重要的实际意义和应用价值。

本文将介绍非平稳时间序列的预测方法，包括数据预处理、特征提取、模型建立和参数选择等，并对其应用场景和未来发展方向进行探讨。

对于非平稳时间序列的预测，首先需要对数据进行预处理。

数据预处理主要包括以下几个步骤：（1）数据清洗：消除异常值、缺失值和离群值，避免对预测结果产生负面影响。

（2）数据平滑：采用适当的方法对数据进行平滑处理，以去除噪声和随机波动，提取出潜在的规律和趋势。

（3）季节性调整：对于含有季节性因素的时间序列，需要将其中的季节性成分提取出来，以便进行后续的特征提取和模型建立。

特征提取是非平稳时间序列预测的关键步骤之一。

通过对时间序列进行特征提取，能够将原始时间序列转化为具有代表性的特征向量，供模型学习和预测使用。

常见的特征提取方法包括：（1）时域特征：如均值、方差、峰值、过阈值等。

（2）频域特征：如傅里叶变换、小波变换等。

（3）时频域特征：如短时傅里叶变换、小波变换等。

非平稳时间序列的预测模型有很多种，包括传统的时间序列模型（如ARIMA、SARIMA等）和现代机器学习模型（如LSTM、VAR、SVR等）。

选择合适的模型对于非平稳时间序列的预测至关重要。

一般来说，需要根据问题的实际情况来选择最合适的模型。

例如，对于长期依赖的数据，可以选择使用长短期记忆网络（LSTM）模型；对于多变量时间序列预测，可以使用向量自回归（VAR）模型等。

在模型建立后，需要选择合适的参数以进行模型训练和预测。

参数的选择通常根据模型的复杂度和数据的特性来确定。

例如，对于ARIMA 模型，需要选择合适的p、d、q值来描述时间序列的平稳性和季节性；对于LSTM模型，需要选择合适的隐藏层大小和激活函数等。

非线性系统建模与控制一、引言随着科技的进步和复杂系统的不断涌现，非线性系统建模与控制逐渐成为研究的热点领域。

传统的线性系统模型无法准确描述非线性系统的复杂行为，因此需要采用非线性建模和控制技术。

本文将从非线性系统的基本概念出发，深入阐述非线性系统建模与控制的方法和应用。

二、非线性系统的基本概念1. 非线性系统的定义非线性系统是指系统的输出与输入之间不满足线性关系，其输出与输入之间存在非线性的函数关系。

这种非线性关系使得系统的行为变得复杂，难以通过简单的数学方法进行分析和建模。

2. 非线性系统的特点非线性系统具有多样的特点，例如非平稳性、时变性、不确定性等。

其中非平稳性指系统的参数和结构随时间变化；时变性指系统的动态特性随时间变化；不确定性指系统内在的随机性和外部的扰动等。

三、非线性系统建模的方法1. 经典建模方法经典建模方法是指基于数学分析和物理原理，对非线性系统进行建模的方法。

常见的经典建模方法包括动力学方程法、状态空间法和等效线性化法。

其中动力学方程法可以通过拉普拉斯变换和物理模型，得到系统的微分方程；状态空间法将系统抽象为状态、输入和输出的关系，用矩阵形式表示系统的动力学特性；等效线性化法则是将非线性系统近似为一个等效的线性系统，以便进行处理和控制。

2. 非参数建模方法非参数建模方法是指不依赖于系统具体形式和参数的建模方法，它通过样本数据的统计特性来描述系统的非线性行为。

常见的非参数建模方法包括神经网络模型、遗传算法和模糊系统模型。

神经网络模型通过模拟人脑神经元间的相互作用，实现对非线性系统的建模和识别；遗传算法模型则是通过模拟生物进化的过程，寻找系统的最优解和非线性特性；模糊系统模型则是利用模糊逻辑和模糊推理方法，描述系统的不确定性和模糊性特征。

四、非线性系统控制的方法1. 反馈线性化方法反馈线性化方法是指通过反馈控制，将非线性系统转化为一个等效的线性系统，从而应用线性控制方法进行控制。

五、现代控制理论的目的、特点及方法
经典现代控制理论只研究一个输入输出变量，且固定参数的定常系统。其数学基础是拉普拉斯变换，分析综合的方法为频率响应特性等。然而，即使传递函数相同，系统内部结构也可以不同。因此，用传递函数描述系统有时是不完整的。如果只知道端部状态，对于充分了解一个系统的运动状况和掌握系统的整体性质也是不够的。随着技术的进步，人们的目标也越高。这意味着人们要研究更复杂的系统。这样的系统里包含了更多相互作用的元素。对控制系统也有了更高的精确性和稳定性的需求。此外，还有其他方面的要求诸如：节能，降低成本，缩短操作时间等。优化以上这些指标的参数不可避免的要使用到非线性系统，优化现代控制理论需要使用到非线性时变控制规律。这些都是现代控制理论的研究目的。
现代控制理论的另一核心是最优估计理论（卡尔曼滤波）。它为解决飞行器控制中的随机干扰和随机控制问题提供一种有力的数学工具。卡尔曼滤波突破了维纳滤波的局限性，适用于多输入、多输出线性系统，平稳或非平稳的随机过程，在飞行器测轨-跟踪、控制拦截和会合等方面得到广泛应用。
二、发展过程20世纪50年代中期,科学技术及生产力的发展，特别是空间技术的发展，迫切要求解决更复杂的多变量系统、非线性系统的最优控制问题。实践的需求推动了现代控制理论的进步，同时，计算机技术的发展也从
关键词：现代控制理论；学习策略；学习方法；学习心得
在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。
从经典控制论发展到现代控制论，是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题，在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题，它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具，并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际，具有明显的工程技术特点，但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上，充分利用现有的强有力的数学工具，对系统进行分析和综合。系统特性的度量，即表现为状态；系统状态的变化，即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定性原理”，指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法，才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初，卡尔曼从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上，现代控制论中所研究的许多基本问题，诸如最优控制和最佳估计等，都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。

短时傅立叶变换傅立叶变换将信号的时域表示和频域表示联系了起来。

在传统的信号分析中，平稳的随机信号在时域常用它的相关函数来表示，在频域常用它的功率谱来表示，相关函数与功率谱之间由傅立叶变换相联系。

但这种变换是一种全域变换，只是将信号在单个域（时域或频域）里表示，因此不能反映非平稳信号统计量的时间变化。

非平稳信号在局部可以认为是平稳的，对信号的局部进行傅立叶变换，以了解非平稳信号统计量的时间特性，这就是短时傅立叶变换STFT的基本思想。

一. STFT的定义给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗函数γ（t）在t轴上滑动，则信号x(t)的短时傅立叶变换定义为：STFT x(t,f)＝∫-∞∞[x(t＇)γ*（t＇- t）]e-j2πft＇dt＇ (1)该式的物理意义是，信号x(t)在时间t的短时傅立叶变换就是信号x(t)乘上一个以t为中心的“分析窗”γ*（t＇-t）所作的傅立叶变换。

由于乘一个时间宽度很短的窗函数γ*（t＇- t）等价于取出信号在分析点t＇＝t附近的一个切片，所以短时傅立叶变换直接是信号x(t)在“分析时间t”附近的“局部频谱”。

(t,f)既是时间的函数，又是频率的函数。

短时傅立叶变换（1）式也称为STFTx短时傅立叶分析。

二. STFT的时间－频率分辨率由于在时间t的STFT是被窗函数γ*（t＇- t）预加窗后信号x(t)的谱，所以位于以时间t为中心的局部窗间隔内的所有信号特性都会在时间 t的STFT内显示出来。

显然，STFT的高的时间分辨率要求窗函数γ（t）越窄越好；另一方面，在频率f处STFT的高的频率分辨率要求窗函数γ（t）越宽越好。

如果用Δt和Δf分别表示STFT的时间分辨率和频率分辨率，则它们的乘积满足不确定性原理：时宽·带宽＝Δt·Δf ≥ 1／4π（2）不确定性原理也称测不准原理。

不确定性原理的重要意义在于它告诉我们，既有任意小的时域宽度，又有任意小的频域宽度的窗函数是根本不存在的。

Cramer分解定理为我们研究非平稳时间序列 奠定了理论基础。
第二节 差分运算
对于随机非平稳序列来说，我们难以直接找 到其变化发展规律，主要是因为非平稳序列通常 都具有某种不稳定的趋势。所以，分析非平稳序 列的第一步是采取有效的手段提取其趋势使序列 变为平稳序列，然后利用平稳序列分析方法来处 理。提取序列趋势的工具主要是差分运算。
kt
t
例如，若
xt a bt t
则对序列 xt 做一阶差分
xt b t
就提取了序列中的确定性趋势信息。
若 xt a bt ct2 t ，则对 xt 做二阶差分
2 x 2c 2
t
t
即可提取序列中的确定性趋势信息。
yt 01yt q 2yt q1 vt
式中，vt 为残差序列。如果我们基于历史信息： ytq , ytq1, 预测 yt 的值，则 vt 可以理解为预测
误差，记 Var(v ) 2(q) ，显然有 2(q) Var( y ) ，
t
v
v
t
且滞后期 q 越大，意味着预测的步长越长，预测
的误差就越大，即2v(q) 越大。
实际上，时间序列中的差分运算类似于函数的 求导运算，如果一个时间序列的确定性趋势是时间 的 d 次多项式，则 d 阶差分后的序列的确定性趋势 就一定是常数，将不会再蕴含时间趋势，从而实现 序列的平稳化。
d
d
tj
j k,
（ k 为常数）
j0
而由Cramer分解定理知，方差齐性非平稳序 列都可以分解为如下形式：
y
)t
，说明序列发展的
随机性强，历史信息对现值估计效果差，这时称
序列 yt是随机序列。
例如，对于平稳的ARMA(p,q) 模型：

短时傅里叶变换及其应用1 引言传统傅里叶变换（Fourier Transform）分析方法已经在众多的领域内产生巨大影响。

特别在1965年之后，快速傅里叶变换（FFT）算法的发现及改进使得离散傅里叶变换（DFT）实现了高效的数学实现，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，加速了离散时间信号与系统分析技术的发展。

但长久以来，人们也发现了傅里叶分析方法存在的一些不足，正如詹姆斯·凯塞（James F. Kaiser）曾经说过，“最多被使用的信号处理工具是FFT，而最多被滥用的信号处理工具也是FFT”。

从20世纪80年代以来，数字信号处理技术在联合时频分析（Joint Time-frequency Analysis）方法方面有了很大的发展，各种联合时频分析方法得到了广泛的研究和应用，并逐渐形成了一套独特的理论体系。

它的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。

短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）就是其中的一种最简单的联合时频分析方法。

本文具体研究了短时傅里叶分析与综合，测不准原理，STFT 的分辨率，STFT的优缺点和窗函数的相关内容，最后借助MATLAB进行了相应的仿真并对仿真结果进行分析。

2 传统傅里叶变换2.1 傅里叶变换的定义连续时间信号s(t)的傅里叶变换（Fourier Transform）的数学表达式：（2-1）式（2-1）所表示的傅里叶正变换也称为傅里叶分析。

信号s(t)的傅里叶变换的逆变换的数学表达式：（2-2）- 1 -式（2-2）所表示的傅里叶逆变换也称为傅里叶综合。

2.2 傅里叶变换的意义热的传播与扩散现象是导致傅里叶研究成果的实际物理背景。

由式（2-1）可以看出傅里叶变换是一种线性的积分变换，它能够将满足一定条件的某个函数表示成为一组复指数函数的积分。

由式（2-2）可以看出S(jω)告诉我们将s(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。

辨 率的方法 ， 能够对 降雨量 进行 多尺度 分解 ， 降雨量数 据 将
收稿 日期 ：０ １— ９— １ 修 回 日期 ：０ １—பைடு நூலகம் ２１ ０ ２ ２１ Ｏ一２ Ｏ
由粗到细逐 步分解 ， 这样 降雨量 被分成 线性 和非线性 部分 ，
一
１３ — ６
两者彼此不相关 ， 然后分开预测 ， 提高降雨量预测精度… 。 针 对降雨量 的不确定 性 、 随机性 和非平 稳性 特点 ， 本文
其 中 ，（） ｓ ｆ为平稳 、 性部 分 ，（）为非平 稳 、 线 ｔ 非线性部分。 要对 降雨量 进 行准 确预 测 ， 必须 将 降雨 量分 解 成两 部
分 ， 波分析是一种具 有多分 辨率 的方法 ， 小 因此 采 用 小 波 分 析对其进行分解 。 ｛（） ｔ ｝＝ Ｗ（（） ｓｔ ，（） ｔ）
以表 示 为 ： （） ＝ ｔ （） ｆ （）＋ ｔ （） １
经过小波分解 后 ， 用 Ａ Ｉ 采 Ｒ ＭＡ模 型对降 雨量线 性部 分 进行 预测 ， Ｂ Ｒ Ｆ对非线性部分进行预测 。
３３ 降雨量的 Ａ Ｉ ． Ｒ ＭＡ 预 测
设分解后得到的降雨 量线 性部分 数据 集为 ｛ ｄ ， ， ｄ ， …
然后 采用 Ａ Ｉ ＲＭＡ和 Ｒ Ｆ神经 网络分别对 ｓ ｔ 和 （）进行 Ｂ （） ｔ 预测 ， 然后采用小波 重构对两 者结 果进行 合成 ， 到了降雨 得
量最 后 预 测结 果 。
， 。、 ， 。、 ／ ‘、
４ 对降雨量 的进行预测 。 ）
３４ 降雨 量 的 Ｒ Ｆ神 经 网络 预 测 ． Ｂ
ｔ ｎ ｏ ｏ ｄ ａ ｄ ｄ ｏ ｇ ｔｄ ｓ ｓｅ ｇ ｉｔ ｔ ｒ ｎ ｔｒｃ ｎ ｅ ｖ ｎ ｙ ｉ ｆｆ ｏ ｎ ｒ ｕ ｈ ｉａ ｔｒｉ ａ ｒ ｄ ｕ ｅ ａ ｄ ｗａｅ ｏ ｓ ｒａ ｃ ． ｏ ｌ ｎ ｃ

农业机械导航路径跟踪控制方法分析作者：来源：《世界热带农业信息》2024年第05期在现代农业发展过程中，智能型农业机械设备应用越来越多，为了实现精准生产作业，农机设备还需采用自动导航路径跟踪控制先进技术，结合各种算法和模型分析农机航向与横向偏差值，再基于逻辑设计进一步实现精准控制，确保农机行驶质量达到要求，提高生产水平。

大力研发和应用先进农业生产技术，符合当前农业发展的现实需求，因此，本文主要基于农机设备运动学相关特性，分析了农业机械导航路径跟踪控制的技术手段。

1研究背景中国近些年提出了“智慧农业”理念，农业精准控制技术也开始快速发展并得到普及运用，其中农机自动导航技术成为智能控制农机生产的一项重要技术，其结合信息技术、微处理器技术及传感器技术等完成控制任务，确保农业生产精度水平进一步提高，同时也利于保障农机在各种复杂场景中的稳定运行。

许多学者在研究农机自动导航控制技术时，会结合农机运动学与动力学模型，不再局限于过往简单的输出控制，而是更加重视实时跟踪监测控制。

传统“二轮车模型”的农机运动控制相关模型中，主要将控制对象简化为两轮汽车设备，再结合考虑其转向规则来搭建控制分析模型，但在跟踪农机生产的曲线路径时，往往会出现平稳性不足情况，因此，其控制原理只适合一些低速运转或误差要求较低的农业机械设备，但对于外部不确定性干扰因素较多及地形较复杂的情况则无法满足需求，而现代社会农业发展过程中，作业环境也出现巨变，因此，有必要研究更多方向角高精度导航跟踪控制的方法，确保农机运动的反馈信息更为客观、准确，方便进行控制[1]。

2农业机械导航控制技术发展的重要意义截止2023年，中国大型农机设备数量已经超过500万台，在自动驾驶研发方面取得了进步，整体发展十分快速。

农机使用可以降低农业生产人员的工作强度，农业机械设备的未来发展必然趋势为智能化、自动化，因此，其导航控制技术的发展也成为近些年的关注热点。

农机行驶路径的自动导航控制是指让农机具有自主找准作业方向的能力，提高生产效率，也能避免给周围环境带来破坏，相关导航跟踪控制时会结合无线信号、GNSS及GIS等技术，促进农业生产管理的精细化。