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不确定性原理概述：不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在量子力学中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，或者说粒子的位置和动量具有一定的不确定性。
不确定性原理改变了人们对物理世界的认识，揭示了微观世界的本质。
1. 不确定性原理的基本概念不确定性原理包括位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理两个方面。
位置-动量不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，其测量结果存在一定的不确定性。
能量-时间不确定性原理则表明，粒子的能量和存在时间也存在一定的不确定性。
2. 位置-动量不确定性原理位置-动量不确定性原理可以用数学表达式来描述，即Δx·Δp ≥ h/2π，其中Δx为位置的不确定度，Δp为动量的不确定度，h为普朗克常数。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的位置时，其动量的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的动量时，其位置的不确定度会增大。
3. 能量-时间不确定性原理能量-时间不确定性原理可以用数学表达式来描述，即ΔE·Δt ≥ h/2π，其中ΔE为能量的不确定度，Δt为时间的不确定度。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的能量时，其存在时间的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的存在时间时，其能量的不确定度会增大。
4. 不确定性原理的实验验证不确定性原理的实验验证是通过一系列精密的实验来观察和测量微观粒子的行为得出的。
例如，双缝干涉实验就是一种经典的实验，通过在射出粒子的路径上设置两个狭缝，观察粒子在屏幕上形成的干涉条纹，从而验证了不确定性原理。
5. 不确定性原理的意义和应用不确定性原理的提出对物理学产生了深远的影响。
它揭示了微观世界的本质，推翻了经典物理学中对粒子位置和动量的确定性认识。
不确定性原理也被广泛应用于量子力学的研究和技术应用中，如量子计算、量子通信等领域。
6. 不确定性原理的局限性不确定性原理并不意味着我们无法获得任何关于粒子位置和动量的信息，而是指在某一时刻上我们无法同时准确获得它们的值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学中的一个基本原理，由著名的物理学家海森伯所提出。
它指出，在粒子的位置和动量之间存在着固有的不确定性，无法同时准确确定一个粒子的位置和动量。
这一原理的提出对于理解微观世界的性质和测量过程的影响具有重要意义。
不确定性原理的关键概念是位置和动量的不确定性。
位置是指物体在空间中的具体位置，而动量则是物体运动的量度。
根据经典物理学的观点，如果我们能准确测量一个粒子的位置和动量，那么我们就能够完全确定粒子的运动状态。
然而，在量子力学中，不确定性原理告诉我们，这是不可能的。
根据不确定性原理，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
如果我们尝试提高对粒子位置的测量精度，那么对其动量的测量精度就会降低，反之亦然。
这意味着存在一个固有的界限，即我们无法同时获取一个粒子的位置和动量的完整信息。
这种不确定性并不是因为我们的测量技术的限制，而是由于量子力学本身的性质所决定的。
不确定性原理的意义不仅在于揭示了微观世界的本质，还对测量过程产生了深远的影响。
在测量一个粒子的位置时，我们使用的是光子或其他粒子进行观测。
然而，这种观测本身会对粒子的位置和动量产生扰动，从而使得我们无法同时准确测量二者。
这种扰动被称为“测量效应”，它遵循不确定性原理的规律，即我们测量的越精确，对粒子的干扰就越大。
不确定性原理的发现对于科学界产生了广泛的讨论和研究。
它对于量子力学的发展和理论的完善起到了重要的推动作用。
同时，不确定性原理也引发了一系列哲学和解释学的争议。
一些学者认为不确定性原理暗示了物质的本质是波动的，而非经典物理学所描述的粒子。
这种观点对于我们对于世界的认识和理解具有重要的启示作用。
尽管不确定性原理限制了我们获取粒子位置和动量完整信息的能力，但它同时也为科学研究提供了新的可能性。
例如，基于不确定性原理的测量技术，可以在纳米尺度下对物体的表面形态进行高精度的测量，为纳米技术的发展提供了重要的工具。
总之，不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它揭示了粒子位置和动量之间的固有不确定性。
量子力学中的不确定性原理解析在量子力学中，不确定性原理是一项至关重要的概念。
根据不确定性原理，我们不仅不能精确地测量一个粒子的位置和动量，而且据信这个原理还是自然界中的一项基本规律。
本文将探讨量子力学的不确定性原理，并运用实际例子详尽剖析其背后的物理学原理。
1、不确定性的基本原理量子力学中的不确定性原理由维纳提出，它是指如果精确测量了一个量子系统的其中一种物理量，那么就不能精确测量另一种物理量。
例如：如果测量一个电子的位置，就不能精确测量电子的动量。
这个原理有两个具体的表述方式：海森堡表述和薛定谔表述。
海森堡表述又称为不确定性原理第一形式，薛定谔表述又称为不确定性原理第二形式。
2、海森堡表述海森堡表述是指在测量任何一种物理量时，都会对另一种量的测量结果造成干扰。
具体来说，如果我们想要知道一个量子系统某个时刻位置和速度的精确值，我们可以精确测量它的位置，然后再精确测量它的速度。
但是，海森堡表述告诉我们，当我们测量位置的时候，我们就会干扰到系统的速度，测量速度的时候则会干扰到位置。
3、薛定谔表述薛定谔表述形容了波函数随时间演化时的不确定性增大。
正如海森堡表述那样，要测量一个系统的位置和动量，我们也需要测量其波函数。
然而，在量子力学中，一个粒子的波函数可能会由于环境扰动而发生改变，这就导致了不确定性的增加。
薛定谔表述由此断言，对于任何物理量，其对应的不确定度和波函数在此物理量下的变化幅度成正比。
4、具体的实例尽管不确定性原理看上去很抽象，但通过实际的示例，我们可以更好地理解。
例如，在实验室中，精确地测量光子的位置和动量是一项挑战。
从理论上讲，我们可以使用电离室来同时测量它们，但使用电离室就意味着在精确测试光子位置时必然会将光子的动量弄得模糊不清，反之亦然。
这个过程就符合了不确定性原理。
再举一个例子，卡门说，当物理学家试图测量一个粒子的位置时，他们实际上使用一束光来观测粒子。
然而，这个光束也会干扰到粒子，反过去会影响到其动量的测量。
物理的不确定性原理物理学中的不确定性原理是由德国物理学家海森堡于1927年提出的，它是量子力学的基本原理之一，也是现代物理学的重要基石之一。
不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量，并且测量结果受到测量过程的干扰。
这个原理的提出，颠覆了牛顿经典物理学中所认为的世界是可以完全确定的观念，揭示了微观世界的本质是不确定性和随机性的。
不确定性原理的具体表述是：无法同时确定一个粒子的位置和动量，越精确地测量一个物理量，就越会干扰到另一个物理量的测量。
换句话说，如果我们试图对一个粒子的位置进行测量，那么粒子的动量就会变得不确定；如果我们试图对粒子的动量进行测量，那么粒子的位置就会变得不确定。
不确定性原理与我们对世界的观察和认识有着密切的关系。
牛顿经典物理学认为，物体的位置和速度是可以同时准确测量的，世界的运动是可以完全确定的。
而量子力学则揭示了微观世界的本质是不确定性和随机性的。
不确定性原理告诉我们，微观粒子的性质是存在概率的，我们无法准确地预测粒子在某个时刻的位置和动量，只能用概率来描述。
不确定性原理有着深远的影响，不仅在物理学中有重要意义，在其他领域也有许多应用。
例如，在化学领域中，不确定性原理解释了化学反应的速率和方向，以及分子的构型和性质。
在生物学领域中，不确定性原理研究了生物体内的化学反应和生物过程。
在信息科学和通信领域中，不确定性原理为信息传输和编码提供了理论基础。
不确定性原理的核心思想是，我们无法同时准确地知道一个微观粒子的位置和动量，测量会干扰到被测粒子的状态。
这是因为，测量过程本身会与粒子相互作用，而这种作用会改变粒子的状态。
例如，当我们用光子照射一个电子以测量它的位置时，光子与电子相互作用，给电子带来动量的改变，从而导致无法准确测量电子的动量。
不确定性原理并不意味着我们完全无法了解微观粒子的性质，而是告诉我们在测量微观粒子时存在局限性。
我们可以通过适当的测量设备和方法来降低不确定性，提高测量精度。
量子力学的哲学量子力学作为现代物理学的重要分支，深刻地改变了人们对于物质和现实的认识。
它不仅仅是一种描述微观世界物质和能量行为的数学工具，更是对于自然界本质和人类认识能力的一次巨大挑战。
在量子力学的背后，隐藏着许多深刻的哲学问题，本文将探讨其中一些重要的哲学思考。
一、物质的本质和观测问题在经典物理学中，物质被认为是具有确定性的，每一个物体都存在于明确的状态之中。
然而，量子力学的出现颠覆了这种观念。
根据量子力学的原理，物质存在于一种被称为“叠加态”的状态中，即在多个可能性中同时存在。
量子力学还提出了一个颇为神秘的观测问题。
根据观测者定律，当我们观测或测量一个量子系统时，它将塌缩到一个确定的状态中。
这意味着观测的结果不同于测量前的叠加态，而是变成了一个确定的状态。
这种现象也被称为“波函数崩溃”。
这引发了关于物质本质和观测角色的哲学思考。
量子力学的这些特性给人们带来了对于现实和存在方式的质疑。
我们如何解释观测如何引起塌缩？观测者是否在观测时影响量子系统的演化？这些问题挑战着我们对物理世界的认知。
二、不确定性原理与自由意志量子力学中的著名不确定性原理由海森堡提出，它表明我们无法同时准确地测量一粒微粒的位置和动量。
这意味着在微观尺度上，世界存在着不可预测性和不确定性。
这样的不确定性引发了对于决定论和自由意志的讨论。
传统上，决定论认为世界上的每一件事都是由既定的因果关系决定的，每一个事件都可以通过早期因果链的推演得到。
然而，量子力学的不确定性原理挑战了这一观点，暗示了现实世界的不确定性和自由度。
这让我们思考自由意志是否存在于我们的决策中。
如果世界上存在着不确定性，我们的行为是否受到微观尺度上的量子事件的影响？我们是否有自主权来做真正的选择，还是我们只是量子规律的无意识执行者？这些问题牵扯到人类意识和自由意志的本质，引发了关于心灵与物质关系的哲学讨论。
三、实在论和主义在量子力学的框架下，科学家们提出了许多不同的解释，以试图解释量子现象的真实本质。
海森堡的心得体会海森堡是20世纪最重要的理论物理学家之一，他为量子力学的发展做出了巨大贡献。
他的著名“不确定性原理”改变了人们对物理世界的理解，对于整个科学领域产生了深远影响。
下面将从海森堡的研究经历、心得体会以及对科学方法论的贡献等方面进行探讨。
首先，回顾海森堡的研究经历，可以发现他一直在不断追求更深入的理解和探索。
在20世纪20年代初，他与玻尔、薛定谔等一起，致力于解释原子结构和辐射现象。
在这个过程中，他意识到传统的经典物理学无法解释微观世界中的现象，而且存在着不确定性。
他的思考也让他注意到了实验观测的重要性。
正是这种思考和对实验的关注，为他提供了新的思路和洞察力，进一步推动了他的研究。
在这个过程中，海森堡提出了著名的“不确定性原理”，即著名的海森堡测不准关系。
他认为，在测量微观粒子的位置和动量时，存在一定的误差和不确定性。
这个原理实际上改变了人们对现实世界的认识，它打破了经典物理学的观念，揭示出微观世界的奇妙和复杂之处。
海森堡通过数学计算和物理思考，深入分析了这个原理的本质，并提出了量子力学的新框架。
海森堡的不确定性原理激发了其他科学家的思考，引发了大量的讨论和研究。
这个原理所带来的启示不仅影响了物理学，也扩展到其他领域，如哲学和认知科学等。
它提醒我们，对于微观世界的认知存在一定的限制和不足，人们需要更谨慎思考和探索，不断完善科学的方法和理论。
此外，海森堡的心得体会也体现在他关于科学方法论的思考上。
他强调实验观测的重要性，并提出了“物理观察定理”。
他认为，实验观测在科学中起着至关重要的作用，实验结果将直接影响理论的发展和验证。
他还倡导着重于实验与理论的结合，通过实验的反馈来修正和完善理论，从而推动科学的进步。
海森堡还提出了“矩阵力学”的理论，这是描述量子力学的一种数学框架。
通过使用矩阵来描述物理系统的状态和性质，他推动了量子力学的发展，为后来者打下了坚实的基础。
他的工作在当时引起了巨大的反响和影响，为理论物理学奠定了新的基石。
研究量子力学中的不确定性原理在现代物理学中，量子力学是一门重要的学科，它深入研究了微观粒子的行为和性质。
其中一个重要的概念是不确定性原理，由物理学家海森堡提出。
本文将探讨量子力学中的不确定性原理以及其对我们对世界的认识带来的影响。
一、不确定性原理的概念和表达方式不确定性原理是指在量子力学中，无法同时准确确定一粒子的位置和动量。
换句话说，我们不能同时知道粒子的位置以及它的运动状态。
这个原理由海森堡于1927年提出，被视为量子力学的基石之一。
数学上，不确定性原理可以通过以下公式表达：Δx × Δp ≥ ħ/2其中，Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，ħ是普朗克常数。
二、不确定性原理的解释和意义不确定性原理的出现颠覆了经典物理学中对粒子运动的描写方式。
在经典物理学中，我们可以通过测量的手段准确地确定一个粒子的位置和动量。
然而，在量子力学中，不确定性原理告诉我们，我们不能同时获得粒子的完全准确的位置和动量信息。
这是因为在测量一个粒子的位置时，我们需要使用光子或其他粒子来与之相互作用，从而观测到位置信息。
然而，这种作用会对粒子的动量造成影响，导致动量的不确定性增加。
反之亦然，当我们尝试测量一个粒子的动量时，位置的不确定度也会增加。
不确定性原理的存在引发了物理学家对于现实世界的重新思考。
我们意识到，存在着一种固有的局限，无论我们的观测手段多么先进，我们仍然无法完全揭示微观世界的真相。
三、不确定性原理的实验验证为了验证不确定性原理，许多科学家进行了一系列的实验。
其中最著名的是干涉实验和不确定性关系实验。
在干涉实验中，科学家利用光的波动性质进行实验。
当光通过一个狭缝时，它将产生干涉条纹，从而展现出波动性。
然而，当我们尝试用光子束定位光粒子通过狭缝的位置时，我们发现位置的测量结果与预期的不一致。
这表明不确定性原理的存在。
不确定性关系实验则通过测量粒子的位置和动量来验证不确定性原理。
实验结果清楚地表明，我们无法同时准确确定粒子的位置和动量，这与不确定性原理的预测相符。
海森堡不确定性原理海森堡不确定性原理的提出，颠覆了经典物理学中对微观世界的认识，引发了物理学领域的一场革命。
在经典物理学中，人们认为只要掌握了粒子的位置和动量，就可以准确地描述和预测粒子的运动状态。
然而，海森堡不确定性原理的出现，打破了这一观念，揭示了微观粒子世界的固有规律和局限性。
海森堡不确定性原理的核心思想可以用数学公式来表示，Δx Δp ≥ℏ/2，其中Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，ℏ代表普朗克常数。
这个公式表明，粒子位置和动量的不确定度的乘积大于或等于普朗克常数的一半。
换句话说，我们无法同时将粒子的位置和动量测量得非常准确，存在一定的测量误差。
海森堡不确定性原理的提出，对物理学的发展产生了深远的影响。
首先，它揭示了微观世界的本质是难以捉摸和预测的，这挑战了人们对于自然界客观性和确定性的传统观念。
其次，海森堡不确定性原理的出现，推动了量子力学的发展，为量子力学的建立奠定了基础。
最后，海森堡不确定性原理的思想也在其他领域产生了深远的影响，如哲学、认知科学等。
海森堡不确定性原理的重要性不仅在于它对物理学的影响，更在于它对人们世界观的影响。
它告诉我们，自然界并不是我们所想象的那样简单和确定，而是充满了各种可能性和不确定性。
正是这种不确定性，使得世界变得多姿多彩，充满了无限的可能性和探索的空间。
总之，海森堡不确定性原理的提出，标志着人类对于自然界认识的一次深刻革命。
它揭示了微观世界的本质是不确定的，挑战了人们对于客观性和确定性的传统观念，推动了量子力学的发展，对人们的世界观产生了深远的影响。
海森堡不确定性原理的思想，将继续激发人类对自然界的探索和思考，推动科学的发展和进步。
量子力学对经典物理的挑战引言：随着科学技术的进步和人类对自然界的探索，量子力学作为一门新兴的物理学科逐渐崭露头角。
量子力学颠覆了经典物理的许多概念和理论，对经典物理学提出了很大的挑战。
本文将重点探讨量子力学对经典物理的挑战，并介绍其中的一些关键概念和实验证据。
1. 不确定性原理：量子力学中最为著名的原理之一就是不确定性原理。
根据这一原理，无法同时准确测量粒子的位置和动量。
经典物理学认为，物体的位置和动量是可以同时准确测量的，然而量子力学的不确定性原理给出了物质的微观行为规律。
这一原理挑战了经典物理学的基本假设，使我们重新审视物质世界的本质。
2. 粒子的波粒二象性：量子力学的另一个重要概念是粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既具有粒子特性，如位置和质量，又具有波动特性，如干涉和衍射。
这与经典物理学中将粒子视作点状物体的观念相悖。
实验证据如电子双缝干涉实验更加印证了粒子的波粒二象性，导致了对经典物理学观念的重新评估。
3. 纠缠态和量子纠缠：量子力学中的另一个重要现象是纠缠态和量子纠缠。
纠缠态是指两个或多个粒子之间的相互关系存在无论距离多远的变化都会互相影响的情况。
量子纠缠对经典物理学提出了深刻的挑战，因为纠缠态违背了经典物理学认为信息传播速度有限的假设。
爱因斯坦－波尔－基尔斯不等式的提出和贝尔的不等式的实验检验使得量子纠缠得到了充分的理论和实验证据的支持。
4. 测量与塌缩：量子力学关于测量的理论也与经典物理学有所不同。
在经典物理学中，测量不会对物体本身产生影响，而在量子力学中，测量会导致波函数的塌缩，从而改变粒子的状态。
这一观点给出了解释许多微观尺度的实验结果的框架，但与经典物理学的观点不同，因此也给经典物理学的基本假设带来了挑战。
5. 经典力学的局限：量子力学对经典物理学的挑战还体现在对经典力学的局限性的揭示上。
经典力学是描述宏观物体运动的理论，但当物体尺度降低到微观尺度时，经典力学无法准确描述物体的行为。
不确定性原理展现的哲学。
不确定性原理被认为是一种哲学观点，它指出，世界上几乎每一
件事，通过客观观测，都不可能完全确定其结果。
这是由于物理定律
和人类观察的限制。
不确定性原理表明，生活中几乎所有的结果都是不确定的。
就物
理学而言，不确定原理说明，大多数物理定律对于极小的物理运动
（比如原子）不适用。
这意味着，虽然科学家们可以预测物理的某种
结果，但这些结果可能是有限的，而且他们永远不知道物理系统可能
会发生什么。
在看待人类行为方面，不确定性原理也表明了一些包含容忍含义
的观点，例如，即使我们不知道可能发生的情况，我们仍然应该尝试
去把握它。
其中的一个原因是，即使我们的行动会有一定的不确定性，但是我们仍有可能通过赋予我们的行动更好的结果，用我们最好的可
能进行改变。
而在人类的努力与天生自然之间，不确定性原理的含义是：即使
人类的努力无法给予完美的结果，天生的规律也无法完全理解。
两者
都在不断变化，这就是不确定性原理提示我们的道理。
因此，每个人都应该把握机会，尽力在每一个时刻都尽量好，虽
然结果不能完全被控制，但也要在变幻的环境中闯出自己的一片天地。
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当粒子的位置非常确定时，其动量将会非常不确定。
由此可以推广到许多对共轭物理量之间。
不确定性原理是量子力学几率解释和波粒二象性的必然结果。
在量子力学的发展史上，不确定性原理起到了极为重要的推动作用，尤其是玻尔与爱因斯坦两位物理学大师关于海森堡关系的争论，更是为相对论量子力学的发展奠定了基础。
【关键词】不确定性；海森堡；波粒二象性；理想实验1.引言本文主要研究了海森堡不确定性原理提出的背景、推理过程、后续的讨论与发展，以及它对量子力学与整个物理学的发展所起的推动作用。
文中主要涉及三位物理学大师：海森堡、玻尔和爱因斯坦。
由海森堡提出并论证的不确定性关系是玻尔互补原理的最好证明。
爱因斯坦通过设计一系列的理想实验企图反驳不确定性原理，没想到反过来证明了不确定性原理的正确性。
本文就是以不确定性原理为主线，把它与互补原理及波粒二象性联系在一起，简单地讨论了它的涵义以及量子力学的一些基本问题，从而透过不确定性原理来瞻仰近代物理学的发展历程。
2.理论背景不确定性原理又名“测不准原理”,英文名为“Uncertainty principle”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
不确定性原理是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。
位置和动量满足如下关系：其中是约化普朗克常数。
类似的不确定性关系也存在于能量和时间，角动量和角度等许多对共轭物理量之间：上式中的与是一对共轭物理量，此式表明与不能同时为零，表明具有确定值，此时一定不为零，即不能被同时确定，这就是不确定性原理的基本表述。
不确定性原理是海森堡为了分析云雾室径迹而提出的。
海森堡认为，只有在实验里能够观测到的物理量才有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，即物理理论只能以可被观测的量为前提。
海森堡据此，从不连续性出发创立了矩阵力学。
他不考虑原子内部是否有电子轨道的存在，毅然离开在空间时间上的客观过程，只用和光谱线相关的频率与振幅这两个直接可观测的量来组成原子内部电子运动的力学量表示，从而找到了能综合原子光谱线的经验事实、确定原子稳定态的量子条件，弥补了玻尔模型的不足。
他计算出代表位置与动量的无限矩阵。
玻恩与约尔当研究了海森堡的位置与动量矩阵的性质后，得出下面的结论：由于把物理量看成是具有不连续性结构的矩阵，把量子跃迁过程看成不能用传统概念来描写的不连续性过程。
因此，矩阵力学在形式上强调了原子可观测的不连续性和粒子性的一面。
但是，如果以不连续性为前提，就无法解释云雾室里电子的连续轨迹问题。
这个问题使海森堡陷入困境。
他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。
人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴形成的雾迹，水滴远比电子大，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。
因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。
可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。
这就是海森堡对不确定性原理的最初的思考。
值得一提的是，爱因斯坦的一句箴言“理论决定我们能够观测什么”，对海森堡以后提出不确定性原理影响较大。
3.海森堡的推理在分析威尔逊云室时，海森堡所面临的问题包括两方面。
一是在数学推理上，一个粒子的位置和速度在给定时刻只能以有限的精确度被确定吗？二是如果理论承认这样的不确定性，那么它同实验测量中可以获得的最佳精确度是等价的吗？为了回答第一个问题，假设一个粒子的波函数是高斯函数：位置坐标的平均值为：；由于高期函数是偶函数，则积分函数是奇函数，其在全坐标积分为零，即。
位置坐标的均方差为：即。
接下来，通过傅里叶变换，将高斯函数变换至动量空间的波函数：令，则=由于积分函数是奇函数，故。
动量的标准差为=即。
因此，。
这就是位置与动量的测不准关系。
对于问题二的回答，海森堡设想了一个理想实验，即“射线显微镜实验”。
我们可以对电子进行照明并在显微镜下观察它。
根据有关分辨率的光学定律，辐射的波长越短，则显微镜的精度越高，因而射线显微镜可以得到确定位置的最高精度。
在电子位置被确定的那一刻，即光子被电子偏转时，电子的动量会发生一个不连续的变化。
光的波长越短，电子位置测定得越精确；但是，说明光子的动量很大，电子会被散射至随机方向，光子转移了一大部分不确定的动量给电子，导致电子的动量具有不确定性。
反之，波长很长的光子动量很小，散射不会大大地改变电子的动量。
可是，我们也只能大约地知道电子的位置，即电子的位置就有了极大的不确定性。
海森伯的不确定原理得到了波尔的支持，但玻尔不同意他的推理方式，认为他建立不确定原理所用的基本概念有问题。
实际上，海森堡在解释不确定原理时，仅以单个粒子为例，而没有考虑到一个粒子系统各成员的位置和动量的统计分布。
他在分析射线显微镜时，把问题的原因归于康普顿效应所引起的电子动量的不连续性变化，没有考虑到显微镜的有限孔径。
事实上，对射线显微镜的圆满分析，应从阿贝光学衍射理论的定理出发：显微镜的分辨本领的表示式为其中为所用光的波长，为透镜的直径在物点所张的角，如图1。
在位置测量时，包含有一个不确定量一个波长为，动量为的光子沿方向射到一个动量为电子上，则碰撞前的总动量为。
对于用显微镜能观察到的电子，光子必须被散射到角度内的某个方向，即PA 、PB分别为两个散射极端，对应的康普顿散射的波长分别为与。
因此,被散射的光子的动量的分量处于与之间。
用、分别表示在这两种极端的散射情况下电子动量的分量，由动量守恒得：我们只考虑数量级，可用代替与，则由于显微镜孔径的影响，我们无法精密判断光子究竟被散射到内的哪个角度，使得不能对碰撞后的粒子轨道作任何确定的预言，这是事情的关键所在。
显然，。
4.不确定性原理的例证4.1单缝衍射实验图2中AB为一个有狭缝的屏，狭缝宽为，CD是荧光屏。
动量为的粒子沿y方向穿过狭缝，打在CD上。
粒子在此过程中，坐标的不确定程度为。
PA B图1 射线显微镜实验yABCDx图2 单缝衍射实验粒子穿过狭缝前，，穿过狭缝时，粒子的发生改变。
设由狭缝中心到第一级衍射极小的连线与y轴成角，由衍射理论得：衍射波主要集中在与之间的范围，所以动量的不确定范围是由德布罗意关系知：，则。
最后，我们求得，。
如果考虑次级衍射，则的不确定范围就会更大，所以，我们有由此可知，狭缝越窄，粒子坐标的不确定性就越小，则动量的不确定范围就越大。
由于不能同时为零，所以粒子的坐标和动量也就不能同时具有确定值。
4.2乳胶片乳胶片同威尔逊云室是两种常用的探测高能粒子径迹的仪器。
理想的乳胶片由可被看作恒为静止的“重”原子构成。
当一个动量为的粒子沿x方向射入时，如果其动能超过“重”原子的电离能则重原子可被电离，而在乳胶片中造成一个斑点。
用这种电离方法定位入射粒子的精确度至少为重原子本身的线度：，其中为波尔半径。
在重原子中，处于束缚态的电子的动量平均值为零：，所以它在x方向上动量分量的均方差为：。
其数量级可用下列方法估计。
不难证明：因此，,电离能的数量级可由氢原子基态能量的值估计：。
我们可以得到重原子中处于束缚态的电子的动量的均方差：根据动量守恒定理，当重原子电离时，入射粒子的动量损失至少为上述均方差。
所以，在非弹性碰撞后，粒子的动量有一定的分散，此宽度为。
最后，我们得到。
由此可见，在用乳胶片探测粒子的位置时，不确定性关系仍然成立。
只有当入射粒子的动量很大，且远超过重原子的电离能时，粒子才能在乳胶片中显示出径迹。
4.3时间-能量的不确定性海森堡从对Stern-Gerlach 实验的分析中得出：原子穿过偏转场所需的时间越长，能量测量的不确定性就越小。
在测量某几个定态的能量时，偏转力的势能在原子束的宽度内的变化不能大于这些定态的能量差，所以偏转力的最大值为；设粒子束的角偏转为，动量为，其动量的变化量为。
由冲量-动量守恒定律得因为至少等于决定原子束宽度的狭缝所引起的自然衍射角，且引入德布罗意关系，我们得出则。
这是海森堡对时间-能量的不确定关系的推导。
关于时间-能量不确定关系的推导及其物理意义的解释一直是众说纷纭。
时间在量子力学中不同的意义：从认识论角度，时间是牛顿的绝对时间，是系统演化的参量，只表示事件之间的顺承关系，与系统无关；从本体论来看，时间是一个动力学变量，被包含在系统中；从语义学上来说，通过规范变换，找到与时间对应的厄密算符。
由于时间-能量关系十分复杂，这里不再详谈。
5.不确定性原理的严格推导经过矩阵力学与波动力学的发展，现代量子力学已经把它们连成一个体系，建立了一套比较完善的数学体系，并总结出了四大假设作为量子力学的根基。
接下来，我们就运用力学量算符及其一系列的运算严格地推导出不确定性原理。
量子力学的四个基本假定如下：1.波函数的物理意义微观粒子具有波粒二象性，其运动状态由波函数描述；波函数的物理意义由其模的平方给出，它表示t时刻，r处找到粒子的几率密度。
2.薛定谔方程微观粒子的运动状态由薛定谔方程决定：, 其中3.力学量与力学量算符任一个力学量F都对应一个力学量算符；该算符是厄密算符；力学量算符的本征值就是该力学量的可能取值；当且仅当粒子处于力学量算符的本征态时，相应力学量的取值才有确定性。
4.力学量平均值力学量算符的本征波函数集是完备的，任一波函数均可用该完备集展开；展开系数模的平方是粒子处于该本征态的几率；力学量在态的平均值是：。
对于力学量算符与任意波函数，定义算符,则力学量的均方差值为因为是厄密算符，而且是实数，所以亦是厄密算符。
我们令，则同理，，其中。
为了证明不确定性原理的关系，我们首先要证明Schwerz不等式。
证明过程如下。
我们知道对于任一波函数，有。
设f与g是两个波函数，令，则。
令，，则上式变为即，此式为Schwerz不等式。
我们利用Schwerz不等式，得其中，。
代表实数部分的平方，代表虚数部分的平方。
因为同理，。
我们得到以下不等式最后，我们可以推出即，这就是不确定性原理的严格表述。
6.不确定性原理的涵义6.1波粒二象性关于不确定性原理的涵义的探讨对量子力学的发展起到了极大的推动作用。
这首先要从海森堡与玻尔的争论开始。
玻尔虽然接受不确定性关系的结论，但却不同意海森堡建立不确定性关系的概念基础，他们的争论之点是不确定性原理的涵义。
海森堡把不确定性看作是对经典概念在微观物理学现象上的适用性的限制。
