东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题1.在超导托卡马克实验装置中，质量为1m 的21H 与质量为2m 的31H 发生核聚变反应，放出质量为3m 的10n ，并生成质量为4m 的新核。

若已知真空中的光速为c ，则下列说法正确的是（ ） A. 新核的中子数为2，且该新核是32He 的同位素 B. 该过程属于α衰变C. 该反应释放的核能为()23412m m m m c +--D. 核反应前后系统动量不守恒2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P 的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是（ ）A. 卫星的运动属于匀变速曲线运动B. 张角θ越小的卫星，其角速度ω越大C. 根据已知量可以求地球质量D. 根据已知量可求地球的平均密度3.如图，倾角为α=45°的斜面ABC 固定在水平面上，质量为m 的小球从顶点A 先后以初速度v 0和2v o 向左水平抛出，分别落在斜面上的P 1、P 2点，经历的时间分别为t 1、t 2；A 点与P 1、P l 与P 2之间的距离分别为l 1和l 2，不计空气阻力影响。

下列说法正确的是（ ）A. t 1：t 2=1：1B. l l ：l 2=1：2C. 两球刚落到斜面上时的速度比为1：4D. 两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1：1 4.在两个边长为L的正方形区域内（包括四周的边界）有大小相等、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

一个质量为m ，带电量为q +的粒子从F 点沿着FE 的方向射入磁场，恰好从C 点射出。

则该粒子速度大小为（ ）A.2BqLmB.BqLmC.54BqLmD.52BqLm5.、、AB C 三点构成等边三角形，边长为2cm ，匀强电场方向与ABC 构成的平面夹角30°，电势4V A B ϕϕ==，1V C ϕ=，下列说法正确的是（ ）A. 场强大小为150V /mB. 场强大小200V /mC. 将一个正电荷从A 点沿直线移到C 点，它的电势能一直增大D. 将一个正电荷从A 点沿直线移到B 点，它的电势能先增大后减小6.如图所示为形状相同的两个劈形物体，它们之间的接触面光滑，两物体与地面的接触面均粗糙，现对A 施加水平向右的力F，两物体均保持静止，则物体B的受力个数可能是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7.如图甲所示，一木块沿固定斜面由静止开始下滑，下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是（）A. 在位移从0增大到x的过程中，木块的重力势能减少了EB. 在位移从0增大到x的过程中，木块的重力势能减少了2EC. 图线a斜率的绝对值表示木块所受的合力大小D. 图线b斜率的绝对值表示木块所受的合力大小8.平行金属板PQ、MN与电源和滑线变阻器如图所示连接，电源的电动势为E，内电阻为零；靠近金属板P 的S处有一粒子源能够连续不断地产生质量为m，电荷量+q，初速度为零的粒子，粒子在加速电场PQ的作用下穿过Q板的小孔F，紧贴N板水平进入偏转电场MN；改变滑片p的位置可改变加速电场的电压U l和偏转电场的电压U2，且所有粒子都能够从偏转电场飞出，下列说法正确的是（）A. 粒子的竖直偏转距离与U2成正比B. 滑片p向右滑动的过程中从偏转电场飞出的粒子的偏转角逐渐减小C. 2Eq mD.飞出偏转电场的粒子的最大速率Eqm二、非选择题9.一位同学为验证机械能守恒定律，利用光电门等装置设计了如下实验。

哈尔滨帅大附中东北帅大附中2020 年高三第一次联合模拟考试辽宁省实验中学文科综合能力测试地理部分注意事项：★祝考试顺利★1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上父。

一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

英国、爱尔兰等欧洲国家近期表示，将考虑对抛弃式咖啡杯征收最高0.25欧元的“拿铁税”。

据此完成1~2题。

1.征收“拿铁税”的主要目的是C.人们喝咖啡的习惯逐渐改变D. 失业人口增多A.增加税收，货币回笼B. C.改变观念，保护环境D. 2. 此举措的长远影响可能是尔滨A.抛弃式用品产业规模缩小 B.抑制消费，缓解供求矛盾 刺激自携环保杯产业的发展 咖啡及相关产业没落2019年12月16日.某地大雪初晴，气温下降，图1为当地居民拍摄的日出景观，当日昼长为6小时。

据此完成3~4题。

3.导致该地出现此次大雪的天气系统是A.冷气团B. 冷锋C. 气旋D. 反气旋4.此时，该地的风向是A.西南风B. 东南风C. 东北风D. 西北风世界范围内，在一些城市不断发展的同时，也有一部分城市面临城市收缩问题。

影响我国城市收缩的常见要素有：资源状况、产业活动，地理位置等，据此完成5~7题。

5.导致上海附近城市发生收缩现象的主要原因最可能是A.自然资源短缺B. 承接产业转移C.地理位置偏远D. 产业结构不当6.城市收缩易导致的结果是①人口减少②环境退化③空间收缩④交通拥堵⑤经济衰退B. ①③⑤C.7.对城市收缩可起到较好抵御作用的是A.高校、大型交通枢纽B. 商场、汽车修配厂C.大型影院、批发市场D. 三甲医院、小学校碧根果是原产丁美国南部和墨西母北部的一种山核桃。

东北三校2020年高三第一次联合模拟考试文科综合能力测试历史试题1.1.春秋时期，孔子曾言：春秋时期，孔子曾言：“（如果）天下有道，丘不与易也。

”战国时期，各家的共同宗旨都是以“其学易天下”。

这说明春秋战国时期A. A. 诸子百家皆源于儒诸子百家皆源于儒诸子百家皆源于儒B. B. B. 百家争鸣同大于异百家争鸣同大于异C. C. 儒家思想偏于保守儒家思想偏于保守儒家思想偏于保守D. D. D. 社会时弊有待革新社会时弊有待革新【答案】【答案】D D【解析】结合所学知识可知，诸子百家并不是皆源于儒，故A 排除；材料没有反映百家争鸣同大于异，故B 排除；材料主旨并不是说明儒家思想偏于保守，故C 排除；材料反映了诸子百家都在试图运用自己的学术主张来服务于现实政治，解决现实问题，说明社会时弊有待革新，故主张来服务于现实政治，解决现实问题，说明社会时弊有待革新，故 D D 正确。

2.2.汉初政府对铸币大开方便之门，允许民间铸币，政策上只规定铸币的面额（重量）汉初政府对铸币大开方便之门，允许民间铸币，政策上只规定铸币的面额（重量），其余一切包括师铜料开采、冶炼、铸造等都交由铸币者自行处理，吴王刘濞和大夫邓通皆因封地内有铜山，成为巨富。

汉初的铸币政策A. A. 增加人民财富增加人民财富增加人民财富B. B. B. 影响经济恢复影响经济恢复影响经济恢复C. C. C. 增强地方实力增强地方实力增强地方实力D. D. D. 造成通货膨胀造成通货膨胀【答案】【答案】C C【解析】材料并不能反映铸币政策增加人民财富，故A 排除；汉初政府无为而治的政策促进了经济恢复，故B 排除；材料“吴王刘濞和大夫邓通……成为巨富”“吴王刘濞和大夫邓通……成为巨富”反映了汉初的铸币政策增强了地方实力，反映了汉初的铸币政策增强了地方实力，反映了汉初的铸币政策增强了地方实力，故故C 正确；材料未涉及通货膨胀的信息，故D 排除。

3.3.晚唐诗人杜荀鹤，诗名远播却屡试不中，发出“空有篇章传海内，更无亲族在朝中”的感慨，并写下“闭晚唐诗人杜荀鹤，诗名远播却屡试不中，发出“空有篇章传海内，更无亲族在朝中”的感慨，并写下“闭户十年专笔砚，仰天无处认梯媒”的诗句。

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)联考高考英语二模试卷一、阅读理解(本大题共15小题，共30.0分)AMoringa Farm Internship ProgramDATE：5 May〜30 November 2019LOCATION: Jaipur IndiaEVENT TYPE：TwiningEVENT INDUSTRY/TOPIC: Clean Energy, Climate & Environment, Food & Agriculture andQuality/Process ManagemMoringa (辣木), a kind of miracle tree, has come a long way today to become a symbol of the fight against growing nutrition deficiency (营养不足) across the globe. It is also a crop suited to the climatic conditions of the region, which is unusually rich in its nutrition content literally from top to bottom.Supporting learning：The Moringa Farm Internship Program is sort of like a live, interactive slideshow of agriculture making of Moringa from “Soil to Super food” that touches all the participant’s senses.The Program’s Objectives：The Moringa Farm Internship Program is devoted to enriching the knowledge and lives of young people by providing them with a unique educational experience on an organic Moringa Farm in rural Jaipur, India. Program participants can learn about conservation, maintenance (维护), care, and management of Moringa Farming by means of hands-on work experience with local Moringa Farm staff.Participants will be able to interact with Moringa specialists and educators, on all issues that may affect their operations. Experts will let you know management strategies and equipment operation up close on hand to answer your specific questions.The Moringa Farm Internship will provide an excellent opportunity to learn about sustainable tools, techniques, and approaches that can be used in Moringa Production and value-added production systems, righting (突出) pest and disease management, leaf/seed production, and tools and equipment for commercial production.If you’re trying to learn about Moringa, there’s nothing like going to a farm and getting your hands dirty. So clickhere to register now!1. Why is Moringa specifically described in the text?A. To stress the importance of the crop.B. To encourage people to plant Moringa.C. To show the significance of the program.D. To draw attention to nutrition deficiency.2. What can we know about the Moringa Farm Internship Program?A. It is intended for farmers.B. It lasts more than half a year.C. It provides vocational training.D. It is available on the Internet.3. How do the program’s participants learn about Moringa?A. By attending various courses about it.B. By involving themselves in farming it.C. By observing specialists and educators.D. By watching slideshows about the crop.【答案】1. C 2. D 3. B【解析】本文为说明文。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题1.在超导托卡马克实验装置中，质量为1m 的21H 与质量为2m 的31H 发生核聚变反应，放出质量为3m 的10n ，并生成质量为4m 的新核。

若已知真空中的光速为c ，则下列说法正确的是（ ）A.新核的中子数为2，且该新核是32He 的同位素 B.该过程属于α衰变C.该反应释放的核能为()23412m m m m c +--D.核反应前后系统动量不守恒 答案：A解：A ．由质量数守恒和电荷数守恒可知新核的质量数和电荷数分别为4和2，新核是24He ，是32He 的同位素，中子数为2，故A 正确；B ．该过程是核聚变反应，不属于α衰变，故B 错误；C ．该反应释放的核能为()221234E mc m m m m c ∆=∆=+--故C 错误；D ．核反应前后系统动量守恒，故D 错误。

故选A 。

2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P 的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是（ ）A.卫星的运动属于匀变速曲线运动B.张角θ越小的卫星，其角速度ω越大C.根据已知量可以求地球质量D.根据已知量可求地球的平均密度 答案：D解：A ．卫星的加速度方向一直改变，故加速度一直改变，不属于匀变速曲线运动，故A 错误； B ．设地球的半径为R ，卫星做匀速圆周运动的半径为r ，由几何知识得sin2Rrθ=可知张角越小，r 越大，根据22Mm Gm r rω= 得ω=可知r 越大，角速度ω越小，故B 错误； C ．根据万有引力提供向心力，则有22MmGm r rω= 解得地球质量为23r M Gω=因为r 未知，所以由上面的式子可知无法求地球质量，故C 错误； D ．地球的平均密度343M R ρπ=则2334sin 2G ωρθπ=知可以求出地球的平均密度，故D 正确。

故选D 。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题3 i 1.在超导托卡马克实验装置中，质量为m i的2H与质量为m2的i H发生核聚变反应，放出质量为m3的°n，并生成质量为m4的新核。

若已知真空中的光速为c，则下列说法正确的是（）A.新核的中子数为2,且该新核是2 He的同位素B.该过程属于衰变2C.该反应释放的核能为m3 m4 m i m2 cD.核反应前后系统动量不守恒2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P的角速度为，对地球的张角为弧度，万有引力常量为G。

则下列说法正确的是（）A.卫星的运动属于匀变速曲线运动B.张角越小的卫星，其角速度越大C.根据已知量可以求地球质量D.根据已知量可求地球的平均密度3.如图，倾角为0=45 °的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v o和2v o向左水平抛出，分别落在斜面上的P i、P2点，经历的时间分别为t i、t2；A点与P i、P l与P2之间的距离分别为11和12,不计空气阻力影响。

下列说法正确的是（）B.I l: 12=1 : 2C.两球刚落到斜面上时的速度比为 1 : 4D.两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1: 14.在两个边长为L 正方形区域内（包括四周的边界）有大小相等、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小F点沿着FE的方向射入磁场，恰好从C点射出。

则该粒子B.场强大小200V/mC.将一个正电荷从A点沿直线移到C点，它的电势能一直增大D.将一个正电荷从A点沿直线移到B点，它的电势能先增大后减小6.如图所示为形状相同的两个劈形物体，它们之间的接触面光滑，两物体与地面的接触面均粗糙，现对A. 在位移从0增大到X 的过程中，木块的重力势能减少了B. 在位移从0增大到X 的过程中，木块的重力势能减少了2EC. 图线a 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小D. 图线b 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小 8.平行金属板PQ 、MN 与电源和滑线变阻器如图所示连接，电源的电动势为E ，内电阻为零；靠近金属板 P的S 处有一粒子源能够连续不断地产生质量为 m ，电荷量+q ，初速度为零的粒子， 粒子在加速电场 PQ 的作 用下穿过Q 板的小孔F ，紧贴N 板水平进入偏转电场 MN ;改变滑片p 的位置可改变加速电场的电压 U i 和 偏转电场的电压 U 2,且所有粒子都能够从偏转电场飞出，下列说法正确的是（ ）--------- ------------------------- A. 粒子的竖直偏转距离与 U 2成正比施加水平向右的力 F ,两物体均保持静止，则物体7. 如图甲所示，一木块沿固定斜面由静止开始下滑, B 的受力个数可能是（ ）C. 4个D. 5个下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线 如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）B.滑片p向右滑动的过程中从偏转电场飞出的粒子的偏转角逐渐减小C.飞出偏转电场的粒子的最大速率D.飞出偏转电场的粒子的最大速率、非选择题9•一位同学为验证机械能守恒定律，利用光电门等装置设计了如下实验。

东北三省三校2020 年高三第一次联合模拟考试语文试卷（哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）注意事项：1.答题前，务必先将自己的姓名、准考据号填写在答题卡上，仔细查对条形码上的姓名、准考据号，并将条形码粘贴在答题卡的指定地点上。

2.答题时使用 0.5 毫米黑色署名笔或碳素笔书写，字体工整，字迹清楚。

3.请依据题号在各题的答题地区 ( 黑色线框 ) 内作答，高出答题地区书写的答案无效。

4.保持卡面洁净，不折叠，不损坏。

( 一) 论述类文本阅读 ( 此题共 3 小题， 9 分)阅读下边的文字，达成1~3 题。

《韩非子》怎样取法老子周苇风法家代表人物韩非是荀子的学生，因为口吃，不喜言谈。

曾数次上书进谏韩王，却不被采用。

但他的文章传入秦国后大受欢迎，秦王甚至叹息“嗟乎，寡人得见这人与之游，死不恨矣”。

《史记》中，韩非与老子合传，同传中还有庄子和申不害。

庄子和老子是道家人物，韩非和申不害为法家人物。

司马迁说，韩非“喜刑名法术之学，而其归本于黄老”。

黄老学派形成于战国期间，最先流行于齐国稷放学宫。

它既讲道德又主刑名，既还没有为又崇法治，既认为“法律滋彰，响马多有”又重申“道生法”，要求统治者“虚静谨听，以法为符”。

作为儒家学派的一员，荀子曾在稷放学宫三为祭酒，思想不免遇到黄老思想的影响。

他清醒地认识到，礼的实行没法完好依赖“克己”来实现。

于是，便提出了礼制并举的思想。

理解了这个学术背景，司马迁说韩非“其归本于黄老”也就不奇异了。

《韩非子》有《解老》《喻老》两篇，顾名思义是解读《老子》的专著。

从这个角度来看，韩非能够说是初期研究《老子》的专家。

老子思想的核心是道，道是客观自然规律。

韩非接受了老子对道的论述，认可道决定宇宙万物的演变。

同时，老子认为道拥有“独立而不改，周行而不殆”的永久意义。

对此，韩非则进一步发挥，重申道是变化的，天地也是变化的，人也在不停变化中，整个社会都在变化。

由此，治理社会的方式和方法自然也应当变化。

2020届东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭则()R A B ⋃=ð（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(][),13,-∞-+∞U C ．[)3,+∞ D ．(][),11,-∞-+∞U【答案】B【解析】先求解不等式A ，B ，先计算A B U ，继而得解()R A B ⋃ð 【详解】集合{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，1|1{|01}B x x x x ⎧⎫=>=<<⎨⎬⎩⎭{|13}A B x x ∴=-<<U ()R A B ∴⋃=ð(][),13,-∞-+∞U故选：B 【点睛】本题考查了集合的并集、补集计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2．已知复数z a bi =+（,a b ∈R ），1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ） A ．0a b += B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【答案】B【解析】先利用复数的除法运算化简1zi +，若为实数，则虚部为零，即得解. 【详解】()(1)()()11(1)(1)2z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-++-===+++- 若1zi +是实数，则虚部0b a -= 故选：B【点睛】本题考查了复数的四则运算和基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβ D ．若m β⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】通过反例可确定,,A B C 错误；由面面垂直的判定定理可知D 正确. 【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，A ，B 错误； 若//m β且m α⊂，则α与β可能相交或平行，C 错误；由面面垂直判定定理可知，D 选项的已知条件符合定理，则αβ⊥，D 正确. 故选D 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A【解析】由题意：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1,依次递推，得到1，即得解. 【详解】由题意：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1.第一步：13n =为奇数，则133140n =⨯+=； 第二步：40n =为偶数，则40202n ==； 第三步：20n =为偶数，则20102n ==； 第四步：10n =为偶数，则1052n ==； 第五步：5n =为奇数，则53116n =⨯+=； 第六步：16n =为偶数，则1682n ==； 第七步：8n =为偶数，则842n ==； 第八步：4n =为偶数，则422n ==；第九步：2n =为偶数，则212n ==.故选：A 【点睛】本题考查了数学文化以及数列的递推关系，考查了学生数学应用，理解辨析，数学运算的能力，属于基础题.5．已知ln3a =，3log b e =，log c e π=（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A ．b a c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】利用换底公式：31log ln 3b e ==，1log ln c e ππ==，且ln ln3π>，再利用中间值1比较a ,b ，即得解. 【详解】由于ln3ln 1a e =>=，31log 1ln 3b e ==< 1log ln c e ππ==，且ln ln3c b π>∴< c b a ∴<<故选：B 【点睛】本题考查了对数值的大小比较，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．已知在边长为3的等边ABC ∆中，12BD DC =u u u r u u u r ，则AD AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．6B ．9C ．12D ．－6【答案】A【解析】转化1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用数量积的定义即得解. 【详解】1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13AB AC B AC C =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r1||||cos ||||cos 3AB AC A AC C BC =⋅+⋅u u u r u u u r u u ur u u u r11133336232=⋅⋅+⋅⋅⋅=故选：A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则四面体A BEF -的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】如图所示，作辅助线，可证明//FG 平面EABF ， 故13A BEF F ABE G ABE E ABG ABE V V V V EA S ----∆====⋅⋅代入数据可得解. 【详解】分别取BC ，ED ，AD 的中点G ，P ，Q ，连接FG ，FP ，PQ ，QG 由于2ED FC =，P 为ED 中点，因此,//PD FC PD FC = 故四边形FCDP 为平行四边形，//PF DC且Q ，G 为DA ，CB 中点，////QG DC QG PF ∴∴，且QG PF = 因此四边形PFQG 为平行四边形，//PQ FG ∴ P ，Q 为DE ，DA 中点，////PQ EA FG EA ∴∴//FG ∴平面EAB13A BEF F ABE G ABE E ABG ABE V V V V EA S ----∆∴====⋅⋅=23故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积求解，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．已知函数()sin 232f x x x =+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，其图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．512π 【答案】D【解析】由题设()2sin(2)3f x x π=+，()2sin(22)3f x x πϕϕ-=-+其图象关于y 轴对称，即2sin(2)23πϕ-+=±，求解即得.【详解】由题设()sin 22sin(2)3f x x x x π==+向右平移ϕ个单位，即()2sin(22)()3f x xg x πϕϕ-=-+=，其图象关于y 轴对称因此(0)2sin(2)23g πϕ=-+=±232122k k ππππϕπϕ∴-+=+∴=--又02πϕ<<，令1k =-，512πϕ=故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的图像变换及对称性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足()0FP FA AP +⋅=u u u r u u u r u u u r ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2⎫⎪⎪⎣⎭ C ．1,12⎫⎪⎪⎣⎭ D ．0,2⎛ ⎝⎦【答案】C【解析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=u u u r u u u r u u u r 为20FQ AP ⋅=u u u r u u u r，即FA FP =，可求得FA a =，2a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥u u u r u u u r，故三角形AFP 为等腰三角形，即FA FP =，且FA a ==由于P 在直线2a x c =上，故2a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥解得：e ≥e ≤，又01e <<故1e >≥故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．已知定义在R 上的函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，当[)1,x ∈+∞时，[)[)12,1,3()12,3,2x x f x x f x ⎧--∈⎪=-⎨⎛⎫∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()f x 的图象与函数ln ,1()ln(2),1x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图象在区间[]5,7-上所有交点的横坐标之和为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】可分析得到函数()f x ，()g x 都关于1x =对称，因此所有交点也关于1x =对称，结合两个函数在1x ≥的图像，可得到71x >>时有3个交点，且1x =两函数相交，由于两个图像都关于1x =对称，故交点也关于1x =对称，每对交点的横坐标之和为2，即得解. 【详解】函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，故故图像关于1x =对称，且[)[)[)[)12,1,312,1,3()152,3,2(1),3,22x x x x f x x x f x x ⎧⎧--∈--∈⎪⎪==--⎨⎨⎛⎫∈+∞-∈+∞ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩函数ln ,1()ln(2),1x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩满足()(2)g x g x =-故图像关于1x =对称，由于两个图像都关于1x =对称，只需研究1x ≥时交点个数，由于(1)0=(1),(2)ln 2(2)1,(5)ln5(5)2g f g f g f ==<==<=两个图像位置关系如图所示，故当71x >>时有3个交点，且1x =两函数相交， 由于两个图像都关于1x =对称，故交点也关于1x =对称，每对交点的横坐标之和为2 故在区间[]5,7-上所有7个交点的横坐标之和为2317⨯+= 故选：C 【点睛】本题考查了函数性质综合，考查了函数的对称性，图像变换，函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.11．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D 【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．已知双曲线2213y x -=的左，右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且12120F PF ∠=︒，12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，则||PA =（ ）A ．5 B ．25C ．355D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义，及余弦定理，可求得124r r =，1225r r +=，借助1212F PF F PA APF S S S ∆∆∆=+，可得1212()r r r r PA =+⋅，即得解.【详解】不妨设P 在双曲线的右支，且112212||,||,22PF r PF r r r a ==∴-== 由余弦定理：222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF P =+- 由双曲线方程：12||22134F F c ==+=代入可得：222121212121216()34r r r r r r r r r r ++==-+∴=12r r +===12121212111sin sin sin 22222F PF F PA APF P PS r r P S S r PA r PA ∆∆∆==+=⋅⋅+⋅⋅代入可得：1212()r r r r PA =+⋅12125r r PA r r ∴===+ 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 【答案】717【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：(|)P B A ，由条件概率公式即得解. 【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A ，“他的车能够充电2500次”为事件B ，即求条件概率：()35%7(|)()85%17P A B P B A P A ===I故答案为：717【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.14．已知函数()x x f x e ae -=+在[]0,1上不单调，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()21,e【解析】函数()xxf x e ae-=+在[]0,1上不单调,转化为'()xxf x e ae-=-在(0,1)有零点，即2x a e =有解，研究2xy e =取值范围即可.【详解】函数()x xf x e ae -=+在[]0,1上不单调,即'()xxf x e ae -=-在(0,1)有零点，即0'()x xf x e ae--==⇔2x a e =当(0,1)x ∈，()221,e x e ∈，故()21,e a ∈故答案为：()21,e【点睛】本题考查了导数在含参函数的单调性问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．数列{}n a 满足11a =，()2212n n n a S S -=（2n ≥，*n N ∈），则n a =______.【答案】1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩【解析】利用项和转换，得到1112n n S S -=-，故1{}n S 是以111S =为首项，2为公差的等差数列，可得121n S n =-，再借助1n n n a S S -=-，即得解. 【详解】由于()2212n n n a S S -=，1n n n a S S -=-()2111(212)2n n n n n n n n S S S S S S S S ---∴-∴=--=即1112n n S S -=- 故1{}n S 是以111S =为首项，2为公差的等差数列1112(1)2121n n n n S S n ∴=+-=-∴=- 由于1(2)n n n a S S n -=-≥1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩ 故答案为：1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题. 16．已知函数()222()31f x x ax b =----，当______时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有______.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组．．即可） ①12a ≤-②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点 【答案】① ⑥【解析】本题为开放题型，根据选择的条件，把绝对值打开，求导研究函数单调性，继而研究函数的极值点，零点即可. 【详解】 .比如：当12a ≤-时， ()422222422(23)3,(,1][1,)()31(23)3,(1,1)x a x a b x f x x a x b x a x a b x ⎧-+++-∈-∞-⋃+∞=----=⎨--+--∈-⎩22(23)4[],(,1][1,)2'()(23)4[],(1,1)2a x x x f x a x x x +⎧-∈-∞-⋃+∞⎪⎪=⎨-⎪-∈-⎪⎩由于(23)12a +≤，故2(23)4[]2a y x x +=-在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞无零点， 由于(23)22a -≤-，故2(23)02a y x +=->恒成立，2(23)4[],(1,1)2a y x x x -=-∈-有唯一零点x =0,且左负右正，故f (x )有唯一的极小值.故答案为：①，⑥（答案不唯一） 【点睛】本题为开放题型，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2a =，D 为AC 的中点，且BD =，求c . 【答案】（Ⅰ）23B π=；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，结合sin sin()A B C =+，化简可得解；（Ⅱ）由题设，2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，两边平方，代入边长，角度可得解. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 得2cos sin sin 0B C C +=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2B =-. 因为0B π<<， 所以23B π=. （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，即2212a c ac ++=，因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =. 【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，考查了学生转化划归，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.18．如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：//DE 平面11C BA ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为13，求二面角1F BA A --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42929-. 【解析】（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结EO ，1OC ,可证得四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ，即得解；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，可证得FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，可得3AF =，分别求解平面1BAC ，平面1BAA 的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【详解】（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结EO ，1OC ∵OA OB =，AE EB =，∴112OE BB =，1//OE BB . 又1112DC BB =，11//DC BB ， ∴1//OE DC ，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ∵1OC ⊂面1C AB ，ED ⊄面1C AB ，∴//DE 平面11C BA（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图，过F 作1FH BB ⊥，连结AH ∵1BB ⊥面ABC ，AB Ì面ABC ，∴1AB BB ⊥ ∵AB BC ⊥，1BC BB I ，∴AB ⊥面11CBB C ∵AB Ì面11BAA B ，∴面11BAA B ⊥面11CBB C ，∵FH⊂面11CBB C ，1FH BB ⊥，面11BAA B I 面111CBB C BB =，FH ⊥面11BAA B ，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，记为θ，11sin 3AF θ==，∴3AF =，在Rt ACF ∆中，222259AC CF AF CF ==+=+，∴2CF =，(0,2,1)F ，1(2,3,0)A ，(0,2,1)BF =u u u r，1(2,3,0)BA =u u u r ，设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =u r，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取2y =，(3,2,4)m =--u r 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =r，cos ,m n =u r r 因此，二面角1F BA A --的余弦值【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算，逻辑推理能力，属于中档题.19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒得太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？ （Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？不患心脑血管疾病 合计参考数据如下：()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706()20P K k ≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（Ⅰ）比例大约为20%；（Ⅱ）有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.【解析】（Ⅰ）根据题设数据得到韦恩图各部分数据，再结合容斥原理，即得解；（Ⅱ）根据数据2填写表格，利用22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++即得解.【详解】（Ⅰ）设A ={出现A 症状的人}、B ={出现B 症状的人}、C ={出现C 症状的人}（card 表示有限集合元素个数）根据数据1可知card() 1.8A B =I ，card()1A C =I ，card()2B C =I ，card()0.5A B C =I I ，所以 card()A B C U U card()card()card()card()[card()card()card()]card()A B C A A B A C B C A B C =+++-+++I I I I I8.59.3 6.5(1.812)0.5=++-+++20=得患失眠症总人数为20万人，比例大约为20% （Ⅱ）根据数据2可得：22100(573157) 4.001 3.84112888020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”. 【点睛】本题考查了统计和集合综合，考查了容斥原理，卡方检验等知识点，考查了学生数据处理，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.20．已知以动点P 为圆心的P e 与直线l ：12x =-相切，与定圆F e ：221(1)4x y -+=相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N （MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点.【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意，点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得解； （Ⅱ）设111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，用坐标表示1S 、2S 、3S ，利用韦达定理，代入即得解.【详解】（Ⅰ）设(,)P x y ，P e 半径为R ，则12R x =+，1||2PF R =+，所以点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =. （Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，则111,2M y ⎛⎫-⎪⎝⎭、21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN ：x ty n =+（0t ≠）代入24y x =中得2440y ty n --=124y y t +=，1240y y n =-<∵1111122S x y =+⋅、3221122S x y =+⋅ ∴131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又21211112222S n y y n =+⋅-=+∴()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．已知函数21()(1)ln(1)2f x x x ax x =++--（a R ∈）. （Ⅰ）设()f x '为函数()f x 的导函数，求函数()f x '的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x '在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（Ⅱ）01a <<.【解析】（Ⅰ）对函数求导，分0a ≤，0a >两种情况分析导函数正负；（Ⅱ）借助（Ⅰ）中单调性结论，分类讨论，当01a <<时，利用ln x <()h x <-，分析即得解.【详解】（Ⅰ）()ln(1)f x x ax '=+-令()()ln(1)h x f x x ax '==+-，1()1h x a x '=-+； 1°当0a ≤时，()0h x '>，∴()f x '在(1,)-+∞上递增，无减区间()0h x '=2°当0a >时，令1()011h x x a'>⇒-<<-， 令1()01h x x a'<⇒>- 所以，()f x '在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，∴()f x '在（0，+∞）上递增，∴()(0)0f x f ''>=∴()f x 在(0,)+∞上递增，无最大值，不合题意； 1°当1a ≥时，1()101h x a a x '=-<-≤+ ∴()f x '在(0,)+∞上递减，∴()(0)0f x f ''<=， ∴()f x 在(0,)+∞上递减，无最大值，不合题意； 2°当01a <<时，110a->， 由（Ⅰ）可知()f x '在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 设()1ln g x x x =--，则1()x g x x'-=；()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增； ∴()(1)0g x g ≥=，即ln 1x x ≤-由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()(1)h x ax a x <<+=-.取241t a =-，则11t a>-，且()0h t <-=. 又因为11(0)0h h a ⎛⎫->=⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =；当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<； 所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在(0,)+∞上有最大值()0f x .综上，01a << 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换ϕ：2,x x y y''=⎧⎨=⎩得到曲线C .以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2214x y +=；曲线D 的极坐标方程为sin cos )2ρθρθ+=（Ⅱ.【解析】（Ⅰ）消去参数即得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式，即得曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，表示点到直线距离，利用辅助角公式求最小值.【详解】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），因此，曲线C 的普通方程为2214x y +=，曲线D sin cos )ρθρθ+=，因此，曲线D 的直角坐标方程为0x y +-=.（Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，则||MN 的最小值为M 到直线0x y +-=的距离为d ，d ==， 当sin()1θϕ+=时，||MN.【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标互化，以及参数方程在求最值中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．设函数()|2||3|f x x x =++-.（Ⅰ）求不等式()9f x >的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|32|f x m ≤-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{|5x x >或}4x <-；（Ⅱ）1m ≤-或73m ≥. 【解析】（Ⅰ）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质|2||3|5x x ++-≥，转化为|32|5m -≥，求解即可.【详解】（Ⅰ）21,2()5,2321,3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，当2x <-时，219x -+>，解得4x <-，所以4x <-；当23x -≤<时，59>，解得x ∈∅；当3x ≥时，219x ->，解得5x >，所以5x >，综上所述，不等式()9f x >的解集为{|5x x >或}4x <-.（Ⅱ）∵|2||3||2(3)|5x x x x ++-≥+--=（当且仅当(2)(3)0x x +-≤即23x -≤≤时取等）∴|32|51m m -≥⇒≤-或73m ≥. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.。

东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得，∴.由题意得，∴．故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可． 【详解】由题意得复数可化为， 所以．故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．【详解】（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴．取的中点，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴点共线，从而得，又，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴底面，∴两两垂直．以为原点如图建立空间直角坐标系，则，∴,设平面的法向量为，由，得，令，得．设，则，∴，∴当时，有最小值，且，此时．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数，（为自然对数的底数）（I）若在上单调递减，求的最大值；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且，故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．【详解】（Ⅰ）由，得．∵在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立.则，∴，当时，，且单调递增，，∴当，，单调递减；当，，单调递增．∴，即恒成立，∴的最大值为2．（Ⅱ）当时，单调递减，且，当时，，即，∴，∴，①下面证明，②令，则，∴在区间上单调递增，∴，故②成立．由①+②得成立．【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解．本题综合性较强、难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I ）求动点对应参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积. （Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面， 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析： （Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−， 令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>， 由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=． 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试化学试题1．下列说法不正确的是( )A．工业合成氨是一种人工固氮方法B．侯氏制碱法应用了物质溶解度的差异C．播撒碘化银可实现人工降雨D．铁是人类最早使用的金属材料【答案】D【解析】本题考查化学在工农业生产生活中的应用，考查学生对基础知识掌握程度，涉及内容比较简单。

A．氮的固定是把游离态氮转变成化合态氮的过程，工业合成氨是一种人工固氮方法，正确；B．侯氏制碱法：NaCl＋CO2＋H2O＋NH3=NaHCO3↓＋NH4Cl，利用碳酸氢钠溶解度较小而结晶析出，经过滤后再加热分解得到碳酸钠，正确；C．播撒碘化银、干冰等都可实现人工降雨，正确；D．人类最早使用金属材料的是铜，错误。

2．乙苯与氢气加成，其产物的一氯代物的同分异构体数目有（不考虑立体异构）( ) A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】C【解析】本题考查同分异构体数目的判断，从等效氢的角度进行分析，需要从对称、结构等角度进行分析；乙苯与氢气加成后的产物是，六元环含有4种H，乙基含有2种H，产物的一氯代物有6种同分异构体；答案选C。

3．设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A．标准状况下，2.24L SO3中所含原子数为0.4N AB．l0mL 12mol/L盐酸与足量MnO2加热反应，制得Cl2的分子数为0．03N AC．0.1mol CH4与0.4mol Cl2在光照下充分反应，生成CCl4的分子数为0.1N AD．常温常压下，6g乙酸中含有C-H键的数目为0.3N A【答案】D【解析】本题考查阿伏加德罗常数的应用，从物质结构、反应实质、物料守恒、氧化还原反应转移电子数目、原子结构等角度进行考查，考查内容相对比较简单。

A．标准状况下，SO3是固体，2.24L SO3并不是0.1 mol，错误；B．MnO2只能与浓盐酸反应，不与稀盐酸反应，随着反应的进行盐酸浓度降低，到达某一浓度反应停止，即制得的Cl 2小于0.03 mol ，错误；C ．0.1mol CH 4与0.4mol Cl 2在光照下充分反应，发生的是取代反应，得到一氯甲烷、二氯甲烷、三氯甲烷、四氯甲烷及氯化氢的混合物，生成CCl 4的分子数小于0.1N A ，错误；D ．乙酸的结构简式为CH 3COOH ，常温常压下，6g 乙酸中含有C-H 键的物质的量为6g 360g/mol=0.3mol ，正确。