有限元原理(加权余量法和变分法)

有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。

本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。

一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。

它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。

有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。

在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。

有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。

二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。

它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。

在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。

这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。

三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。

它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。

在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。

通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。

有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。

四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。

随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。

目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。

有限元法基本原理与应用班级机械2081 姓名方志平指导老师钟相强摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。

Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。

变分法和加权余量法是两种在数学和工程领域中常用的方法，它们主要用于解决微分方程和积分方程的近似解问题。

变分法是一种寻找函数最优解的方法，通常用于解决泛函的最小值问题。

它通过选取适当的函数，使得泛函取得极小值，从而得到原方程的近似解。

变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，如最小势能原理、最小作用量原理等都是变分法的应用实例。

加权余量法是一种直接从微分方程或积分方程出发，通过选取适当的试探解，使余量在某种平均意义上为零的方法。

这种方法通过引入权函数来控制余量的分布，从而得到原方程的近似解。

加权余量法在计算力学、流体力学、固体力学等领域有广泛的应用，如有限元法、边界元法、无网格法等都是基于加权余量法的思想发展而来的。

总之，变分法和加权余量法都是重要的数学和工程方法，它们在不同的领域有着广泛的应用，是研究和解决微分方程和积分方程的有力工具。

如需了解更多相关信息，建议咨询数学或物理专业人士。

数值分析结课论文有限元的发展历程及其特点论文题目：有限元的发展历程及其特点学院:专业：学号：姓名：有限元法发展综述及其特点摘要：1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。

有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。

关键词：有限元，积分法，加权余值法，边值，伽辽金(Galerkin)法。

引言有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．有限元法的孕育过程及诞生和发展大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。

虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。

在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。

这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。

在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。

泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。

1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。

第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。

1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。

1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。

c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。

有限元结课作业班级：071221姓名：王丹学号：07122032一、有限元法简介有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。

求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。

它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。

类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

二、有限元法的基本思想和特点有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。

不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。

两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。

§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。

（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。

例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。

曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。

2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。

3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。

4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。

第一章-理论基础-加权余量法和变分原理同济高校土木工程学院争辩生课程《有限单元法》第一章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理1、微分方程的近似解法2、加权余量法3、变分原理与里兹法4、弹性力学基本方程5、弹性力学变分原理授课老师：吴明儿教授2021年春1、微分方程的近似解法将连续体进行离散化，将微分方程离散成有限个未知数的代数方程组进行近似求解。

典型的离散方法有里兹法、加权余量法、差分法等。

数值解加权余量法变分法差分法数值积分法Monte Carlo法配点法最小二乘法力矩法伽辽金法里兹法变分法：存在泛函，取泛函数驻值，里兹法。

固体力学领域加权余量法：系统不需要存在泛函数。

其他领域2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)近似解T=β=1MNβx TβNβ:摸索函数已知函数；Tβ:待定参数未知系数选取：Nβ0=0β=1,2,…,M满足边界条件1加权余量法1wαΩd2T?T dx+wαΓd Tdx?1x=1=0(α=1,2,…,M)wαΩ及wαΓ为任意的加权函数。

加权函数的选取方法有配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法等，以伽辽金法最为常用。

伽辽金法：wαΓ=?wαΩ=?Nα分部积分、考虑Nα0=0：Nαd Tdx1+1?dNαd Tdx?NαT dx+?Nαd Tdx?1x=1=01dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1若边界条件2左边为零，则Nα1=0，上式不需要对边界进行处理。

依据这种性质，边界条件2称为自然边界条件，边界条件1称为强制边界条件。

2、加权余量法考虑某一维问题微分方程d2T dx2?T=0(0≤x≤1)边界条件T=0x=0边界条件1dT dx =1x=1边界条件2理论解T=(e x?e?x)(e+e?1)将T=β=1M Nβx Tβ代入1dNαdxd Tdx+NαT dx=Nα1得KαβTβ=fα上式称为刚度方程，Kαβ为对称矩阵。

有限元学习报告班级：电控研07-1班姓名：颜语学号：47072135有限元学习报告一、有限元法原理：1、有限元的基本概念有限元法(Finite Element Method)是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。

有限元法这个名称由美国的Clough 于1960年在一篇题为“平面应力分析的有限单元法”的论文中首先提出。

四十年来，以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅被广泛地应用于各种结构工程，而且作为一种声誉很高的数值计算方法己被普遍推广并成功地用来解决其它工程领域中的问题，它是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

“有限元”的原始概念是：用若干个子区域去代替整个连续区域，这些区域的性质可用有效个自由度来恰当的描述，再用离散系统分析中熟知的方法将其汇集在一起。

在有限元发展的初期，单元性质的模型常常是从避免数学阐述的简单物理推断得出的。

正如某些人认为这种方法和微分形式的阐述同样现实一样，有一个包含更为广泛普遍的定义。

如同其他近似方法一样，我们把有限元定义为：1) 整个系统的性质通过n 个有限参数j u （j=1,2,……,n ）来近似描述； 2) 支配着这个系统性质的n 个方程()0i j F u =（i=1,2,……,n ）由所有子区域（或单元）的贡献项通过简单的叠加过程汇集而得，这个子区域把整个系统分成许多实际可识别的实体（既不交叠又不遗漏）。

于是e i i F F =∑，式中，e i F 为各个单元对所考察量的贡献。

有限元近似问题最终可转为近似积分问题，于是近似积分如何形成，将成为把一个实际问题转而用有限元形式表示时的首要和关键问题。

形成近似积分通常有两种方法，一类是应用变分原理，另一类是加权积分方法。

有限元解法分为变分法和加权余量法，变分法从未知函数的变分方程出发，将泛涵的极值条件转化为对各展开系数的多元函数极值条件。

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

有限元与变分有限元算法是利用微分方程与变分原理的形式一致性而提出的求解微分方程的算法。

其主要优势在于对边界条件的处理。

对一个微分方程的问题，其可以等价于一个变分问题，这其中有两种等价方案：Galerkin变分原理和Ritz变分原理。

Galerkin变分原理是在原微分方程两边同乘以一个检验函数，同时积分，左右分别几何含目标函数和不含目标函数的项，得到的等式变分原理。

Ritz变分原理是直接求解泛函的极值，得到微分方程的等价形式。

两种原理得到的结果是一样的。

强制边界条件与自然边界条件的处理方法不同，强制边界条件出现于容许空间和检验空间的构造中，自然边界条件出现于变分方程中。

解方程之前必须突出说明。

Galerkin变分原理和Ritz变分原理得到的解是弱解。

弱解的存在唯一性和弱解与古典解的关系由Lax-Milgrim定理保证。

数值求解方程的基本出发点是使用有限维空间逼近无限维的能量空间。

在取定的有限维有限元空间中取定基函数，令目标函数和检验函数均位于有限元空间中并被基函数线性表示，则由检验函数的任意性或者是极值的KKT条件得到一个线性方程组，即刚度矩阵。

刚度矩阵的对称正定性保证了解得存在唯一性，也给出了数值解用基函数表示的具体方法。

有限元算法的一个核心技巧在于基函数的构造方法，不是直接的节点构造，而是分片的构造方法。

基函数系有Lagrange型基函数系和Hermite型基函数系两种。

首先将求解空间划分为若干个元素，每个元素内构造独立的r阶外形函数，函数个数与元素内所有节点的自由度之和相同。

节点分为元素内部的内节点和元素边界的外节点。

对于每个节点，有所有包括这个节点的元素组成影响区域，由每个元素中在这个节点不为零的外形函数线性迭加得到这个节点的各阶基函数。

所有的节点都照此处理，得到基函数系。

有限元算法的另一个核心技巧在于整体刚度矩阵和单元刚度矩阵的关系。

由Galerkin-Ritz双线性函数的性质得到在积分式中，alfa和beta项的值完全取决于alfa和beta节点的共同影响区域中所有元素的外形函数的积分，由于交叉项为零，所以共同影响区域的刚度项完全取决于每个元素内的单元刚度矩阵的迭加。

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。

有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。

2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。

在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。

2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。

A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。

所以在以上两式中采用了矩阵形式。

以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。

加权余量法和变分法建立有限元方程 分片定义试函数和有限元法直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。

例如假设温度、位移是线性变化的，因此在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易化成等效的节点热流和端点力。

直接法形式上把连续区域化为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。

这种方法对计算结果的收敛性、误差和试函数选取的要求没有进行讨论。

0=+p ϕL 在D 内0=+γϕM 在Γ 上用加权余量方法，选取近似函数m Mm m a N ∑=+=≅1ˆψϕϕ建立加权余量公式()∫∫=+++ΓDl lW dD p W 0ˆ(ˆ)M L γϕϕ该方法在整个区域定义试函数和建立加权余量公式，只能求解比较简单的问题。

可以设想把整个求解区域 D 划分为若干个互相既不重合，也不分离的子区域e D 之和。

这些子区域叫做有限元。

然后在每个有限元内部分别构造近似函数e ϕˆ、选取加权函数。

当然在不同的有限元内部可用不同的方法构造近似函数，对整个区域建立的加权余量公式，就可以写成各个子区域公式之和，即()∑∫∫∑∫==+==Ee D eel DE e D eDel D l eedD p W dD R W dD R W 11ˆϕL()∑∫∫∑∫=ΓΓ=ΓΓΓΓ+=Γ=ΓEe e el Ee e el l eed W d R W d R W 11ˆγϕM 由于上式把全域的积分写成子域积分之和，所以对被积函数提出了一定的要求，要求被积函数在子域之间的边界上满足一定的连续性。

有限元法分片选取试函数，它们在各自的子区域中一般都具有足够的连续性，使被积函数满足要求，关键是在子区域之间的交界面上能否满足要求。

分片选取的试函数需要满足：1 如果在积分中只含未知数本身，不含导数，在有限元之间试函数本身可存在有限间断；2 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导数可存在有限间断，称为C0阶问题；3 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是二阶，在有限元之间试函数本身及其一阶导数连续，二阶导数可存在有限间断，称为C1阶问题；4 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是 n 阶，在有限元之间试函数本身及直至其 (n-1) 阶导数连续，n 阶导数可存在有限间断，称为C n−1阶问题。