第四章微分方程的等效积分形式和加权余量法2014

第一章 绪论有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。

美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。

美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。

1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。

有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。

这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。

有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。

{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2)非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式{}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。

1绪论2有限单元法基础理论2.1微分方程组工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= )()()(21u u u A A A （在Ω内） （2.1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图1.1所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= )()()(21u u u B B B （在Γ内） （2.2）Γ是域Ω的边界。

要求解的未知函数u 可以是标量场（例如温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、等）。

A 、B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。

例如，二维稳态热传导方程0)(=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Q y k y x k x φφφA （在Ω内） （2.3）⎪⎩⎪⎨⎧=-∂∂=-=00)(q nk φφφφB 上）（在上）（在q ΓΓφ （2.4） 这里φ表示温度；k 是热传导系数；φ和q 分别是边界φΓ和q Γ温度和热流的给定值；n 是有关边界Γ的外法线方向；Q 是热源密度。

比如弹性力学以位移表示的平衡微分方程（拉梅方程）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∇+∂∂+=∇+∂∂+=∇+∂∂+=0)(0)(0)()(222ωv u u G z G G y G G xG A θλθλθλ （2.5）式中 2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇（2.6）以位移表示的边界条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=z y xf y z v mG x z u lG z G n f x v y u lG x v y nG y v G m f zux nG x u y v mG x u Gl )()()2()()()2()()()2()(ωωωλθωλθωλθu B （2.7）在二维稳态热传导方程中，若k 和Q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。

常微分方程第四章知识总结常微分方程是微分方程的一种，它研究的是未知函数的导数和初值之间的关系。

常微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。

第四章是常微分方程的一个重要章节，主要介绍了高阶常微分方程、常系数线性微分方程以及常微分方程的解法等内容。

高阶常微分方程是指未知函数的导数的阶数大于一的微分方程。

高阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})$$其中$y$是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$分别表示$y$的一阶、二阶、$\ldots$、$n$阶导数，$f$是已知函数。

高阶常微分方程的解法包括常系数线性微分方程的特解与常数法、待定系数法、矩阵法等几种。

首先是常系数线性微分方程的特解与常数法。

对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，可以设其特解为$y^* = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots$，其中$r_i$为特征方程$ r^n + a_1r^{n-1}+ \cdots + a_n = 0$的根。

将特解代入原方程，得到特解的解析形式。

然后与齐次方程求得的通解相加，即可得到原方程的通解。

常数法适用于右端为多项式的情况。

其次是常系数线性微分方程的待定系数法。

对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，当右端函数为指数函数、三角函数、幂函数、多项式函数和指数型函数等形式时，可以假设其特解为一些已知函数形式的线性组合，然后求解待定系数，得到特解的解析形式。

其次是常系数线性微分方程的矩阵法。

对于形如$\mathbf{y}' =A\mathbf{y}$的常系数线性微分方程组，可以使用特征方程的根以及线性代数的相关技巧，构造齐次方程的基本解组，然后通过矩阵的指数函数的性质得到原方程的通解。

第一章绪论有限元开展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德教授，于1954—1955年间分阶段在?AircraftEngineering?上发表上许多有关这方面的论文，并在此根底上写成了?能量原理与结构分析?，此书容提供了有限元法的理论根底。

美国的、、和等人于1956年发表了了篇题为?复杂结构的刚度和挠度分析?一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。

美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。

1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。

线性有限元有限元几何非线性非线性有限元材料非线性有限元法的根本思路：有限元法的根本思路和根本原理以结构力学中的位移法为根底，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。

这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。

有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为根本未知数力法——取节点力作为根本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化〔单元划分〕2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数〔形函数〕。

uN e (1)3、分析单元的力学特性〔1〕利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式e为单元任一点的应变列阵(2)〔2〕利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式D e(3)D（是单元任一点的应力列阵D是材料的弹性矩阵（3〕利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程〔平衡方程〕KR4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，种作用在单元边界上的外表力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。