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1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
有限元软件ansys简介有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
ANSYS是一种广泛的商业套装工程分析软件。
所谓工程分析软件，主要是在机械结构系统受到外力负载所出现的反应，例如应力、位移、温度等，根据该反应可知道机械结构系统受到外力负载后的状态，进而判断是否符合设计要求。
一般机械结构系统的几何结构相当复杂，受的负载也相当多，理论分析往往无法进行。
想要解答，必须先简化结构，采用数值模拟方法分析。
由于计算机行业的发展，相应的软件也应运而生，ANSYS 软件在工程上应用相当广泛，在机械、电机、土木、电子及航空等领域的使用，都能达到某种程度的可信度，颇获各界好评。
使用该软件，能够降低设计成本，缩短设计时间。
ANSYS 软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件，可广泛的用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、计算流体力学分析、设计优化、接触分析、自适应网格划分及利用ANSYS 参数设计语言扩展宏命令功能。
有限元分析有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
有限元法基础一、引言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域。
它通过将复杂的实际问题离散化为有限个简单的子问题，利用数值计算方法求解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍有限元法的基础知识和应用。
二、有限元法的基本原理有限元法的基本思想是将求解区域划分为有限个简单的几何单元，如三角形、四边形等，每个几何单元内部的物理量假设为一个局部函数，通过组合这些局部函数来逼近整个求解区域内的物理量。
有限元法的基本步骤包括：建立数学模型、离散化、建立有限元方程、求解有限元方程、后处理。
三、建立数学模型建立数学模型是有限元法的第一步，它包括确定问题的几何形状、边界条件和材料特性等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题的特点选择适当的数学方程描述物理现象，如弹性力学方程、热传导方程等。
四、离散化离散化是将求解区域划分为有限个几何单元的过程。
常见的几何单元有三角形、四边形、六面体等。
离散化的精细程度取决于问题的复杂度和精度要求，一般来说，划分得越细，结果越精确，但计算量也越大。
五、建立有限元方程建立有限元方程是根据离散化后的几何单元和数学模型，利用变分原理或加权残差法推导出的。
有限元方程是一个代数方程组，包含未知数和已知数，未知数是几何单元内的物理量，已知数是边界条件和材料特性等。
六、求解有限元方程求解有限元方程是通过数值计算方法解算方程组，得到未知数的近似解。
常用的求解方法有直接法、迭代法和松弛法等。
在求解过程中，需要注意数值稳定性和计算精度的控制。
七、后处理后处理是对求解结果进行分析和可视化的过程。
通过后处理，可以得到问题的各种物理量分布、应力分布等，进一步分析和评估计算结果的合理性和准确性。
八、有限元法的应用有限元法广泛应用于工程领域，如结构力学分析、流体力学分析、热传导分析等。
在结构力学分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变、变形等；在流体力学分析中，有限元法可以用于模拟流体的流动行为；在热传导分析中，有限元法可以用于计算物体的温度分布等。
第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。
两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。
§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。
（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。
例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。
曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。
2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。
3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。
4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法。
其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。
两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。
§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。
（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。
例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。
曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。
2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。
3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。
4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。
y δ与dy 的区别：当自变量x 的增量1x x x -=∆充分小时，可用dx 来表示，dx 称为x 的微分。
相应地，函数y 的增量()()()()x o x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆当x ∆充分小时，可用dy 来表示，dy 称为y 的微分，dy 是x 的变化引起的微分，是函数增量 y ∆的线性主要部分()x x A ∆，即可记为()()dx x y dx x A dy '==在泛函中，当宗量()x y 的增量足够小，即有变分y δ时，泛函的增量()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32其中，()[]y ,x y L δ对y δ而言为线性，称为一阶变分I δ。
图3-2 函数的增量 图3-3 泛函的增量6、泛函的极值设()x y y *=时泛函取得极值，那么，泛函在极值函数()x y y *=上的变分等于0，即0=I δ当泛函是多元函数的泛函()[]n x ,,x ,x y I 21，泛函在()n x ,,x ,x y 21*上有极值时，变分0=I δ。
因此，泛函取得极值的必要条件是使变分0=I δ。
3.1.3 算子（微分、积分、矩阵方程）方程的变分原理各种类型电磁场的微分方程都可对应于D 空间中的算子方程f Lu =它可以转化为与之等价的变分问题，即泛函求极值问题。
定理：若L 为正算子，而f Lu =在D 上有解，则此解必然使泛函()f ,u ,Lu u I -=21取极小值。
反之，在D 上使泛函I 取得极小值的函数，必是方程f Lu =的解。
（证明略，参见颜威利《电气工程电磁场数值分析》P24-25.也就是说，当L 为正算子时，求解算子方程f Lu =的问题与求泛函的极小值问题等价，即与泛函的变分问题等价。
3.1.4 算子方程的泛函公式 1、静态场对于静电场和恒定磁场，泛函I 有明确的物理意义，它代表场域中的总位能，即当总位能最小时，场是稳定的（汤姆逊定理），因此，对应于无界空间中的算子方程f Lu =的泛函形式应该为 ()f ,u u ,Lu u I -=21（1） 泊松方程的变分公式泊松方程 f -=∇⋅∇ϕε 为了得到正算子L ，改写上式 f =∇⋅∇-ϕε 对应的算子方程 f L =ϕ 式中，∇⋅-∇=εL ，若材料为均匀，ε为常数。
边界条件： 01ϕϕ=Γq n=∂∂Γ2ϕβ13q n =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γγϕϕβ 相应的泛函为()f f L I ,,21,,21ϕϕϕεϕϕϕϕ-∇⋅∇-=-=有内积的定义（在单元中可以认为ε是常数）()Ω-Ω∇-=⎰⎰ΩΩd f d I ϕϕεϕϕ221根据格林定理()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω∇⋅∇=Ω∇-d nd d ϕεϕϕϕεϕεϕ2 泛函可以写为()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω-Ω∇=d nd f d I ϕεϕϕϕεϕ21212()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ∂∂-Ω-Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=d n d f d z y x I ϕεϕϕϕϕϕϕϕ2121222 由于算子方程f L =ϕ与变分0=I δ等价，最后一项是在泛函的H 空间的边界г上积分，因此，D 空间（即x u ,空间）边界条件不能直接代入。
应该将泛函的被积函数写成D 空间的积分形式，再代入边界条件，即()Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Γ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Γ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=Γ∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓd q d q d n d n 332 0 0 21 21ϕγϕδϕγϕδϕϕεϕεϕϕϕ因此泛函可以写为()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ⎪⎭⎫⎝⎛-+Ω-Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=3 2 2222121d q d f d z y x I ϕγϕϕϕϕϕεϕ 也可以写成能量泛函()⎰⎰⎰ΓΩΩΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Ω-Ω=3 2 22121d q d f d E I ϕγϕϕεϕ 由于第二、三类边界条件已包含在泛函中，其极值问题就只需要满足第一类边界条件。
（强调①从偏微分方程要求函数二阶连续偏导，降低为一阶连续偏导，得到弱解，适用范围更广；②为不同媒质分界面上自动满足场的切向分量连续或法向分量连续的证明打下基础；③因为泛函具有能量的意义和量纲，故又称能量泛函，描述静电现象的“最小作用原理”，即汤姆逊定理。
） （2） 恒定磁场方程的变分公式矢量泊松方程 J A =⨯∇⨯∇ν 若材料是线性的 J A μ-=∇2 边界条件 0A A =Γ1()q A -n A =⨯⨯∇Γ3λν （场的切向分量，位函数的法向分量）相应的泛函为()()[]⎰⎰ΩΩΩ⋅-Ω⨯∇⨯∇⋅=-⨯∇⨯∇=-=d d 21,,,L ,J A A A J A A A J A A A A I νν2121根据矢量恒等式 ()b a a b b a ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇有 ()()()()A A A A A A ⨯∇⨯⋅∇-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯∇⋅ννν 泛函可以写为()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ⋅-Ω⨯∇⨯⋅∇-Ω⨯∇⋅⨯∇=d d d I J A A A A A A νν2121 有高斯散度定理⎰⎰ΓΩ⋅=Ω⋅∇d Γd n A A泛函的一般表达式为()()()⎰⎰⎰ΩΓΩΓ⋅⨯∇⨯-Ω⋅-Ω⨯∇⋅⨯∇=d d d I n A A J A A A A νν2121 根据矢量恒等式a cbc b a ⋅⨯=⋅⨯因此 ()A n A n A A ⋅⨯⨯∇=⋅⨯∇⨯νν同上理由，边界条件不能直接代入泛函，将被积函数写成积分形式后再代入边界条件，则有()()()d Γd Γd Γd Γn d Γ3AA ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯⨯∇-=⋅⨯⨯∇-=⋅⨯∇⨯-=A q A A 21A q A A n A A A 21n A A 213300λδλδννν 第三项 泛函可以写为()()⎰⎰⎰ΩΓΩ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Ω⋅-Ω⨯∇⋅⨯∇=d ΓqA A d d A I 3221J A A A 21λν 也可写成能量泛函形式()⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=ΩΓΩd ΓqA λA d Ωd ΩνB I 3222121J A A2、简谐时变场（《现代计算电磁学基础》王长清）简谐时变场分析中，场量可以用复数形式表示。
泛函没有明确的物理意义，不是能量泛函。
由于波动方程的算子都是自伴的，因此存在泛函。
（1） 标量波动方程设()r ϕ为位函数或场分量，算子方程()()()()()()r r r r r r s p k p L 2=+∇⋅∇=ϕϕϕ算子()()r r p k p L 2+∇⋅∇=，如果媒质是无耗的（p 和k 2为实数），且()r ϕ满足第一、第二类齐次边界条件，那么L 是自伴的，等价的变分问题的泛函为()()d vs s dv p k dv p ,s s ,,L I v**vv ⎰⎰⎰+-+∇=--=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ222()()()d v s dv p p k I v*v⎰⎰-∇-=ϕϕϕϕ2222（上述推导利用了格林定理及第二类齐次边界条件。
） （2） 矢量波动方程算子方程 J E E ωννj k -=-⨯∇⨯∇2若媒质是无耗的，在齐次边界条件下，与算子方程等价的变分问题的泛函为()()()d vj -dv k ,j j ,,L I ***⎰⎰⋅-⋅-⨯∇⨯∇⋅=----=vvJ E J E E E E EJ J E E E E ωννωω2利用格林定理和矢量恒等式()[]()ds dv n a b b a b a b a SV⋅⨯∇⨯-⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰φφφ利用齐次边界条件()[]()⎰⎰⋅-⋅⋅-⨯∇⋅⨯∇=V****dv j -dv k I J E J E E E E E E Vωνν2若媒质是有耗的（略）。
如果边界条件是非齐次的，所对应的算子是非自伴的，可采用修正变分原理。
总结上述可以看到，① 只有算子是自伴算子（或是修正后的自伴算子），才有泛函的极值问题，因此，不是所有微分方程都有其对应的泛函极值问题；泊松方程、拉普拉斯方程、波动方程—可用基于变分原理的FEM扩散方程、非简谐波动方程—可用基于伽辽金法的FEM ② 为什么要将微分方程定解问题转化为变分问题微分方程定解问题要求解具有二阶连续导数，而变分方程只要解的一阶导数平方积分即可，既引入变分是为了降低对解的光滑性要求，使得一些原来不具备连续二阶导数的解的微分方程在变分意义上有可能存在条件稍弱的解，既扩大了求解范围。
