高中数学学案：互斥事件及其发生的概率

课 题： l1．2互斥事件有一个发生的概率(一)教学目的： 1 掌握互斥事件的概念；2．掌握互斥事件概率的求法教学重点：互斥事件的概率的求法教学难点：互斥事件的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：对于一些较复杂的事件的概率，直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的为了将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算，首先要学会将所考虑的事件作出相应的正确运算这一节先讲事件的和的意义怎样的事件可应用哪一种概率加法公式计算事件的概率教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法二、讲解新课：1.事件的和的意义对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的A+B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生例如抛掷一个六面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A ；如果掷出的点数不大于3，记作事件B ，那么事件A+B 就是表示掷出的点数为1、2、3、5当中的一个事件“12n A A A +++ ”表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,nA A A 中至少有一个发生即表示它发生 2互斥事件的概念 不可能同时发生的个事件叫做互斥事件在一个盒子内放有１０个大小相同的小球，其中有７个红球、２个绿球、１个黄球现从盒中任意摸出一个球，我们把得到红球叫事件Ａ，得到绿球叫事件Ｂ，得到黄球叫事件Ｃ若摸出的球是红的，就说事件Ａ发生了；若摸出的球是绿的，就说事件Ｂ发生了，若摸出的球是黄的，就说事件Ｃ发生了在摸球的时候，若Ａ发生，则Ｂ一定不发生；若Ｂ发生，则Ａ也一定不发生即Ａ、Ｂ不可能同时发生这种不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件在上面的问题中，Ａ和Ｂ是互斥事件，Ａ和Ｃ也是互斥事件；Ｂ和Ｃ也是互斥事件一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥3．对立事件的概念事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件. 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作 由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件4．互斥事件的概率的求法若 “从盒中任意摸出一个球，摸出的球是红的或是绿的”是一个事件，当摸出的球是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ，现在问：事件Ａ＋Ｂ的概率是多少？因为从盒中任摸１个球有１０种可能，而得到红球或绿球的方法有２＋７种，所以得到红球或绿球的概率：P(A+B) =1027+ 另一方面：P(A)=107，P(B)=102 所以P(A+B)=P(A)+P(B) 一般地：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生（即Ａ，Ｂ中有一个发生）的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++ 发生（即12,,,n A A A 中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和，即12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++ 由对立事件的意义：Ａ＋A 是一个必然事件，它的概率等于１，又由于Ａ与A 互斥，我们得到：P(A)+P(A )＝P(A ＋A )＝１ 对立事件的概率的和等于１同样 P(A )＝１－P(A)三、讲解范例：（１）求年降水量在[)200,100（ｍｍ）范围内的概率； （２）求年降水量在[)300,150（ｍｍ）范围内的概率解：（１）P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37（２）P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55例2． 在20件产品中,有15件一级品，５件二级品，从中任取３件，其中至少有１件为二级品的概率是多少？解法１ 123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++ ＝228137203520115252021515=++C C C C C C CC解法２: P(A )＝１－P(A)＝１－22813722891= 四、课堂练习：1.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么?2.一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件? 事件A ：命中的环数大于8； 事件B ：命中的环数大于5；事件C ：命中的环数小于4； 事件D ：命中的环数小于6.3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率. 4.如果事件A 、B 互斥，那么（ ）A.A +B 是必然事件B. A +B 是必然事件C. A 与B 一定互斥D. A 与B 一定不互斥5.下列说法中正确的是（ ）A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案：1. A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.2. 事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件3. ( 2819) 4. B 5. D 五、小结 ：1.互斥事件，对立事件的概念；2.互斥事件，对立事件的关系；3.互斥事件有一个发生的和概率公式：123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++（12,,,n A A A 彼此互斥）； 4.对立事件的概率的和等于1， 即：P (A )+P （A ）=1六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高二数学教案互斥事件有一个发生的概率［课型］新授［目标］⒈理解互斥事件及对立事件的概率，掌握互斥事件有一个发生的概率的计算方法；2．培养学生分析问题和解决问题的能力。

［重点］互斥事件的概率［难点］互斥事件的概率［教法］情境教学法［教程］一、课题引入：看下面的问题：在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球。

我们把“从盒子中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从盒子中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从盒子中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C。

问事件A和事件B可能同时发生吗？分析：二、新授（互斥事件）1、互斥事件：。

在上例中事件A和事件C及事件B和事件C是不是互斥事件？事件A、B、C之间的关系是怎样的？2、彼此互斥：。

从集合的角度怎样理解几个事件彼此互斥？3、对立事件：事件A的对立事件通常记作。

从集合的角度怎样理解两个对立事件的结果组成的集合的关系？4、互斥事件有一个发生的概率的计算方法在上面的问题中，“从盒子中摸出1个球，得到红球或绿球”是一个事件，当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作A+B。

现在要问：事件A+B的概率是多少？［分析］：［结论］：它告诉我们：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。

一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1 + A2 + … + A n）＝P（A1）+ P（A2）+ … + P（A n）5、对立事件的概率的和等于16、例题分析：［例1］某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在［100，200］（mm）范围内的概率；（2）求年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率。

［例2］在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少为二级品的概率是多少？［例3］由0，1，2，…，9这十个数字构成可重复数字的五位数，求：（1）“数字9至少出现一次”的概率；（2）“9至多出现一次”的概率。

2.3 互斥事件学案（含答案）2.3互斥事件学习目标1.了解互斥事件.事件AB及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥.对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率.知识点一互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.知识点二事件AB给定事件A，B，我们规定AB为一个事件，事件AB发生是指事件A和事件B至少有一个发生.知识点三互斥事件概率加法公式1.在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有PABPAPB.2.如果随机事件A1，A2，，An中任意两个是互斥事件，那么有PA1A2AnPA1PA2PAn.思考一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A“向上的点数大于2”；B“向上的点数大于3”；则PAB是否等于PAPB答案AB即向上的点数大于2，PAB，而PA，PB，PAPBPAB.知识点四对立事件在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作；对立事件概率公式P1PA.1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.4.两个事件的和事件是指两个事件都发生.题型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中1“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；2“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；3“至少有1名男生”和“全是男生”；4“至少有1名男生”和“全是女生”.解1是互斥事件.理由是在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.2不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生.1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生.1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.3不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生.1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.4是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生.1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.反思感悟如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集.跟踪训练11从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A.至多有一次中靶B.只有一次中靶C.两次都中靶D.两次都不中靶答案1D2D解析1根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.2A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A“抽到的是一等品”，事件B“抽到的是二等品”，事件C“抽到的是三等品”，且PA0.7，PB0.1，PC0.05.求下列事件的概率1事件D“抽到的是一等品或三等品”；2事件E“抽到的是二等品或三等品”.解1事件D即事件AC，因为事件A“抽到的是一等品”和事件C“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，PDPACPAPC0.70.050.75.2事件E即事件BC，因为事件B“抽到的是二等品”和事件C“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，PEPBCPBPC0.10.050.15.反思感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的.并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零.化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解分别记小明的成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是PBCPBPC0.180.510.69.小明考试及格的概率为PBCDEPBPCPDPE0.180.510.150.090.93.题型三对立事件的概率例3某学校成立了数学.英语.音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员1他至少参加2个小组的概率是多少2他参加不超过2个小组的概率是多少解1从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，所以P1PA10.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.2用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，所以P1PB1.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于.反思感悟求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.跟踪训练3甲.乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求1甲获胜的概率；2甲不输的概率.解1“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1.2方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P甲不输.方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P甲不输1，故甲不输的概率为.运用方程思想求概率典例袋中有外形.质量完全相同的红球.黑球.黄球.绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.1试分别求得到黑球.黄球.绿球的概率；2从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率.解1从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则PA，PBCPBPC，PCDPCPD，PBCDPBPCPD1PA1.联立解得PB，PC，PD，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.2事件“得到红球或绿球”可表示为事件AD，由1及互斥事件的概率加法公式得PADPAPD，故得到的不是红球或绿球的概率P1PAD1.素养评析1求概率可以考虑用对立事件.互斥事件的概率加法公式求解.如果有多个待求量，可以列方程组求解.2理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现.1.给出以下结论互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有PA1PB.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.3答案C解析对立必互斥，互斥不一定对立，正确，错；又当ABA时，PABPA，错；只有当A与B为对立事件时，才有PA1PB，错.2.把语文.数学.物理.化学四本书随机地分给甲.乙.丙.丁四位同学.每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对答案C解析由于只有一本语文书，甲.乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件.又因为甲.乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件.3.在同一事件下，若PABPAPB1，事件A与事件B的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对答案C4.从几个数中任取实数x，若x，1的概率为0.3，x是负数的概率是0.5，则x1,0的概率是________.答案0.2解析设“x，1”为事件A，“x是负数”为事件B，“x1,0”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，BAC，PBPAPC，PCPBPA0.50.30.2.5.某产品分甲.乙.丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________.答案0.99解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是10.010.99.1.互斥事件与对立事件的判定1利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.2利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立，即集合AB，且ABI，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB.2.运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果.3.求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解.如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.。

互斥事件有一个发生的概率教学目的1、掌握互斥事件与对立事件的概念；2、掌握互斥事件与对立事件概率的求法。

3、提高学生分析、探索、解决问题的能力，培养学生的逆向思维。

教学重点1、互斥事件的与对立事件的概念；2、互斥事件与对立事件概率的求法。

教学难点互斥事件与对立事件的概念教学过程一、复习引入1、复习练习在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球。

（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（4）得不到红球的概率。

说明：此例的意图有三个：一为复习等可能性事件，二为引出互斥事件的概念与公式，三为导出对立事件的概念与公式。

2、四个问题事件A：得到红球的概率事件B：得到绿球的概率事件C：得到红球或绿球的概率事件D：得不到红球的概率问题一：事件A、B能同时发生吗？问题二：事件A、B的概率与事件C的概率间有何关系？问题三：事件A、C间的关系？问题四：事件A、C概率间的关系？二、知识讲授1、互斥事件（1）互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件（2）彼此互斥事件练习：判断下列每对事件是否为互斥事件①将一枚均匀硬币抛两次事件A：两次出现正面事件B：只有一次出现正面②某人射击一次事件A：中靶事件B：射中9环③某人射击一次事件A：射中环数大于5事件B：射中环数小于5说明：①从集合角度看：几个事件彼此互斥，是指由各事件所含的结果组成的集合的交集为空集；②互斥事件不可能同时发生，故A、B同时发生的概率为0；③在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生。

（3）互斥事件有一个发生的概率公式：P(A+B)= P(A)+ P(B) 推广：P(A1+ A2 + … + A n) = P(A1)+P(A2)+ … +P(A n)注：公式应用的前提------几个事件必须为互斥事件。

2、对立事件（1）对立事件的定义：必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作A。

说明：①从集合角度看，由事件A所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含结果组成集合的补集②对立事件间概率的关系：P(A)=1－P(A)③两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件。

课题： 3．4 互斥事件教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A+B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A+B为必然事件，所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

教学重点：概率的加法公式及其应用教学难点：事件的关系与运算教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班５０名学生参加了体育考试，结果如下：（１）在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？（２）从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？二、建构数学1．即事件Ａ与Ｂ是不可能同时发生的．不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

2．事件Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，其中任意两个都是互斥的．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ中的任何两个都是互斥事件，就说事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ彼此互斥．3．设Ａ，Ｂ为互斥事件，当事件Ａ，Ｂ有一个发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ．在上述关于体育考试成绩的问题中，事件Ａ＋Ｂ就表示事件“优”或“良”，那么，事件Ａ＋Ｂ发生的概率是多少呢？由以上分析不难发现，概率必须满足如下第三个基本要求：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和，即Ｐ(Ａ＋Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)．一般地，如果事件Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互斥，则Ｐ(Ａ１＋Ａ２＋… ＋Ａｎ)＝Ｐ(Ａ１)＋Ｐ(Ａ２)＋… ＋Ｐ(Ａｎ)．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件Ａ的对立事件记为A．对立事件A与Ａ必有一个发生，故A＋Ａ是必然事件，从而Ｐ（A）＋Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A＋Ａ）＝１．由此，我们可以得到一个重要公式：Ｐ（A）＝１－Ｐ（Ａ）．三、数学运用1．例题例1 一只口袋内装有大小一样的４只白球与４只黑球，从中一次任意摸出２只球．记摸出２只白球为事件Ａ，摸出１只白球和１只黑球为事件Ｂ．问：事件Ａ与Ｂ是否为互斥事件？是否为对立事件？例2 某人射击１次，命中７～１０环的概率如表所示：（２）求射击１次，命中不足７环的概率．例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，Ｏ 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 ＡＢ型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是Ｂ型血，若小明因病需要输血，问： （１）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （２）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例4 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.例5 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=21，求出“出现奇数点或偶数点”．例6 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A ）的概率是41，取到方块（事件B ）的概率是41，问：（1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？例7 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？2．练习课本第108页 练习 1，2，3，4备用：1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

7.4 互斥事件及其发生的概率在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：⑴得到红球的概率；⑵得到绿球的概率；⑶得到红球或绿球的概率；⑷得到黄球的概率.问1：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A 、B 之间有什么关系，可以同时发生吗？ 互斥事件的定义：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.对于上面的事件A 、B 、D ，其中任何两个都是互斥事件，这时我们说事件A 、B 、D 彼此互斥.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，如题中的图示.问2：⑶中的事件C “得到红球或者绿球”与事件A 、B 有何联系？当A 与B 中至少有一个发生，我们把这个事件记作A ＋B.在上面例题中“从中任取一球，得到红球或绿球”就表示事件A ＋B一方面 P （A ＋B ）＝，另一方面P （A ）＝ ，P （B ）＝ P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）这就是说：如果事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率等于事件A 、B 分别发生的概率之和.即 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1A 2…A n 发生（即A 1， A 2，…，A n 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即 P （A 1＋A 2 ＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）问3：“得到红球或者绿球”和“得到黄球”这两个事件C 、D 互斥吗？ 对立事件的定义：必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.思考：对立事件与互斥事件有何异同？互斥是对立的前提，对立必定互斥，但互斥不一定对立.4. 从集合的角度看：由事件A 所含的结果组成的集合，是全集I 中由事件所含的结果组成的集合的补集.5.对立事件的概率间的关系： 根据对立事件的意义，A ＋是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A 与互斥，于是：P （）＋P （A ）＝P （＋A ）＝1这就是说，对立事件的概率和等于1.即P （）＝1－P （A ） 1027+107102+++A A A A.从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）恰有1件次品和恰有2件正品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.【解析】（1）互斥但不对立；（2）不互斥；（3）不互斥；（4）互斥对立.2. 某人射击1次，命中7—10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率.【解析】解：记事件“射击1次，命中环”（），则事件两两互斥（1）记事件“射击1次，至少命中7环”为事件A ，那么当A 10，A 9 ，A 8 或 A 7 之一 发生时，事件A 发生.由互斥事件的概率加法公式，P （A ）＝0.12＋0.18＋0.28＋0.32＝0.9（2）事件“射击1次，命中不足7环”是事件“射击1次，至少命中7环”P （）＝1－P （A ）＝1－0.9＝0.13. 在50件产品中，有35件一级品，15件二级品，从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A ，试问：表示什么事件？【解析】事件表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品至少有一件不是一级品”4. 某班有50位学生，其中有20人只会英语，10人只会日语，10人只会法语，10人既会英语又会日语.事件A ：从中选1人，会英语；事件B ：从中选1人，会日语；事件C ：从中选1人，会法语.求：【解析】 解：（1）由题意：事件A 与事件C 互斥，（2）事件与事件C 对立，5. 在5名学生中，有3名男生，2名女生.从中任选3人去参加学代会，（1）至少有1名为女生的概率是多少？（2）至多有2名为男生的概率是多少？ 【解析】 k k A 10,≤∈k N k k A A A A )(),(B A P C A P ++545153)()()(=+=+=+C P A P C A P A B +54511)(1)(=-=-=+C P B A P解：（1）记：“至少有1名为女生”为事件A ，则“没有女生”为事件， P （A ）＝1－P （）＝（2）记：“至多有2名为男生”为事件B ，则P （A ）＝P （B ）＝ A A 1011091=-101。

高三数学第一轮复习学案---互斥事件概率一、教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

二、教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。

三、教学过程： （一）主要知识：1.不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

2.其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

3.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交。

事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集。

4.由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算。

设A 、B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或B 中至少有一个发生就表示A+B 发生。

我们称事件A+B 为事件A 、B 的和。

它可以推广如下：“12A A A n +++ ”表示这样一个事件，在同一试验中，,,,12A A A n 中至少有一个发生即表示12A A A n +++ 发生，事实上，也只有其中的某一个会发生。

5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和。

即P(A+B)=P(A)+P(B)。

6.由于A A +是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B),故1P(A A)P(A)P(A)+=+=,于是P( A)=1-P(A)，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化。

当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率。

7.值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用上面的公式。

例如把抛掷一个正方形玩具（各面分别标有数1 ~ 6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过 3。

那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了。

现在再看A+B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5。

互斥事件及其发生的概率(二)教学目的：掌握互斥事件概率的求法教学重点：互斥事件的概率的求法 教学难点：互斥事件的概率的求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件.12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++二、讲解范例：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，则 (1)摸出2个或3个白球的概率P 1＝Ｐ（A 2＋A 3）＝Ｐ（A 2）＋Ｐ（A 3）767373C C C C C C 481335482325=+=+=(2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ（B 4）＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A 4）＝1－1413C C 4845=例2．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： (1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891= 例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 总之，男女生相差6名三、课堂练习： 1.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.2５＋0.５0＝0.7５，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-221=43.这样做对吗?说明道理. 2.战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.4.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.5.某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.6.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求： (1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率； (3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率.7.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：1. (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥. (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1. 2. (1)0.05 (2)P (C )=0.3 P (D )=0.25 3. 0.964. 全是同色球的概率为443，全是异色球的概率为1135. 45346. (1) 157 （2）151 (3) 158 (4) 1514)7. 9641四、小结 ：互斥事件概率的求法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。

互斥事件及其发生的概率在一个盒子内放有8个大小相同的小球，其中红球4个，绿球3个，黄球1个．事件A 表示：从盒中摸出一个球为红球，事件B 表示：从盒中摸出一个球为绿球，事件C 表示：从盒中摸出一个球为黄球．现进行随机试验，从盒中任意摸出一个球，显然如果事件A 发生，则事件B 必不发生；反之若事件B 发生，则事件A 也必不发生．我们把事件A 、B 的关系称为互斥事件．同样A 与C 及B 与C 也分别是互斥事件．那什么是互斥事件呢？请你随着我们的安排，一起深入地读下去．学法建议在上面的问题中，我们如果借助于Venn 图，便可得图7-4-1所示的图形．由图可较好地理解彼此互斥事件间的关系：事件“A +B ”表示：从盒中摸出一个球为红球或绿球，也表示：从盒中摸出一个球不为黄球．故事件“A +B ”与事件C 不可能同时发生而且必有一个发生，我们就说事件“A +B ”与事件C 是对立事件．又如何计算所有这些事件的概率呢？这就是本节所要研究的全部内容．在本节的学习中，要能了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件；能了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；注意学习思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而利用逆向思维．一、知识网络互斥是对立的前提，对立必定互斥，但互斥不一定对立． 判断两个事件是否互斥就是研究代表两个事件的集合有无公共部分．若有公共部分，则一定不互斥；若没有公共部分，则一定互斥． 二、知识归纳1．互斥事件不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A 1、A 2、A 3、…、A n 中的任何两个都是互斥的，则说事件A 1、A 2、A 3、…、A n 彼此互斥．若事件A 、B 互斥，则P (A +B )= P (A )+P (B )．它也称为互斥事件的概率加法公式．它也可以推广．如果事件A 1、A 2、…、A n 彼此互斥，则P (A 1+A 2+…+A n ) = P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )．2．对立事件图7-4-1两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 与B 对立，意即在一次随机试验中，事件A 与B 有且只有一个发生．它包含两层含义：一是A 与B 不可能同时发生，二是A 与B 必有一个发生．两个对立事件的和是必然事件，即()()()1P A P A P A A +=+=． 当一个事件的概率直接求解比较复杂时，也可考虑从它的反面进行求解，此时利用的公式是：()1()P A P A =-． 三、释疑解难1．事件A 与事件B 及C 均互斥，但未必有B 与C 互斥．例如，盒子中装有编号为1~10的大小与形状完全相同的球．从中任意摸取一球．事件A 为：摸取的球的号码为偶数号，事件B 为：摸取的球的号码为3号或5号或7号，事件C 为：摸取的球的号码为1号或5号或9号．则事件A 与事件B 互斥，事件A 与事件C 互斥，但事件B 与C 不互斥． 2．在使用公式P (A +B )= P (A )+P (B )时，一定要注意它的前提条件是：互斥．若不互斥，一般地该公式未必成立．例如，100张卡片上分别写着1~100号，每张卡片上写一个号码，每个号码只写在一张卡片上．求抽到的卡片上号码是2或5的倍数的概率．设事件A 表示：抽到卡片上号码是2的倍数；事件B 表示：抽到卡片上号码是5的倍数．在这100张卡片中，2的倍数有50张，5的倍数有20，故1()2P A =，1()5P B =．又既是2的倍数又是5的倍数的卡片有10张，于是是2或5的倍数的卡片共有50+20-10=60，进而事件A +B （它表示抽到卡片上号码是2或5的倍数）的概率为603()1005P A B +==，它不等于7()()10P A P B +=．不等的原因是因为事件A 与B 不是互斥的． 3．只有在互斥的前提下才谈对立．对立事件一定是互斥事件，互斥事件加上必有一个发生的条件才成为对立事件． 潜能开发根据互斥事件与对立事件的意义作答．[解答]恰有一个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有一个白球与恰有2个白球的事件不可能必有一个发生，故答案选C ． 注 D 选项中的两个事件是对立事件，当然也是互斥事件．A 选项中的事件“都是白球”包含中事件“至少有1个白球”之中． 思路分析利用互斥事件的概率进行计算．[解答]（1）1()1000P A =，101()1000100P B ==，1()20P C =． （2）∵A 、B 、C 两两互斥，∴P （A +B +C ）= P （A ）+P （B ）+P （C ）=110506110001000++=． （3）()1()P A B P A B +=-+=119891()10001001000-+=． 答 （1）A 、B 、C 的概率分别为111,,100010020．（2）1张奖券的中奖概率为611000．解题规律判断两个事件的是否互斥的关系，其方法是根据互斥事件的定义．两个事件互斥是指：它们不可能同时发生．判断两个事件的对立关系，其方法也是根据定义，判断两事件不可能同时发生且必有一个发生．思维诊断1．不能由事件A 、B 互斥，而得出A 与B 或A 与B 互斥，故()()()P A B P A P B +=+以及()()()P A B P A P B +=+均未必成立．2．必须注意概率的加法公式的使用前提，事件间两两互斥． 解题技巧本题中的第（3）问也可理解成：求中二等奖或不中奖的概率．因而又可解答成：不中奖的概率为61939110001000-=，中二等奖的概率为120，将它们相加即[例2]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。

高二数学互斥事件有一个发生的概率(第三课时) 人教版一教学目标：1．使学生了解互斥事件和对立事件的意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算．2．通过互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力．3.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想．4．结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法．二教学重点：互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算三教学难点：综合应用四教学方法：启发式五数学过程：I. 复习回顾问题1 什么叫做互斥事件？在一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．问题2 什么叫做对立事件？一次试验中，若两个互斥事件必有一个发生时，这样的两个互斥事件叫做对立事件．问题3①若事件A 、B 是互斥事件,则事件A与B会同时发生吗？②若事件A 、B 是对立事件,则事件A与B会同时发生吗？问题4①若事件A 、B 是互斥事件,则事件A与B必有一个发生吗？②若事件A 、B 是对立事件,则事件A与B必有一个发生吗？？点评：在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件．问题5 事件A+B表示的意义是什么？事件A+B ，表示事件A 与事件B 中至少有一个发生。

不能想当然地认为是事件A 与B 同时发生，事实上当A 与B 互斥时，它们不可能同时发生(事件A 与B 同时发生，记作A·B)。

问题6①若事件A 、B 是互斥事件,则事件A+B是必然事件吗？②若事件A 、B 是对立事件,则事件A+B是必然事件吗？问题7怎样计算n 个互斥事件中有一个发生的概率？一般地，如果事件A1,A2，…，A n，彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生（即A1,A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)问题8对立事件的概率间关系？+P(A)==+APAP(1)()A点评：当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化．Ⅱ. 讲授新课例1今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：2封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件A1，A2，A3 ，可以看出事件A1，A2，A3 两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A ，事件A 发生相当于事件A1，A2，A3 有一个发生，所以用公式P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)可以计算P(A) .解：设至少有两封信配对为事件A ，恰好有两封信配对为事件A1 ，恰有3封信配对为事件A2 ，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件A3 ，则事件A 等于事件A1+A2+A3 ，且A1，A2，A3 事件为两两互斥事件，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ．5封信放入5个不同信封的所有放法种数为____55A ， 其中正好有2封信配对的不同结果总数为_____225⨯C 正好有3封信配对的不同结果总数为______35C正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1，而且出现各种结果的可能性相同，∴P(A1)=____________ ，P(A2)=____________ ，P(A3)=____________ 6/1/)2()(55251=⨯=∴A C A P12/1/)(55352==A C A P 120/1/1)(553==A A P ∴P(A)＝_________________________________P(A1)＋P(A2)＋P(A3)=31/120说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件A 为_____________________“恰有3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为_______________120/109)(1)(,120/11/1/)(555535=-=∴=+=A P A P A A C A P ，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．例2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为___________3×3×3 ，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，________________全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为_____________________“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为_____33A ，用等可能事件的概率公式求解．解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为：3只全是红球的概率为________1/273只颜色全相同的概率为_________3/27=1/9“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”． 故“3只颜色不全相同”的概率为___________________1-1/9=8/9“3只颜色全不相同”的概率为__________________27/63333=÷A说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为7×7×7 ，全是红球的结果总数为_____________3×3×3 ，所以全是红球的概率为______________27/343 ，同样全是黄球的概率为____________8/343 ，全是白球的概率也是__________8/343 ，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和_______________________27/343+8/343+8/343=43/343 ，“三种颜色不全相同”为________________“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为______________________________1-43/343=300/343.“3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为__________________________7222333=⨯⨯⨯A （种），所以“3只小球颜色全不相同”的概率为__________________72/343例3 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：__________________________两个红球；两个黄球；两个白球．解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为_______210C , “从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为___________21024C C ÷, “从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为_______________21023C C ÷, “从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为______________21023C C ÷ 所以取出两个同色球的概率为：_______________15/4210232102321024=÷+÷+÷C C C C C C 说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为_________________________“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为____________________4×3×3=36 （种），对立事件的概率为____________________45/3636210=÷C ，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：___________________1-36/45=0.2例4 在 9个国家乒乓球队中有 3个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛．求：（1）三个组各有一支亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队在同～组的概率．分析：9个队平均分成三组的所有不同的分法总数为__________28033333639=÷A C C C ，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为______________90222426=C C C ，用等可能事件的概率公式可求其概率．至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组．分别计算它们的概率然后相加．此外，我们也可以先计算其对立事件的概率，而其对立事件为“3支亚洲国家队不在同一组”，实际上两小题的事件互为对立事件．解：（1）所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成3组的不同分法数为：___________________28033333639=÷A C C C （种）．其中三个组各有一支亚洲队，可以看成其它6支队中任取2支队与第1个亚洲队合为一组，剩下4支队任取2支与第2个亚洲队一组，最后2支队与第2、3支亚洲队一组，所有不同的分法数为___________________________90222426=C C C （种）。