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2023年新高考ⅰ卷数学知识点分布一、引言随着高考改革的深入推进，2023年新高考ⅰ卷数学试题在知识点分布上呈现出新的特点和趋势。
本文基于百度搜索结果，对2023年新高考ⅰ卷数学试题的知识点分布进行梳理和分析，旨在帮助考生和教师更好地把握高考数学命题规律，提高备考效率。
二、总体概述2023年新高考ⅰ卷数学试题在知识点分布上具有以下特点：1. 知识点覆盖面广：试题涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、概率与统计、数论与组合等多个方面。
2. 难度适中：试题整体难度适中，既有基础题，也有一定难度的综合题和创新题。
3. 注重数学思维：试题注重考查学生的数学思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等思想方法。
三、具体知识点分布1. 代数部分代数部分是高考数学的重要组成部分，主要包括函数、方程与不等式、数列与数学归纳法等内容。
在2023年新高考ⅰ卷中，代数部分的试题占比约为40%。
具体知识点包括：（1）函数的概念与性质：如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
（2）基本初等函数：如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
（3）方程与不等式：如一元二次方程、一元高次方程、分式方程、无理方程等；不等式的性质与解法，以及与方程的综合应用。
（4）数列与数学归纳法：如等差数列、等比数列的性质与应用，数学归纳法的证明与应用等。
2. 几何部分几何部分也是高考数学的重要考点之一，主要包括平面几何和立体几何两部分。
在2023年新高考ⅰ卷中，几何部分的试题占比约为30%。
具体知识点包括：（1）平面几何：如直线与圆的位置关系、三角形的性质与判定、四边形的性质与判定等。
（2）立体几何：如空间直线与平面的位置关系、空间几何体的性质与判定等；空间中点、线、面的位置关系及距离计算等。
（3）解析几何初步：如直线的方程、圆的方程及其应用等。
3. 概率与统计部分概率与统计部分是高考数学中的另一重要考点，主要涉及概率论和数理统计的基础知识。
高中数学图论的实际应用与教学探讨在高中数学的广袤领域中，图论宛如一颗璀璨的明珠，虽然它并非高中数学课程的核心部分，但其在实际生活中的应用广泛，且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本文将深入探讨高中数学图论的实际应用，并对其教学方法进行分析。
一、图论的基本概念图论是研究图的性质和应用的数学分支。
所谓“图”，并不是我们日常所理解的图像或图画，而是由一些顶点（节点）和连接这些顶点的边所组成的结构。
例如，一个城市的交通网络可以用图来表示，顶点代表城市中的各个地点，边代表道路。
在图论中，有许多重要的概念，如顶点的度（与该顶点相连的边的数量）、路径（从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列）、回路（起点和终点相同的路径）、连通图（任意两个顶点之间都存在路径）等。
二、图论在实际生活中的应用1、交通规划城市的交通规划是图论应用的一个重要领域。
通过将城市道路网络抽象为图，可以分析交通流量，确定关键的道路节点和拥堵路段，从而优化交通信号灯设置、规划新的道路建设等，以提高交通效率，减少拥堵。
2、网络通信在计算机网络中，图论用于描述网络拓扑结构。
通过分析网络中的节点和连接关系，可以优化数据传输路径，提高网络的可靠性和性能。
3、物流配送物流企业在规划货物配送路线时，可以利用图论来找到最短路径，降低运输成本，提高配送效率。
例如，快递员在派送多个地点的包裹时，通过图论算法可以找到最优的派送顺序。
4、任务分配在项目管理中，将各项任务视为顶点，任务之间的依赖关系视为边，可以使用图论来合理安排任务的执行顺序，确保项目按时完成。
5、电路设计电子电路的设计中也会用到图论。
电路中的元件可以看作顶点，元件之间的连接看作边，通过分析电路图的拓扑结构，可以优化电路设计，提高电路的性能和可靠性。
三、高中数学图论教学的重要性1、培养逻辑思维能力图论问题的解决需要学生进行逻辑推理和分析，通过构建图、寻找路径、判断连通性等操作，锻炼学生的思维严谨性和逻辑性。
离散数学着色基础知识离散数学是数学的一个重要分支，它关注离散的数学结构和对象。
在离散数学中，图论作为一个重要的研究领域，着色问题受到广泛的关注。
着色问题是指给定一个图的顶点或边，用不同的颜色给它们进行标记的问题。
本文将介绍离散数学中的着色基础知识，包括图的着色、四色定理以及一些常见的着色应用。
1. 图的着色在图的着色问题中，我们通常要求相邻的顶点或边不能使用相同的颜色。
对于给定的图，我们可以用一个函数来为每个顶点或边赋予一个颜色。
这个函数被称为着色函数。
如果对于每个相邻的顶点或边，它们被赋予了不同的颜色，那么这个着色函数就满足着色条件。
图的着色问题可以分为顶点着色和边着色两种情况。
在顶点着色中，我们使用不同的颜色为图中的每个顶点上色；而在边着色中，我们使用不同的颜色为图中的每条边上色。
通常情况下，我们更关注的是顶点着色问题。
2. 四色定理四色定理是图论中的一个著名的定理，它指出任意一个平面图都可以用四种颜色给其顶点进行着色，使得任意相邻的顶点使用不同的颜色。
具体地说，对于任意一个平面图，我们可以用四种颜色对其顶点进行着色，并且一定能够满足着色条件。
这个定理的证明非常复杂，涉及到大量的数学推理和计算。
它的证明分为两个步骤：首先，通过对所有可能的情况进行穷举和排除，证明了五种颜色是充分的；然后，通过反证法证明了四种颜色就足够了。
四色定理在实际应用中具有重要的意义。
它可以用来解决地图着色问题，即给定一幅地图，用尽可能少的颜色对每个行政区域进行着色，使得相邻的行政区域颜色不同。
四色定理的证明为解决这个问题提供了理论支持。
3. 着色的应用着色问题在现实生活中有许多应用。
除了地图着色问题外，还有课程表着色问题、时间表着色问题等等。
在课程表着色问题中，我们需要为学校的每个班级安排一个课程表，并且要求相邻时间段的课程使用不同的颜色。
这个问题可以转化为图的着色问题，其中图的每个顶点代表一个时间段，边代表时间段的相邻关系。
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
图2.1：网络拓扑结构示意图。
图a 是10阶有向图，顶点集为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，边集为{1→2,1→3,1→4,2→5,2→6,2→7,3→6,4→7,4→8,6→9,7→9,8→10}；图b 是6阶无向图，顶点集为{1,2,3,4,5,6}，边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。
从定义中可以看到，从任意顶点x 到y 不能连接两条或以上边，本文所讨论的图，均符合上述要求，既均为不含多重边的图。
如果弧x→ y 与弧y→ x 要么同时存在，要么同时不存在，我们就把这两条弧合为一条边，记为xy 或yx ，这样的图叫做无向图（对称图），可以被看作上述一般图（有向图）的一种特例。
显然，对无向图而言，有()()(()1)/2G G G ενν≤-，其中()G ε表示无向图G 中边的数目。
图2b 给出了一个无向图的示意。
以后提到的图，若没有特别的说明，均指无向图。
下面介绍的大部分结论都可以自然地从无向图推广到有向图，勿需重复叙述，对于那些本质上有差异的特性，我们会在文中明确指出。
对于两个图(,)'(',')G V E G V E 和，如果','V V E E ⊂⊂，就称'G 是G 的子图。
若'V V =，则称'G 是G 的生成子图；若在G 中所有连接集合'V 中两顶点的边都出现在集合'E ，则称'G 是G 的导出子图，记为'[']G G V =。
如果图H 与图G 有相同的顶点集，并且图H 中两点之间有边相连（相邻）当且仅当在G 中这两点是不相邻的，就称图H 是图G 的余图，记做H G =。
拥有2n C 条边的n 阶无向图或拥有2n P 条边的n 阶有向图叫做完全图，用符号n K 表示，其余图n K 叫做空图。
在无向图G 中，与某顶点x 关联的所有边的数目叫做x 的度，用符号()G d x 表示，在不致混淆的时候，可以简单地记为()d x 。
对于有向图，由于需要区分从顶点出去的弧和进入顶点的弧，所以不能简单地用度表示。
我们把以顶点x 为起点的弧的数目叫做x 的出度，把以顶点x 为终点的弧的数目叫做x 的入度，分别记为()d x +和()d x -。
顶点度与边之间有一个显然的关系：定理2.1：对于无向图(,)G V E 有：()2()x V d x G ε∈=∑ (2.1)对于有向图'(',')G V E 有：''()()(')x V x V d x d x G ε+-∈∈==∑∑(2.2) 在图G 中，以x 为起点，y 为终点的x y -路P 是指一系列首尾相连的边组成的集合：01121(){,,,}l l E P x x x x x x -=其中0,l x x x y ≡≡，,0i j x x i j l ≠∀≤<≤。
边的数目l 被称作路P 的长度。
如果0l x x E ∈，则称边集011210{,,,,}l l l x x x x x x x x -为圈，其长度为1l +。
G 中最短的x y -路的长度称为点,x y 的距离，记为(,)G d x y ，如果G 中不存在x y -路，则记(,)d x y =∞。
称无向图（有向图）G 为连通图（强连通图），如果对G 中任意两个不同顶点,x y ，都能够找到至少一条x y -路。
有向图G 被称为连通图，如果对G 中任意两个不同顶点,x y ，至少能找到一条x y -路或y x -路。
若图(,)G V E 的顶点集V 可以拆成两个不相交的子集12V V V =⋃，且E 中不含两端点同时位于1V 中或同时位于2V 中的边，就称图G 为二部分图。
容易证明：定理2.2：G 是二部分图当且仅当G 中不含奇圈。
如果图G 不含圈，我们就称其为森林，若它同时还是连通图，则被叫做树。
定理2.3至定理2.5给出了树的基本性质。
定理2.3：下面几个命题是等价的：(1) G 是树；(2) G 是最小连通图，也就是说，任意去掉一条边，G 都会变成非连通图；(3) G 是最大无圈图，也就是说，任意加上一条边，G 都会变成含圈图；(4) G 是连通图，且G 中任意两顶点之间有且只有一条路。
定理2.4：n 阶树有1n -条边。
定理2.5：阶数大于1的树至少有两个度为1的顶点。
直径、平均距离、簇系数与度分布对复杂网络的研究最早始于对真实网络诸如直径、平均距离、簇系数等参数的取值以及顶点度分布的性质的实证研究，后续的大量研究也是围绕这些概念进行的，因此有必要详细地介绍这些概念的定义以及相关的基本结论，这些介绍将有助于我们更好地理解当前复杂网络研究的物理意义。
在分析传输网络的性能与效率时，有两个因素总是受到特别的关注，即最大传输时延与平均传输时延。
在图理论中，它们被近似地抽象为两个参数：直径与平均距离。
图(,)G V E 的直径与平均距离可分别表为：,()max{(,)}G x y V d G d x y ∈=,1()(,)(1)G x y VG d x y v v μ∈=-∑ 为了叙述方便，后文中使用()G σ来代替有关()G μ的讨论，其中()(1)()G v v G σμ=-。
关于图直径和平均距离的研究可以追溯到半个世纪前，Ore 给出了无向图直径一个漂亮的紧界[6]，Entringer,Jackson,Slater 和Ng,Teh 分别就无向图和有向图的情形给出了图平均距离粗糙但具有开创意义的下界[7,8]，再往后Plesnik 给出了平均距离只依赖于阶数和直径的下界[9]。
Zhou 等人通过一种新的构造分析方法，给出了Ore 定理的简单证明，此方法可以无困难地将Ore 定理推广到有向图形式。
利用类似的分析方法，可以得到k 直径图平均距离的下界定理，Entringer ，Ng 等人的结果可以作为该定理的一个自然的推论给出。
结合此定理与Ore 定理，可以只依赖于阶数和直径的平均距离下界，该下界是目前已知的最好的下界[10-11]。
Ore 通过类似于构造广度优先树的方法将无向图分割成一圈圈的等距子图，其证明手法是优美而繁复的。
由于其构造中隐含了(,)(,)G G d x y d y x =的条件，因此无法直接推广到有向图的形式。
显然，任何v 阶图都可以看作从完全无向图或完全有向图中移走若干条边后得到的，下面将从这一简单而直观的角度出发，给出 Ore 定理的简单证明。
定理2.6[6,10-11]：对任意无向(,)v k 图G ，有：1()(4)(1)2G k v k v k ε≤+-+--(2.3) 其中(,)v k 图是指阶数为v ，直径为k 的简单有限图。
证明：用(,)v k η表示要得到无向(,)v k 图至少需要从完全图v K 中移走的边的数目，则对任意无向(,)v k 图G ，有：()()(,)v G K v k εεη≤- (2.4)令012{,,,,}k P x x x x =为G 中长为k 的最短路，由P 的最短性易知P中两点,i j x x 不相邻，若||1i j ->。
这就意味着至少有1(1)2k k -条边必须从v K 中移走以得到图G 。
同样由P 的最短性知，对于不在P 中的顶点x ，若P 中两点,i j x x 满足||2i j ->，则x 不能同时与,i j x x 相邻，即x 最多与P 中形如12,,i i i x x x ++的三个顶点相邻。
换句话说，P 中至少有(2)k -个点不与x 相邻。
由于G 中不在P 上的顶点数为(1)v k --，即有至少(1)(2)v k k ---条边必须从v K 中移去以得到G 。
综上可知：1(,)(1)(1)(2)2v k k k v k k η≥-+--- (2.5)结合(2.4)(2.5)即得(2.3)式。
■ 利用同样的分析方法，可以得到Ore 定理的有向图形式，证明略。
定理2.7[10-11]：对任意强连通有向(,)v k 图G ，有：21()(1)(4)2G v v k k k ε≤-++--(2.6) 下面两个定理将给出平均距离的下界，由于证明比较复杂，此处省略。
定理2.8[10-11]：设G 为无向(,)v k 图(2)k ≥，若G 的规模为ε，则有：2112(1)2(1)(2)(1)(2)(4) 32()112(1)2(1)(2)(1)(3) 32v v k k k v k k k k G v v k k k v k k k εσε⎧--+--+----⎪⎪≥⎨⎪----+---⎪⎩为偶＋为奇(2.7) 定理2.9[10-11]: 对任意无向(,)v k 图G ，有：22112(1)2(1)(2)(1)(42) 32()112(1)2(1)(2)(1)(421) 32v v k k k k v k k k v k G v v k k k k v k k k v k σ⎧--+--+----⎪⎪≥⎨⎪--+--+----+⎪⎩为偶为奇(2.8)有向图的下界可以类似的得到，此处不再赘述。
