第一章(图论的基本概念)

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第一章(图论的基本概念)

第二节图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结点出度之和. • 证明因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等于边数. • 定义度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.

图论讲义-图的基本概念

有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
若边e对应的无序点对为u,v，则记e=(u,v)或<u,v>，
其中点u与v均称为边e的端点。若e=<u,v>,则<u,v>表示从u到v的一条弧（Arc），且称u为弧尾（Tail）或初点（Initial node），称v为弧头（Head）或终点（Terminal node），此时的图称为有向图（Digraph）。
v1
5
v4
v1
v4
e1 v2
e2 e3
e4
v3
v2
v3
上两例中，同一条边的两个端点称为相邻；若两条边有一个共同的端点，则这
两条边也称为相邻；若点u是边e的端点，则称u与e相关联。称两个端点相同的边为环，不与任何边相关联的点称为孤立点。若图中n条不同的边e1,e2,…,en, （n≥2）中的每一条边的两个端点均为u和v，则这些边称为n重边，简称为重边。不是重边的边称为单边。图中顶点的个数称为该图的阶。例3、对例1所示的图，点v1与v2相邻，v1与v3不相邻；边e1与e2相邻，e1与e4 不相邻；点v1与边e1相关联。边e5为环。边e2与e3为二重边。这是一个4阶图。例2中v4是孤立点。
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。由定义可看出,G中v1v2v5v1为长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为长为6的简单回路。
对于有向图G，如果略去G中各个有向边的方向后所得

图论第01讲

•
两个问题：
（1）经过每个顶点一次且仅一次；（2）代价最小的Hamilton回路。
(目前无有效的方法求解)
•
货郎问题（Traveling Salesman Problem）
一个货郎到各村去卖货，要求每个村子至少去一次，最后返回出发点，为其设计一种销售路线，使总耗时最短。
求解方法：把路线全排列，求其中最小的。
1930年，波兰数学家库拉托父斯基 (Kuratowski)证明了平面图可以画在平面上；
•
里程碑：1936年，匈牙利数学家寇尼希 (D.Konig)发表名著《有限图和无限图理论》，使得图论成为一门独立的数学学科；
蓬勃发展：1946年，随着世界上第一台计算机的问世，使图论的发展突飞猛进。其后，图论在现代数学、计算机科学、工程技术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。
图论第01讲
•
课程简介
▪ 《图论》是计算机科学与技术专业、信息安全专业的选修课程。通过本课程的学习，使学生对图论的历史背景、研究内容、相关技术及其发展有一个较为全面地了解，从而将所学知识和技术运用于实际应用领域奠定基础。
•
▪ 本课程所介绍的内容包括：
图论的发展历程和经典问题；图的基本概念；有关树和图的算法；网络流问题；匹配问题、色数问题；
•如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
•
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的问题抽象简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数。

(图论)图的基本概念--第一章

证明设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图。既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中（1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中（1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？

图论期末考试整理复习资料

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义：联图在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

图论与代数结构

G1 G2
假如 G1 G2 ，则必须满足： (1) | V (G1) || V (G2 ) |, | E(G1 ) || E(G2 ) | ． (2) G1 和 G2 结点度的非增序列相同． (3)存在同构的导出子图．

图的概念

性质1.1.5 非空简单图G中一定存在度相同的结点．证明：设在G中不存在孤立结点，则对n个结点的简单图，每个结点度d(v)的取值范围是 1~(n-1),由抽屉原理，一定存在两个度相同的结点．若存在一个孤立的结点，亦类似可证．
图的概念

定义1.1.4 如果图G=(V,E)的每条边 ek (vi , v j ) 都赋以一个实数wk 作为该边的权，则称G是赋权图．特别地，如果这些权都是正实数，就称G是正权图．图1.5就是一个正权图．权可以表示该边的长度，时间，费用或者容量等．
图的概念

性质1.1.1 设G=(V,E)有n个结点，m条边，则
v V (G )

d (v) 2m
证明：由于每条边e=(u,v)对结点u和v度的贡献各为１，因此m条边对全部结点的总贡献率为 2m.
图的概念

性质1.1.2 G中度为奇数的结点必为偶数个．证明： G中任一结点的度或为偶数或为奇数，设 Ve是度为偶的结点集，Vo 是度为奇的结点集，于是有
vVe
d (v) d (v) 2m
vV0
因此上式左边第二项也为偶数，也即度为奇数的结点必为偶数个
图的概念

性质1.1.3 有向图G中正度之和等于负度之和．这是因为每条边对结点的正，负度贡献各为1. 性质1.1.4 K n 的边数是n(n-1)/2. 证明：K n 中各结点的度都是(n-1),由性质 1.1.1就可以得到

图论概念定理知识点梳理

图论基本知识点梳理第一部分(基本概念)1.G连通的充分必要条件是(G) = 1 o或若|V(G) |=2k，且对—v V(G)，有d(v) _ k，则G是连通图。

4•图G为二分图当且仅当G中无奇圈。

5•在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。

6•设G为简单图，若、；(G) _ 2，则G中有圈。

7.设G为简单图，若「.(G) 一3，则G中有偶圈。

具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。

⑵在k -正则图G中，若k _3，则G中有偶圈。

8•简单图G与其补图G c不能都不连通。

29•在."■：的三角剖分中，正常三角形为奇数个。

10•以下等价(1) G是树(无圈连通图)° (2) G中任两顶点间恰有一条轨。

⑶G 无圈，=■…1。

(4) G是连通图，；-、•-1 ° (5) G是连通图，且对G的任意边e, G -e不连通。

(树每边皆割边)(6) G无圈，且对任一不在E(G)的边e, G e恰含一个圈。

11. 若G连通，则；(G) (G)-1。

G的生成树是G最小的连通生成子图。

12. G是连通图的充分必要条件是G有生成树。

13. > - 2的树T至少有两个叶。

14. 完全图K n的生成树个数・(K n)二n n°。

15. 图G可平面嵌入的充分必要条件是G可以球面嵌入。

(染地球上各国等价于染地图上各国)16. (Euler公式) G是连通平面图，贝X - ；「- 2.17. 证明：若G是、-3的连通平面图，则；乞3 -6。

18. 证明：平面图G的最小顶点次数5。

19 -3平面图G是极大平面图的充要条件是G的平面嵌入的每个面皆三角形。

' -3平面图G是极大平面图的充要条件是；=3二-6。

20 G是平面图当且仅当G中不含与K5和K3,3同胚的子图。

21 M是图G的最大匹配当且仅当G中无M的可增广轨。

22婚配定理：设G是具有二分类(X,Y)的偶图，存在把X中顶点皆许配的匹配的充要条件是-s X,|N(S)|」S|,其中N(S)是S中每个顶点的邻点组成的所谓S的邻集推论：k -正则二分图有完美匹配，k .0。

图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈；若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

图论的基本概念与应用

图论的基本概念与应用图论作为一门理论研究和应用探索的数学学科，不仅在学术和工程领域发挥着巨大作用，而且在现代科技和日常生活中也处处体现。

本文将简单介绍图论的基本概念、应用领域，以及一些相关案例。

一、基本概念图论的研究对象是图。

图是由一些点和连接这些点的线组成的，表示事物之间的某种关系，如网络中的路由、社交网络中的朋友等等。

根据点与线的不同特征，图被分为有向图和无向图。

有向图中的边是有方向的，表示两个节点之间是起点和终点的关系。

无向图中的边没有方向，表示两个节点之间是双向的。

图的另一个重要概念是网络，网络是在边上赋予权值用以表示边的强度或距离的图。

在图论中，我们常用的还有度数和路径的概念。

度数是一个点相邻边的数量，路径是由若干个顶点和它们之间的边所构成的序列，且顶点之间按照连接的顺序排列。

二、应用领域图论被广泛应用于计算机科学、运筹学、生物学、化学、经济学等领域。

在计算机科学中，图论被用于构建搜索引擎、路由算法等多个方面。

在运筹学中，最短路径算法、匹配算法、流量分配算法等问题可通过图论求解。

生物学中，图以蛋白质相互作用网、基因调控网等方式表现生物体内的复杂关系。

在化学中，图被用于描述分子之间的行为和作用。

在经济学中，图常常被用于解决网络流量调度和供应链计算。

三、相关案例1. 社交网络在社交网络中，我们可以将人视为节点，人与人之间的关系视为边，从而构建出一个网络模型。

通过对网络模型的分析，可以发现一些有趣的现象或规律，比如弱连接理论、六度分离理论等，这些理论不仅仅能被应用于社交网络，还可以用于其他领域的研究。

2. 铁路路径优化一个问题是如何生成铁路的最短路径，它既可以被看作是一个有向图问题，也可以看作是一个网络流问题。

由于铁路上存在许多互联的节点，因此在这种情况下，图论技术可以用于优化路径，解决径路选择和路径总长度最小化等问题。

3. 分子结构预测化学家常常利用图论的相关技术来模拟和预测分子的结构。

在这种情况下，节点表示原子，边表示原子之间的化学键。

图论的基本概念和应用

图论的基本概念和应用图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图论的基本概念包括图的类型、图的表示方法、图的遍历算法等。

图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。

一、图的类型图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边有方向，表示从一个节点到另一个节点的关系；无向图中的边没有方向，表示两个节点之间的关系是相互的。

有向图和无向图都可以有权重，表示边的权值。

二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，数组的行和列分别表示图中的节点，数组中的元素表示节点之间的边；邻接表是一个链表数组，数组的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。

三、图的遍历算法图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索从一个节点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，再继续遍历其他路径；广度优先搜索从一个节点开始，先遍历与该节点相邻的所有节点，然后再遍历与这些节点相邻的节点，依次类推。

四、图论的应用1. 计算机科学：图论在计算机科学中有着广泛的应用。

例如，图可以用来表示计算机网络中的节点和连接关系，通过图的遍历算法可以实现网络路由和路径规划；图可以用来表示程序中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现代码的分析和优化。

2. 网络分析：图论在网络分析中有着重要的应用。

例如，社交网络可以用图来表示，节点表示用户，边表示用户之间的关系，通过图的遍历算法可以实现社交网络的分析和预测；互联网中的网页可以用图来表示，节点表示网页，边表示网页之间的链接关系，通过图的遍历算法可以实现搜索引擎的排名和推荐算法。

3. 运筹学：图论在运筹学中有着重要的应用。

例如，图可以用来表示物流网络中的节点和路径，通过图的遍历算法可以实现最短路径和最小生成树的计算；图可以用来表示任务调度中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现任务的优化和调度。

程序员的数学4：图论入门

内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中，节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。

图论复习

图论复习题第一章图主要内容：1．图的基本概念和基本定理（重点是完全图、二部图、图的同构、握手定理等）2．轨道和圈（最长轨理论）练习题目：1．5阶无向完全图的边数为__10_____。

2．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。

3．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。

4．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有_n(n-1)/2_ 条边。

5．一个有n个结点的图，最少有___1____个连通分支。

6．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有___4____个。

7．单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设G中有x各结点，则3度的结点有x-7根据握手定理有，1x2+2x2+4x3+3x(x-7)=2x12解得x=9,故G中有9个结点。

满足条件的图如下：8．单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．9．面上有n个点S＝{x1,x2,……,x n}，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n个点中距离为1的点对数不超过3n。

（38题）10．若图G是简单图，且(1)(2)2p pq-->，则G连通。

（42题）11．如果G是具有m条边的n阶简单图，证明：若G的直径为2且△= n-2，则m≥2n-4。

（50题）12．证明：在任何图中，奇度点个数为偶数。

（推论1.1）13．证明：图G是二部图当且仅当G无奇圈。

（定理1.2）14．证明：每个顶点度数都大于等于2的简单图必有圈。

（例1.9）15．证明：每个顶点度数都大于等于3的简单图必有偶圈。

（例1.11）16．画出4个顶点的不同构的图（包括连通和不连通图）。

第二章树主要内容：1．树的定义和简单性质； 2．树的几个等价条件；3．生成树的个数（Cayley 公式）练习题目：1．设树T 中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T 中有____片树叶。

图论--图的基本概念

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图论入门

深度优先搜索
• 深度优先搜索运用递归的方法。进入一个点以后，就把这个点当做新的起点继续搜索下去，一直到无路可走。 void dfsvis(int u) { int i; for(i=0;i<n;i++) if(num[u][i]!=0 && vis[i] == 0) dfs(i); vis[a]=1; }
数组版邻接表
• Void addedge(int u,int v,int c){ e++; // 全局变量，代表已经插入的边数 nxt[e]=head[u]; pnt[e]=v;cost[e]=c; head[u]=e; //和链表的思路完全一样！！ } 推荐大家用这种方法！！省时！！
一些建议
• 第一，记得初始化。 • 第二，不要用graph[1000]这种方式建数组。要用宏定义或者const，这样方便改。 • 第三，认真辨别有向图或者无向图，对于无向图需要加两次边。 • 第四，要尽量运用全局变量。
图的存储方式
• 1. 邻接矩阵 • 实现方法：二维数组 • 如果u，v之间有一条权值为c的边，那么对有向图，加边的操作就是graph[u][v]=c。对无向图，必须再加上graph[v][u]=c。 • 优点：好操作，找边方便。 • 缺点：不能有重边，存储空间有很多浪费的。
知识普及：链表
• 链表是完全不同于数组的一种线性结构，它的特点就是存储空间是随机的，只能一个指着一个。如果想找到a，就必须先找到指向a的那个节点！ • 初始化： struct edge{ int to,cost; edge *next; } • 结构体edge中有一个指向edge类型的指针，就是这样。
• • • • • • • • void addedge(int u,int v,int cost){ edge p=new(edge); p->cost=cost;p->to=v; p->next=graph[u].next; graph[u].next=p; } 注意：每次建图前要初始化，把next设置成NULL。要熟练运用指针！！！

图论课件第一章图的基本概念

2、发展历史
图论起源于18世纪的1736年，标志事件是 “哥尼斯堡七桥问题数学家欧拉被称为“图论之父”
20世纪30年代出版第一本图论著作
7
目前，图论已形成很多分支：如结构图论、网络图论、代数图论、拓扑图论等
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、流体动力学、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
22
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。
23
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图 . 在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
1 容易求出： m (K n (n 1 ) n) 2
(三)、图的同构
在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个图的异同，这就是图的同构问题。定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2 v1↔v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2, 且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：
图论及其应用
应用数学学院
1
《图论及其应用》
作者: 张先迪、李正良购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》 [2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电出版社，2007 [3] Bela Bollobas ，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书 [4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学出版社，2005 李慧霸王风芹译

图论知识点总结笔记

图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。

图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。

在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。

2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。

边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。

根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。

3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。

对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。

4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。

在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。

5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。

若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。

基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。

6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。

子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。

二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。

对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。

2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。

对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。

3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。

关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。

三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。

图论

《图论》程序设计目录第一章图的基本概念 2一、图的的定义 2二、图的存储结构 3 第二章图的遍历 5一、深度优先搜索 6二、广度优先搜索8 例、子图划分12 第二章图的生成树14 一、基本概念14 排列方案15 二、图的最小生成树(prim算法) 16 例、机器蛇18 第三章、最短路问题20一、计算单源最短路问题（Dijkstra算法）20二、任意两点间的最短路（floyd算法）23三、最短路径的应用25 例、颜色集28 例计算DAG中的最长路30 例、计算带权有向图的中心31 第四章应用举例32 例、位图32 【例题】士兵排队34 简化图36如果数据元素集合D 中的各元素之间存在任意的前后件关系R ，则此数据结构G=（D ，R ）称为图。

奥林匹克信息学联赛的许多试题，需要用图来描述数据元素间的联系，需要用图的经典算法来解题用结点代表城市，每条边代表连接两个城市间的公路，边长的权表示公路长度。

这种公路网的表现形式就是属于图的数据结构。

第一章图的基本概念一、图的的定义如果数据元素集合D 中的各元素之间存在任意的前后件关系R ，则此数据结构G=（D ，R ）称为图。

如果将数据元素抽象为结点，元素之间的前后件关系用边表示，则图亦可以表示为G=（V ，E ），其中V 是结点的有穷（非空）集合，E 为边的集合。

如果元素a 是元素b 的前件，这种前后件关系对应的边用(a ，b)表示，即(a ，b)∈E 。

1、无向图和有向图⑴无向图：在图G=（V ，E ）中，如果对于任意的a ，b∈V，当(a ，b)∈E 时，必有（b ，a ）∈E（即关系R 对称），对称此图为无向图。

在一无向图中用不带箭头的边连接两个有关联的结点。

在具有n 个结点的无向图中，边的最大数目为n*(n+1)/2。

而边数达到最大值的图称为无向完全图。

在无向图中一个结点相连的边数称为该结点的度，无向完全图中，每一个顶点的度为n-1。

⑵有向图：如果对于任意的a ，b∈V，当(a ，b)∈E 时，(b ，a)∈E 未必成立，则称此图为有向图。

图论第1章图的基本概念

G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint）若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知，偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]

图论第一章

n(n 1) 2
从而
m(G) n(n 1) 4
又因G 的边数 m(G)是整数，故 n(n-1)/4 为整数，即只能有 n≡0（mod 4）, 或 (n-1) ≡0 （mod 4）。
20/111
四．顶点的度（续）, 度序列
前已定义：设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则 G = (V, E) 是一个4阶图。
v1 若用小圆点代
表点，连线代表边
，则可将一个图用
“图形”来表示,
如例1 中的图可表
为
v2
v4 v3
4/111
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5 = v4v4
E1 uv u v,u,v V
18/111
例如, 下图中的(a)，(b)两图是互补的。
（a）
（b）
定理1 若n 阶图G是自补的（即 G G ），则 n = 0, 1（mod 4）
19/111
证明因为G是自补的，则G和其补图有同样多的边数，且边数
m(G) +m (G )
= m(Kn) =
图划分: 正整数k的一个划分(d1, d2,…, dn)能成为某简单图的度序列的k的划分.
显然，若正整数 k 有图划分，则k 必须是偶数
26/111

图论一：基本概念

图论⼀：基本概念
⼀、图的基本概念
（⼀）图的点和边
1、图的定义：⼀个图G=（V,E）由顶点集V和边集E组成。

2、边：⼀个点对（v,w），分为有向边，和⽆向边；
3、图的分类：有向图（点对是有序的），⽆向图（点对是⽆向的）
4、点与边的关系：顶点v与w邻接，当且仅当（v,w）属于E
5、权：每条边除了有顶点（v,w）有时还有⾃⼰的值或权。

（⼆）图的路径
1、路径定义：图的路径是⼀个顶点序列w1,w2,w3,……,wn，使得（wi，wi+1）属于E，（1<=i<n）
2、路径的长：
（1）⽆权路的路径的长度是该路径上的长度
（2）有权路径的路径的长度是该路径上所有边的权值之和
3、环：⼀个从顶点到它⾃⾝的边（v,v），环的长度是1
4、简单路径：⼀条路径上所有顶点都是互异的，（但第⼀个和最后⼀个可能相同）。

（三）圈
1、有向图的圈满⾜w1=wn且长度⾄少为1的⼀条路径，且每条边都是互异的
（eg：⽆向图的（u，v，u）不是圈，因为（u，v）和（v,u）是同⼀条边）
2、⼀个⽆圈图称为DAG
（四）连通图
1、（⽆向图）连通：如果⼀个⽆向图图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，就称这个图是连通图
2、有向图：
（1）强连通图：⼀个有向图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，这个图就是强连通的
（2）弱连通图：⼀个有向图不是强连通涂，但是去掉⽅向的这个⽆向图是连通图。

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过 k 年的旧设备的决策
(k ) （2）弧集 E={ ( X ib , X i 1,b ),( X ir , X i 1,b ), i=1,2,3,4; k=1,2,…,i-1} 1) (k ) ( k 1) ∪{ ( X ib , X i( , =1,2,3,4,5} ∪ { ) ( X , X 1,r ir i 1,r ) ,i=1,2,3,4,5 ;k=1,2,i -1}
deg( x) 2 E .
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节图的顶点度和图的同构(2)
定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结点出度之和. 证明因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边.因此,有向图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等于边数. 定义度序列若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.

第二节图的顶点度和图的同构(3) 推论1 非负整数序列 (d1, d 2 ,..., d p ) 是某个图的度序 p d i 是偶数. 列当且仅当

证明:由定理1知必要性成立.对于充分性取p各相异顶点 v1,v2,…,vp,若di是偶数,就在vi处作di/2个环; 若di是奇数,在vi处作(di-1)/2个环,由于 d i是偶数,
5.图的广泛应用

图的应用是非常广泛的,在工农业生产、交通运输、通讯和电力领域经常都能看到许多网络, 如河道网、灌溉网、管道网、公路网、铁路网、电话线网、计算机通讯网、输电线网等等.还有许多看不见的网络,如各种关系网,像状态转移关系、事物的相互冲突关系、工序的时间先后次序关系等等,这些网络都可以归结为图论的研究对象—图.其中存在大量的网络优化问题需要我们解决.还有象生产计划、投资计划、设备更新等问题也可以转化为网络优化的问题.
一个有向图D,称D为G的一个定向图.
例证明:在任意六个人的聚会上,要么三个曾相识, 要么三个不曾相识.
证明:用A,B,C,D,E,F代表这六个人,若两人曾相识,则在代表该两人的顶点间连一条红边;否则连一条蓝边.于是, 原问题等价于证明所得图中必含有同色三角形.考察某一顶点,设为F.与F关联的边中必有三条同色,不妨设它们是三条红边FA, FB, FC.再看三角形ABC.若它有一条红边,设为AB,则FAB是红边三角形;若三角形ABC没有红边,则其本身就是蓝边三角欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次回到出发点的路线的充要条件是: 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连接起来; 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开篇之作,因此称欧拉为图论之父.
2 n(n 1)条边. (3) n个结点的完全图记为Kn,完全图Kn有 Cn
完全图的对称有向图称为完全有向图,记作 K * . n (4) 图G的顶点个数称为图G的阶. (5) 对于有向图D,去掉边上的方向得到的无向图G称为D的
基础图.反之,任一个无向图G,将G的边指定一个方向得到
1 2
第二节图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x 关联的边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 设D是任意有向图，x为G的任一结点，以x为终点的边的条数称为x的入度，记作deg+(x)或 d+(x). 以x为始点的边的条数称为x的出度，记作 deg-(x)或d-(x).
任课教师:陈六新
chenliux@

答疑时间:星期三下午2:30-3:30;
地点:数理学院3楼应用数学教学部
建议参考书: 图论及其算法殷剑宏吴开亚中科大出版社

图论及其应用张清华等编清华大学出版社
图论与网络流理论,高随祥,高教社通信网图论及应用, 刘焕淋, 陈勇 ,人民邮电电网络理论(图论，方程综合)周庭阳,张红岩;械工业出版社图论导引，（美）Douglas B. West 社译李建中，机械工业出版
内容:关系与函数.
第一章图的基本概念(1)
定义1 图G是一个三元组,记作 (1) V (G) {v1, v2 ,, vn } (2) E(G) {e1, e2 ,, em}
G V (G ), E (G ), (G )
其中
V (G ) ,
称为图G的结点集.
是G的边集合,其中 ei 或 {v j , vt } 或
若第 i 年初作了决策 X i 后，第 i+1 年初可以作决策 X i 1 ，则顶点 X i 与 X i 1 之间有弧( X i , X i 1 )，其权 W( X i , X i 1 )代表第 i 年初到第 i+1
(1) 年初之间的费用.例如，弧 ( X 3b , X 4 r ) 代表第三年初买新设备，第四年初决定用第三年买的用过一年的旧设备，其权则为第三年初的购臵费与第三、第四年间的维修费之和，即为 12＋5＝17.
v j , vt 为边。
{v j , vt }, 称 ei 为以 v j , vt 为端点的无向边。若 ei 为 v j , vt , 称 ei 为以 v j 为起点， vt 为终点的有向边。
若 ei 为
(G) : E V V
称为关联函数.
第一章图的基本概念(2)
定义2. 邻接结点:关联于同一条边的两个结点. 孤立结点:不与任何结点相连接的结点. 邻接边:关联于同一顶点的两条边. 环:两端点相同的边称为环或自回路. 平行边:两个结点间方向相同的若干条边称为平行边或重边. 对称边:两端点相同但方向相反的两条有向边.

4.图的作用
图是一种表示工具,改变问题的描述方式,往往是创造性的启发式解决问题的手段. 一种描述方式就好比我们站在一个位臵和角度观察目标,有的东西被遮挡住了,但如果换一个位臵和角度,原来隐藏着的东西就可能被发现.采用一种新的描述方式,可能会产生新思想. 图论中的图提供了一种直观,清晰表达已知信息的方式.它有时就像小学数学应用题中的线段图一样, 能使我们用语言描述时未显示的或不易观察到的特征、关系,直观地呈现在我们面前,帮助我们分析和思考问题,激发我们的灵感.
(1) ( 2) (1) ( 2) X 1b X 2 X X X X r 3r 4b 5r 6r ; (1) (1) ( 2) ( 3) X 1b X 2 X X X X r 3b 4r 5r 6r 因此，计划为第一、第三年初购臵新设备，或第一、第四年初购臵新设备，五年费用均最省，为 53.
(k ) （3）问题转化为顶点 X 1b 到 X 6 的最短路问题.五年的最优购臵 r 费为
k 1,2 ,3,4 ,5
min {d ( X
1b
(k ) , X6 r )}
(k ) (k ) X X 其中 d( X 1b , X 6 ) 为顶点到 1b r 6r 的最短路的权. 求得最短路的权为 53，而两条最短路分别为
可化为最短路问题的多阶段决策问题
例 1 设备更新问题：企业使用一台设备，每年年初，企业领导就要确定是购臵新的，还是继续使用旧的.若购臵新设备，就要支付一定的购臵费用；若继续使用，则需支付一定的维修费用.现要制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内总的支付费用最少. 已知该种设备在每年年初的价格为：第一年第二年第三年第四年 11 11 12 12 使用不同时间设备所需维修费为：使用年限维修费 0－1 5 1－2 6 2－3 8 3－4 11 第五年 13 4－5 18

δ+(G)=min{d+G(x)|x∈V(G)}.
Δ-(G)=max{d-G(x)|x∈V(G)};
δ-(G)=min{d-G(x)|x∈V(G)}.
第二节图的顶点度和图的同构(1) 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K, 则称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图. ( G ) ( G ) ( G ) (G) K , 在有向图G中,若则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理) 每个图中,结点度数的总和等于边数的二倍,即

第一章图的基本概念(4)
说明:(1)在简单图G V (G ), E (G ), (G ) 中,以x为起点y为终
点的边至多有一条,因此,图中的边可直接用顶点对表
示,而关联函数就可以直接表示在其边集中,故可简
记为G=<V(G),E(G)>.
(2)对无向图G,将G中的每条边用两条与e有相同端点对称边e和e’来代替后得到一个有向图D,这样得到的有向图D称为G的对称有向图.由此可见,无向图可视为特殊的有向图.
i 1 p
i 1

故 (d1, d 2 ,..., d p )中由偶数个奇数顶点,从而将所有与奇数di 相对应的顶点vi两两配对并连上一条边.最后所得的序列就是 d1, d 2 ,..., d.p
构造加权有向图 G1(V,E)
(k ) （ 1 ）顶点集 V ＝ { X ib , i=1,2,3,4,5}∪{ X ir , i=2,3,4,5,6; k =1,2,…,i-1}, 每个顶点代表年初的一种决策，其中顶点 X ib 代 (k ) 表第 i 年初购臵新设备的决策，顶点 X ir 代表第 i 年初修理用
1.图论问题的起源

18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发，经每座桥一次且仅一次回到出发点？”

第一章(图论的基本概念)

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