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图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
数学中的图论基础图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图这种数学结构。
图论不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在计算机科学、运筹学、电路设计等领域也有着广泛的应用。
本文将介绍数学中的图论基础知识，包括图的基本概念、性质以及一些经典的应用。
1. 图的基本概念图由节点（顶点）和边组成，是图论研究的基本对象。
图可以分为有向图和无向图两种。
1.1 有向图有向图中的边是有方向的，即从一个节点指向另一个节点。
有向图用表示，其中为节点集合，为有向边的集合。
1.2 无向图无向图中的边是没有方向的，即连接两个节点的边不区分起点和终点。
无向图用表示，其中为节点集合，为无向边的集合。
2. 图的性质图论中有许多重要的性质和定理，这些性质对于研究图的结构和特点具有重要意义。
2.1 连通图在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径相连，则称该图是连通图。
连通图中任意两个节点都是连通的，不存在孤立的节点。
2.2 完全图完全图是一种特殊的图，任意两个节点之间都存在一条边相连。
完全图用表示，其中表示图中节点的个数。
2.3 欧拉图欧拉图是指一条路径经过图中每条边恰好一次的连通图。
欧拉图有一个著名的结论——存在欧拉回路的充要条件是该图所有节点度数为偶数。
2.4 哈密顿图对于一个图，如果存在一条路径经过图中每个节点恰好一次，则称该路径为哈密顿路径。
如果存在一条经过每个节点恰好一次的回路，则称该回路为哈密顿回路。
3. 图论的应用图论在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下介绍一些图论在实际问题中的应用场景。
3.1 网络路由在计算机网络中，路由器通过构建网络拓扑图并使用图论算法来选择最佳路径，实现数据的传输和通信。
3.2 交通规划交通规划中的交通流量分析、交通网络设计等问题可以通过图论模型进行建模和求解，帮助优化城市交通系统。
3.3 社交网络分析社交网络中的节点表示个体，边表示个体之间的关系。
通过图论分析社交网络的拓扑结构和节点之间的连接关系，可以帮助推荐系统、信息传播等问题。
1、略2、计算有向无圈图的根输入一个有向无圈图DAG，计算和输出DAG的根r（即r到其他任何顶点都有一条路。
若图中没有根，则输出“not found”）。
输入：顶点数n和边数e;以下为e行，每行为一条有向边的两个端点输出：根r或者“not found”算法分析设const mx=100;{顶点数的上限}varn,e,i,j,k,a,b:integer;{ 顶点数n、边数e}g:array[1..mx,1..mx]of boolean;{传递闭包}bn:boolean;{根存在标志}1、输入信息，计算传递闭包readln(n,e);{输入顶点数和边数}fillchar(g,sizeof(g),0);{ 有向无圈图初始化}for i:=1 to e do{输入信息，构造传递闭包的初始值}begin readln(a,b);g[a,b]:=true end;for k:=1 to n do{计算传递闭包}for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif g[i,j] or g[i,k] and g[k,j]then g[i,j]:=true;2、计算DAG的根然后枚举每一个顶点。
根据传递闭包的信息，若当前顶点至其它所有顶点有路，则判定该顶点即为根。
若没有一个顶点可作为DAG的根，则输出失败信息for i:=1 to n do{枚举每一个可能的根}beginbn:=true;{设定I至其他所有顶点有路的标志}for j:=1 to n do{若I至任一个顶点无路，则返回bn为false}if (i<>j) and not g[i,j]then begin bn:=false; break end;if bn then break{若I至其他所有顶点有路，则输出根i}end;if bn then writeln(i)else writeln('not found'){若不存在根，则输出失败信息}3、寻找满足条件的连通分支输入一张顶点带权的无向图，分别计算含顶点数最多的一个连通分支和顶点的权之和最大的一个连通分支。
输入：n（顶点数，1<=n<=20）以下n行，依次表示顶点1 ~ 顶点n上的权；e（边数，1<=e<=210）以下e行，每行为有边连接的一对顶点。
输出：两行，一行为含顶点数最多的一个连通分支，一行为顶点的权之和最大的一个连通分支，输出时按顶点编号从小到大输出。
[问题分析]通过longlink计算出每个顶点所在的连通分支，然后在所有可能的连通分支中找出满足条件的解。
至于计算连通分支的顶点方案也不难，只要分别从连通分支中任选一个代表顶点，由此出发，通过深度优先搜索即可得到顶点方案。
设best，besti—含顶点数最多的连通分支中的顶点数和代表顶点；max,maxk——顶点的权和最大的连通分支的顶点权和和代表顶点计算best,besti,max,maxk的过程如下：1、读入无向图的信息；2、计算传递闭包longlink；3、穷举每一个顶点for I:=1 to n dobegink:=0;s:=0for j:=1 to n do{计算顶点i所在连通分支中的顶点总数k和顶点的权之和s} if longlink[i,j] then begininc(k);inc(s,顶点j的权)end;if k>best then begin best:=k;besti:=I end;{若k为目前最大，则记入best,i 作为代表顶点记入besti}if s>max then begin max:=s;maxk:=I end;{若s为目前最大，则记入max,i 作为代表顶点记入maxk} if k=n then break; {若整个图是连通图，则退出}end;4、dfs(besti); {从代表顶点besti出发，深度优先搜索含顶点数最多的连通分支}5、dfs(maxk); {从代表顶点maxk出发，深度优先搜索顶点的权之和最大的连通分支}显然，以上算法的时间复杂度为O（n*n）。
[参考程序]program ex3;const maxn=20;varw:array[1..maxn] of longint;link,longlink:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;out:array[1..maxn] of boolean;n,e,i,j,k,s,x,y,best,besti,max,maxk:longint;procedure dfs(k:longint);var i:longint;beginfor i:=1 to n doif (longlink[k,i])and(not out[i]) thenbeginout[i]:=true;dfs(i);end;end;beginread(n);for i:=1 to n do read(w[i]);read(e);fillchar(link,sizeof(link),false);for i:=1 to e dobeginread(x,y);link[x,y]:=true;link[y,x]:=true;end;longlink:=link;for k:=1 to n dofor i:=1 to n dofor j:=1 to n dolonglink[i,j]:=longlink[i,j] or longlink[i,k] and longlink[k,j]; best:=1; besti:=1;max:=w[1]; maxk:=1;for i:=1 to n dobegink:=0;s:=0;for j:=1 to n doif longlink[i,j] thenbegininc(k);inc(s,w[i])end;if k>best then begin best:=k;besti:=i; end; if s>max then begin max:=s;maxk:=i; end;if k=n then break;end;fillchar(out,sizeof(out),false);out[besti]:=true;dfs(besti);for i:=1 to n doif out[i] then write(i,' ');writeln;fillchar(out,sizeof(out),false);out[maxk]:=true;dfs(maxk);for i:=1 to n doif out[i] then write(i,' ');writeln;end.输入:534581051 21 32 53 44 5输出:1 2 53 4 54、计算DAG中的最长路输入一个有向无圈图DAG，计算和输出DAG中最长路的长度输入：顶点数n和边数e；以下为e行，每行为一条有向边的两个端点和边权输出：最长路的长度算法分析设constmax=100;{顶点数的上限}maxint=10000;varn,e,i,j,k,a,b,ans:integer;{顶点数n、边数e }g:array[1..max,1..max]of integer;{g[I,j]为顶点I至顶点j的路径长度}1、输入有向无圈图的信息首先输入有向无圈图的信息。
若顶点I至顶点j有边，则g[I,j]设为wij；否则g[I,j]设为-∞。
readln(n,e);{输入输入顶点数和边数}fillchar(g,sizeof(g),0);{最长路径长度矩阵初始化for i:=1 to e do{输入边信息，构造最长路径长度矩阵的初始值}begin readln(a,b, wab ); g[a,b]:= wabend;for i:=1 to n do{将最长路径长度矩阵中无边的元素设为-∞}for j:=1 to n doif (i<>j)and(g[i,j]=0) then g[i,j]:=-maxint;2、按照计算传递闭包的思想计算每一对顶点间的最长路，找出最长路径长度for k:=1 to n do{计算最长路径长度矩阵}for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif g[i,k]+g[k,j]>g[i,j]then g[i,j]:=g[i,k]+g[k,j];ans:=0;{ 最长路径长度初始化}for i:=1 to n do{枚举所有可能的顶点对，将其中的最大g值找出来}for j:=1 to n doif g[i,j]>ans then ans:=g[i,j];{调整最长路径长度}writeln(ans){输出最长路径长度}5、计算带权有向图的中心输入一个带权有向图G ，计算和输出G 的中心v(v 是G 的一个顶点，v 的偏心距定义为输入：顶点数n 和边数e ；以下为e 行，每行为一条有向边的两个端点和边权输出：G 的中心v算法分析const mx=100;varn,e,i,j,k,a,b,ans:integer;{ 顶点数为n ，边数为e ，中心为ans}w,bt,b0:real;{bt 为所有顶点偏心距的最小值，b0为当前顶点的偏心距}g:array[1..mx,1..mx]of real;{最短路长矩阵。
初始时g[i,i]=0,g[I,j]=计算后，g[i,j]存储顶点I 至顶点j 的最短路长}1、 输入信息，构造最短路长矩阵greadln(n,e);{输入顶点数和边数}for i:=1 to n do{输入信息，构造最短路长矩阵g 的初始值}for j:=1 to n doif i<>j then g[i,j]:=maxintelse g[i,j]:=0;for i:=1 to e dobegin readln(a,b,w);g[a,b]:=w;end;for k:=1 to n do{计算任一对顶点间的最短路长}for i:=1 to n dofor j:=1 to n doifg[i,k]+g[k,j]<g[i,j]then g[i,j]:=g[i,k]+g[k,j];2、 计算图的中心依次计算每一个顶点i 的偏心距b0。
每计算一个顶点的偏心距b0，调整所有顶点偏心距的最小值和图的中心（即顶点I 的偏心距b0小于所有顶点偏心距的最小值bt ，则bt 设为b0，图的中心ans 设为i ）。
依次类推，直至所有顶点的偏心距计算完为止。
此时的ans 即为问题的解bt:=maxint; ans:=0;{所有顶点偏心距的最小值和图的中心初始化}for i:=1 to n dobegin }{max 的最短路长到从v w V w )的中心为中偏心距最小的顶点称G Gb0:=0;{顶点I的偏心距初始化}for j:=1 to n do if g[i,j]>b0 then b0:=g[i,j];{计算顶点I的偏心距}if b0<bt{若顶点I的偏心距为目前最小，则记下，并将顶点I设为图的中心}then begin bt:=b0; ans:=i endend;writeln(ans){输出图的中心}6、snow问题描述：随着白天越来越短夜晚越来越长，我们不得不考虑铲雪问题了。
