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DFP变尺度法

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约束变尺度法

约束变尺度法

约束变尺度法Newton 法最突出的优点是收敛速度快，在这一点上其它算法无法比拟的。

因此，建议凡是Hesse 矩阵比较容易求出的问题，尽可能使用Newton 法求解。

但是，Newton 法也有一个严重缺陷，就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法的优点。

为此，人们开始寻找一种算法既可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算，这就是变尺度算法。

变尺度法是一种非常好的方法，其中DFP 算法和BFGS 算法。

可以说，直到目前为止，在不用Hesse 矩阵的方法中是最好的算法。

一、拟Newton 法为了吸收Newton 法收敛速度快的优点，同时避免Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，人们提出了具有超线性收敛的拟Newton 法。

（一）拟Newton 法的基本原理在Newton 法中的基本迭代公式kk k k P t X X +=+1，其中1=k t ，)()]([12kkk Xf Xf P ∇∇-=-令)()(2kkkkXf gXf G∇=∇=，于是有，，，，21011=-=-+k g G X X k k k k其中X0是初始点, gk 和 Gk 分别是目标函数f (X )在点 Xk 的梯度和Hesse 矩阵.为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵G-1k ,可用某种近似矩阵Hk=Hk(Xk)来替换它,即构造一矩阵序列{Hk}去逼近Hesse 逆矩阵序列{G-1k}，此时kk k k g H X X -=+1事实上,式中 Pk= -Hk gk 无非是确定了第k 次迭代的搜索方向.为了取得更大的灵活性,考虑更一般的迭代公式kk k k k g H t X X -=+1其中步长tk 通过从Xk 出发沿Pk= -Hk gk 作直线搜索来确定.此式代表很广的一类迭代公式.例如,当Hk=I (单位矩阵)时,它变为最速下降法的迭代公式。

第七节变尺度法

第七节变尺度法

5）检查迭代次数，若k=n(完成一轮迭代仍未能满足精度要求)，则令 = 进行下一轮迭代计算；若k n,则进行下一步；
6）构造新的迭代方向
五、DFP法的特点
1）DFP法具有牛顿法的二阶收敛速度，因变尺度矩阵 最终逼近 。
2）对任意给定的初始点 ，都具有最速下降方向 =-▽f( )。这是由于初始变尺度矩阵 =I(单位阵)，所以搜索方向 =- ▽f( )=-▽f( )。
3）每次搜产生的方向都是共轭的。
4）计算公式具有递推性，便于迭代。只要给出 ， ，即可往下计算。
5）计算方便，无需计算二阶导数矩阵及其逆矩阵。
六、BFGS法
本章学习要点
1）首先要抓住并理解各种优化方法的基本思想、具体的迭代步骤，读懂计算程序框图；其次是较复杂的数学推导。对于工程技术人员来说，主要是应用。因此，对每种优化方法书中都有较简单的数学模型的例题，用手算的迭代过程，读者将例题与计算程序框图结合起来，认真地阅读理解。有条件最好再上机运算，在实践中进一步理解每种优化方法的迭代逻辑。
一、基本思想
二、构造变尺度矩阵 的基本要求
三、校正矩阵 de推导
四、变尺度法的迭代步骤
1）给定初始点 、收敛精度ε和维数n;
2）置k=0, = =I（n×n阶单位阵），计算梯度 =▽f( ),搜索方向 =- ▽f( )=- ；
3）进行一维搜索求最优步长因子，迭代点：
minf( + = +
4）收敛精度判断
第七节
变尺度法是在克服了梯度法收敛速度慢和牛顿法计算量、存储量大的特点基础上而发展起来的，被公认为是求解无约束优化问题最有效的算法之一，现已在工程优化设计中得到了广泛的应用。变尺度法的种类较多，这里只介绍其中最常用的两种方法：DFP法和BFGS法。DFP变尺度法先由戴维顿（Davidon）于1959年提出，后经费莱彻（Fletcher）和鲍威尔（Powell）于1963年改进而来，故又称DFP法。
第四节无约束--DFP变尺度法6

第四节无约束--DFP变尺度法6

2.6、DFP变尺度法：变尺度法是Davidon 由于1959年提出后又经Fletcher和Powell加以 发展和完善了后的一种变尺度法，故称DFP变 尺度法
1、基本思想： 变尺度法是克服了梯度法收敛慢和牛顿法计 算量大的缺点而发展起来的，是求解无约束问题 最有效的算法，在工程优化设计中得到了广泛的 应用。 利用牛顿法的迭代公式，然后并不是直接 计算 [ H ( x )] 而是 用一个对称正定矩阵 G( x )近似 (k ) 地代替 [ H ( x )] , G( x ) 在迭代过程中不断改进。
⑥检查迭代次数若 若 k n 则转(7)
( k 1)
k n
置
( k 1)
x
x
则转(2)
(k )
⑦计算
f ( x
( k 1)
)g
(k )
( k 1)
g
g
(k )
g
(k )
(k )
x
x
x
E
(k )
G
(k )
E
(k )
G
( k 1)
然后 置 k 1 k转(3) G
说明: 已有文献证明：对于二次函数 f ( x)DFP 变尺度法所构成的搜索方向 S S S S 为一组关于海色矩阵共轭的矢量。所以DFP变 尺度法属于共轭方向法，具有二次收敛性,在任 意情况下，这样方法对于二次目标函数都将在 几步内搜索到目标函数的最优点，而是最后的 构造矩阵必等于海色矩阵.
0 1
计算 x
点的导数值
S
( 0)
( 0)
g
( 0)
f ( x
( 0)
8(8 5) 24 ) 2(9 6) 6
DPF变尺度法理论证明

DPF变尺度法理论证明

( j)
H k +1 Ap
( j)
( j)
= H k Ap
(k )
( j)
+
p p p p( j )
(k )
( k )T
Ap
(k )
( j)
( k )T
q
−
Hkq q q
( k ) ( k )T ( k )T
H k q( k )
=p
−
Hkq
( Ap
(k ) T (k )
)
q
( k )T
Hkq
= p( j )
(k ) ( k )T (k )
∆x ∆x H k ∆g ∆g H k H k +1 = H k + ( k ) T ( k ) − ( k )T (k ) ∆x ∆g ∆g H k ∆g
(k ) ( k )T (k ) ( k )T
p p H k q q H k (k ) H k +1q = H k + ( k )T ( k ) − ( k )T q (k ) p q q Hkq ( k ) ( k )T ( k ) ( k ) ( k )T (k ) p p q Hkq q Hkq (k ) =H k q + − =p ( k ) ( k )T ( k ) ( k )T (k ) p q q Hkq
( i )T
p
( k )T
Ap
( j)
= λk d
( k )T
Ap
( j)
= −λk ( H k g k ) Ap
T
( j)
T T T = −λk g k H k Ap ( j ) = −λk g k p ( j ) = −λk λ j g k d ( j ) = 0.
DFP变尺度法例题终结版

DFP变尺度法例题终结版


(0)
) = (4,100) , P
T
(0)
= − H ( X (0) )∇f ( X (0) ) = (−4, −100)T
_
1.求迭代点X (1) , 令ϕ0 α）=f ( X (0) + α 0 P (0) )得ϕ0 α 0）的最小值点α 0 = 0.02 （ （
= X
(1) (0)
+ α 0 P ( 0 ) = (2, 2) T + 0.02( − 4, − 100) T = (1.92, 0) T
表2 DFP变尺度法结果表
K αK
0 1 2 0.02 0.5
X1
2 1.92 0
X2 2 0 0.0015 5
∂ X K ∂X 1
_
∇f (X
_ K
_ K
f (X )
4 3.84 0
100 0
100.2 3.84
104 3.686
0.0775 0.07 75
6.006×10−5
下一个搜索方向：P = − H( X )∇f ( X ) = [ −3.84, −0.0031]
(1) (1) (1)
_
T
2.求迭代点 X ，令 ϕ1 = f ( X (1) + ∂1 P (1) )
(2)
得 ϕ(∂1) 的最小值点∂ 1
1
=0.5
T
[ 0, − 0 .0 0 1 5 5 ] T (2) ∇f ( X ) = [ 0, −0.0775]
∆X(0) (∆X(0) )T H(X(0) )∆g(0) (∆g(0) )T H(X(0) ) H(X(0) ) = H(X(0) ) + − − (0) (0) (∆g )∆X (∆g(0) )T H(X(0) )∆g(0)
【MATLAB与机械设计】多维优化之DFP变尺度法

【MATLAB与机械设计】多维优化之DFP变尺度法

【MATLAB与机械设计】多维优化之DFP变尺度法1.程序框图其中E矩阵的求解公式为：2.MATLAB可执⾏程序function [k,x_min,f_min]= variable_metric_algorithm(f,x,exp)%% 程序说明%{该程序应⽤于多维⽆条件优化问题中的变尺度法变量说明：输⼊值部分f为⽬标函数，对于⽬标函数中⾃由变量的个数没有要求x为初值矩阵，要求在调⽤函数是必须为⼀⾏n列的形式，否则会导致后期维度出现错误exp为精度返回值部分k为迭代次数x_min为函数的局部极⼩值数列f_min为函数的局部极⼩值调⽤⽅法：clcclearsyms x1 x2%所有的⾃由变量且必须由x1,x2,x3……表⽰x=[0,0];f=x1^2+x2^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60;exp=0.01;[k,x_min,f_min]=variable_metric_algorithm(f,x,exp)%}%% 确定维度x_size=size(x,2);x_i= sym(zeros(1,x_size));%class(x_i)for i=1:x_sizesyms(['x' num2str(i)]);x_i(1,i)=['x' num2str(i)];end%% 迭代主题grad_f=gradient(f,x_i);H=eye(x_size);fz_d=-subs(grad_f,x_i,x);fz_d=double(fz_d);g0=fz_d;k=0;while 1s=-H*g0;syms as=s';f_b=subs(f,x_i,x+a.*s);f_bd=diff(f_b,a);a=solve(f_bd==0,a);a=double(a);x_1=x+a*s;fz_d1=-subs(grad_f,x_i,x_1);fz_d1=double(fz_d1);fz_dm1=norm(fz_d1);g1=fz_d1;if fz_dm1<=expx_min=x_1;f_min=subs(f,x_i,x_min);k=k;break;elseif k==x_sizefz_d=-subs(grad_f,x_i,x_1);fz_d=double(fz_d);k=0;H=eye(x_size);elsedeta_x=x_1-x;deta_f_d=fz_d1-fz_d;A=(deta_x')*(deta_x);sub_A=(deta_x)*deta_f_d;B=H*deta_f_d*(deta_f_d')*H; sub_B=(deta_f_d')*H*deta_f_d; E=A./sub_A-B./sub_B;H=H+E;k=k+1;endx=x_1;g0=g1;endendend。

变尺度法ppt课件

变尺度法ppt课件


满 足 上 述 方 程 的 解 很 多， 我 们 可 以 如 下 确 定 一组 解 ：
k uk uTk gk xk kvkvTk gk Hk gk
这样，我们可以取：
uk xk ,
k uTk gk 1,
vk Hk gk , kvTk gk 1。
10
即：
uk xk , vk Hk gk ,
H I时 梯度法, k
最速下降方向 d k f ( xk ) , 度量为 x xT I x
Hk Gk1时 Newton法 最 速下 降 方 向d k Gk1f ( xk ), 度 量为 x xTGk1 x
也称拟Newton法为变尺度算法。
4
3. 如何对H 附加某些条件使得： k （1）迭代公式具有下降性质 Hk （ 0 正定）
牛顿法特点
|| ||
xk1 x xk x*
* || ||2
,
0.
▪ 收敛速度快，为二阶收敛。 ▪ 初始点要选在最优点附近。
存在缺点及修正 (1) f ( xk1 ) f ( xk ) ?
xk 1
xk
Gk1
g
，
k
g
为梯度，
k
Gk1海塞阵的逆
(2) 初始点的选取困难，甚至无法实施。 (3) G1的存在性和计算量问题。
k
Step3. 令 xk 1 xk kd k , 其中tk : f ( xk kd k ) min f ( xk d k )。
7
Step 4. 判断 xk 1 是否满足终止准则： yes: 计算 stop, 则x* : xk1
No : 转 step 5 。
Step5. 令 gk1 f ( xk1), gk f ( xk ), gk f ( xk1) f ( xk ) gk1 gk , xk xk1 xk 。
张飞---变尺度法—

张飞---变尺度法—


H k 1 H k
T H k g k g T x k (x k ) kHk k T (x ) g k g T k H k g k
DFP算法的性质： （1）校正公式的分母总大于零，校正公式总有意义。 （2） H k都是正定的，所以每次迭代方向都是下降方向。 （3） H n A 1 ，说明H k 逐次逼近 A 1 。
2
k 1
k
H kBFGS Hk 1
k T T x k g T H H g ( x ) x k (x k ) k k k k (1 ) T T (x k ) g k (x k ) g k (x k )T g k
g T k H k g k
变尺度法的计算步骤：
一般函数举例： f(x ) e DFP： 初值
X0=[0.1,0.1,0.1] X0=[0.5,0.5,0.5] X0=[1.0,1.0,1.0]
2 2 2 0.01x1 0.2x 2 x3
e
2 2 2 x1 0.1x 2 x3
2 2 (sin( x 12 1.1x 2 x3 ))2
变尺度法，也称拟牛顿法。它既吸收了共轭梯度法计算量小， 适合求解大规模优化问题的优点，又吸收了牛顿法收敛速度快的优 点。它被认为是无约束优化问题中最有效的方法之一。
变尺度法的思想： 2 k 1 p f ( x ) gk 牛顿方向： k
近似为： p k H k g k
H k 称为尺度矩阵，且迭代过程中 H k是变化的，该算法为变尺度法；
g k ：梯度（一阶导数） Ak ：Hesse矩阵（二阶导数）
x2
X0 SN
-S
x1
变尺度法
牛顿法的最大优点是靠近极小点时收敛速度快，主要缺点是计 算比较麻烦，对于n维问题，要计算1/2n(n+1)个二维偏导数，还 要计算Hesse矩阵的逆矩阵，计算量大。
变尺度法

变尺度法

变尺度法 (拟牛顿法)
一.尺度矩阵的引入
尺度变化可以降低函数的偏心程度（通过放大或者缩小各个坐标）
若f (x) 1 xT Gx bT x c，G是对称正定阵，则G与单位阵E合同，故存在一个 2
可逆矩阵Q, 使得QT GQ=E,即函数偏心程度为0 QT Q=G 1 xTGx 1 xTQTGQx
满足上述方程的解很多，我们可以如下确定一组解：
kukukT yk sk k vk vkT yk H k yk
这样，我们可以取：
uk sk ,
kukukT yk sk ,
vk H k yk , k vk vkT yk H k yk ;
8
即：
uk sk , vk Hk yk ,
计算H
，令
k
k

k
1，转step
3.
10
四、变尺度法算法框图：
k k1
给定x0 , H 0
, k 0
d k -H kf (xk )
一维搜索得 k xk 1 xk k d k
修正Hk
N
产生H k 1
xk1 xk
Stop y xk1 解
11
4
(1)d k


H
k
gk为下降方向，则d
k
与梯度方向成钝角，即gT k
d
k

0

gT k
H
k
gk

0,
gT k
H
k
gk

0
H k 对称正定
（3）
f
(x)

1 2
xT Gx

bT
x
第2章优化设计-2

第2章优化设计-2


（2-45）
上式中的搜索方向 S (k)
称为牛顿方向，
可见原始牛顿法的步长因子恒取： (k) 1 ，因此，原始牛顿法是一
种定步长的迭代过程。
牛顿算法对于二次函数是非常有效的，迭代一步就可达到极值点， 而这一步根本不需要进行一维搜索。
对于高次函数，只有当迭代靠近极值点附近，目标函数近似二次函 数时，才会保证很快收敛，否则也可能导致算法失败。
(2-57)
但其中的校正矩阵的计算公式为
A(k )

X
1
(
k
)
T

g (k )
{X
(k)

X
(
k
)
T


X (k)
X
(
k
)
T


g
(k
)
T

A(k )g (k )
X
(k)
T

g (k )

A(k )g (k )

X
(k
)
T

X (k )
g
BFGS法 的优点:
在于计算中它的数值稳定性强， 所以它是目前变尺度法中最受欢迎的一种算法。
2.5 约束优化方法
工程中的大量优化设计问题，都是约束优化问题， 这类问题的一般数学模型为：
min f ( X ), X Rn s.t.gu ( X ) 0u 1, 2, hv (X ) 0v 1, 2, ,
[X (k ) ]T g (k )
[g (k ) ]T A(k )g (k )
（2-54） （2-55）
式中: X (k) X (k1) X (k)
第 k 次迭代中前后迭代点的向量差 ；
最优化方法-课程设计报告-运用DFP算法解决无约束最优化问题

最优化方法-课程设计报告-运用DFP算法解决无约束最优化问题

北方民族大学课程设计报告系（部、中心）信息与计算科学学院专业信息与计算科学班级 09信计（3）班小组成员课程名称最优化方法设计题目名称运用DFP算法解决无约束最优化问题提交时间2012年6月26日成绩指导教师变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯度法亦有密切关系.变尺度法避免了Newton法在每次迭代都要计算目标函数的Hesse矩阵和它的逆矩阵而导致随问题的维数增加计算量迅速增加.DFP算法是变尺度法中一个非常好的算法.DFP算法首先是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改进，故名之为DFP算法，它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快.本文主要分析DFP算法原理及运用Matalb软件编程解决实际数学问题.最后运算结果符合计算精度且只用了一次迭代，由此可见收敛速度快.关键词：Newton法变尺度法Hesse矩阵Matlab软件一、课程设计目的 (4)二、课程设计要求 (4)三、课程设计原理 (4)（1）变尺度法基本原理 (4)（2）DFP算法 (5)四、实验内容 (6)五、数学建模及求解 (7)1.DFP算法迭代步骤 (7)2.DFP算法的流程图 (7)六、程序实现 (8)七、数值实验的结果与分析 (11)八、实验总结与体会 (12)1.DFP公式恒有确切解 (12)2.DFP算法的稳定性 (12)参考文献 (13)一、 课程设计目的：1、掌握无约束优化问题DFP 算法的数值求解思路；2、训练分析DFP 算法的运算存储量及收敛速度的能力，了解算法的优缺点；3、通过运用DFP 算法求解实际无约束优化问题的意义；4、熟悉应用Matlab 求解无约束最优化问题的编程方法.二、 课程设计要求熟悉了解DFP 算法原理及求解无约束优化问题的步骤，并运用Matlab 件编程实现求解问题.三、 课程设计原理（1）变尺度法基本原理在Newton 法中，基本迭代公式k k k k P t X X +=+1，其中，1=k t ，)()]([12k k k X f X f P ∇∇-=-，于是有2,1,0,11=-=-+k g G X X k k k k (1)其中0X 是初始点，k g 和k G 分别是目标函数)(X f 在点k X 的梯度和Hesse 矩阵.为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵1-k G ，可用某种近似矩阵)(k k X H H =来替换它，即构造一个矩阵序列}{k H 去逼近Hesse 逆矩阵序列}{1-k G此时式（1）变为k k k k g H X X -=+1事实上，式中k k k g H P -=无非是确定了第k 次迭代的搜索方向，为了取得更大的灵活性，我们考虑更一般的的迭代公式k k k k k g H t X X -=+1 (2)其中步长因子k t 通过从k X 出发沿k k k g H P -=作直线搜索来确定.式（2）是代表很长的一类迭代公式.例如，当I H k ≡（单位矩阵）时，它变为最速下降法的迭代公式.为使kH确实与1-k G 近似并且有容易计算的特点，必须对k H 附加某些条件：第一，为保证迭代公式具有下降性质，要求}{k H 中的每一个矩阵都是对称正定的.理由是，为使搜索方向k k k g H P -=是下降方向，只要0<-=-k k T k k T k g H g P g成立即可，即0>k k T k g H g成立.当k H 对称正定时，此公式必然成立，从而保证式（2）具有下降性质.第二，要求k H 之间的迭代具有简单形式.显然，k k k E H H +=+1 (3)是最简单的形式了.其中k E 称为校正矩阵，式（3）称为校正公式.第三，必须满足拟Newton 条件.即：)()(111k k k k k X X g g H -=-+++ (4)为了书写方便也记k k k g g y -=+1k k k X X S -=+1于是拟Newton 条件可写为k k k S y H =+1 (5)有式（3）和（5）知，k E 必须满足k k k k S y E H =+)(或k k k k k y H S y E == (6)（2）DFP 算法DFP 校正是第一个拟牛顿校正是1959年由Davidon 提出的后经Fletcher 和Powell 改进故名之为DFP 算法它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP 算法基本原理考虑如下形式的校正公式T k k k T k k k k k V V U U H H βα++=+1 (7)其中k k V U ,是特定n 维向量，k k βα,是待定常数.这时，校正矩阵是T k k k T k k k k V V U U E βα+=.现在来确定k E .根据拟Newton 条件，k E 必须满足（6），于是有k k k k T k k k T k k k y H S y V V U U -=+)(βα或k k k k T k k k k T k k k y H S y V V y U U -=+βα.满足这个方程的待定向量k U 和k V 有无穷多种取法，下面是其中的一种：k k T k k k S y U U =α，k k k T k k k y H y V V -=β注意到k T ky U 和k T k y V 都是数量，不妨取 k k S U =，k k k y H V =，同时定出k T k k y S 1=α，kk T k k y H y 1-=β. 将这两式代回（5.32）得 kk T k k T k k k k T k T k k k k y H y H y y H y S S S H H -+=+1. （8） 这就是DFP 校正公式.四、 实验内容采用课本P102页例5.3和P107页例5.4进行数值计算；1，求22212125),(m in x x x x f +=，取初始点T X ]2,2[0=.2，求2221214),(m in x x x x f +=，取初始点T X ]1,1[0=.五、 数学建模及求解1.DFP 算法迭代步骤在拟Newton 算法中，只要把第五步改为计算式（8）而其他不变，该算法就是DFP 算法了.但是由于计算中舍去误差的影响，特别是直线搜索不精确的影响，可能要破坏迭代矩阵k H 的正定性，从而导致算法失效.为保证k H 的正定性，采取以下重置措施：迭代1+n 次后，重置初始点和迭代矩阵，即I H X X n ==+010,以后重新迭代.已知目标函数)(X f 及其梯度)(X g ，问题的维数n ，终止限ε.（1） 选定初始点.计算)(00X f f =，)(00X g g =.（2） 置I H =0，00g P -=，0=k .（3） 作直线搜索),(1k k k P X ls X =+；计算)(11++=k k X f f ，)(11++=k k X g g .（4） 判别终止准则是否满足：若满足，则打印),(11++k k f X ，结束；否转（5）.（5） 若n k =，则置10+=k X X ，10+=k f f ，10+=k g g ，转（2）；否则转（6）.（6） 计算k k k X X S -=+1，k k k g g y -=+1，kk T k k T k k k k T k T k k k k y H y H y y H y S S S H H -+=+1， 111+++-=k k k g H P ，置1+=k k ，转（3）.2.DFP 算法的流程图六、程序实现七、 数值实验的结果与分析由上述运行结果可得出：第一题迭代一次就解得：]0664.0,2220.0[*0150.1---=e X 与精确解]0,0[=X 误差远小于610-=ε，符合要求.第二题同样迭代一次就解得：]0555.0,1110.0[*0150.1--=e X 与精确解]0,0[=X误差远小于610-=ε，符合要求.且所计算的k H 矩阵和梯度与精确计算所得一样，这也表明DFP 算法的matalb 程序完全符合要求.八、 实验总结与体会DFP 变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快，这些良好的性能已作阐述。

07.第7讲 牛顿法 DFP变尺度法

k 1
变尺度法的迭代公式：
X
k 1
X
o
k
A f ( X )
k k k
A
k
为变尺度矩阵，在迭代过程中不断修正。
0
在初试点 X 取 A I ，则上式变为：
X
k 1
X f ( X )
k k k
k * X X 而当 时，即
Ak [ H ( X k )]1
k 1 k
X
*
X
k
f ( X k ) H(X k )
若 f ( X ) 是二次函数，则 X * 就是 f ( X ) 的极小点， 否则只是一个近似点，需进一步迭代。
牛顿法的迭代公式：
X k 1
k f ( X ) k X H(X k )
由于牛顿法迭代公式中没有步长因子 ，或者说
k
步长因子
1 f ( X ) ( X ) f ( X ) f ( X )( X X ) ( X X k ) H ( X k )( X X k ) 2 求二次近似函数 ( X ) 的极小点，即令 ( X ) 0
k k k
k f ( X ) X 在目标函数 在 点处取二阶泰勒展开：
k k k A g S 3.计算搜索方向
；
4.进行一维搜索求 ，得迭代新点
k
X S X
k k kຫໍສະໝຸດ k 15.检验是否满足迭代终止条件
f ( X
k 1
)
若满足，停止迭代，输出 X k 1 X * , f ( X k 1 ) f ( X * ) 否则转下一步；
6.检查迭代次数，若k=n，则置 X k 1 X 0 ，

例题是唐老师教材_1025_拟牛顿法(DFP算法)


)
Step4: 令 k
k 1,
返回Step2.
注: 第一步迭代与最速下降法相同.
三. 对称秩2算法（DFP校正公式）
设校正矩阵的形式为:
H k H k 1 k uk uk
T
Page 10
k vk vk
T
( II )
其中 k 0, uk = uk 1 , uk 2 , , ukn 0
x
k 1
x k d .
k k
Page 13
Step3: 计算
k 1 x
k 1
x
k 1
k
k 1 f ( x
) f ( x )
k T
H k 1 H k d
k 1
k 1 k 1 k 1 k 1
T k 1
)
H k k 1 k 1 H k
2
0 4 , 10 1
0 8
2 x1 f x , 8 x2
0
2 f x 0
2 2 0 0 f ( x ) , d f ( x ) 8 8
f
T
H1 H 0
1 1
T
T
1 1

H 0 1 1 H 0
T
1 H 0 1 Page 16
T
又
0.26154 1 x x 1.04 x
1
f x
0
0.52308 8.36923
1 0 0
Page 15
f
x 1.47692,
1
0.36923 ,

dfp变尺度法

dfp变尺度法
DFP变尺度法（Davidon-Fletcher-Powell变尺度法）是一种拟牛顿优化算法，用于求解无约束极值问题它综合了梯度法和牛顿法的优点，具有较快的收敛速度和较广的应用范围DFP算法在优化领域中被认为是一种高效的方法，尤其在处理高维问题时具有显著优势。

DFP变尺度法的基本思想是在每次迭代中，用一组线性方程组来近似表示目标函数的Hessian矩阵这样，我们可以用较少的计算代价获得牛顿法类似的收敛速度变尺度法的关键在于选择合适的尺度矩阵，以保证算法的收敛性和稳定性。

DFP算法的步骤如下。

1.初始化：选择一个初始点x0.
2.计算目标函数的梯度g（x）。

f(x)=f(x0)+γ(x-x0).
其中，γ为尺度因子
3.计算Hessian矩阵的近似值H
H=I-γ²g²(x).
4.更新搜索方向。

s=-Hg(x).
5.更新x。

x=x0+αs.
其中，α为线搜索参数。

6.重复步骤2-5，直到满足终止条件（如收敛或达到迭代次数限制）。

DFP变尺度法在实际应用中通常与一维搜索技术和黄金分割法相结合，以提高收敛速度和稳定性此外，还可以根据问题特点对算法进行适当调整，如引入局部搜索、调整线搜索策略等，以适应不同问题的需求总之，DFP变尺度法是一种高效、实用的优化算法，在许多领域都得到了广泛应用。

工程优化 第4章-4

k 2

k

1
f x
k

计算量大，存储量也很大。
为减少计算量，用一个n阶对称正定矩阵Hk近似代替Hesse 矩阵的逆
f x ，即 H f x ，从而搜索方
2 k 1 2 k 1 k
向是 p k H k g k，由此搜索方向产生的方法称为变尺度法，
H k 1gk xk
k , k 是常数，u k , v k 是n维列向量。
H1是对称正定的矩阵。
Hk 1 Hk k uk (uk )T +k vk (vk )T
Hk+1满足拟牛顿方程，H k 1gk xk ，
k uk (uk )T gk +k vk (vk )T gk xk Hk gk
步骤4. 令 H k +1 =H k +H k， k k 1 ，转步骤2。 其中 H k称为修正矩阵。 不同的修正矩阵，对应着不同的变尺度法。
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则 变尺度法的关键在于如何构造Hk，为了使算法有 较快的收敛速度，需要满足以下几个原则：
构造 Hk的原则----二次收敛性
f (x)=1/2xT Ax+bT x+c， A对称正定
把算法用于正定二次函数时，至多n次达到极小点。
构造的搜索方向 p1, p2, …, pn是一组A 共轭 向量且Hn+1=A-1.
变尺度法----一类特殊的拟Newton法
构造 Hk的原则----稳定性 一个算法若不计算过程的舍入误差，在迭代的每一 步都能选择步长使函数单调下降，则称此算法是稳定的。
T T


(1)

02_变尺度法与Huang族公式


第2期
杨丽君等 : 变尺度法与 Huang 族公式
161
知, 若 Hk 对称 , H k+ 1 也对称 , 则必须有 bk = ck , 又 w = 1, 因而 3 个参数变为只有一个自由参数。 现在, 令 bk = c k , w = 1, 将式( 4) 、 ( 5) 代入式( 6) 、 ( 7) 中, 令 ak 为自由参数, 解 出其余参数的表达式 , 再将 u, 的公式表示。 将 u, 代入式 ( 3) , 以得到 H k+ 1 代入式 ( 6) 、 ( 7) , 可得方程组 : ( 9)
当 w = 1 时, 式( 8) 变为拟牛顿方程 , 因而 w 1 时, Huang 族不是拟牛顿算法族 , 通常称为 Huang 变尺度算法 族。 现在, 如果在式( 3) 中, 假定 Hk 对称, 也要求 Hk+ 1 对 称 , 并令 w = 1, 由 u, 的 ( 4) 、 ( 5) 的表示式及式( 3) 可
摘 要 : 变尺度算法是求解无约束优化问题的有效而著名的算法, 算法易于实现, 计算量较小, 并形成了完整的算法体系 , 对工程应用有重要的影响。文中简述了变尺度算法的基本思想, 介绍了 Huang 算法族和 Broyden 族及它们的基本性质 , 分 析比较了近年来对变尺度算法不同角度的研究。通过数值实验证明了变尺度算法的有效性。 关键词 : 变尺度算法; H uang 算法族 ; Broyden 族 中图分类号 : T P301. 6 文献标识码 : A 文章编号 : 1005- 3751( 2006) 02- 0160- 03
k T x kuT k + Hk g k v k
变尺度算法最早由 Davidon 提出, 简称 DFP 法。这种 方法的出现 , 使最优化方法的研究发生了一个飞跃 , 随后 出现了很多优秀的算法。20 世纪 70 年代初形成了 Huang 族算法和 Broyden 族算法, Broyden 族变尺度法可以看作 Huang 族变尺度法的一个子族。Huang 族变尺度算法族 在无约束优化中有着重要的地位, 由于工业流程中的问题 大多是连续可导的 , 将变尺度法与同属于导数下降方法的 公认较为有效的几种优化算法进行比较 , 证明了兼有共轭 方向法和牛顿法的特性的变尺度法是广泛使用的有效的 无约束最优化方法。
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for(j=0;j<n;j++)
{
h[i][j]=0;
if(j==i) h[i][j]=1;
}
g1=g2; k=-1;
}else{
int j;
double a1=0,a2=0;
for(i=0;i<n;i++){
dg[i]=g2[i]-g1[i];
dx[i]=xk1[i]-xk[i];
}
for(i=0;i<n;i++){
if(ia==1) { aa=a[1]; *ft=f[1]; break; }
d=(pow(a[0],2)-pow(a[2],2))*(a[0]-a[1])-(pow(a[0],2)-pow(a[1],2))*(a[0]-a[2]);
if(fabs(d)==0) break;
c=((f[0]-f[2])*(a[0]-a[1])-(f[0]-f[1])*(a[0]-a[2]))/d;
ib=0;
if(ia==1) { xx=xk; break; }
ib=0;
for(i=0;i<n;i++) s[i]=0;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
s[i]+= -h[i][j]*g1[j];
aa=lagrange(xk,ft,s);
xk1=iterate(xk,aa,s);
a[1]=(a[0]+a[2])/2;
f[1]=func(xk,a[1],s);
}
}else{
if(*ft>f[1]) {a[0]=aa;f[0]=*ft;}
else if(*ft<f[1]) {a[2]=a[1];a[1]=aa;f[2]=f[1];f[1]=*ft;}
else if(*ft==f[1])
printf("\n\tf*=%f",f);
getch();
}
程序运行结果为：
x[1]*=4.000000
x[2]*=2.000000
f*=-8.000000
x1=iterate(x,a,s);
f=fny(x1);
return f;
}
void finding(double a[3],double f[3],double *xk,double *s){
double t=tt;
int i;
double a1,f1;
a[0]=0;f[0]=func(xk,a[0],s);
}
void main ()
{
int k;
double *xx,f;
double xk[n]={1,1};
xx=bfgs(xk);
f=fny(xx);
printf("\n\nThe Optimal Design Result Is:\n");
for(k=0;k<n;k++)
{printf("\n\tx[%d]*=%f",k+1,xx[k]);}
double *g,f1,f2,q;
int i;
g=(double*)malloc(n*sizeof(double));
f1=fny(xk);
for(i=0;i<n;i++){
q=ff; xk[i]=xk[i]+q; f2=fny(xk); g[i]=(f2-f1)/q; xk[i]=xk[i]-q;}
for(i=0;;i++){
a[1]=a[0]+t;
f[1]=func(xk,a[1],s);
if(f[1]<f[0]) break;
if(fabs(f[1]-f[0])>=ad) {
t=-t;
a[0]=a[1];f[0]=f[1];
}else{
if(ia==1) return; //break
t=t/2;ia=1;
}
}
for(i=0;;i++){
a[2]=a[1]+t;
f[2]=func(xk,a[2],s);
if(f[2]>f[1]) break;
t=2*t;
a[0]=a[1];f[0]=f[1];
a[1]=a[2];f[1]=f[2];
}
if(a[0]>a[2]){
a1=a[0];
f1=f[0];
a[0]=a[2];
return g;
}
double * bfgs(double *xk){
double u[n],v[n],h[n][n],dx[n],dg[n],s[n];
double aa,ib;
double *ft,*xk1,*g1,*g2,*xx,*x0=xk;
double fi;
int i,j,k;
ft=(double *)malloc(sizeof(double));
f[0]=f[2];
a[2]=a1;
f[2]=f1;
}
return;
}
double lagrange(double *xk,double *ft,double *s){
int i;
double a[3],f[3];
double b,c,d,aa;
finding(a,f,xk,s);
for(i=0;;i++){
int j;
u[i]=0;v[i]=0;
for(j=0;j<n;j++){
u[i]=u[i]+dg[j]*h[j][i];
v[i]=v[i]+dg[j]*h[i][j];
}
}
for(j=0;j<n;j++){
a1+=dx[j]*dg[j];
a2+=v[j]*dg[j];
}
if(fabs(a1)!=0){
if(fabs(c)==0) break;
b=((f[0]-f[1])-c*(pow(a[0],2)-pow(a[1],2)))/(a[0]-a[1]);
aa=-b/(2*c);
*ft=func(xk,aa,s);
if(fabs(aa-a[1])<=ad) {if(*ft>f[1]) aa=a[1];break;}
double fny(double *x){
double x1=x[0],x2=x[1];
double f;
f=x1*x1+2*x2*x2-4*x1-2*x1*x2;
return f;
}
double * iterate(double *x,double a,double *s){
double *x1;
xk1=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i<n;i++){
s[i]=0;
for(j=0;j<n;j++){
h[i][j]=0;
if(j==i) h[i][j]=1;
}
}
g1=gradient(xk);
fi=fny(xk);
x0=xk;
for(k=0;k<n;k++){
int i;
x1=(double *)malloc(n*sizeof(double));
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=x[i]+a*s[i];
return x1;
}
double func(double *x,double a,double *s){
double *x1;
double f;
a2=1+a2/a1;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<;j++)
h[i][j]+=(a2*dx[i]*dx[j]-v[i]*dx[j]-dx[i]*u[j])/a1;
}
xk=xk1; g1=g2;
}
}
if(*ft>fi) { *ft=fi; xx=xk;}
xk=x0;
return xx;
{a[0]=aa;a[2]=a[1]; f[0]=*ft;f[2]=f[1]; a[1]=(a[0]+a[2])/2; f[1]=func(xk,a[1],s); }
}
}
if(*ft>f[1]) {*ft=f[1];aa=a[1];}
return aa;
}
double *gradient(double *xk){
g2=gradient(xk1);
for(i=0;i<n;i++)
if((fabs(g2[i])>=ac)&&(fabs(g2[i]-g1[i])>=ac))
{ib=ib+1;}
if(ib==0) { xx=xk1; break; }
fi=*ft;
if(k==n-1){
int j;
xk=xk1;
for(i=0;i<n;i++)
if(aa>a[1]){
if(*ft>f[1]) {a[2]=aa;f[2]=*ft;}
else if(*ft<f[1]) {a[0]=a[1];a[1]=aa;f[0]=f[1];f[1]=*ft;}
else if(*ft==f[1]){
a[2]=aa;a[0]=a[1];