二次函数零点的分布-推荐

二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。

二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。

零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。

对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。

给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。

1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。

如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。

2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。

由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。

换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。

3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。

如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。

4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。

如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。

在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。

怎么利用二次函数的零点分布解题？
答：
一·问题简述：
1.二次函数，一元二次方程和一元二次不等式，三者之间可以相互转化，二次函数的零点问题，常常转化为一元二次方程的根的分布问题来加以解决。

2.涉及二次函数的零点问题，可以结合二次函数的图象，从开口方向，对称轴，判别式，韦达定理，端点值等方面去讨论，使得结论成立的所有条件的交集即为所求。

3.二次函数的零点分布问题体现了函数与方程的思想，数形结合的思想的应用。

二·二次函数的零点分布：
二次函数的零点问题本质上仍然是函数的零点问题，因为二次函数是特殊的函数，所以函数零点定理对二次函数仍然适用，另外，由于二次函数自身的特点，所以二次函数的零点具有一些特殊的解题方法。

三·与二次函数零点分布相关的典型试题：
值得说明的是，二次函数是高考永恒的主题，它既可以单独命题考查，也可以与其它知识相结合进行考查，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。

以上。

计算二次函数的零点二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

在数学中，零点也称为函数的根或者方程的解，即函数取值为0的输入值。

要计算二次函数的零点，有两种常用的方法：配方法和求根公式法。

下面将分别介绍这两种方法。

一、配方法：对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法将其转化为平方的形式来求解零点。

1. 首先，将函数f(x)写成完全平方的形式：f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c= a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c2. 然后，将该函数转化为零点的形式：f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}3. 令f(x) = 0，我们可以得到方程：a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a}4. 再进行变形，得到：(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}5. 最后，对方程两边开平方，可得：x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}通过配方法，我们可以得到二次函数的零点公式。

二、求根公式法：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点也可以通过求根公式来计算。

求根公式给出了一般二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。

微专题4 二次函数的图象与零点的分布问题在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次方程根的分布问题．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数．则一元二次方程根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干类型： 一、“x 1<k <x 2”型例1 函数f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ＋2的零点一个大于1，另一个小于1，求实数m 的取值范围．解 画出函数f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ＋2的草图如图所示，则f (1)＝2m ＋2<0 ，解得m <－1 . 所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)．反思感悟 对于x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0. 如图所示．二、“k <x 1≤x 2”型例2 若函数f (x )＝x 2－2ax ＋4的两个零点都大于1，求实数a 的取值范围． 解 因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋4的两个零点都大于1，画出其草图如图所示．因此，根据二次函数图象应满足⎩⎨⎧Δ≥0，－－2a2>1，f (1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－16≥0，a >1，5－2a >0，解得2≤a<52.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，52. 反思感悟 对于k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a >k .如图所示．三、“x 1≤x 2<k ”型例3 若函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个小于2的不同零点，求实数m 的取值范围． 解 依题意，得⎩⎨⎧Δ＝(m －2)2－4(5－m )>0，－m －22<2，f (2)＝m ＋5>0，解得m >4.故实数m 的取值范围是(4，＋∞)．反思感悟 对于x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a <k .如图所示．四、有且仅有一根在(k 1，k 2)内例4 若方程x 2－ax ＋1＝0在区间(0,1)上有且仅有一根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥2 C ．a >2 D ．a <3答案 C解析 方程x 2－ax ＋1＝0在区间(0,1)上有且仅有一个根，则f (1)·f (0)<0， 即(2－a )×1<0，解得a >2.反思感悟 对于有且仅有k 1<x 1(或x 2<k 2)(即在(k 1，k 2)内有且仅有一个根)⇔f (k 1)·f (k 2)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，k 1<－b 2a <k 2.如图所示．五、两根都在(k 1，k 2)内例5 若关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0的两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.∴－12<m ≤1－ 2.反思感悟 对于k 1<x 1≤x 2<k 2(即两根都在(k 1，k 2)内)⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，a >0，f (k 1)>0，f (k 2)>0，k 1<－b 2a <k2或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，a <0，f (k 1)<0，f (k 2)<0，k 1<－b2a <k2⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，af (k 1)>0，af (k 2)>0，k 1<－b 2a <k 2.如图所示．六、“x 1<k 1且x 2> k 2”型例6 方程x 2＋(m 2－1)x ＋(m －2)＝0的一个根比1大，另一个根比－1小，则实数m 的取值范围是( ) A ．0<m <2 B ．－3<m <1 C ．－2<m <0 D ．－1<m <1答案 C解析 设f (x )＝x 2＋(m 2－1)x ＋(m －2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (－1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2<0，－m 2＋m <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <1，m >1或m <0⇔－2<m <0. 反思感悟 对于k 1<x 1<k 2<x 2<k 3⇔⎩⎨⎧f (k 1)>0，f (k 2)<0，f (k 3)>0.如图所示．七、x 1 ∈(k 1，k 2)和x 2 ∈(k 3，k 4)型例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0,3)答案 A解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (2)<0，f (3)>0即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.反思感悟 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论.。

次函数零点分布( 次方程根的分布 )教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。

教学过程一、探究二次函数零点分布的要素21、回想：方程x2 (a 3)x a 0 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。

22、思考：函数f (x) x (a 3)x 2有两个零点，x1, x2，且x1 ,x20,若将条件改成x1 , x2 - 1,，又该满足什么条件。

3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数f(x)x 2 (a 3)x a 有两个练习 2】f (x) x 2 2ax 1有两个零点零点X i ,X 2，且X i , X 2 0, ，求a 范围X i ,X 2，且 X i ,X 2-1, ，求 a 范围 练习 1】例 1 中条件改成 x 1,x 2,0 变式 1】练习 2 中条件改成 X 1,X 2-1,1 2 例 2函数 f(X) X2 (a 3)X a 有两个2变式 2】 f (X) aX 2 2aX 1 的两个零点零点X 1 , X 2，且X 1 , X 2 -1, ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如 - ,m , m,, ( a , b) 。

这类问题要 考虑哪些因素。

例 3函数 f(X) X 2 (a 3)X a 有两个零点X 1, X 2，且X 1 0, X 2 0 ,求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点在不同区间， 这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？ 【练习 3】例 3 中条件改成 X 1 1,X 2 1 【变式 1】 f(X) -X 2 2aX 1 的两个零点有 X 1 1,X 2 1 ，求 a 范围。

【变式 2】 f (X) X 2 (a 3)X a 两个零点有 X 1 1,0 ,X 20,4 ，求 a 范围。

二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。

教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。

2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。

若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。

3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。

这类问题要考虑哪些因素。

【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。

二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。

通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。

本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。

一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。

二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。

零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。

二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。

当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。

2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。

3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。

三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。

在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。

2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。

例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。

3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。

例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。

一元二次方程根（二次函数零点）的分布设一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

注：只讨论0>a 的情况，0<a 可以转化为0>a 的情况。

表二：两根与k （常数）的大小比较：表三：（根在区间上的分布）练习：1.若一元二次方程332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k的取值范围。

（3512>-≤k k 或） 2.k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx有一个正根和一个负根？（0<k <3）3.（1）已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

(412912<<m )（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

(6252+>-<m m 或)（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

(62521+>-<m m 或) 4.（1）已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

(221221+-<<--m ) （2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围。

(3221<<m ) 5、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

6、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

7、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

8、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。