北师大版九年级数学下公式法

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程.（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 .3、当m= 时；关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程.4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法x =（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0知识点三：一元二次方程的根与系数的关系1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x aa+=-⋅=. 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根；（2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++=③22121212()()4x x x x x x -=+-④12||x x - ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式.（3）已知方程的两根x1、x2；可以构造一元二次方程：12212()0x x x x x x -++=（4）已知两数x1、x2的和与积；求此两数的问题；可以转化为求一元二次方程12212()0x x x x x x -++=的根 【例题】 例11 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．例12 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0．（1）若方程有实数根；求实数m 的取值范围； （2）若方程两实数根为x 1；x 2；且满足5x 1+2x 2=2；求实数m 的值．知识点四：应用一元一次方程在利用方程来解应用题时；主要分为两步：①设未知数（在设未知数时；大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②寻找等量关系（一般地；题目中会含有一表述等量关系的句子；只须找到此句话即可根据其列出方程）. 【例题】例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地；它的长比宽多11米；设场地的宽为x 米；则可列方程为（ ） A ．x （x-11）=180B ．2x+2（x-11）=180C ．x （x+11）=180D ．2x+2（x+11）=180例14 某商品现在的售价为每件60元；每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元；每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元；在顾客得实惠的前提下；商家还想获得6080元的利润；应将销售单价定位多少元？经典习题练题平台：（请认真审题；我一定行！） 一、填空题：1.已知两个数的差等于4；积等于45.则这两个数为 和 .2.当m 时；方程（m 2-1）x 2-mx+5=0不是一元二次方程.当当m 时；上述方程是一元二次方程.3.用配方法解方程x 2-4x-6=0；则x 2-4x+ =6+ .所以x 1= ；x 2= .4.如果x 2-2（m+1）x+4是一个完全平方式；则m= .5.当 ≥0时；一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .6.如果x 1、x 2是方程2x 2-3x-6=0.那么x 1+x 2= ；x 1x 2= .7.若方程x 2-3x+m=0有两个相等的实数根.则m= ；两根分别为 .8.若方程kx 2-9x+8=0的一个根为1；则k= ；另一个根为 .9.以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 .10.关于x 的一元二次方程mx 2+x+m 2+3m=0有一个根为零；则m 的值等于 . 二、选择题：1.下列方程中；一元二次方程是（ ）（A ）.（B ） ax 2+bx （C ）（x-1）（x+3）=1 （D ）3x 2-2xy-5y 2=02.方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）（A ）有两个不相等实数根 （B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根 3.如果一元二次方程x 2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数；那么有（ ） （A ）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对212x x +4.已知x 1；x 2是方程x 2=2x+1的两个根；则 的值为（ ）（A ） （B ）2 （C ）-2 （D ）5.不解方程2x 2+3x-1=0的两根的符号为（ ）（A ） 同号 （B ） 异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定 6.已知一元二次方程mx 2+n=0 （m ≠0）；若方程有解；则必须（ ） （A ）n=0 （B ）mn 同号 （C ）n 是m 的整数倍 （D ）mn 异号 7.若a 为方程x 2+x-5=0的解；则a 2+a+1的值为（ ） （A ）12 （B ） 6 （C ）9 （D ）168.某超市一月份的营业额为200万元；三月份的营业额为288万元；如果每月比上月增长的百分数相等；则平均每月增长率为（ ）（A ）10% （B ）15% （C ）20% （D ）25%解 三、解下列方程1. x 2-5x+1=0 (用配方法解)2. 3（x-2）2=x （x-2）3. 2x 2-22x-5=04. （y+2）2 = （3y-1）2四、当m 为何值时；一元二次方程x 2+（2m-3）x+（m 2-3）=0有两个不相等的实数根？五、不解方程；求作一个新的一元二次方程；使它的两个根分别是方程x 2-7x=2的两根的 2倍.六、已知方程x 2+2（k-2）x+k 2+4=0有两个实数根；且这两个实数根的平方和比两根的积大21； 求k 的值.七、解答题1. 将进货单价40元的商品按50元出售；能卖出500个；已知这种商品每涨价1元；就会少销售10个.为了赚的8000元利润；售价应定为多少？这时应进货多少个？ 2111x x +21-212. 如图在ΔABC 中；∠B=90º；点P 从A 开始沿边AB 向点B 以的速度移动；与此同时；点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以的速度移动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发；经过几秒；ΔBPQ 的面积等于8cm 2？（AB=6cm ；BC=8cm ）scm 1scm2。

北师大版初中九 (上)数学学问点总结第一章 证明(二)※等腰三角形的“三线合一〞：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必定等于斜边的一半。

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

※假如知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222c b a =+〔留意区分斜边及直角边〕②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半〔此定理将在第三章出现〕 ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。

〔留意着重号的意义〕 <直线及射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点间隔 相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的间隔 相等。

〔如图1所示，〕※角平分线上的点到角两边的间隔 相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，假如一点到角两边的间隔 相等，那么它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边间隔 相等的全部点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边间隔 相等，交点即为三角形的内心。

(如图2所示，)第二章 一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为 常数，a ≠0〕的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为常数，a ≠0〕称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>②公式法 aac b b x 242-±-= 〔留意在找时须先把方程化为一般形式〕 ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

完整版)北师大版初中数学定理、公式汇编初中数学定理、公式汇编第一篇数与代数第一节数与式一、实数1.实数的分类：整数（包括正整数、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数，如：-3，1/2，0.231，0.…，无理数如π，√2等；无限不循环小数如0.xxxxxxxx01…（两个1之间依次多1个0）等。

有理数和无理数统称为实数。

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数和数轴上的点一一对应。

3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.如：|－3|=3，|3.14－π|=π－3.14.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。

a的相反数是－a，－a的相反数是a。

5.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到最后一个数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

如：0.精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6、0.6.科学记数法：把一个数写成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是整数），这种记数法叫做科学记数法。

如：=4.07×10^5，0.=4.3×10^-5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。

8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂。

9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；只有一个平方根，它是本身；负数没有平方根。

10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，√a的算术平方根是正数。

12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

数学初三下北师大版2.5公式法求二次函数的顶点坐标导学案+练习主备人：姜良站审核人：钟付强【学习目标】1、体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性、2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题【学习重点】运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题、【学习难点】二次函数的对称轴和顶点坐标公式的推导【课前自学】1、函数2232+-=x y 的图象开口方向，对称轴是，顶点坐标是 2、函数22(3)13y x =-++的图象开口方向，对称轴是，顶点坐标是 3、将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =〔〕A 、向左平移4个单位，再向上平移1个单位B 、向左平移4个单位，再向下平移1个单位C 、向右平移4个单位，再向上平移1个单位D 、向右平移4个单位，再向下平移1个单位4、把函数1842++-=x x y 配成2()y a x h k =-+的形式。

并写出顶点坐标和对称轴。

【新课学习】例：用配方法求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标、归纳：对称轴是，顶点坐标为〔，〕作为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的顶点坐标公式。

【巩固练习】1、用配方法将二次函数2342y x x =--写成形如2()y a x h k =++的形式，那么m ，n 的值分别是〔〕 Ａ、23m =，103n = Ｂ、23m =-，103n =- Ｃ、2m =，6n = Ｄ、2m =，2n =-2、二次函数的图象的顶点是〔1，-3〕，那么那个二次函数是。

3、确定以下抛物线的对称轴与顶点坐标、〔1〕2241y x x =--〔2〕2362y x x =-+〔3〕3(3)(9)y x x =-++4、有心理学家研究发明，学生对某类概念的同意能力y 与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系：20.1 2.643(030)y x x x =-++≤≤，y 值越大，表示同意能力越强，依照这一结论回答以下问题：〔1〕x 在什么范围内，学生的同意能力逐渐增强？x 在什么范围内，学生的同意能力逐渐降低？〔2〕通过多长时间，学生的同意能力最强？【作业布置】同步P1041-5〔A 组〕1-7〔B 组〕2-5公式法求二次函数的顶点坐标〔当堂训练〕1、将2231y x x =+-化成()y a x h k 2=-+的形式为〔〕A 、2325416y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ B 、2317248y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C 、2317248y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ D 、231748y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2、依照公式确定以下二次函数图像的对称轴与顶点坐标、〔1〕236y x x =-+〔2〕2580319y x x =-+-3、当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系能够用公式 h=1015052++-t t 表示,通过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？。

初三数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 1. 花边有多宽 2. 配方法 3. 公式法二. 教学目标1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法解简单的一元二次方程。

2、能够利用一元二次方程解简单的实际问题，初步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，并从中体会方程的模型思想。

三、重点及难点重点：1、一元二次方程的概念及其一般形式。

2、掌握配方法、公式法解一元二次方程的步骤。

难点：1、如何利用未知数取值法确定未知数的取值X 围。

2、解一元二次方程的过程。

四、课堂教学 ［知识要点］1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。

2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

3、一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程。

4、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法 。

例如：()264x += 解： 62x +=± ∴124,8x x =-=-5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

例如：2240x x --= 解：移项得：224x x -=两边都加上一次项系数一半的平方：22141x x -+=+即：()215x -=∴1x -=∴1211x x ==6、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

7、求根公式：对于一元二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=，即12b x a -+=，22b x a-=注意：当240b ac -=时，应把方程的根写成122bx x a==-的形式，说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根。

北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。

通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。

2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。

2.运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。

公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。

让学生举例说明，培养学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。

2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。

本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。

但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。

3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。

上册第一单元证明（二）知识点一、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2、判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）二、等腰三角形1、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）2、判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

三、等边三角形1、性质：（1）等边三角形的三条边相等。

（2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。

2、判定方法：（1）三条边都相等的三角形叫等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形1、性质：（1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（勾股定理）（2）在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

2、判定方法：（1）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形全等的判定方法（1）SSS（2）SAS（3）ASA （4）AAS（4）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）五、线段的垂直平分线1、定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、定理2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、定理3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

六、角平分线1、定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、定理2：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。