北师大版九年级数学下公式法

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程；这样的方程叫一元二次方程.（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数；a ≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项. 【例题】1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 .3、当m= 时；关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程.4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-=知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0；则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤： ①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根. 【例题】例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x-4）2=17D ．（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0；下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36B ．（x-6）2=4+36C ．（x-3）2=-4+9D ．（x-3）2=4+9例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法x =（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解；则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1B ．a≤4C ．a≤1D ．a≥1例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0；则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．3.分解因式法 把方程的一边变成0；另一边变成两个一次因式的乘积来求解.（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0；-2 D ．0；2例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0知识点三：一元二次方程的根与系数的关系1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2；则有：1212,b c x x x x aa+=-⋅=. 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根；（2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的对称式的值. （3）对比记忆以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++=③22121212()()4x x x x x x -=+-④12||x x - ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式.（3）已知方程的两根x1、x2；可以构造一元二次方程：12212()0x x x x x x -++=（4）已知两数x1、x2的和与积；求此两数的问题；可以转化为求一元二次方程12212()0x x x x x x -++=的根 【例题】 例11 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根；求实数a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时；求a 的值及方程的另一根．例12 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0．（1）若方程有实数根；求实数m 的取值范围； （2）若方程两实数根为x 1；x 2；且满足5x 1+2x 2=2；求实数m 的值．知识点四：应用一元一次方程在利用方程来解应用题时；主要分为两步：①设未知数（在设未知数时；大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）； ②寻找等量关系（一般地；题目中会含有一表述等量关系的句子；只须找到此句话即可根据其列出方程）. 【例题】例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地；它的长比宽多11米；设场地的宽为x 米；则可列方程为（ ） A ．x （x-11）=180B ．2x+2（x-11）=180C ．x （x+11）=180D ．2x+2（x+11）=180例14 某商品现在的售价为每件60元；每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元；每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元；在顾客得实惠的前提下；商家还想获得6080元的利润；应将销售单价定位多少元？经典习题练题平台：（请认真审题；我一定行！） 一、填空题：1.已知两个数的差等于4；积等于45.则这两个数为 和 .2.当m 时；方程（m 2-1）x 2-mx+5=0不是一元二次方程.当当m 时；上述方程是一元二次方程.3.用配方法解方程x 2-4x-6=0；则x 2-4x+ =6+ .所以x 1= ；x 2= .4.如果x 2-2（m+1）x+4是一个完全平方式；则m= .5.当 ≥0时；一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .6.如果x 1、x 2是方程2x 2-3x-6=0.那么x 1+x 2= ；x 1x 2= .7.若方程x 2-3x+m=0有两个相等的实数根.则m= ；两根分别为 .8.若方程kx 2-9x+8=0的一个根为1；则k= ；另一个根为 .9.以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 .10.关于x 的一元二次方程mx 2+x+m 2+3m=0有一个根为零；则m 的值等于 . 二、选择题：1.下列方程中；一元二次方程是（ ）（A ）.（B ） ax 2+bx （C ）（x-1）（x+3）=1 （D ）3x 2-2xy-5y 2=02.方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）（A ）有两个不相等实数根 （B ）没有实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根 3.如果一元二次方程x 2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数；那么有（ ） （A ）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对212x x +4.已知x 1；x 2是方程x 2=2x+1的两个根；则 的值为（ ）（A ） （B ）2 （C ）-2 （D ）5.不解方程2x 2+3x-1=0的两根的符号为（ ）（A ） 同号 （B ） 异号 （C ）两根都为正 （D ）不能确定 6.已知一元二次方程mx 2+n=0 （m ≠0）；若方程有解；则必须（ ） （A ）n=0 （B ）mn 同号 （C ）n 是m 的整数倍 （D ）mn 异号 7.若a 为方程x 2+x-5=0的解；则a 2+a+1的值为（ ） （A ）12 （B ） 6 （C ）9 （D ）168.某超市一月份的营业额为200万元；三月份的营业额为288万元；如果每月比上月增长的百分数相等；则平均每月增长率为（ ）（A ）10% （B ）15% （C ）20% （D ）25%解 三、解下列方程1. x 2-5x+1=0 (用配方法解)2. 3（x-2）2=x （x-2）3. 2x 2-22x-5=04. （y+2）2 = （3y-1）2四、当m 为何值时；一元二次方程x 2+（2m-3）x+（m 2-3）=0有两个不相等的实数根？五、不解方程；求作一个新的一元二次方程；使它的两个根分别是方程x 2-7x=2的两根的 2倍.六、已知方程x 2+2（k-2）x+k 2+4=0有两个实数根；且这两个实数根的平方和比两根的积大21； 求k 的值.七、解答题1. 将进货单价40元的商品按50元出售；能卖出500个；已知这种商品每涨价1元；就会少销售10个.为了赚的8000元利润；售价应定为多少？这时应进货多少个？ 2111x x +21-212. 如图在ΔABC 中；∠B=90º；点P 从A 开始沿边AB 向点B 以的速度移动；与此同时；点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以的速度移动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发；经过几秒；ΔBPQ 的面积等于8cm 2？（AB=6cm ；BC=8cm ）scm 1scm2。

北师大版初中九 (上)数学学问点总结第一章 证明(二)※等腰三角形的“三线合一〞：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必定等于斜边的一半。

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

※假如知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222c b a =+〔留意区分斜边及直角边〕②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半〔此定理将在第三章出现〕 ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。

〔留意着重号的意义〕 <直线及射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点间隔 相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点间隔 相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的间隔 相等。

〔如图1所示，〕※角平分线上的点到角两边的间隔 相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，假如一点到角两边的间隔 相等，那么它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边间隔 相等的全部点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边间隔 相等，交点即为三角形的内心。

(如图2所示，)第二章 一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为 常数，a ≠0〕的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=++c bx ax 〔a 、b 、c 为常数，a ≠0〕称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>②公式法 aac b b x 242-±-= 〔留意在找时须先把方程化为一般形式〕 ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

完整版)北师大版初中数学定理、公式汇编初中数学定理、公式汇编第一篇数与代数第一节数与式一、实数1.实数的分类：整数（包括正整数、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数，如：-3，1/2，0.231，0.…，无理数如π，√2等；无限不循环小数如0.xxxxxxxx01…（两个1之间依次多1个0）等。

有理数和无理数统称为实数。

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数和数轴上的点一一对应。

3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.如：|－3|=3，|3.14－π|=π－3.14.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。

a的相反数是－a，－a的相反数是a。

5.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到最后一个数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

如：0.精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6、0.6.科学记数法：把一个数写成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是整数），这种记数法叫做科学记数法。

如：=4.07×10^5，0.=4.3×10^-5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。

8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂。

9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；只有一个平方根，它是本身；负数没有平方根。

10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，√a的算术平方根是正数。

12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

数学初三下北师大版2.5公式法求二次函数的顶点坐标导学案+练习主备人：姜良站审核人：钟付强【学习目标】1、体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性、2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题【学习重点】运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题、【学习难点】二次函数的对称轴和顶点坐标公式的推导【课前自学】1、函数2232+-=x y 的图象开口方向，对称轴是，顶点坐标是 2、函数22(3)13y x =-++的图象开口方向，对称轴是，顶点坐标是 3、将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =〔〕A 、向左平移4个单位，再向上平移1个单位B 、向左平移4个单位，再向下平移1个单位C 、向右平移4个单位，再向上平移1个单位D 、向右平移4个单位，再向下平移1个单位4、把函数1842++-=x x y 配成2()y a x h k =-+的形式。

并写出顶点坐标和对称轴。

【新课学习】例：用配方法求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标、归纳：对称轴是，顶点坐标为〔，〕作为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的顶点坐标公式。

【巩固练习】1、用配方法将二次函数2342y x x =--写成形如2()y a x h k =++的形式，那么m ，n 的值分别是〔〕 Ａ、23m =，103n = Ｂ、23m =-，103n =- Ｃ、2m =，6n = Ｄ、2m =，2n =-2、二次函数的图象的顶点是〔1，-3〕，那么那个二次函数是。

3、确定以下抛物线的对称轴与顶点坐标、〔1〕2241y x x =--〔2〕2362y x x =-+〔3〕3(3)(9)y x x =-++4、有心理学家研究发明，学生对某类概念的同意能力y 与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系：20.1 2.643(030)y x x x =-++≤≤，y 值越大，表示同意能力越强，依照这一结论回答以下问题：〔1〕x 在什么范围内，学生的同意能力逐渐增强？x 在什么范围内，学生的同意能力逐渐降低？〔2〕通过多长时间，学生的同意能力最强？【作业布置】同步P1041-5〔A 组〕1-7〔B 组〕2-5公式法求二次函数的顶点坐标〔当堂训练〕1、将2231y x x =+-化成()y a x h k 2=-+的形式为〔〕A 、2325416y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ B 、2317248y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C 、2317248y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ D 、231748y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2、依照公式确定以下二次函数图像的对称轴与顶点坐标、〔1〕236y x x =-+〔2〕2580319y x x =-+-3、当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系能够用公式 h=1015052++-t t 表示,通过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？。

初三数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 1. 花边有多宽 2. 配方法 3. 公式法二. 教学目标1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法解简单的一元二次方程。

2、能够利用一元二次方程解简单的实际问题，初步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，并从中体会方程的模型思想。

三、重点及难点重点：1、一元二次方程的概念及其一般形式。

2、掌握配方法、公式法解一元二次方程的步骤。

难点：1、如何利用未知数取值法确定未知数的取值X 围。

2、解一元二次方程的过程。

四、课堂教学 ［知识要点］1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。

2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

3、一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程。

4、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法 。

例如：()264x += 解： 62x +=± ∴124,8x x =-=-5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

例如：2240x x --= 解：移项得：224x x -=两边都加上一次项系数一半的平方：22141x x -+=+即：()215x -=∴1x -=∴1211x x ==6、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

7、求根公式：对于一元二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=，即12b x a -+=，22b x a-=注意：当240b ac -=时，应把方程的根写成122bx x a==-的形式，说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根。

北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。

通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。

但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。

2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。

2.运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。

公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。

让学生举例说明，培养学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。

2024北师大版数学九年级下册2.5.2《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5.2节的内容。

本节课的内容包括：了解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，以及运用二次函数的性质解决实际问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的联系，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的基本知识。

但部分学生对于如何运用二次函数的性质解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的解法，能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现规律。

3.合作学习法：鼓励学生相互讨论，共同解决问题。

4.实践教学法：让学生在实际问题中运用所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数与一元二次方程的关系及解法。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的性质解决实际问题。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商场举行打折活动，某商品原价为800元，打八折后售价为多少？引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）展示商品打折问题，引导学生列出相应的二次函数和一元二次方程。

上册第一单元证明（二）知识点一、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2、判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）二、等腰三角形1、性质：（1）等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）2、判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

三、等边三角形1、性质：（1）等边三角形的三条边相等。

（2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。

2、判定方法：（1）三条边都相等的三角形叫等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形1、性质：（1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（勾股定理）（2）在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

2、判定方法：（1）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形全等的判定方法（1）SSS（2）SAS（3）ASA （4）AAS（4）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）五、线段的垂直平分线1、定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、定理2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、定理3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

六、角平分线1、定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、定理2：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版九年级数学上下册目录第一章三角形的证明1. 等腰三角形2. 直角三角形3. 线段的垂直平分线4. 角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1. 左右关系2. 不等式的基本性质3. 不等式的边值问题4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组总结与思索复习题第三章图形的位移与转动1. 图形的平移2. 图形的转动3. 中心对称4. 直观的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1. 因式分解2. 提公因式法3. 公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1. 重新认识分式2. 分式的乘除法3. 分式的加减法4. 分式方程总结与思索复习题第六章平行四边形1. 平行四边形的性质2. 平行四边形的认定3. 三角形的中位线4. 多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践⊙ 生活中的“一次模型”综合与实践⊙ 平面图形的方形总复习一、左右关系定义：一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.与方程的区别：方程则表示的就是成正比的关系;不等式则表示的就是不成正比的关系.备注：准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”“不小于”“不大于”“至多”“至少”等数学术语.二、不等式的基本性质●不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变，即如果a>b，那么a c>b c;●不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc(或>);●不等式的两边都乘坐(或除以)同一个负数，不等号的方向发生改变，即为如果a>b，c<0，那么ac三、不等式的解集1、能够并使不等式设立的未知数的值，叫作不等式的求解.一个所含未知数的不等式的所有求解，共同组成这个不等式的边值问题.谋不等式边值问题的过程叫作求解不等式.2、不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：(1)边界：存有等号的实心圆点，并无等号的空心圆圈;(2)方向：大于向右，小于向左.四、一元一次不等式定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.求解一元一次不等式的步骤：①回去分母;②回去括号;③移项;④分拆同类项;⑤系数化成1.列不等式解应用题的基本步骤：①审，②设，③列，④解，⑤答.附注：求解一元一次不等式特别必须特别注意，当不等式两边都乘坐一个负数时，不等号必须改变方向.五、一元一次不等式与函数设立一次函数y kx b，则存有一次函数的图像在x轴的上方kx b>0;一次函数的图像在x轴的下方kx b<0.六、一元一次不等式组求解一元一次不等式组的方法：“分离求解，分散判”备注：几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.。

二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。

北师大版九年级数学下册教案理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会娴熟应用公式法解一元二次方程.复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比方，方程 (1)x2=4 (2)(x-2)2=7提问1 这种解法的(理论)依据是什么?提问2 这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特别二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程 2x2+3=7x(教师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评).(1)先将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q;假如q0，方程无实根.二、探究新知用配方法解方程：(1)ax2-7x+3=0 (2)ax2+bx+3=0假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a(这个方程肯定有解吗?什么状况下有解?) 分析：由于前面详细数字已做得许多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个详细数字，依据上面的解题步骤就可以始终推下去.解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+bax=-ca配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2即(x+b2a)2=b2-4ac4a2∵4a20，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a即x=-b±b2-4ac2a∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1 用公式法解以下方程：(1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x(3)x2-2x+12=0 (4)4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.补：(5)(x-2)(3x-5)=0三、稳固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).四、课堂小结本节课应把握：(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，留意移项要变号，尽量让a0;2)找出系数a，b，c，留意各项的系数包括符号;3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的状况.五、作业布置教材第17页习题4#710428北师大版九年级数学下册教案2一、创设情境导入新课1、介绍七巧板师：你们玩过七巧板吗?你知道七巧板是由哪些不同的图形组成的吗?一千多年前，中国人创造了七巧板。