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5-2拉压杆的变形计算汇总

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拉压杆的变形与变形能-5

拉压杆的变形与变形能-5

§2-5拉伸或压缩时的变形1．沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为，横截面面积为。

在轴向力l A P 作用下，长度由l 变为。

杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为1ll l l −=Δ1 （1）由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长除以原长l ：l Δl l Δ=ε （2） 由εσE =得ll E A N Δ= 所以EAPl EA Nl l ==Δ （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l Δ与拉力P 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积成反比。

这是胡克定律的另一种表达形式。

式中是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将EA 称为抗拉（压）刚度。

A EA 2．横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为，变形后相应尺寸变为，则横向变形为 b 1bb b b −=Δ1横向线应变可定义为bb Δ=′ε 由实验证明，在弹性范围内μεε=′ （2-7） μ为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。

由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号εεμ′−=，称为泊松比或横向变形系数。

ε′与ε的关系为μεε−=′ （2-8）3()()x Nx e σγ0 ()A dA A σσγ+=+在处0=x 0A A =即：按指数函数变化。

A 例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD 段cm 21=A 2，DA 段42=A cm 2，kN ，kN 。

求AB 杆的变形5=AB l 1P 102=P Δ。

（材料的MPa ）310120×=E 解：首先分别求得BD 、DC 、CA 三段的轴力，N ，为1N 23N 51−=N kN ；52−=N kN ；53=N kN449311111005.1102101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l BD （m ） 449322221052.0104101205.0105−−×−=×××××−==Δ=ΔEA l N l l DC （m ） 449333331052.0104101205.0105−−×=×××××==Δ=ΔEA l N l l CA（m ） 43211005.1−×−=Δ+Δ+Δ=Δl l l l AB （m ） AB l Δ的负号说明此杆缩短。

材料力学 杆件的变形计算

材料力学 杆件的变形计算

例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC

拉压杆的变形计算

拉压杆的变形计算

B 1 2
C
B
1 2
C

A

A
A'' （2）两杆的变形为
FN1l1 Fl Δl1 Δl2 （伸长） EA 2 EA cos
变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.
B 1 2
C
1
2

A
A''
l 1 A2
A A' A1
A
以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A, 即为A点的新位置.AA 就是A点的位移. 因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A 可认为
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
h1
F
h
b b1
F
l
l1
一、纵向变形 (Axial deformation)
1. 纵向变形 (Axial deformation)
2. 纵向应变 (Axial strain)
Δl l1 l Δl l
拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation)
B 1 C

A
2
y B 1 2
C
FN1
1
FN2

2

A
x A
F 解：（1） 列平衡方程,求杆的轴力
Fx 0 Fy 0
FN1 FN 2
FN 2 sin FN1 sin 0 FN1 cos FN 2 cos F 0 F 2 cos
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段， 在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.

《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算

《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算

根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形

杆件的变形计算

杆件的变形计算

T1 d1
A
T2
T3
d2
B
C
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
T1 d1
AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1）根据题意，首先画出扭矩图
2）AB 段单位长度扭转角：
AB
+
jAC1π80M G CB lpC IBM G BlA pB IA
180 7Ma π GI p
x 73jDB2.33
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
Cease to struggle and you cease to live.
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
y
C’
A
C
x
挠度和转角的关系
B’
wB
w
B
x
w dy tan
dx
在小变形假设条件下
tan
wdytan
生命不止，奋斗不息
材料力学 Mechanics of Materials
M 2M
3M 1）画出扭矩图
D a C aB
Mx 2M M
2）求最大切应力
2a A
首先要求出M 的数值

第四章 杆件的变形计算

第四章 杆件的变形计算

3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A F B 30oC2 C
Cx CC2 0.277mm C y CC1 / sin30 CC 2 cot30
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C C y C x 1.47mm
(此问题若用圆弧精确求解)
2
2
Cx
C0
T3 C
1）根据题意，首先画出扭矩图
T1 d1 A Mx N· m B T2 d2 C T3
2）AB 段单位长度扭转角：
1400
800
AB
M xAB GI pAB
+
x
1400 4 π 0.06 80 10 9 32 0.01375rad / m
3）BC 段单位长度扭转角： M xBC BC
M xi li j i 1 GI pi
n
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N· m， T2=600N· m， T3=800N· m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1 A
T2 d2 B
第四章
• • • • •
杆件的变形计算
本部分主要内容:
拉压杆的轴向变形 圆轴的扭转变形与相对扭转角 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的弯曲变形 用叠加法求梁的弯曲变形
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗 杆件在轴线方向的伸长

泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数， 可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存 在着下面的关系

《材料力学》2-4拉(压)杆的变形.胡克定律

拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
LLL 绝对变形
线应变: 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形
当杆沿长度均匀变形时
L L
纵向线应变 (无量纲)
y
C
O
x
A
B
z △x
当杆沿长度非均匀变形时
αD
B1 BB2C1 C
FNCD
F
A
C
a
CC1
CL CCD ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LC FD LFN1 2CEL D A cLC o DsFCD
2Fa
EAcos2
B
4Fa
EAco3s
移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
a
LCDa
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCDa EA
mA 0
FNCD2F
B 2L 2 LC FN DCD 4EFFAaL0
例题
2.12
B
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
L AB L AC F N EA L A C 2 EF c A o Ls
A
A AA
L AC
cos
FL
2EAcos2

轴向拉(压)杆的变形

（5-8） ε′没有量纲。
轴向拉（压）杆的变形
1.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极
限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比
值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(5-9a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
ε'=-νε
(5-9b)
泊松比ν是材料的另一个弹性常数，由实验测得。工
程上常用材料的泊松比见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
工程力学
引入比例常数E，则上式可写为 （5-7）
上式称为胡克定律，这是胡克定律的另一形式。 由式（5-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA 为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
1.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的方向伸长（缩 短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向 尺寸由b变为b1，如图5-8(b)所示，Δb= b1-b，则 横向线应变为
工程力学
轴向拉（压）杆的变形
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变 形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短）， 即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向 伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相 应缩小（或增大），即产生垂直于轴线 方向的横向变形。
轴向拉（压）杆的变形
1.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F 的作用下，长度由l变为l1，如图5-8（a）所示。杆件沿轴线方 向的伸长为Δl=l1－l，拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图5-8
轴向拉（压）杆的变形
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度 的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件 变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表形

学习情境三 3.拉压杆的变形计算



580 600 200 702

(580 660) 700 2001202
l2
0.355 0.301 0.656(mm)
（2）上、下两部分的线应变之比
1

l1 l1

0.355 600
5.916 10 4
2

l2 l2

0.301 700
4.310 4
l 1 N l EA
＝E
虎克定律的另一种表达形式
上式表明： 在弹性范围内，应力与应变
成正比。
例 图 示 阶 梯 杆 ， 已 知 横 截 面 面 积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。
解 ①作轴力图。
②分段计算变形量。
实验表明，在弹性范围内，杆件的纵向变形与
轴力N、杆长l 成正比，而与杆的横截面积A成反比。
即
l Nl
EA
上式称胡克定律。
E——称为弹性模量 E与材料性质有关，是衡量材料抵抗变形能力的
一个指标，大小由试验测定，单位为Pa。 EA——称为抗拉压刚度 它反映了杆件抵抗拉压变形的能力。
二、虎克定律
l Nl EA
l AB

N ABlAB EA AB
20 103 100 200 103 500 0.02mm
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm
AB C 30kN
D 10kN
100 100 100
FN 20kN
+
O
－
x
10kN
③计算总变形量。
△l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm

材料力学 杆件的变形计算

必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以 一条 绳系两箭，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三 尺。其中 “两萧” 就是指弓的两端。 胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一 个意思。您比我早1500 中就记录下这种正比关系，的确了不起， 真是令人佩服之至』我在1686 年《关于中国文字和语言的研究 和推测》一文中早就推崇过贵国的古代文化：“目前我们还只 是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认 识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般
B
30oC2
C
C1
1.44mm
胡：请问，“ 弛其弦，以绳缓援之” 是什么意思 ?
郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓 的两端，然后加重物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。
郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说： 郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l l AB lBC
－
20
l AB
FNABl AB EAAB
40 10 3 400 200 10 3 800
0.1mm
伸长
lBC
FNBC l BC EABC
20103 400 0.167mm
200103 240
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
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F
a1
横向变形为 a = a 1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。
l l1 l 纵向线应变： l l a a1 a 横向线应变： a a
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0。 3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即 ' =-
10kN
x
练习1．图示等截面直杆，其横截面面积A=4000cm2， 材料的弹性模量E=2×108Pa，试分别求上、下段的应力 和变形量。
300kN A B
3m
400kN
4m
C
小结： 1.应力与应变关系:
虎克定律:
Nl l EA
＝E
2.拉压杆的变形计算
Nl l EA
应用时注意：N的正负要代入公式中计算。
A B C 30kN D
②分段计算变形量。 N ABl AB l AB EAAB
10kN
100
100
100
FN 20kN + 20103 100 0.02mm O 3 20010 500
－
△lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm ③计算总变形量。 △l = △lAB + △lBC + △lCD = -0.0067mm
复习：

1.轴向拉压的受力特点和变形特点；

2．轴力的计算及轴力图的绘制
轴力的计算：N=∑F左或N=∑F右
轴力图作图规律：
左上右下，突变值等于外力的大小。

3．轴向拉(压)杆横截面上的正应力的计算。
N A
第三节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向变形和横向变形
l1
a1
F
l
F
a
F
l1
1. 纵向变形为 l=l1- l
作业：图示轴向受压柱的横截面面积为A＝0.8m2，承受 压力P=2000kN作用，已知柱长4m材料的弹性模量 E=2000MPa，试求该柱底截面所受应力及柱顶的位移。
P
二、虎克定律
Nl l EA
l 1 N l E A
＝E
虎克定律的另一种表达形式
上式表明： 在弹性范围内，应力与 应变 成正比。
例 图 示 阶 梯 杆 ， 已 知 横 截 面 面 积 AAB=ABC=500mm2 ， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。 解 ①作轴力图。
二、虎克定律
实验表明，在弹性范围内，杆件的纵向变形与 轴力N、杆长l 成正比，而与杆的横截面积A成反比。 即
Nl l ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱEA
上式称胡克定律。 E——称为弹性模量 E与材料性质有关，是衡量材料抵抗变形能力的 一个指标，大小由试验测定，单位为Pa。 EA——称为抗拉压刚度 它反映了杆件抵抗拉压变形的能力。