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tan(x k) tan x, 其中，x R, x k, k Z. 2 所以 k(k Z,k 0) 是正切函数的周期.
是它的最小正周期. p
回顾探究 用正弦线作正弦函数图象
第一步：画出正弦函数在一个周期内的图像
1、选择一个周期 0,2 ,把单位圆分成若干(12)等分 2、利用单位圆，作正弦线 3、方法：平移正弦线
0
x
解法1
解法2
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
变式提高
2、求满足下列式子 x 的取值范围 ：
若 tan( x ) 1，则 4
3 k , k , k Z 4
3 2
y tan x
3 (1).tan 与tan 8 8 3 tan tan
8 8
13 17 （2） )与 tan( ) tan( 4 5
13 17 tan( ) tan( ) 4 5
动手实践： 画函数 y tan( x ） 的图像，并通过图像讨论其的 4 性质
x 根据正切函数与正弦函数、余弦函数的的定义，不难看出：
sin tan cos
M 1
k , k Z ） （α∈R, 2
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值 图1 为函数值的函数,我们统称它们为三角函数.
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3
非奇非偶函数
最小正周期是
3
1 练：求函数 y 的定义域 tan x 1
x k tan x 1 4 解： x k x k 2 2
1 k x k 2 2 4 2
1 k x k 2 2 4 2
y 3 tan(
1 由u x 得 : 2 4
1 x )的单调递减区间为: 2 4
3 2k x 2k 2 2
3 2k x 2k 2 2
3.过点A(1,0)作圆的切线,交终边或其反向延长线于T
思 考
α在第 一、三 象限时， tanα>0
二、四 α在第 象限时， tanα <0
3.正切函数的周期 由于
sin x cos x tan x(k为奇数)， sin(x k) tan(x k) cos(x k) sin x tan x(k为偶数). cos x
所以 x x k 且x k , k z 4 2
小结：注意正切函数y=tanx自身的定义域 。
例1.（2）求函数 y tan x 3 的定义域
解：
解不等式： x 3 tan
y
3
0
x
2
3
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
设t x , 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z 4 2 x k , x k 4 2 4
值域 : R
k x k 2 4 2 3 k x k 4 4 3 函数的单调增区间是 k , k , k Z
u
解 : (1)令u x , 则y 3 tan u 2 4 1
2
1 (1) y 3 tan( x ); 2 4 1
4
例3
求下列的单调区间：
x 变题(2) y 3 tan( ) 2 4
解 : 因为原函数可化为: y 3 tan( ); 2 4 x
P′ (-x,-y )
·
无对称轴
k ,
2 kZ (7)渐近线方程：x k , 2
k ), k z 上是增函数 2
巩固应用 例1：不求值比较下列各组两个正切值的大小 y tan x
(1). tan(
解：
3
)与 tan(
y tan x在 , 内单调递增 又∵ 3 2 2 2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例题分析
tan 例 ４ 解不等式： x 3
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
0
解：
y
3
x
2
3
解法1
解法2
例题分析
tan 例 ４ 解不等式： x 3
y
解：
3
T
A
4 4
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z 2 2
变式提高
1.已知函数y tan(2 x
求（1）定义域：
k , k z x x 8 2
4
）
y tan x
y
（2）单调区间：
正切函数的图象和性质
1.正切函数的定义 在直角坐标系中，如图，如果满足： α∈R, k , k Z 那么角α的终边与 2 y 是角α的函数， y 单位圆交于点P（x,y)，唯一确定的比值 .根据函数的定义，比值 x x 我们把它叫作角α的正切函数，记作: 的终边 其中α∈R, k , k Z y tan x y 2 P(a,b) o
奇函数，图象关于原点对称。 ⑷ 奇偶性： (5)单调性： 在每一个开区间 ( 上是增函数
2 k ), k z
3 、思想方法：
（1）、作图：平移三角函数线
（2）、比较大小：利用单调性 （3）、类比归纳、整体代换、数形结合、换元
作业P39 T1、2
4
6
2
∴
又∵y tan x在 2 , 2 内单调递增 3 tan( ) tan tan( ) tan ） 即 （ 6 4 6 4
把相应的角化到的同一单调区间内， 再利用y=tanx的单调递增性解决。
巩固提高
比较下列各组两个正切值的大小
2、利用单位圆作正切线
，） 把单位圆右半圆分成8等份。 2 2
T
3 、平移正切线
4 、用光滑的曲线 连接正切线的交叉 点
A
3 2 8
，4
3 ，8 ，8 ， ，8 4
得到正切函数的图象，并把它叫做正切曲线 根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象 y tan x ( x R x k , k Z 向左、右平移，（每次平移 ,个单位长度) ) 2 y
k u k , k Z 2 2 1 由u x 得 : 2 4
x
为增函数; 且y tan u的单调区间为:
令u
; 所以y tan u的单调递增区间为: 2 4
k u k , k Z 2 2
1 y 3 tan( x )的单调递增区间为: 2 4
4、用光滑的曲线连接正弦线的交叉点
第二步：将图像拓展到 整个定义域内 y 1 o
2
3 2
4
3
2
2
2
3
4 x
-1
类比、实践，展示成果
作法:1、选择一个周期（
画一个周期内正切函数图像
3 3 ， ， ， ， ， 8 8 8 4 8 4
解 : f ( x) 3 tan(2 x ) 4
(1) y 3 tan(2 x ); 4
（提示：利用正切函数的最小正周期 来解）
例4 求下列函数的周期：
1 (2)变题y 3 tan( x ); 2 4
f (x ) 2 周期T 2
3 tan[2( x ) ] 2 4
3 2
2
0
2
3
2
x
3 k k x ( , ），k z增 8 2 8 2
有减区间吗？
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 y x – –/2 /2 0 /2 –/2 （2）tanx <1 y 1 0 /4 /2 x
渐 近 线
3 2
· ( ,1) (0, 0) 4 · 0 ( , 1) · 4
渐 近 线
3 2
2
2
x
正切曲线被无穷多支相互平行的直线 x
三点两线作一个周期图象，然后有周期性 隔开的无穷多支形状相同曲线组成的 左右平移得到整个定义域内的图象
k , k z 2
tan ） tan ） （ （ 3 4
3
4
4
)
y
0
4
0
2
x
比较两个正切值大小，在同一单调区间内， 利用单调递增性解决。
3 （2） tan( )与tan 6 4 3 tan tan( ) tan ） （ 解: 4 4 4
∵
2
y
三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
P
T
余弦函数
正切函数
-1
O
M
A(1,0)
x
三角函数线 y o y M o P
