【精品】2016年上海市徐汇区位育中学高二上学期期中数学试卷带解析答案

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则∁U A∩B=．2．（3分）“m≤1”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的条件．3．（3分）不等式的解集为（4，b），则a=，b=．4．（3分）若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是．5．（3分）函数f（x）=的定义域是．6．（3分）设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=．7．（3分）不等式的解集是．8．（3分）不等式x2﹣3＞2|x|的解集是．9．（3分）已知x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x的最大值是．10．（3分）下面几个不等式的证明过程：①若a、b∈R，则+≥2=2；②x∈R且x≠0，则|x+|=|x|+≥2；③若a、b∈R，ab＜0，则+=﹣（﹣+）≤﹣2=﹣2．其中正确的序号是．11．（3分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．12．（3分）某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价m%，再提价n%；第二种：先提价%，再提价%；第三种：一次性提价（m+n）%．已知m＞n＞0，则提价最多的方案是第种．13．（3分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x﹣1|+2}（x∈R）的最大值为．14．（3分）对x∈R，y∈R，已知f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，则+++…++的值为．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）设x＞y＞0，则下列各式中正确的是（）A．x＞＞＞y B．y＞＞＞x C．x＞＞y＞D．y＞≥＞x16．（3分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（3分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=1，g（x）=x0C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=18．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3三、解答题19．（8分）解下列不等式组（1）（2）．20．（8分）（1）已知x＞﹣1，求y=的最小值；（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．21．（8分）已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式．22．（12分）已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=m，f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m．（m为已知实数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象与x轴的两个不同交点在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（3）当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点（，0）的两旁？请说明理由．23．（10分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则∁U A∩B={﹣2} ．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，∴∁U A={﹣2，2}，则∁U A∩B={﹣2}，故答案为：{﹣2}2．（3分）“m≤1”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的必要不充分条件．【解答】解：若一元二次方程x2+x+m=0有实数解，则△=1﹣4m≥0，解得：m≤，故m≤1是m≤的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．3．（3分）不等式的解集为（4，b），则a=，b=36．【解答】解：根据题意，方程=ax+的根为x=4，x=b；将x=4代入可得，2=4a+，解可得a=；则=x+，解可得，x=4或36；则b=36；故答案为；36．4．（3分）若集合A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数k的值是﹣1或﹣．【解答】解：∵A={x|（k+1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，∴集合A中只有一个元素①当k+1=0时，k=﹣1，∴方程（k+1）x2+x﹣k=0化为x+1=0，∴x=﹣1，∴A={﹣1}满足题意②当k+1≠0时，对于方程（k+1）x2+x﹣k=0有两个相同的根，∴△=1﹣4（k+1）（﹣k）=0∴k=﹣，故k=﹣1或﹣5．（3分）函数f（x）=的定义域是（﹣，1] ．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，即，解得﹣＜x≤1；∴f（x）的定义域是（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．6．（3分）设函数f（x）=，若f（a）=2，则实数a=﹣2或．【解答】解：①当a＞0时，f（a）=a2=2，∴a=±，又a＞0∴a=，②当a≤0时，f（a）=﹣a=2，∴a=﹣2，故答案为：﹣2或．7．（3分）不等式的解集是{x|﹣4＜x≤2} ．【解答】解：不等式即，用穿根法求得﹣4＜x≤2，故不等式的解集是{x|﹣4＜x≤2}，故答案为{x|﹣4＜x≤2}．8．（3分）不等式x2﹣3＞2|x|的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【解答】解：令t=|x|，将原不等式化为t2﹣2t﹣3＞0，将不等式t2﹣2t﹣3＞0化简，得（t+1）（t﹣3）＞0，∵t=|x|≥0，得到t+1＞0，∴t﹣3＞0，可得t＞3，即|x|＞3，解之得x＜﹣3或x＞3，得原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．9．（3分）已知x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x的最大值是2．【解答】解：x＞0，y＞0且x2+2y2=3，则x=x=≤=2，当且仅当x=，y=时取等号，故x的最大值是2，故答案为：210．（3分）下面几个不等式的证明过程：①若a、b∈R，则+≥2=2；②x∈R且x≠0，则|x+|=|x|+≥2；③若a、b∈R，ab＜0，则+=﹣（﹣+）≤﹣2=﹣2．其中正确的序号是②③．【解答】解：①a、b∈R，当ab异号时，＜0，＜0，+=﹣（+）≤﹣2=﹣2．不成立．a=0或b=0时，，无意义，故①不对．②x∈R且x≠0，x＞0时，|x+|=|x|+≥2；成立；x＞0时，|﹣（x+）|=|x+|=|x|+≥2；成立．故②对．③a、b∈R，ab＜0，ab异号，＜0，＜0，那么+=﹣（﹣+））≤﹣2=﹣2，成立．故③对．故答案为：②③11．（3分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．【解答】解：∵x2+y2+xy=1∴（x+y）2=1+xy∵xy≤∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤∴x+y的最大值是故答案为：12．（3分）某种商品将在某一段时间内进行提价，提价方案有三种：第一种：先提价m%，再提价n%；第二种：先提价%，再提价%；第三种：一次性提价（m+n）%．已知m＞n＞0，则提价最多的方案是第二种．【解答】解：m＞n＞0，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：（1+m%）（1+n%）=1+m%+n%+m%n%；第二种：（1+%）（1+%）=1+%+%+%×%=1+（m+n）%+%×%＞1+（m+n）%+×=1+（m+n）%+m%n%；第三种：1+（m+n）%．因此提价最多的方案是第二种．故答案为：二．13．（3分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x﹣1|+2}（x∈R）的最大值为1．【解答】解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：114．（3分）对x∈R，y∈R，已知f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，则+++…++的值为4030．【解答】解：令y=1，则f（x+1）=f（x）•f（1）=2f（x），即，则+++…++=2+2+…+2=2×2015=4030．故答案为：4030．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）设x＞y＞0，则下列各式中正确的是（）A．x＞＞＞y B．y＞＞＞x C．x＞＞y＞D．y＞≥＞x【解答】解：∵x＞y＞0，∴2x＞x+y，，，即．∴，故选：A．16．（3分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选：B．17．（3分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=1，g（x）=x0C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=【解答】解：函数f（x）==x﹣1的定义域为{x|x≠0}，g（x）=x﹣1的定义域为R，故不是相同的函数；函数f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，故不是相同的函数；函数f（u）=，g（v）=表示同一函数；函数f（x）=x，g（x）==|x|的解析式不同，故不是相同的函数；故选：C．18．（3分）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合S={x|f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．|S|=1且|T|=0 B．|S|=1且|T|=1 C．|S|=2且|T|=2 D．|S|=2且|T|=3【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x2+bx+c），S={x|f（x）=0，x∈R}，g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），T={x|g（x）=0，x∈R}．当a=0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=0；故A可能当a≠0，b2﹣4c＜0，|S|=1，|T|=1；故B可能当a=0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=1；当a≠0，b2﹣4c=0，|S|=2，|T|=2；故C可能当a=0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=2；当a≠0，b2﹣4c＞0，|S|=3，|T|=3；综上，只有D不可能发生，故选：D．三、解答题19．（8分）解下列不等式组（1）（2）．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＞0，即为（x﹣2）（x﹣4）＞0，解的x＜2或x＞4，＞1即为＞0，解得x＞1，所以不等式的解集（1，2）∪（4，+∞），（2）由|x﹣1|＜1，解得0＜x＜2，由≥0，即为≤0，即为或，解得﹣1≤x＜3或4≤x＜5，故原不等式组等价于，解得0＜x＜2，故不等式得解集为（0，2）20．（8分）（1）已知x＞﹣1，求y=的最小值；（2）已知3x+4y=12，求xy的最大值．【解答】解：（1）方法一，分离常数法，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，那么：=（x+1）+．当且仅当．即x=1时，取等号成立．∴当x＞﹣1时，y=的最小值为9．方法二：判别式法．解：（1）由y=⇒y（x+1）=x2+7x+10⇒x2+（7﹣y）x+10﹣y=0方程有解：△≥0，即：（7﹣y）2﹣4（10﹣y）≥0解得：y≥9或y≤1又∵x＞﹣1，∴x+1＞0，x2+7x+10＞0所以y＞0故当x＞﹣1时，y=的最小值为9．此时x=1．（2）方法一：构造基本不等式∵3x+4y=12．要求xy的最大值，xy必须同号．∴．当且仅当3x=4y=6．即时等号成立．故：xy取最大值为3．此时．方法二：消元法∵3x+4y=12．那么：y=3﹣．则xy=x（3﹣）=令u=由二次函数的性质可得：当x=2时，u取得最大值，即最大值为3．∵y=3﹣，解得：y=故：xy取最大值为3．此时．21．（8分）已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式．【解答】解：已知适合不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x﹣3|=3﹣x．（1）若x2﹣4x+a＜0，则原不等式化为x2﹣3x+a+2≥0．此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2﹣4x+a＜0不成立．（2）若x2﹣4x+a≥0，则原不等式化为x2﹣5x+a﹣2≤0．因为x≤3，令x2﹣5x+a﹣2=（x﹣3）（x﹣m）=x2﹣（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．22．（12分）已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=m，f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m．（m为已知实数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）如果函数y=f（x）的图象与x轴的两个不同交点在区间（0，4）内，求实数m的取值范围；（3）当函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点（，0）的两旁？请说明理由．【解答】解：（1）由，可设，则f（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b+．由f（x+1）﹣f（x﹣1）=4x﹣2m，得4ax+2b=4x﹣2m．∴；（2）∵抛物线与x轴的两个交点在区间（0，4）内，∴由图象知m应满足，解得．∴m的取值范围为；（3）抛物线开口向上，又，∴由抛物线的图象可知，当y=f（x）的图象与x轴有两个交点时，这两个交点不可能落在点的两旁．23．（10分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略 （2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。

一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：12999]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-8．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．(0分)[ID ：12959]为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+10．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．11212．(0分)[ID ：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．413．(0分)[ID ：12933]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，814．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>15．(0分)[ID ：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13113]如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．19．(0分)[ID ：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 20．(0分)[ID ：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.21．(0分)[ID ：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．22．(0分)[ID：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．23．(0分)[ID：13070]课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．24．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。

上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。

【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ．3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．13、设,mn R∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A ． 1⎡-+⎣B ． (),113,⎡-∞++∞⎣C ． 22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣14、直线143x y+=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ． 【答案：1 】2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ． 【答案：220x y +-= 】3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22(1)1x y -+=，圆心到直线的距离为11122-=，所以弦长为=】4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ． 【答案：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭】 5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．【答案：221205x y -= 解析：设双曲线2222:1x y C a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又∵C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在渐近线上，∴12ba=⋅，即2a b =．又222c a b =+，∴a b ==C 的方程为221205x y -=． 】6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ． 【答案：2 】7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ． 【答案：32】 8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 【答案：6解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF MF AF MF ===， 又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=． 】9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案：[]3,6解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M有公共点，则d r ≤，即2d ≤36a ≤≤．】 10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案：22222a b a b+ 解析：设()cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①，222221sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得22221111a bOPOQ+=+，于是当OP OQ ==OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +． 】 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案：B 】12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．【答案：C解析：设抛物线方程为22y px =，焦点F ，则23,22pMF p =+=∴=，∴24y x =，OM ===】13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ） A ．1⎡⎣B ．(),113,⎡-∞++∞⎣C ．22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案：D圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1=，即212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，设m n z+=，即21104z z --≥，解得2z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y +=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案：B解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 15d θθ+-=，当02πθ≤≤时，121)5d ≤，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；当22πθπ<≤时，121)5d ≤，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ． 【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫-+=+=++=++- ⎪+++⎝⎭∵4z R z +∈，∴2240y y x y-=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=， 联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），当0y ≠时，11x z y =⎧⎪=±⎨=⎪⎩，综上所得1234,1,1z z z ===．】16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D，且CD =P 的方程． 【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)， 所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=． 设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．又由直径CD =22(1)40PA a b =∴++= ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解：（1）由已知得2,1a b ==，∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标为(．（2）由题意知，1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B的坐标分别为,1,⎛⎛⎝⎭⎝⎭，此时AB当1m =-时，同理可得AB 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=． 设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++， 又由l 于圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB === 由于当1m =±时，AB =所以(][),11,AB m =∈-∞-+∞．因为2AB m m==≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x m y a M x y N x y=+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．由22x my a y px =+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2211222,2y px y px ==可得()()221221222244y y ap x x a p p -=== ③（1）如图1，当2p a =时，点,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-， 此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由①可得212y y p =-． 证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥． 证法2：∵1112,AM AN y y k k p p =-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p==-=-，即11AM AN ⊥．（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有11111121111231112211(),221,211(),22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =⋅=+=⋅=-=⋅=+ ()222221212122213121212121244()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++， 由①、②、③代入上式化简可得22134S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．】 四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，所以有 2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=，则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++．要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥，又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥，即m ≥或3m ≤-． 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，222228,3813318m m r r m k ====-++，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线方程y kx m =+都满足3m ≥3m ≤-；而当切线斜率不存在时，切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为,33⎛± ⎝⎭或⎛ ⎝⎭满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．AB ===①当0k≠时，AB = 因为221448k k ++≥，所以221101844kk <≤++AB <≤，当且仅当2k =±“=”；②当0k =或k 不存在时，3AB =；综上，AB 的取值范围是,3⎡⎢⎣．。

位育中学2015学年第一学期期中考试高三数学试卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U U M ==ð；则集合M =______________． 2．已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=______________．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =______________． 4．求值：4arcsin(cos)7π=______________． 5．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=______________． 6．在∆ABC 中，a =3，b 3A π=，则B =______________．7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于______． 8．若函数6,2,()3log , 2.a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（a >0且a ≠1）的值域是[4,+∞)，则实数a 的取值范围是______________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a =______________．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =______________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是______________． 12．已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω >0),x ∈R ，若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x )的图像关于直线x =ω 对称，则ω 的值为______________．13．若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且a ,b ,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于______________． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <； ②总存在0(,4)x ∈-∞-时，使00()()0f x g x <成立． 则m 的取值范围是______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 16．将函数f (x )=sin2x 的图像向右平移ϕ (02πϕ<<)个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件18．对于函数f (x )，若存在区间A =[m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知二次函数f (x )=mx 2-2x -3，若不等式f (x )<0的解集为(-1,n ) (1) 解关于x 的不等式：2x 2-4x +n >(m +1)x -1；(2) 是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y =f (a x)-4a x +1(x ∈[1,2])的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21c =． (1) 求cos()A B -的值； (2) 求ABC ∆的面积．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．(1) 求函数f (x )的最小正周期； (2) 将函数f (x )的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （a >0）个单位长度后得到 函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．○1 求函数g (x )的解析式； ○2 证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0．22．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立． (1) 求1a ，2a 的值；(2) 若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为nT ，且满足110lgn na b a =，证明{}n b 是等差数列； (3) 当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“-Γ函数”．(1) 判断函数x x f x x f 3)(,)(21==是否是“-Γ函数”；(2) 若x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；(3) 若定义域为R 的函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．高三数学期中考试参考答案： 一、填空题 1．{3,5,6} 2．35-3．5 4．14π-5．10 6．4π 7．21n-8．(1,2] 9．110．1n-11．1(,1)31213．914．m ∈(-4,-2)二、选择题 15．C 16．D 17．C 18．B三、解答题19．解：(1)由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，∴，解得13m n =⎧⎨=⎩， 3分原不等式化为(2)(1)0x x -->，∴原不等式的解集为( 1)(2 )-∞+∞ ，，；5分(2)设x t a =，由(0 1)a ∈，，[1 2]x ∈，得2[ ]t a a ∈，函数2(42)3y t a t =-+-，对称轴21t a a =+>9分∴2min (42)34y a a a =-+-=-，解得13a =或1a =-(舍去) ∴13a =为所求． 12分20．解：(1) 由已知可得：12sin 13A =，3sin 5B =，∵sin A >sin B ，∴A >B ，4cos 5B = 3分 56cos()cos cos sin sin 65A B A B A B -=+=； 6分 (2) 63sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+= 9分 由正弦定理：sin 13sin Bb c C== 12分 ∴1sin 1262ABC S bc A ∆==．14分21．解：(1)∵()5cos 510sin()56f x x x x π=++=++，4分∴函数f (x )的最小正周期T =2π； 6分(2) ○1 将f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到y =10sin x +5的图象， 再向下平移a （a >0）个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象， 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a =2，解得a =13， ∴g (x )=10sin x -8；9分○2 要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即04sin 5x >，由45<003πα<<，使得04sin 5α=， 由正弦函数的性质可知，当00(,)x απα∈-时，均有4sin 5x >， ∵y =sin x 的周期为2π，∴当00(2,2)()x k k k παππα∈++-∈Z 时，均有4sin 5x >， 12分∵对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数00(2,2)()k x k k k παππα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分注：也可直接如下证明○2 由4sin 5x >，解得44(2arcsin ,2arcsin )()55x k k k πππ∈++-∈Z 12分∵对任意的整数k ，444(2arcsin )(2arcsin )2arcsin 215553k k ππππππ+--+=->-⋅>，∴对任意的正整数k ，都存在正整数44(2arcsin ,2arcsin )()55k x k k k πππ∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >， 亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 14分22．解：(1) 取1n =，得2121122a a S S a a =+=+ ①， 取2n =，得221222a a a =+ ②， 又②-①，得 2212()a a a a -= ③ 若20a =，由①知10a =；2分若20a ≠，易知211a a -=，④由①④得：11a =，22a =11a =，22a = 4分(2) 当10a >时,由(1)知，11a，22a = 当2n ≥时，有2(2n n a S S =+，121(2n n a S S --=+，∴1(2)n n a n -=≥，∴111(1n n n a a --==⋅， 7分 令110lgn na b a =，则111100lg 2lg 21lg 12222n n n b n --=-==-++，∵111lg22n n n n b b -+-=-+=-是常数，∴数列{}n b 是以1lg 22-为公差，且单调递减的等差数列． 10分(3) 123710lg lg108b b b b >>>>=>= ， 当8n ≥时，811001lglg1021282n b b ≤=<=， 13分 所以，7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()217lg 222b b T +==-． 16分23．解：(1) 若x x f =)(1是“-Γ函数”，则存在常数),(b a ，使得b x a x a =-+))((． 即b a x -=22时，对x ∈R 恒成立．而b a x -=22最多有两个解，矛盾， 因此x x f =)(1不是“-Γ函数”．2分若x x f 3)(2=是“-Γ函数”，则存在常数b a ,使得2333a x a x a b +-⋅==， 即存在常数对)3,(2a a 满足条件．因此x x f 3)(2=是“-Γ函数”； 4分(2) x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，有序实数对),(b a 满足b x a x a =-⋅+)tan()tan(恒成立， 当,2a k k ππ=+∈Z 时，x x a x a 2cot )tan()tan(-=-⋅+，不是常数．∴,2a k k ππ≠+∈Z ，当,2x m m ππ≠+∈Z 时，有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立．则⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b ,41a k kb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩Z ， 8分当,2x m m ππ=+∈Z ,4ππ±=k a 时，1cot )tan()tan(2==-⋅+a x a x a 成立．因此满足x x f tan )(3=是一个“-Γ函数”，(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ． 10分(3) 函数)(x f 是“-Γ函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(， 于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=，(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=．x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，f (2-x )∈[1,2]，]4,2[)2(4)(∈-=x f x f ，∴x ∈[0,2]时，]4,1[)(∈x f ，12分1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩， x ∈[2,4]时，f (x )∈[4,16]，x ∈[4,6]时，f (x )∈[16,64]，……以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时，f (x )∈[22k,22k +2]，x ∈[2014,2016]时，f (x )∈[22014,22016]，因此2016[0,2016]()[1,2]x f x ∈∈时，，15分201620161[2016,0],(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()x f x x f x f x f x -∈-=-∈-∈⇒∈-时， 综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数)(x f 的值域为-20162016[22]，．18分(2) 另解：sin()sin()cos 2cos 2tan()tan()cos()cos()cos 2cos 2a x a x x a a x a x b a x a x x a+--+⋅-===+-+恒成立即(b -1)cos2x +(b +1)cos2a =0恒成立，即cos2a =0,b =1，∴(,)(,1)()24k a b k ππ=+∈Z ．。

徐汇区高二第一学期数学期中考试试卷一、二、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b ，则x =_______.【答案】9.2、行列式2-1-1-453-24k中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.【答案】6.3、增广矩阵为3 m -1n 10æèçöø÷的二元一次方程组的实数解是x =1y =2ìíïîï，则m +n =__________. 【答案】4-.4、已知矩阵A =1234æèçöø÷，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65，则AB =____________. 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3917.5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】23-y 3-2-=x .6、直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）. 【答案】10103arccos .7、若实数x ,y 满足x -y +1£0x +y -3³0y £4ìíïîï，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________. 【答案】10.8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________.【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.【答案】)(2π,6π. 10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A •=____________.【答案】10-.11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.【答案】2)1-(22=+y x .12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.【答案】54.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、关于向量，下列结论错误的是（ ） 【A 】0a ∙=0； 【B 】a mn a n m ∙=∙)()(),(R n m ∈；【C【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈•+•=•+ .【答案】A .14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上；【C 】不满足方程()0,=y x f 的点()x,y 不在曲线C 上;【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程.【答案】C .15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为（ ） 【A 】6；【B 】4；【C 】3；【D 】2.【答案】B .16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA •的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）【A 】1；【B 】2；【C 】3；【D 】4.【答案】C .三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组⎩⎨⎧+=-+=+12)1(322m y m x y mx 的解得情况. 【答案】讨论：（1） 2-≠m 且3≠m 方程组有唯一解；（2） 3=m 方程组无解；（3） 2-=m 方程组有无穷多解.18、已知圆O ：522=+y x .（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程.【答案】解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或;（2）20)6-()3(22=++y x .19、已知1,2==b a ，b 与a 的夹角为45°.（1）求b 在a 方向上的投影；（2）求b a 2+的值;（3）若向量)b 3-a )-2(λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.【答案】解（1）1；（2）10；（3）)6,6()6,1(⋃.20、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点'A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当0≤+k时，求折痕长的最大值.-≤32【答案】21、定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（1）设圆,1:220=+y x C 求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比3=λ的直线方程；（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比2=λ，求此圆的C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆43-(3-(:1)1(:222221=+=++））与y x C y x C 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】。

2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα＝，α∈[0，π]，∴α=ar ctan，故答案为：arctan．2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||?cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由?a1 b2≠a2 b1，?直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，?方程组有唯一解，故选：C．14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A．15．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=?，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，∴S△ABC=|OA|?|y B﹣y C|=×2=6，△ABC的面积为6．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．。

上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．【解答】解：∵=（﹣1，）是直线l的一个法向量，∴可知直线l的一个方向向量为（，1），直线l的倾斜角为α得，tanα=∴α=故答案为：．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．【解答】解：=（3，4），可得=5，则的负向量的单位向量的坐标是：．故答案为：．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=，∴AB==．故答案为：．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．【解答】解：设P（x，y），A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，可得（x﹣1，y﹣2）=2（2﹣x，3﹣y），，解得x=，y=，P的坐标：．故答案为：．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．【解答】解法一：由直线l1：x﹣y+2=0，设斜率为k1，夹角为θ1那么：k1==tanθ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为k2，夹角为θ2那么：k2==tanθ2=1设两直线的夹角为θ由tanθ=tan（θ1﹣θ2）=2故θ=．解法二：解：由直线l1：x﹣y+2=0，设夹角为θ1那么：tanθ1=故：θ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为θ2，那么：故：θ2=所以：两条直线的夹角为：θ1﹣θ2==．故答案为：．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是（，﹣）．【解答】解：∵a+2b=1，∴a=1﹣2b，∴（1﹣2b）x+3y+b=0，即（1﹣2x）b+x+3y=0，依题意知，，解得：，故答案为：（，﹣）．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，∴∴a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，解得m=2．故答案为：2．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为4x+3y±10=0．【解答】解：设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标轴的交点，．∴++=10，解得m=±10．故答案为：4x+3y±10=0．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故故答案为：13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为﹣16．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴====2﹣18=﹣16．故答案为：﹣16．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①因为存在实数x满足关系式x2+2x+=，，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴，∴﹣==≥0，正确；②由①可知：②不正确；③由x2+2x+=，变形为，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，因此③正确；④由③可知：④不正确；⑤由③可知：，∴点B是线段AC的中点．正确．综上可知：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，即，符合题意，故选：D．16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条【解答】解：在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线有且只有一条：y=x．故选：B．18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．【解答】解：由线性方程组有无穷多组解，得：D=D x=D y=0由，得：λ=1或λ=2当λ=2时，D x≠0，D y≠0，不合题意当λ=1时，D=D x=D y=0，符合题意故：λ=1．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB的倾斜角α的取值范围为．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．【解答】解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x﹣4y+10=0得a﹣4b+10=0，①…（2分）又AB中点（）在过点C的中线上，6×（）+10×=59，②由①②可得a=10，b=5，∴B点坐标为（10，5）…（5分）则直线AB的斜率K AB==又∠B的内角平分线的斜率k=…（6分）所以得⇒=解得K BC=﹣…（10分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣（x﹣10）⇒2x+9y﹣65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为2x+9y﹣65=0…（12分）22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）∵，（t∈R），，∴，，∴=∴k=﹣3，t=．（6分）（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（﹣，）．设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x﹣y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）于是x+y=cosα+=2sin（α+），故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．【解答】解：（1）由题意，得：，且；∴；∴解得：﹣2≤x≤0；∴实数x的取值范围为[﹣2，0]；（2）由题意，得：，，即；即，同理，；三式相加并化简，得：；即，；∴．。