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3
lim x 3 lim1
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
0
0, 0,当0 | x x0 | 时，有 | f ( x) A | 令 ( x) f ( x) A, 则 lim ( x) 0且f ( x) A ( x).
x x0
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
x x0
当k充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
1 例 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3 x 1 2 1 7 x2 x2 2 lim 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3 x2
1 y x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
设 lim f ( x ) .
x x0
极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。
一、无穷小
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
1.定义:
定义 1
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 .
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
极限为零的函数称为无穷小.
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3,)
y
1 1 sin x x
2k 2 y( x0 ) 2k , 当k充分大时, y( x0 ) M . 无界， 2 1 ( 2) 取 x 0 ( k 0,1,2,3,) 2k
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A ,
g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0.
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立
②此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 .
x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记 作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
存在
⑤定理的条件： lim f ( x ), lim g ( x )
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 ⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
五、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
则 ( x) f ( x) A
若 lim ( x) 0，则 0, 0,当0 | x x0 | 时，有 | ( x) | 因为 ( x) f ( x) A 即 | f ( x) A |
则 lim f ( x) A
x x0
注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
3.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小. f ( x ) A, 证 必要性 设 xlim x
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
( 2)成立.
f ( x ) A A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B )
