第5炼 函数的对称性与周期性

专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若()1ln 1f x a b x=++-是奇函数，则=a _____，b =______． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑()A ．3-B ．2-C ．0D ．13．(2022·全国乙理)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7．若y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2对称，g (2)＝4．则221()k f k ==∑( )A ．－21B ．－22C ．－23D ．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x + 均为偶函数，则( )A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． 结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()⨯÷奇＝偶，偶()⨯÷偶＝偶，奇()⨯÷偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论10：函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．结论11：函数y ＝f (x )是可导的奇函数，则导函数y ＝f ′(x )是偶函数；函数y ＝f (x )是可导的偶函数，则导函数y ＝f ′(x )是奇函数；结论12：导函数y ＝f ′(x )是连续的奇函数，则所有的原函数y ＝f (x )都是偶函数；导函数y ＝f ′(x )是连续的偶函数，则原函数y ＝f (x )中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于点(a ，0)中心对称．定理2：可导函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，f (a ))中心对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝a 对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论10：若函数f (x )可导，并且是周期为T 的周期函数，则f ′(x )也是的周期为T 的周期函数；若函数f (x )可导，其导函数f ′(x )是周期为T 的周期函数，且f (0)＝f (T )，则f (x )也是的周期为T 的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一 函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．12．(2021·全国甲)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫92等于( )A ．－94B ．－32C ．74D ．523．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)是偶函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝x ，则f (－2 022)＋f (2023)＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是偶函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x ＋3)是偶函数D ．f (x )＝f (x ＋4)5．(多选)已知f (x )为奇函数，且f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )A ．f (3)＝0B ．f (3)＝f (5)C ．f (x ＋3)＝f (x －1)D ．f (x ＋2)＋f (x ＋1)＝16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 022)＝________．7．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f (x )的判断正确的是( )A ．f (0)是函数的最小值B ．f (x )的图象关于点(1，0)对称C ．f (x )在[2，4]上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________．题型二 函数的奇偶性与对称性10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A ．y ＝(x －1)f (x －1)B ．y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C ．y ＝xf (x )＋1D ．y ＝xf (x )－111．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f (x )在[1，3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (b )<f (c )<f (a )B ．f (a )<f (c )<f (b )C ．f (c )<f (b )<f (a )D ．f (c )<f (a )<f (b ) 13．定义在R 上的奇函数f (x )，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x )在[0，2)上单调递增，则( )A ．f (11)<f (12)<f (21)B ．f (21)<f (12)<f (11)C ．f (11)<f (21)<f (12)D ．f (21)<f (11)<f (12)14．写出一个满足f (x )＝f (2－x )的偶函数f (x )＝________．题型三 函数的周期性与对称性15．(多选)已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－3对称且f (x ＋3)＝f (x －3)，当x ∈[0，3]时，f (x )＝2x ＋2x －11，则下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )在[－6，－3]上单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝3对称D ．f (2 023)＝－716．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 025)＝________．17．已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋2)为偶函数D ．函数f (x －3)为偶函数18．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 023)等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．219．已知函数f (x )满足：f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋112， 则f ⎝⎛⎭⎫2192的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．620．设函数f (x )为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )；且函数f (x )对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0232，b ＝f (log 43)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－14，则a ，b ，c 的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，以下关于函数f (x )的说法正确的为( )A ．f (x )满足f (8－x )＝f (x )B ．8为f (x )的一个周期C ．f (x )＝sin πx 4是满足条件的一个函数 D ．f (x )有无数个零点 22．(多选)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论错误的是( )A ．f (2 021)＝0B ．2是f (x )的一个周期C ．当x ∈(1，3)时，f (x )＝(1－x )3D ．f (x )＞0的解集为(4k ，4k ＋2)(k ∈Z ) 题型四 抽象函数23．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________．24．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，则f (4)＝________．25．(多选)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[1，2]上有最大值f (2)D ．f (x －1)＞0的解集为{x |x ＜1}26．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，如果x 满足f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2， 则x 的取值范围为________．。

函数的对称与周期在数学中，函数的对称和周期是重要的概念。

它们不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的意义。

本文将探讨函数的对称性和周期性，并分别对两个概念进行详细说明。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像关于某个轴、点或面具有对称的性质。

在这里，我将介绍函数的三种常见对称性：关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。

1. 关于y轴对称如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么它具有关于y轴对称的性质。

这意味着函数图像在y轴上的任意一点关于y轴有对称的点。

例如，函数f(x)=x^2就是一个关于y轴对称的函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2。

2. 关于x轴对称如果函数f(x)满足f(x)=-f(x)，那么它具有关于x轴对称的性质。

这意味着函数图像在x轴上的任意一点关于x轴有对称的点。

例如，函数f(x)=sin(x)就是一个关于x轴对称的函数，因为sin(-x)=-sin(x)。

3. 关于原点对称如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它具有关于原点对称的性质。

这意味着函数图像在原点上的任意一点关于原点有对称的点。

例如，函数f(x)=x^3就是一个关于原点对称的函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数在某个间隔内具有重复的性质。

在函数图像中，这个间隔被称为函数的周期。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。

1. 正弦函数正弦函数f(x)=sin(x)是一个以2π为周期的函数。

也就是说，对于任意的实数k，f(x+k*2π)=f(x)。

正弦函数的图像是一个波浪状的曲线，它在每个2π的间隔内重复。

2. 余弦函数余弦函数f(x)=cos(x)也是一个以2π为周期的函数。

也就是说，对于任意的实数k，f(x+k*2π)=f(x)。

余弦函数的图像也是一个波浪状的曲线，它和正弦函数的图像非常相似，只是相位有所不同。

函数的对称性和周期性在数学中有着广泛的应用。

第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。

函数的周期性和对称性口诀
函数的周期性和对称性口诀是和对称差周期。

若f（x+a）=-f（x+b），多一个负号。

（x+a）-（x+b）=a-b，周期X2。

周期性，T=2|a-b|。

若f（x+a）=-f（-x+b），多一个负号。

（x+a）+（-x+b）=a+b，轴变中心。

对称性，对称中心（（a+b）/2,0）。

对称性的概念：
1、函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

2、中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

性质：
1、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两条对称轴x=a，x=b则函数f （x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。

2、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有两个对称中心A（a，0），B（b，0）则函数f（x）是周期函数，且周期T=2|b-a|（不一定为最小正周期）。

3、如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B （b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，且周期T=4|b-a|（不一定为最小正周期）。

微专题05函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxf x关于2a bx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f a xf b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx 为所给对称轴即可。

例如：f x 关于1x 轴对称2f xf x，或得到31f x f x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f xa 是偶函数，则f x afxa ，进而可得到：f x 关于xa 轴对称。

①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a：f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafx a ②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f xa 关于0x轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以f x 关于xa 对称。

3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于,0a 轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2）f axf bxf x 关于,02a b轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如f ax f b x 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x为所给对称中心即可。

例如：f x 关于1,0中心对称2f x fx ，或得到35f x f x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f xafxa ，进而可得到：f x 关于,0a 轴对称。

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。