函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性

一、相关结论

1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同）

① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若)

(1

)(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反）

①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2

b

a x +=

对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。

②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2

(

b

a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。

③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2

,2(c

b a +对称。 4．互对称性

①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a

b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2

(a

b -对称；

③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系

①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，

||2a b -为一个周期。

②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，

||2a b -为一个周期。

若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函

数，||4a b -为一个周期。

二、基础练习

1．已知定义在}0|{≠x x 上的奇函数)(x f ，在区间)0(∞+，上单调递增，且0)2

1

(=f ，若ABC ∆的内角A 满足0)(cos

ππ B ．），（23ππ C ．），（323ππ D ．),3

2()2,3(ππ

ππ

2．定义在R 上偶函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当43≤≤x 时，2)(-=x x f ，则（ ）

A )(cos )(sin 21

21f f C )1(cos )1(sin f f

3．设)(x f 是以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，a f =)2(，则下列结论正确的是（ ） A ．2>a B ．2-a D ．1-

4．定义在R 上的函数)(x f y =满足：)()(x f x f -=-，)1()1(x f x f -=+，且当]1,1[-∈x 时，3

)(x x f =，则=)2010(f （ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

5．设)(x f y =是R 上的偶函数，0)0(=f ，)(x g y =是R 上的奇函数，且对于R x ∈恒有)1()(+=x f x g ，则=)2008(f ________

6．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下列三个命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称；②若对于任意R x ∈有)1()1(-=+x f x f ，则)(x f y =的图像关于点)0,1(对称；③)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f y =为偶函数。其中正确命题的序号为___________

7．若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足)2

()(p

px f px f -=（R x ∈），则)(x f 的一个周期为___________

8.定义在]2,2[-上的偶函数)(x f ，在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数

m 的取值范围是___________

三、补充练习

1.设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，

则此六个实根之和为（ ）

A ．18

B ．12

C ．9

D ．0 2.若

的图象关于直线

对称，则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 3.定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 4.设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g-1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。

5. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5

(B) －0.5

(C) 1.5

(D) －1.5

6.函数 y = sin (2x + 2

5π

)的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = －2

π (B) x = －4π (C) x = 8

π

(D) x =45π

7.已知

是定义在实数集R 上的偶函数，

是R 上的奇函数，又知（1）（

是常数）；（2），则

的值为

8.函数

的图象关于直线对称，且时，则当

时，

的解析式为 。

9.已知定义在实数集R 上的函数满足：（1）；（2）

；（3）当

时解析式为

，当

时，求函数的解析式。

参考答案：

1D ，2C ，3D ，4C ；5.0；6.①③；7.

2

p

；8. ]21,1[-

提示：3.∵)()3(x f x f =-∴1)1()31()2()2(-<-=--=--=f f f f 4. ∵)1()]1([)1()1(--=--=-=+x f x f x f x f ， ∴)(]1)1[()]1(1[)2(x f x f x f x f -=-+-=++=+，