(完整版)常见函数对称性和周期性

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y = /(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T) = f(x)都成立，那么就把函数y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期2、对称性定义(略)，请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y (即宁0)轴对称，偶函数有关系式/(-X)= f(X) 奇函数关于(0.0)对称，奇函数有关系式f(X)+ f(-X)= 0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y = /(x)关于x = a对称 <=> f(a + x) = f(a-x)f (a + x) = f{a - A)也可以写成/(A)=f(2a - x)或/(-x) = f(2a + x)简证:设点(％,)、)在)，=/(x)上,通过/(X)=/(2〃一x)可知,=/•(%) =，'(2" —工]), 即点(2a一x x,力)也在y = f(x)上，而点(西,—)与点(2。

一x{,关于x=a对称。

得证。

若写成：f(a+x) = f(b-x),函数>-=f(x)关于直线x= U/~A)+(Z—° = -对称2 2(2)函数y = f(x)关于点(0 b)对称O f(a + x) + f(a -x) = 2b上述关系也可以写成/(2«+ X)+/(-A)=2/?或f(2a-x) + f(x) = 2b简证：设点(Aj, y,)在y = /(x)上，即Vi =y(X])，通过/(2tz-x)4- f(x) = 2/?可知，f(2a - Xj) +f(x{) = 2b ,所以/(2«-x1) = 2Z?-/(x1) = 2Z?->'1 ,所以点(2a -Xj ,2b- )也在y = /(x)±,而点(2ci-,2b - y,)与(天，口)关于(。

第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。

(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。

设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律 对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。

完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。

即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。

推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。

2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。

3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。

4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。

5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。

推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。

三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。

2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。

函数的对称性和周期性（一）函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．（二）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称如果他们是不同函数，那他们又关于什么对称？2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（三）．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。

5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。

6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。

我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。

那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。

2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组 徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么： 当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义（略），请用图形来理解。

3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

【高中数学专题训练之___】函数的周期性与对称性一、基础知识1、 对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=-（2）函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=（3）函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 (2)()f x a f x +=- 偶函数是轴对称的特例关于0x a ==对称。

（4）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-x)=2b 或f(x+2a)+f(-x)=2b 奇函数是中心对称的特例关于点（0,0）对称2、周期性：（1）定义：对任意的x R ∈,都有()()f x T f x +=成立，则函数()f x 是周期函数，T 是()f x 的周期（2）性质：若T 是f(x)的周期，则kT 也是f(x)的周期,所有周期中最小的叫最小正周期，简称周期。

（3） 常见函数的周期:①y=sinx ，最小正周期T ＝2π； ②y=cosx ，最小正周期T ＝2π； ③y=tanx ，最小正周期T ＝π； ④周期函数f(x) 最小正周期为T,则()()f x A x b ωϕ=++的最小正周期为T ω （4）关于周期的几个常用结论：1>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()f x m f x +=-+b 成立，则T=2m证明：由已知得：()()(())()f x m m f x m b f x b b f x ++=-++=--++=，故，T=2m2>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()b f x m f x +=成立 (0b ≠)，则T=2m 证明：由已知得：()()()()b b f x m m f x bf x m f x ++===+，故T=2m 3>1()()1()f x f x m f x -+=+，则()x f 是以2T m =为周期的周期函数. 4>1()()1()f x f x m f x -+=-+，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数. 5>1()()1()f x f x m f x ++=-，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数.6>若()f x 是R 上的奇函数，且关于直线x m =对称，则T=4m （仿正弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=-由1>得，T=4m7>若()f x 是R 上的偶函数，且关于直线x m =对称，则T=2m （仿余弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是偶函数 ()()f x f x ∴-=，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=故：T=2m8>若()f x 定义在R 上，且关于直线x m =和x n =对称（m n ≠），则2()T m n =- （仿正余弦而得）证明：该函数关于直线x m =对称，(2)()f m x f x ∴-= 该函数关于直线x n =对称，(2)()f n x f x ∴-=则，(2())(2(2))(2)()f m n x f m n x f n x f x -+=--=-=故，2()T m n =-9>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)a b 对称，又关于直线x m =对称，则4()T m a =- （仿正余弦） 证明：该函数关于点(,)a b 对称，()(2)2f x f a x b ∴+-= （1） 该函数关于直线x m =对称，()(2)f x f m x ∴=-，代入（1）式得：(2)(2)2f m x f a x b -+-=，（2）记2a x t -=，则2x a t =-代入（2）得：(22)()2f m a t f t b -++=，即：(22)()2f m a t f t b -+=-+由结论1>得：2(22)4()T m a m a =-=-10>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)m n 对称，又关于点(,)k n ，则2()T k m =- （仿正余弦而得） 证明：该函数关于点(,)m n 对称，()(2)2f x f m x n ∴+-= （1） 该函数关于点(,)k n 对称，()(2)2f x f k x n ∴+-= （2）由（1）－（2）得， (2)(2)0f m x f k x ---=记2m x t -=，则2x m t =- 代入上式得:()(22)0f t f k m t --+=,即：()(22)f t f k m t =-+故：2()T k m =-二、习题精练1、f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则在区间（0，6）内()0f x =的解的个数的最小值是 （ ）A ．2；B ．3C ．4D ．52、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为 ( )A ．—1B ．0C ．1D ．23、设f （x ）定义域为R ，且对任意实数x,2(3)()f x f x +=-恒成立，f （x ）在(0,3)内单调递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）A 、()()()1.5 3.5 6.5f f f <<；B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<；D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f <<4、设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则 （ ）.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-5、定义域在R 的函数()f x 既是的偶函数，又关于1x =对称，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是 （ ）.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数6、已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为.A 35 .B 85 .C 38- .D 537、函数()f x 的定义域为R ，且对任意实数x,都有(1)(1)2,f x f x -++=，()(4)f x f x =-则在[]0,10内，方程()1f x =的解至少有几个( )A ．2；B ．4C ．5D ．68、()f x 定义域为R ，且对任意x R ∈都有()1(1)1()f x f x f x ++=-成立，若()21f =f(2009)=__________9、()f x 是定义域在R 上的奇函数，且其图像关于直线12x =对称，求值(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++10、设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称，对任意x ，ｘ２∈［０21］，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅且(1)0f a =>(Ⅰ)求11(),()24f f ； (Ⅱ)证明()f x 是周期函数；11、（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论11、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=f (x )·f (y )＋1f (y )－f (x )成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．。

函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。

2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。

3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy c o s =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。

4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线对称。

5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。

6、曲线()x f y =关于直线a x =与bx =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。

2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。

3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。

4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。

二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y=是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=f(x)1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x)1-,则()x f y =是以 为周期的函数. 4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。