对数与对数的运算(2)

[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A.12B ．2C ．3D ．4 解析：∵log x 8＝3，∴x 3＝8，∴x ＝2.答案：B2.⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2 B.log 139＝－2 C ．log 13 (－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：a x ＝N ⇔x ＝log a N .答案：B3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0，②ln(ln e)＝0，③若lg x ＝10，则x ＝100，④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B.②④ C ．①② D ．③④解析：①lg(lg 10)＝0，正确．②ln(ln e)＝0，正确．若lg x ＝10，则x ＝1010，③不正确．若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故④不正确．所以选C.答案：C4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围( )A.54≤x ＜2B.54＜x ＜2C.54＜x ＜2或x ＞2D ．x ＞54解析：由log (x －1)(4x －5)有意义得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，x －1≠1，4x －5＞0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞54，x ≠2.答案：C 5．如果f (10x )＝x ，则f (3)＝( )A ．log 310B.lg 3 C ．103D ．310解析：设10x ＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝f (10lg 3)＝lg 3.答案：B6．lg 1 000＝________，ln 1＝________.解析：∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3；e 0＝1，∴ln 1＝0.答案：3 07．方程log 2(5－x )＝2，则x ＝________.解析：5－x ＝22＝4，∴x ＝1.答案：18．已知log 2[log 3(log 5x )]＝0，则x ＝________.解析：令log 3(log 5x )＝t 1，则t 1＝20＝1.令log 5x ＝t 2，则t 2＝31＝3.∴log 5x ＝3，∴x ＝53＝125.答案：1259．求下列各式x 的取值范围．(1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0，x －1≠1.解得x >1且x ≠2，故x 的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0x ＋3≠1，解得x >－3且x ≠－2.故x 的取值范围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．10．若log 12x ＝m ，log y ＝m ＋2，求x 2y 的值．解析：log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m . log y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4. ∴x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. [B 组 能力提升]1．若a >0，a 23＝49，则log 23a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵a 23＝49，a >0，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233， 设log 23a ＝x ，∴(23)x ＝a .∴x ＝3.答案：B2．已知log x y＝2，则y－x的最小值为()A．0 B.14C．－14D．1解析：∵log x y＝2，∴y＝x2(x>0且x≠1)，∴y－x＝x2－x＝(x－12)2－14，∴x＝12时，y－x有最小值－14.答案：C3．若f(2x＋1)＝log213x＋4，则f(17)＝________.解析：f(17)＝f(24＋1)＝log213×4＋4＝log2116＝－8.答案：－84．方程4x－6×2x－7＝0的解是________．解析：原方程可化为(2x)2－6×2x－7＝0.设t＝2x(t＞0)，则原方程可化为：t2－6t－7＝0. 解得：t＝7或t＝－1(舍)，∴2x＝7，∴x＝log27，∴原方程的解为：x＝log27.答案：x＝log275．计算下列各式：(1)10lg 3－10log41＋2log26；(2)22＋log23＋32－log39.解析：(1)10lg 3－10log41＋2log26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log23＋32－log39＝22×2log23＋323log39＝4×3＋99＝12＋1＝13.6．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值为3，求a的值．解析：原函数式可化为f(x)＝lg a(x＋1lg a)2－1lg a＋4lg a.∵f(x)有最大值3，∴lg a<0，且－1lg a＋4lg a＝3，整理得4(lg a)2－3lg a－1＝0，解之得lg a＝1或lg a＝－1 4.又∵l g a<0，∴lg a＝－1 4.∴a＝1014.。

对数与对数运算1．对数的概念如果a (0a >，1a ≠)的x 次幂等于N ，即xa N =，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作lo g a N ，其中a 叫对数的底数，N 叫做真数． (1)两种特殊的对数①以10为底的对数叫做常用对数，正数N 的常用对数记作lg N ；②以e （e 是一个无理数， 2.71828e = ）为底的对数叫做自然对数，正数N 的自然对数记作ln N ，表示l o g e N .以上两种对数在数学计算和科学技术中经常用到．(2)在关系式ba N = (0a >，1a ≠)中，已知a 和b ，求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N ，求b ，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． (3)对数式与指数式的关系(4)对数符号“lo g ”同“+、-、⨯个底数和幂的值求指数的运算，这种运算叫对数运算，对数符号写在数的前面，对数lo g a N 只有在0a >，1a ≠且0N >时才有意义，这是因为：①若0a <，且N 取某些数值时，lo g a N 不存在，因此，规定a 不能小于0．②若0a =，0lo g 0lo g .a a N N N N ≠⎧⎨=⎩当时，不存在；当时，有无数个值，不确定因此，规定a≠0.③若1a =，1lo g 1lo g .a a N N N N ≠⎧⎨=⎩当时，不存在；当时，有无数个值，不确定因此，规定a≠1．④由于正数的任何次幂都是正数，即0b a >(0a >)，因此0N >．(5)对数的性质①零和负数无对数，即0N >;②1的对数等于零，即lo g 10a =；③底的对数等于1，即lo g 1a a =；④对数恒等式：lo gaNa N=，lo g baab=（0,1,0a a N >±>）.例1 求下列各式中x 的取值范围： （1）2lo g (10)x - （2）(1)lo g (2)x x-+ （3）2(1)lo g (1)x x +-例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： （1）4381=； （2）12lo g 83=-； （3）21()164-=.2．对数的运算(1)对数常用的运算性质（积、商、幂、方根的对数）．如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，则有：①lo g ()lo g lo g a a a M N M N =+； ②lo g lo g lo g aa a M M N N=-; ③lo g lo g ()na a Mn M n R =∈；④lo g lo g (,,0)mna a n M M n R m R m m =∈∈≠且；⑤lo glo g (,)a mM n N m N n**=∈∈； ，⑥1212lo g ()lo g lo g lo g ()a n a a a n M M M M M M n N *=+++∈ ．(2)对数的换底公式lo g lo g lo g c a c b b a=(0a >,0b >,0c >，1a ≠，1c ≠)．对数的换底公式lo g lo g lo g c a c b b a=(0a >，1a ≠，0c >，1c ≠，0b >)的推导：设lo g c b m =,lo g c a n =，则m b c =，n a c =，()mmmnnnb cc a===．lo g lo g lo g lo g mc na a cb m b ana===对数换底公式的常见变形形式（下列各式在都有意义的情况下成立）： ①lo g lo g nn a a b b =．证明：lg lg lg lo g lo g lg lg lg nn na na b n b b b b a n a a ====．②lo g lo g nma a m bb n =.证明：lg lg lg lo g lg lg lg lg n m a na b m b m b m b an anan===∙=.③1lo g lo g a b b a=，证明：lg 11lo g lg lg lo g lg a b b b a aab===．(3)对数运算性质、运算公式的理解与运用需注意的问题：①运用对数的运算性质时应特别注意各个字母的取值范围．如在运用2lo g 2lo g a a MM =时，当没有0M >的条件时，应为2lo g 2lo g a a MM =.②要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误，③避免机械地从符号去记忆公式，注意用语言准确叙述运算性质，以防止出现错误． ④利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的对数运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度． (4)利用对数的运算性质解答问题一般有两个方法：①正用公式：运用对数的运算法则将式中真数的积、商、幂、方根化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，②逆用公式：运用对数的运算法则将式中对数的和、差、积、商化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．例3 计算：（1）55557lo g 352lo g lo g 7lo g 1.83-+-；（2）22(lglglg 5++3．转化思想在对数运算中的应用(1)对数式与指数式的关系及相互转换利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决．求某些对数值就可把它转化为指数问题．[例] 求9lo g 27及1lo (3+的值．对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归思想的桥梁．因此，在刚开始学习对数问题时，我们可以把它转化为指数问题，利用分数指数幂的有关运算性质及其方法技巧来解决问题；反过来我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．(2)对数式与指数式的互化，一般说来，当题目中既有指数式，又有对数式时，要注意指数式与对数式的相互转化，统一成一种形式．(3)对数运算性质中，公式的正用与逆用，即真数的积、商、幂、方根的对数与对数的和、差、积、商的相互转化．(4)利用换底公式进行转化，应用对数的换底公式可以把题目中不同底数的对数转化成同一底数的对数，再进一步应用对数的运算性质解题．例4 （1）设3436xy==，求21xy+的值。

对数与对数运算1.对数：如果a x=N(a>0,且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=log a N，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质:(1)1的对数等于0 ;(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没有对数3.以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N.4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N5.对数的运算性质：如果a>0，且a ≠1，M>0;N>0，那么：（1）log a (MN)=log a M +log a N ；log a (N1N2…Nk )=log a N1+log a N2+…log a N3；（2）log a (M ／N)=log a M -log a N ；（3）log a M n =nlog a M6.对数换底公式：log aN=abN bloglog ；7.对数运算中的三个常用结论：N aNa =log ,log aa =1,log a 1=08.两个常用的推论：a ，b ＞0且均不为1,m,n,为正整数（1）logab ×log b a=1；log ab ×log bc ×log c a=1；（2） b a b a m n nm log log =；ba b anm n m log log =；9.指数和对数的关系：a x =N ⇔log a N=x比较指数式、根式、对数式：几个对数运算公式的证明证明下列公式：（1）对数的运算性质:log a (M ／N)=log a M -log a N（2）对数的运算性质:log a M n =nlog a M（3）对数的换底公式：log ab=ab c c log log（4）对数运算中的常用结论：N a Na log（5）a ，b ＞0且均不为1,log a b×log b a=1 （6）a ，b ＞0且均不为1,m 为正整数,mmb alog =log a b（7）a ，b ＞0且均不为1,m,n 为正整数, n mb a log =m n log a b证明：（1）设a x =M ，a y=N ，则N M =y x aa =a x-y ．∴x-y=log a NM，∵x=log a M ，y=log a N，∴x-y= log a M - log a N ，∴log a N M = log a M - log a N（2）设a x=M ，则x=log a M，∴nx=nlog a M．∵（a x ）n=M n ，∴a xn =M n，∴xn=log a M n ，∴log a M n = nlog a M（3）设log a b =x ，则a x =b ．∴log c a x =log c b x ，∴xlog c a =log c b ，∴x=log c b÷log ca ，∴logab =ab c c log log（4）设log a N =x ，则a x=N ．∵log a a x=x ，∴xaa alog =a x，∴xaa a log =N（5）∵log a b =ab lg lg ，log b a =ba lg lg ，∴log ab ×log b a=a b lg lg ×ba lg lg =1（6）设mabm log =x ，则（a m）x=b m，∴a mx=b m，∴ mxa alog =log a b m ，∴mxlog a a=mlog ab，∴x=log ab ，∴mmb a log =log a b（7）设n a b mlog =x ，则（am）x=b n ，∴mxa alog =log a b n ，∴mxlog a a=nlogab，∴x=mnlog ab ，∴nmb alog =mn log a b。

课题：§2.2.1 对数与对数运算（二）主备人 朱英芹 审核人 宁磊 时间一、 目标导学1..教学目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．2.教学重点：对数的运算性质．3.教学难点：用定义证明对数换底公式．二、 自主探究知识点填空1.对数的运算性质：（1）（2）（3）2.对数运算的换底公式三、 交流点拨(一)创设情境，引入新知复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵log 10a =，log 1a a =；⑶log a N a N =．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：log x a a N x N =⇔=．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（二）研探新知⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如： 设log a M m =，log a N n =，则有m a M =，n a N =，∴ m n a MN +=．将上式化为对数形式，得 l o g ()a M N m n=+． 这样我们就得到了对数的一个运算性质：请同学们仿照上述过程，由m n M aN -=和mn n a M =得出对数运算的另外两条性质． 生：（推导得出）师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本65P 例3：例4：⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书）证明：设log a b p =，log c b m =，log c a n =，那么p a b =，m c b =，n c a =．将后面的两个式子代入前面的式子，得np m c c =．根据指数函数的单调性，得 n p m =， 即 log log log c a c a b b ⋅=．∴ log log log c a c b b a=． 师：对数换底公式的证明方法较多，例如log log log log log a b a c c c b a ab ⋅==也可以证明． 对数换底公式还有如下常用的推论：⑴1log log a b b a =；⑵1log log n a a b b n =；⑶log log log a b a b c c ⋅=．请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13x =．四、 拓展构建课本练习：68页1，2，3，4课时小结 ⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值； ⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数．五、 效果评价1、求下列各式的值：2、计算：3、用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：4、5、六、 作业布置课本74页A 组3,4,5七、 教学反思:。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。