2015届高三数学一轮教学资料 函数与方程活动导学案(无答案)

《幂函数》活动导学案
【学习目标】
1.了解幂函数定义，并能求简单幂函数
2.了解简单幂函数性质
【重难点】总结归纳幂函数相关性质 【活动过程】
一、自学质疑：五种常见幂函数的图像与性质
函数
特征 性质
y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3
2
1x y
y ＝x －1
图像
定义域
值域 奇偶性
单调性
公共点
1.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的解析式为______________________．
2．(2013·南通二调)已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图像过点 12，22，则k ＋α＝________.
3.图中曲线是幂函数y ＝x α
在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，
则相应于
曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为____________．
4．设a ＝ 3552，b ＝ 2553，c ＝
2552
，则a ，b ，c 的大小关系是________．
二、互动研讨
活动一、已知函数f (x )＝(m 2
－m －1)x －5m －3
，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
三、检测反馈
1、（2011江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2
)(
的图象交于P 、Q
两点，则线段PQ 长的最小值是________.
2、幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－1
8
)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．。

§15函数与方程(1)【考点及要求】1.了解幂函数的概念，结合函数2132,1,,,x y xy x y x y a y x =====的图象，了解它们的单调性和奇偶性. 2.熟悉二次函数解析式的三种形式，掌握二次函数的图形和性质.3.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系.【基础知识】1.形如________________的函数叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数，如2321,2,,,x y y x y x y x y x x =====，其中是幂函数的有___________ ____. 2.幂函数的性质：(1)所有幂函数在_______________都有定义，并且图象都过点)1,1(，因为11==a y ，所以在第________象限无图象；(2)0>a 时，幂函数的图象通过___________，并且在区间),0(+∞上__________，0<a 时，幂函数在),0(+∞上是减函数，图象___________原点，在第一象限内以___________作为渐近线.3.一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的__________就是函数)0(02≠=++=a c bx ax y 的值为0时的自变量x 的值，也就是_______________.因此，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根也称为函数)0(02≠=++=a c bx ax y 的________.二次函数的解析式有三种常用表达式:(1)一般式_________________________；(2)顶点式_________________________；(3)零点式______________________________.4.对于区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间__________，使区间的两端点逐步逼近__________，进而得到零点近似值的方法叫做__________.【基本训练】1.二次函数23)(2++=x x x f 的顶点式为________；对称轴为________ 最小值是______.2.求二次函数32)(2--=x x x f 在下列区间的最值①]4,2[∈x ，=min y ______，=max y ______；.②]5.2,0[∈x ，=min y ______，=max y ______；③]0,2[-∈x ，=min y _______，=max y ______.3.若函数∈+++=x x a x y ,3)2(2[a ，b]的图象关于直线1=x 对称，则_________=b .4.函数)()(32Z m x x f m m ∈=-是幂函数，当0>x 时)(x f 是减函数，则m 的值是 ______.5.若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,5(--上的增减性为_______.【典型例题讲练】例1 比较下列各组中两个值的大小（1）544.0，545.0； （2）31)44.0(--，31)45.0(-.练习 比较下列各组值的大小；（1）3.0222,3.0log ,3.0； （2）533252)9.1(,8.3,1.4---；【课堂小结】【课堂检测】1. 二次函数)(x f 满足,1)1()2(-=-=f f 且)(x f 的最大值是8，求此二次函数.【课后作业】1. 已知,20≤≤x 求函数5234)(21+⨯-=-x x x f 的最大值与最小值.。

2015届高三数学(艺术)一轮复习教案第二章函数、导数及其应用第8讲函数与方程(人教A版)第二章函数、导数及其应用第8讲函数与方程一、必记3个知识点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a&gt;0)的图像与零点的关系3．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)&lt;0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、必明2个易误区1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)&lt;0，如图所示．所以f(a)·f(b)&lt;0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．三、必会3个方法1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)&lt;0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)&lt;0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；信心+细心①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)&lt;0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)&lt;0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|&lt;ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．1．(2014·3A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)解析：选B 法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－1&lt;0，f(2)＝log32&gt;0，所以函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．法二：作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.22．(2013·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) xA．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)解析：选C 由条件可知f(1)f(2)&lt;0，即(2－2－a)(4－1－a)&lt;0，即a(a－3)&lt;0，解得0&lt;a&lt;3.3.函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20&lt;0，f(8)＝82－3×8－18＝22&gt;0，∴f(1)·f(8)&lt;0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，故f(x)＝x2－3x －18，x∈[1,8]存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．答案：存在[类题通法]判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．??x＋1，x≤0，[典例] (1)已知函数f(x)＝?则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是( ) ?log2x，x&gt;0，?A．4 B．3 C．2 D．11x(2)函数f(x)＝x－??2的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．31?1[解析] (1)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f?＝－1.可得f(x)＝－2或f(x)＝?2?2111若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝f(x)＝，则x＝－x＝2，422 综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．1x?1x，2(2)令f(x)＝x－?＝0，得x＝?2?2求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数．信心+细心12112如图所示，由图可知，两函数图像有1个交点，故选B.[答案] (1)A (2)B[类题通法]函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．[典例] 若函数f(x)＝x[解析] 令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)11＝ln x＋1，令g′(x)&lt;0，即ln x&lt;－1，可解得0&lt;x&lt;g′(x)&gt;0，即ln x&gt;－1，可解得x&gt;，ee111所以，当0&lt;x&lt;时，函数g(x)单调递减；当x&gt;g(x)单调递增，由此可知当x＝时，eee111－，0? g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－a&lt;0.[答案] ??e?ee[类题通法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．[针对训练]x??2－a，x≤0(2013·福建质检)若函数f(x)＝?有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．?ln x，x&gt;0?解析：当x&gt;0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0&lt;2x≤20＝1，所以0&lt;a≤1，所以实数a的取值范围是0&lt;a≤1.课后作业[试一试]1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax 的零点是( )111A．0,2 B．0，C．0，－D．2，－2221解析：选C ∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－22．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( D )A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)[练一练](2014·中山模拟)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)解析：选C ∵f′(x)＝ex＋1&gt;0，∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数．而f(－2)＝e2－4&lt;0，f(－1)＝e1－3&lt;0，－－f(0)＝－1&lt;0，f(1)＝e－1&gt;0，f(2)＝e2&gt;0，∴f(0)·f(1)&lt;0.故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间.信心+细心做一做x??2－1，x≤1，1．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点为( ) ??1＋log2x，x&gt;1，11A.，0 B．－2,0 C. D．0 22 1解析：选D 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x&gt;1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x2为x&gt;1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.1?1－·2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f??2f?2&lt;0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )A．可能有3个实数根C．有唯一的实数根B．可能有2个实数根D．没有实数根1?1??－1，1上有唯一零点，所以方程f(x)－?·解析：选C 由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f?f&lt;0，知f(x)在?2??2??22＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)&lt;0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中2＋4点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)&lt;0，则此时零点x0∈________(填区间)．2 解析：由f(2)·f(3)&lt;0可知x0∈(2,3)．答案：(2,3)?x－2，x&gt;0，?4．已知函数f(x)＝?2满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个?－x＋bx＋c，x≤0?数为_____．11解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1，得b＝.∴当x&gt;0时，g(x)＝2x2231－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0，得x＝2(舍去)或x＝－，即g(x)＝0有唯一22解．综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．5．(2013·开封一模)下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：选C A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C.6．(2014·荆门调研)已知函数y＝f(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B 依题意，f(2)·f(3)&lt;0，f(3)·f(4)&lt;0，f(4)·f(5)&lt;0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]信心+细心上的零点至少有3个，故选B.7．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①y＝2x；②y＝－2x；③f(x)＝x＋x1；④f(x)＝x－x1. －－则输出函数的序号为( )A．①B．②C．③D．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x&gt;0，所以y＝2x没有零点，同样y＝－2x也没有零点；f(x)＝x＋x1，当x&gt;0时，f(x)≥2，当x&lt;0时，f(x)≤－2，故f(x)没有零点；令f(x)＝x－x1＝0得x＝±1，故－－选D.8．(2013·石家庄高三模拟考试)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )A．1C．3 B．2 D．4解析：选B 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不同的交点．9．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)&lt;0，f(0.5)&gt;0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．解析：因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)&lt;0，f(0.5)&gt;0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案：(0,0.5) f(0.25)1?x3???＋x≥2，10．(2013·北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝??2?4若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实??log2x，0&lt;x&lt;2.数k的取值范围是________．解析：画出函数f(x)的图像如图．3?要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k∈??4，1?.3?答案：??41?信心+细心。

第8讲 函数与方程导 学 目 标：1.函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B 级要求；2.二分法求相应方程的近似解，B 级要求．知 识 梳 理：1．函数零点的定义(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使y ＝f (x )的值为____的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．(2)几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与 有交点⇔函数y ＝f (x )有 ．2．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y ＝f (x )在区间 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得 ，这个 也就是方程f (x )＝0的根.324.（1）定义对于区间[a ，b ]上连续不断的，且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.课 前 自 测：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0. ( )(3)若f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )内没有零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点. ( )(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( )(6)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个. ( )(7)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12. ( ) (8)(2012·湖北卷改编)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为2. ( )(9)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是(－2,0)． ( )2．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是________(填序号)．3.若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________.4.(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________.5．已知函数f (x )与g (x )的图象在R 上连续不断，由下表知方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是________.【例1】 函数零点的判断和求解(1)(2012·湖北改编)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________.(2)设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0).当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________.【训练1】(1)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.(2)若定义在R (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.【例2】 与二次函数有关的零点分布是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【训练2】（1）已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.【例3】 函数零点的应用若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.【训练3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程 f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是________.【例4】 函数与方程思想的应用已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0). (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.【训练4】 (1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．课 堂 热 练：：1、函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在区间________． ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．2、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．3、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为________．4、已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为________．5、(1)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )在区间(1,2)内的零点有________个．(2)(2014·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________．第8讲 函数与方程（课后练习）编制：江海军 审核：黄立斌 邵华川A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.3.方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.4.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________.5.已知函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,1]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.6.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.8.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________.二、解答题9.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.10.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点.B 组 专项能力提升(时间：35分钟)1.已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0，2 014]内根的个数为________.2.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为________.3.对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点，若二次函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a 2没有不动点，则实数a 的取值范围是________.4.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称.则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对.5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是________.(填序号)①当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点；②当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点；③无论k 为何值，均有2个零点；④无论k 为何值，均有4个零点.6.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围.7.已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围.。

【知识梳理】1．函数的零点⑴把使函数)(x f y =的值为 的实数x 称为函数)(x f y =的零点．⑵函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的 ，从图象上看，函数)(x f y =的零点就是它的图象与x 轴交点的 ．2．零点存在定理若函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条不间断的曲线，且 ，那么函数)(x f y =在区间 上有零点．3二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系【基础训练】 1．若函数b ax x f +=)(的零点是3，那么函数ax bx x g +=2)(的零点是2．函数32)(2-+=-x x f x 的零点个数为 ．3．设方程2ln 72x x =-的解为x 0∈()1,+k k ，则正整数k ＝ ．4已知函数)0()(2<++=a a x x x f 在区间()1,0上有零点，则a 的取值范围是5．用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次计算0)21(,0)0(><f f 可得其中一个零点∈0x 第二次应计算 下一个有根的区间为【典型例题】【例1】填空题：⑴函数123)(+-=a ax x f 在区间[]1,1- 上存在一个零点，则a 的取值范围是⑵已知函数)5()3(x f x f -=+，且方程0)(=x f 有3个实数根，那么这三个实数根的和为 ．【例3】⑴若函数1)(2--=x ax x f 有且只有一个零点，求实数a 的值． ⑵若函数a x x x f +-=24)(有4个零点，求实数a 的取值范围．【随堂练习】1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间______2．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是______3．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为_____________4．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是___【课后检测】1．函数m x m x x f +++=)2()(22在()1,1-上零点的个数为__________2．当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是_______3．若函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点在区间)1,(+k k 上，则k 的值为_________ 4． ⎩⎨⎧≥++-≤+=)1(,32)1(,3)(2x x x x x x f 则函数()x x f x g 3)(-=的零点个数为_________ 5．若方程032=+-m x x 在[]2,0上有解，则实数m 的取值范围是________6． 已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点依次为c b a ,,，则c b a ,,由小到大的顺序是____________7．设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时，)(x f 是单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和是____________8．设函数c bx x x x f ++=)(，给出下列4个命题：①0,0>=c b 时，0)(=x f 只有一个实数根； ②0=c 时，)(x f y =是奇函数；③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称； ④方程0)(=x f 至多有2个实数根上述命题中的所有正确命题的序号是____________9． 已知二次函数1)(2+-=bx ax x f⑴若0)(>x f 的解集是)4,3(-，求实数b a ,的值；⑵若a 为整数，2+=a b ，且函数)(x f 在（－2，－1）上恰有一个零点，求a 的值．。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第09节 函数与方程（文科） 一、课前小测摸底细 1.【课本典型习题改编，P119B 组第1题】方程2ln 0x x -=的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2. 【2014高考北京卷文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 3. 【陕西省西北工业大学附属中学2014届高三第六次模拟】“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”，的充要条件是“0m ≤”，∴充分不必要条件.4.【基础经典试题】设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

5. 【改编自2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）】已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定二、课中考点全掌握考点 方程的根与函数零点【1-1】函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,10【1-2】方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5【1-3】下列说法，正确的是（ ）A. 对于函数()1f x x =，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点 D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点 【答案】C【解析】函数()1f x x=的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内无零点，故选项A 错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，【1-4】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[],a b 内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[],a b 内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[],a b 内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[],a b 内的精确解；【1-5】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．【1-6】已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0[ B.)1,(-∞ C ．),1(]0,(+∞⋃-∞ D ．),2(]1,(+∞⋃-∞【答案】C【解析】考察函数()()h x f x x =+，当0x ≤时，()h x x =是增函数，取值范围是(,0]-∞，当0x >时，()x h x e x =+是增函数，取值范围是(1,)+∞，即()h x 的值域是(,0](1,)-∞+∞，函数()()g x f x x m =+-有零点，即方程()0f x x m +-=有解，也即方程()m f x x =+有解，故m 取值范围是(,0](1,)-∞+∞． 综合点评：函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.【基础知识重温】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

学案11 函数与方程导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使________成立的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．(2)方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与____有交点⇔函数y ＝f (x )有________．2．函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y ＝f (x )在区间________内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得________，这个____也就是f (x )＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．2第一步，确定区间[a ，b ]，验证________________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点c ； 第三步，计算______：①若________，则c 就是函数的零点；②若________，则令b ＝c [此时零点x 0∈(a ，c )]； ③若________，则令a ＝c [此时零点x 0∈(c ，b )]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复第二、三、四步．自我检测1．(2010·福建)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( )A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根所在的区间是 ( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定5．(2011·福州模拟)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1 D ．f (x )＝ln(x －0.5)探究点一 函数零点的判断例1 判断函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数．变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 ( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个 探究点二 用二分法求方程的近似解例2 求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度0.1)．变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的零点时，第一次经计算f (0)<0，⎪⎭⎫⎝⎛21f >0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21fB ．(0,1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛43fD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ⎪⎭⎫ ⎝⎛41f探究点三 利用函数的零点确定参数例3 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．变式迁移3 若函数f (x )＝4x ＋a ·2x＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数x ；(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点． 2．求函数y ＝f (x )的零点的方法：(1)(代数法)求方程f (x )＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f (a )·f (b )<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)2．(2011·福州质检)已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值 ( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零 3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )4．函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1、x 2，且x 1<x 2，则 ( ) A ．x 1<2,2<x 2<5 B ．x 1>2，x 2>5 C ．x 1<2，x 2>5 D ．2<x 1<5，x 2>55．(2011·厦门月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1x 2－4x ＋3，x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ( )6．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 006x＋log 2 006x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．7．(2011·深圳模拟)已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．8．(2009·山东)若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.10．(12分)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围．11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|<574.答案自主梳理1．(1)f(x)＝0 (2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个一个无 4.f(a)·f(b)<0 f(c) ①f(c)＝0 ②f(a)·f(c)<0 ③f(c)·f(b)<0自我检测1．C [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B 3.B 4.B 5.A课堂活动区例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f(x)＝ln x＋2x－6，∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数．又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．] 例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)·f(b)<0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解 设f (x )＝2x 3＋3x －3.经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0， 所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解，端点0.687 5作为函数f (x )零点的近似值．因此0.687 5是方程2x 3＋3x －3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2 D [由于f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，而f (x )＝x 3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12中的x 3及ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增函数，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上也是增函数， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上存在零点，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x 1＝0＋122＝14.]例3 解 若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.①当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]，当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]，∴y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时，y ＝f (x )在[－1,1]上也恰有一个零点． ③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f 1 ≥0f －1 ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f 1 ≤0f －1 ≤0，解得a ≥5或a <－3－72.综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－72.变式迁移3 解 方法一 (换元)设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4 a ＋1 ≥0t 1＋t 2＝－a >0t 1·t 2＝a ＋1>0，解得：－1<a ≤2－22；(2)当方程①有一正根一负根时，只需t 1·t 2＝a ＋1<0， 即a <－1；(3)当方程①有一根为0时，a ＝－1，此时方程①的另一根为1. 综上可知a ≤2－2 2.方法二 令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． (1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4 a ＋1 ≥0－a2>0g 0 ＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a ≤2－2 2. 课后练习区1．B [因为f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．] 2．A3．C [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0.A 、B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．]4．C5．B [当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．]6．3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 006x＋log 2 006x在区间(0，12 006)内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3.7．x 1<x 2<x 3解析 令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x，y ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ， 设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.8．a >1解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a >1.9．证明 令g (x )＝f (x )－x .………………………………………………………………(2分)∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.……………………………………………………………………………(8分)又函数g (x )在(0，12)上连续，…………………………………………………………(10分)所以存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.………………………………………………………………………………(12分)10．解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ， 使f (c )>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0.……………………(4分)此时⎩⎪⎨⎪⎧ f 1 ≤0f －1 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥02p 2－p －1≥0，解得：p ≥32或p ≤－3.…………………………………………………………………………(10分)∴二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是－3<p <32.…………………………………………………………………………………(12分)11．证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0， ∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ， ∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.……………………………………………………………………(4分)(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(7分)②当c ≤0时， ∵a >0，∴f (1)＝－a2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(10分)(3)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－ba.∴|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝ －b a 2－4 －32－ba＝b a＋2 2＋2.(12分)∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.……………………………………………………………………(14分)。

一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。

这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。

（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。

2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；二、题型探究[探究一]：考察零点的定义及求零点例1：已知函数(1)m为何值时，函数的图象与x轴只有一个公共点？（1或1/3）(2)如果函数的一个零点为2，则m的值及函数的另一个零点。

（m=3，x=10）[探究二]：判断零点的个数及确定零点所在区间例2：证明函数在（0，+）上恰有两个零点。

[探究三]：有二分法求方程的近似解例3：已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（D）（A）7 （B）8 （C）9 （D）10例4：下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是（3、5）(5)(3)(4)(2)(1)三、 方法提升1、 根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。