函数与方程导学案

函数与方程导学案1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[难点正本疑点清源]1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____．3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________．4．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(2)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 题型二 二次函数的零点分布问题例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．数形结合思想在函数零点问题中的应用试题：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为 A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正 D ．不小于零2．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则 ( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 二、填空题4．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 三、解答题5．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是()A ．函数f [g (x )]的零点有且仅有6个B ．函数g [f (x )]的零点有且仅有3个C ．函数f [f (x )]的零点有且仅有5个D ．函数g [g (x )]的零点有且仅有4个二、填空题4．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．三、解答题 8．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；答案 要点梳理1．(1)f (α)＝0 零点 (2)x 轴 零点 2．(x 1,0)，(x 2,0) (x 1,0) 两个 一个 无 基础自测1．(1.25,1.5) 2.－12，－133．3 4.a >1 5.(－2,0) 题型分类·深度剖析例1 解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]． ∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]， x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．(2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二 设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点， 因此f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点． 变式训练1 (1)B (2)D 例2 4变式训练2 B例3 解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示 列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.变式训练3 解 方法一 若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 方法二 函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax 2＋2x －3＝0在区间[－1,1]上有实根．显然0不是y ＝f (x )的零点，由题意转化为x ∈[－1,1]时求a ＝32·1x 2－1x 的值域．∵1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a ＝32⎝⎛⎭⎫1x －132－16在1x ＝1时取得最小值12. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 课时规范训练 A 组1．C 2.B 3.B 4.35．解 ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0， ∴若存在实数a 满足条件， 则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0. 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1.②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.6．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. B 组1．B 4.(2,3)8．解 ①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②方法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0(x 1＋1)(x 2＋1)>0(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >4或m <－1，m >－5，m <1，∴－5<m <－1.故m 的取值范围为(－5，－1)． 方法二 由题意， 知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m<－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．。

《函数与方程（一）》导学案➢ 3.4函数与方程（一）➢ 自学目标➢ 1.了解函数的零点与方程根的联系.➢ 2.能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程的根的存在性及个数,➢ 3.体验并理解函数与方程的相互转化的的数学思想方法.讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．结论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标二、新课导学学习探究:探究1：函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.结论： 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有几个实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有几个交点⇔函数)(x f y =有几个零点．练一练：求下列函数的零点： （1）452--=x x y ；（2）202++-=x x y ；（3）)13)(1(2+--=x x x y ；（4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．探究2：函数零点的判定：如图①、②、③、④中分别有A ，B 两点，试用连续不断．．．．的一条函数曲线．．．．将A ，B 两点连接，则连线一定．．会与x 轴有交点的图是 ？结论： 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断．．．．的一条曲线,并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在∈c ),(b a ，使得0)(=c f ,这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

3.1方程根与函数的零点（第二课时）成都列五中学高一数学组 杨长利一、 高考要求1、理解函数零点和方程的根及函数图像之间关系 2、 掌握并学会求函数的零点及判断零点个数二、 学情分析在第一节的学习中已经对函数零点，方程的根以及图像之间关系进行学习，并能处理一些简单的函数零点问题，还不能达到高考要求。

三、 学习目标1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2.会求函数的零点3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数学——温故思新（1）方程()0f x = ⇔ 函数()y f x =的图象 ⇔ 函数()y f x = ．（2）零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(a ，b )内 ，即存在c ∈(a ，b )，使得 ，这个c 也就是方程()0f x =的根．教——引申触类1、求函数的零点例1：1()4x f x e -=-总结：2、判断函数零点所在的区间例2：函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(1e，1)和(3,4) D ．(e ，＋∞) 总结：3、判断函数零点个数例3：判断函数()3ln f x x x =-+的零点的个数．总结：4、函数与方程综合题型例4．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，2015()2015log x f x x =+，则方程()0f x =的实根个数为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4变式：若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A ．23 B ．32 C ．3 D ．31例5 :设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数．变式：设定义域为R 的函数lg |1|1()01x x f x x ⎧- ≠⎪=⎨ =⎪⎩且关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，令m=2010b ，n=2010c ,则（ ）A. m<nB. m=nC. m>nD. m,n 的大小不确定 练———熟能生巧例5： 设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩(1) ()f x 有零点吗？(2)设()()g x f x k =+，为了使方程()0g x =有且只有一个根，k 应该怎样限制？(3)当1k =-时，()g x 有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；(4)你给k 规定一个范围，使得方程()0g x =总有两个根。

函数与方程班级：姓名：学号：【学习目标】1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法3体会高中数学中数形结合的思想。

4以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】函数与方程的相互转化【学习难点】函数与方程的相互转化[自主学习]1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()f xg x=图象交点的横坐标就是方程()()=的解；反之，要求y f x=与()y g x方程()()=与()y g x=图象交点的横坐标．y f xf xg x=的解，也只要求函数()3．二分法求方程的近似解1.若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是（相同／互异）2.用二分法求函数零点近似值步骤.1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)· f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );（3）若f(c)· f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2——4．口诀定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断[典型例析]例1（1）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围（2）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 （3）当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是_____________例2已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.变式训练1：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围.例3对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；[当堂检测]1. 1. 用二分法求方程0523=--x x 在区间[2，3]内的实根，取区间中点5.20=x ，那么下一个有根区间是______________。

第16课时函数与方程(2)教学过程一、问题情境对于方程lg x=3-x,要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢?让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.例如,求方程x2-2x-1=0的实数根就是求函数f(x)=x2-2x-1的零点.根据图象(如图1),我们发现f(2)<0,f(3)>0.这表明此函数图象在区间(2, 3)上有零点,即方程f(x)=0在区间(2,3)上有实数根.又因为在区间(2, 3)上函数f(x)是单调递增的,所以方程x2-2x-1=0在区间(2,3)上有唯一实数根x1.(图1)二、数学建构(一)生成概念问题1如何进一步缩小方程x2-2x-1=0的实数根x1的范围呢?解计算得f错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

>0,发现x1∈(2, 2.5)(如图1),这样可以进一步缩小x1所在的区间.思考你能把x1限制在更小的区间内吗?解下面我们利用计算器来求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1).设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图(如图1).(图2)因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以在区间(2, 3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.取2与3的平均数2.5.因为f(2.5)=0.25>0,所以2<x1<2.5.再取2与2.5的平均数2.25.因为f(2.25)=-0.4375<0,所以2.25<x1<2.5.如此继续下去,得f(2)<0,f(3)>0⇒x1∈(2, 3),f(2)<0,f(2.5)>0⇒x1∈(2, 2.5),f(2.25)<0,f(2.5)>0⇒x1∈(2.25, 2.5),f(2.375)<0,f(2.5)>0⇒x1∈(2.375, 2.5),f(2.375)<0,f(2.4375)>0⇒x1∈(2.375, 2.4375).因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x1≈2.4.利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解.像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程近似解的常用方法.(二)理解概念1.运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间.2.二分法是一种操作,其实是在不断地做同样的一个操作,渗透了算法的循环结构思想.(三)巩固概念问题2二分法的一般操作流程是什么?解给定精度ε,用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤如下:(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε;(2)求区间(a,b)的中点x1;(3)计算f(x1):①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));(4)判断是否达到精度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点值a(或b);否则重复步骤(2)(4).由函数的零点与相应方程的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.三、数学运用【例1】(教材P94例1)利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解.(精确到0.1) (见学生用书课堂本P63) [处理建议]求方程lg x=3-x的解,可以转化为求函数f(x)=lg x+x-3的零点,故可以利用二分法求出题中方程的近似解.[规范板书]解分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2, 3)内.设f(x)=lg x+x-3,利用计算器计算得f(2)<0,f(3)>0⇒x1∈(2, 3),f(2.5)<0,f(3)>0⇒x1∈(2.5, 3),f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75),f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625),f(2.5625)<0,f(2.625)>0⇒x1∈(2.5625, 2.625).(例1)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x1≈2.6.[题后反思]发现计算的结果约稳定在2.58717.根据精度要求,可以来确定是否要继续算中点的函数值.【例2】(教材P96例3)求方程2x+x=4的近似解.(精确到0.1)(见学生用书课堂[处理建议]首先利用函数y=2x与y=4-x的图象,估计出方程2x=4-x的解所在的区间.然后,运用二分法求出题中方程的近似解.[规范板书]解方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画出函数y=2x与y=4-x的图象(如图).由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)上.对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解为x≈1.4.(例2)[题后反思]二分法是一种操作性极强的操作方法,主要是掌握其思想方法,为以后的算法学习打下基础.【例3】(教材P95例2)作出函数y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到0.1) (见学生用书课堂本P64) [处理建议]本题其实就是求函数y=x3和y=3x-1图象交点的横坐标.(例3)[规范板书]解作出函数y=x3与y=3x-1的图象(如图).在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这3个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1),(0, 1)和(1, 2)上.那么,对于区间(-2,-1),(0, 1)和(1, 2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈-1.9,x2≈0.3,x3≈1.5.[题后反思]函数的图象必须精确地画出,这样才能从图象上观察出解所在的大致区间,进而进行二分法的操作.*【例4】已知函数f(x)=a x+错误！未找到引用源。

江苏省响水中学高中数学第二章《函数与方程》导学案苏教版必修11.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河?显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函数y=x2-2x-3的零点是.2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是.3.观察下面函数y=f(x)的图象,作答:在区间[a,b]上(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)0(填“<”或“>”). 在区间[b,c]上(填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)0(填“<”或“>”). 在区间[c,d]上(填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)0(填“<”或“>”). 4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零点个数的判断判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.零点所在区间的判断函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是.①(6,7);②(7,8);③(8,9);④(9,10).下列函数中存在两个零点的是.①f(x)=2x-2;②f(x)=lg(x2-2);③f(x)=x2-2x+1;④f(x)=e x-1-2.判断函数f(x)=x2-的零点的个数.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根.①(-2,-1);②(0,1);③(1,2);④(-1,0).1.下列图象表示的函数中没有零点的是.2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有个.3.函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为.4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.(2013年·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内考题变式(我来改编):第9课时函数与方程知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0(2)Δ>0一个Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0基础学习交流1.-1和3由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.(1,+∞)函数f(x)=x2+2x+a没有零点,即方程x2+2x+a=0没有实数根,所以Δ=4-4a<0,得a>1.3.有< 有< 有< 根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根”,即可填写.4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0,f(0)=20-02=1>0,而函数f(x)=2x-x2在[-1,0]上的图象是一条连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.重点难点探究探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象.如图,两函数图象有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个.【小结】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题.探究三:【解析】易知f(x)在(0,+∞)上是递增的.∵f(6)=lg 6-=lg 6-<0,f(7)=lg 7-<0,f(8)=lg 8-<0,f(9)=lg 9-1<0,f(10)=lg 10->0,∴f(9)·f(10)<0,∴f(x)=lg x-的零点所在的大致区间为(9,10).【答案】④【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.思维拓展应用应用一:②①中零点为1;②中零点为±;③中零点为1;④中零点为1+ln 2,故选②.应用二:(法一)由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点.故函数f(x)=x2-只有一个零点(法二)当x<0时,f(x)>0恒成立,当x>0时,f(x)是递增的且不间断,又f(1)=1-1=0,故f(x)只有一个零点.应用三:④令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.基础智能检测1.①观察图象可知①中图象表示的函数没有零点.2.3∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有1个零点,同理f(x)在[3,4]、[4,5]上都存在至少1个零点,∴f(x)在[1,6]上的零点至少有3个.3.0因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0.4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,则解得令f(x)=0,即(x-1)(x2-x-6)=0⇒(x-1)(x-3)(x+2)=0,解得x=-2,1,3.∴函数f(x)的其他零点是-2,3.全新视角拓展A因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.思维导图构建实数x x轴有零点f(a)·f(b)<0。

第一标设置目标【学习目标】经历探索一次函数和方程与不等式关系的过程，会把方程与不等式转化为一次函数，根据数形结合的方法直观形象解决实际问题，感受和体会函数不断变化的思想。

【任务1】函数图象和坐标轴交点与解集1.已知直线y=2x+k与x轴的交点是（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是2.对于一次函数y=kx+b，它的图象与x轴的交点是，当它的图象过一.二.三象限时，不等式kx+b>0的解集是,当它的图象不通过第三象限时，不等式kx+b<0的解集为。

3.若关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是, a04.直线y=-3x+2与x轴的交点是,则不等式-3x+2>0的解集是【任务2】用函数图象法解一元一次不等式用画图的方法解不等式解一：原不等式可化为，作直线的图象，由图看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴上方。

即。

所以不等式的解集为x>2解二：把原不等式两边看做是两个一次呼吸，在坐标系中画出直线与，从图象上看出交点为（2，5），且当时，直线上的点在直线相应点的上方，此时。

所以解集是。

第三标反馈目标( 18分钟)赋分学成情况：；家长签名：1.已知直线与相交于点（2，0）则不等式的解集是2.某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用（元）关于（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．。

高一数学导学案全套第一节：函数和方程的基本概念在高一数学学习中，函数和方程是重要的基础概念。

函数描述了两个变量之间的关系，方程则表示了一个等式。

下面将介绍函数和方程的基本概念及其应用。

一、函数的基本概念函数是指在数学中，一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一对应关系的规则。

通常用符号f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。

函数可以用图像、公式或描述性的语言表示。

1. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值可能取得的范围。

例如，函数y = x²的定义域为实数集，值域为非负实数集。

2. 函数图像通过绘制函数图像，我们可以直观地看到函数的形状和特点。

函数图像是在坐标系中绘制的一条曲线，横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值。

3. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像对称于坐标轴的特点。

若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

二、方程的基本概念方程是数学中描述两个量相等关系的等式。

方程中包含未知数，通过求解方程，可以确定未知数的值。

1. 一元方程和二元方程一元方程只含有一个未知数，例如2x + 1 = 5。

二元方程含有两个未知数，例如x + y = 7。

2. 解和解集解是指使方程成立的未知数的值。

解集是所有满足方程的解的集合。

例如，方程2x + 1 = 5的解为x = 2，解集为{x = 2}。

3. 方程的解的判定通过将解代入方程中，可以判断一个值是否是方程的解。

若代入后等式成立，则该值为方程的解。

第二节：一元一次方程一元一次方程是非常基础且常见的方程类型。

在这一节中，我们将学习解一元一次方程的方法。

一、一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，a ≠ 0。

二、解一元一次方程的方法在解一元一次方程时，可以使用反运算的原则，将方程转化为等价的形式。

师生共用导学案函数与方程学习目标: 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．一：课前准备: 1.二次函数的零点的概念_____________________________________________ ____________________________________________________________________2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系3. 推广 ⑴函数的零点的概念________________________________________________ ___________________________________________________________________ ⑵函数的零点与对应方程的关系_______________________________________ ____________________________________________________________________ 二：课堂活动例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：学习札记 班级小组姓名1+∞(,)3轴的上方，则实数上是减函数，那么高中数学函数与方程（师生共用）导学案苏教版必修1。

2019-2020学年高三数学 函数与方程导学案 苏教版一、考纲要求函数与方程是紧密联系、相辅相成的关系，在一定条件下，它们可以相互转化，初等函数的解析式就是二元方程，函数的研究离不开方程，而研究方程的问题有需要函数的性质和图象辅助，函数与方程是高考考查的重点内容.在高考中一般一填空的形式考查函数零点、二分法等知识.函数与方程（A 级要求）；二、复习目标1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．三、重点难点函数零点的概念及用“二分法”求方程的近似解，使学生初步形成用函数观点处理问题的意识．四、要点梳理1．函数的零点：能力一般地,如果函数()y f x =在实数a 处的值等于_____，即：______，则a 叫做这个函数的零点。

2．函数零点的判断 如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，则函数()y f x =在区间________内有零点，即存在(),c a b ∈使得()0f c =，即c 为函数()y f x =的一个零点，即c 为方程()0f x =的一个根。

3．二分法 对于在区间[],a b 上连续不断，且__________________的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

4．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤是什么？五、基础自测1．方程23x x -+=的实数解的个数为 .（必修1，80P 例4改编）2．若函数222y mx mx =+-没有零点，则实数m 的取值范围是 3．对于函数2()f x x mx n =++，若()0,()0f a f b ><，则函数()f x 在区间(,)a b 内：①一定有零点； ②一定没有零点； ③可能有两个零点； ④至多有一个零点.其中正确的序号是___________。