数学分析之定积分

定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。

本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。

一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。

1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。

该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。

该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。

2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。

它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。

常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。

例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。

例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。

例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。

1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。

例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。

方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。

2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。

定积分公式
1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。

通常分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，b)g(x)dxJ(a，b)kf(x)dx=k/(a，b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f (x)) 、直线x=a、
x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。

初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)
2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

主要分为定积分、不定积分以及其他积分。

积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。

定积分概念一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。

先看两个实例。

1．曲边梯形的面积设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)(≥x f 。

则由曲线)(x f y =，直线a x =，b x =以及x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。

下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。

在区间],[b a 内任取1-n 个分点，依次为bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 它们将区间],[b a 分割成n 个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =。

记为i x ∆，即],[1i i i x x x -=∆，n i ,,2,1 =。

并用i x ∆表示区间],[1i i x x -的长度，记},,,max{21n x x x T ∆∆∆= ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（如上右图）。

在每个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于)(x f 连续，它在每个小区间],[1i i x x -上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。

于是，该曲边梯形面积的近似值为∑=∆≈n i i i x f S 1)(ξ。

从而i n i i T x f S ∆=∑=→)(lim 10ξ。

2．变力所作的功W设质点受力F 的作用沿x 轴由点a 移动到点b ，并设F 处处平行于x 轴（如下图），同上述，有i ni i x F W ∆≈∑=)(1ξ，而i ni i T x F W ∆=∑=→)(lim 10ξ。

第9章 定 积 分 （ 2 2 时 ）§1 定积分的定义 （ 2 时 ）一． 背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:3. 函数的平均值:4. 原函数的构造型定义: ( [1]P 274—277 )二. 定积分的定义: 三. 举例:例1 已知函数)(x f 2x =在区间] , 0 [b )0(>b 上可积. 用定义求积分⎰bdx x 02.解 取n 等分区间] , 0 [b 作为分法T , n b x i =∆ . 取 , nibx i i ==ξ)1(n i ≤≤. ⎰bdx x 02=∑∑==∞→∞→∆⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆n i ni i n i i n x n ib x x 1122lim lim ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n b i 132 ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n b 123∞→=n lim 3)12)(1(6133b n n n n b =++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由函数)(x f 在区间] , 0 [b 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数)(x f 211x +=在区间] 1 , 0 [上可积, 用定义求积分⎰+1021xdx . 解 分法与介点集选法如例1 , 有⎰+1021xdx∞→=n lim ∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni n n i 12111∞→=n lim ∑=+ni in n122 . 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分⎰+121x dx. 例3 讨论Dirichlet 函数)(x D 在区间] 1 , 0 [上的可积性. Ex [1]P 204 1，2 .§2 可积条件（ 3 时 ）一. 必要条件:Th 1 R x f ∈)(],[b a ，⇒ )(x f 在区间] , [b a 上有界.二. 充要条件:1. 思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法T 及介点i ξ无关的条件.方案: 定义上和)(__T S 和下和)(T s .研究它们的性质和当0→T 时有相同极限的充要条件 .2. Darboux 和: 以下总设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.并设M x f m ≤≤)(,其中m 和M 分别是函数)(x f 在区间] , [b a 上的下确界和上确界.定义 Darboux 和, 指出Darboux 和未必是积分和.但Darboux 和由分法T 唯一确定. 分别用)(__T S 、)(T s 和∑)(T 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑)(T 是数集(多值) . 但总有 )(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 因此有 )(T s ≤)(__T S .)(T s 和)(__T S 的几何意义 .3. Darboux 和的性质: 本段研究Darboux 和的性质, 目的是建立Darboux 定理.先用分点集定义分法和精细分法: T ≤T '表示T '是T 的加细 . 性质1 若T ≤T ', 则)(T s )(T s '≤,)(__T S ≥)(__T S '. 即:分法加细, 大和不增,小和不减. 性质2 对任何T ,有 ≤-)(a b m )(__T S ,)(a b M -≥)(T s . 即:大和有下界,小和有上界. 性质3 对任何1T 和 2T , 总有)(1T s ≤)(2__T S .即:小和不会超过大和. 证 )(1T s ≤ )(21T T s + ≤ )(21__T T S + ≤ )(2__T S . 性质4 设T '是T 添加p 个新分点的加细. 则有)(T s ≤)(T s '≤)(T s + p )(m M -T ,)(__T S ≥)(__T S '≥)(__T S T m M p )( --.证 设1T 是只在T 中第i 个区间] , [1i i x x -内加上一个新分点x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[11x f M x x i -=, )(sup ],[2x f M i x x =, )(s u p ],[1x f M i i x x i -= .显然有1M m ≤ 和 M M M i ≤≤2.于是)()()()()(021111x x M x x M x x M T S T S i i i i i -----=-≤-- ≤--+--=-))(())((211x x M M x x M M i i i i))(())(())((11----=--+--≤i i i i x x m M x x m M x x m M T m M )(-≤. 添加p 个新分点可视为依次添加一个分点进行p 次. 即证得第二式.同理可证第一式.推论 设分法T '有p 个分点，则对任何分法T ，有)( ||||)()(T S T m M p T S '≤--， )( ||||)()(T s T m M p T s '≥-+.证 )( )( ||||)()(T S T T S T m M p T S '≤'+≤--. )( )( ||||)()(T s T T s T m M p T s '≥'+≥-+.4. 上积分和下积分:设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.由以上性质2，)(T s 有上界,)(__T S 有下界.因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记⎰badx x f )()(inf T S T =,⎰badx x f )()(sup T s T=. 分别称⎰ba和⎰ba为函数)(x f 在区间] , [b a 上的上积分和下积分.对区间] , [b a 上的有界函数)(x f ,⎰ba和⎰ba存在且有限,⎰ba≥⎰ba.并且对任何分法T ,有)(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S .上、下积分的几何意义.例1 求⎰1dx x D )(和⎰1dx x D )(.其中)(x D 是Dirichlet 函数.5. Darboux 定理:Th 1 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界, T 是区间] , [b a 的分法.则有 0lim →T )(__T S =⎰badx x f )(, 0lim →T )(T s =⎰badx x f )(.证 (只证第一式. 要证:对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有≤0-)(__T S ⎰baε<.≤0-)(__T S ⎰ba是显然的. 因此只证 -)(__T S ⎰baε<. )⎰ba)(inf T S T =⇒ 对T '∃>∀ , 0ε,使)(__T S '<⎰ba*) , 2ε+ 设T '有p 个分点,对任何分法T ,由性质4的系,有-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S ', 由*)式, 得-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S '<⎰ba, 2ε+ 即-)(__T S p )(m M -T <⎰ba, 2ε+亦即)(__T S ⎰-ba < 2+εp )(m M -T .于是取)(2m M p -=εδ, (可设m M >, 否则)(x f 为常值函数,⎰ba= )(__T S 对任何分法T 成立.) 对任何分法T , 只要 δ<T , 就有≤0-)(__T S ⎰baεεε=+<22.此即lim →T )(__T S =⎰badx x f )(.6. 可积的充要条件:Th 2 (充要条件1)设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈ ⇔⎰ba=⎰ba.证)⇒ 设⎰badx x f )(=I,则有0l i m→T ∑∆iixx f )(=I .即对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有 |∑∆i i x x f )(I -| <2ε对i i x ∆∈∀ ξ成立. 在每个 ] , [1i i x x -上取i η, 使)(0i i f M η-≤)(2a b -<ε, 于是,| )(__T S ∑-)(i f ηi x ∆| =))( (i i f M η-∑i x ∆ <2ε. 因此, δ<T 时有| )(__T S I -| ≤ | )(__T S ∑-)(i f ξi x ∆| + |∑∆i i x x f )(I -| <2ε + 2ε=ε. 此即0lim →T )(__T S =I . 由Darboux 定理 ,⇒⎰b a= I .同理可证⎰ba= I ⇒⎰ba=⎰ba.)⇐ 对任何分法T , 有)(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 而l i m →T )(T s =⎰ba=⎰ba= 0lim →T )(__T S .令⎰ba和⎰ba的共值为I , 由双逼原理 ⇒ 0lim→T ∑)(T =I .Th 3 )(x f 有界. )(x f ] , [ b a R ∈ ⇔ 对 , , 0∍∃>∀T ε-)(__T S )(T s ε<. 证 )⇒)(x f ] , [ b a R ∈⇒0lim →T ( -)(__T S )(T s ) = 0. 即对 , 0 , 0>∃>∀δεδ<∀T T , 时, ⇒ ≤0-)(__T S )(T s ε<.)⇐ )(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S ,由-)(__T S )(T s ε<⇒≤0⎰ba–⎰baε<,⇒⎰ba=⎰ba.定义 称i ωi i m M -=为函数)(x f 在区间] , [1i i x x -上的振幅或幅度.易见有i ω≥ 0 . 可证i ω=.)()(sup],[,1x f x f i i x x x x ''-'-∈'''Th 3’ (充要条件2 ))(x f 有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对, , 0∍∃>∀T ε∑<∆εωiIx.Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法:为应用Th 3’,通常用下法构造分法T :当函数)(x f 在区间] , [b a 上含某些点的小区间上i ω作不到任意小时, 可试用)(x f 在区间] , [b a 上的振幅m M -=ω作i ω的估计,有i ω≤ ω.此时,倘能用总长小于0 ( 2≠ωωε, 否则)(x f 为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法T的一部分分点，在区间] , [b a 的其余部分作分割，使在每个小区间上有i ω<)(2a b -ε, 对如此构造的分法T , 有∑=∆n i iix 1ω∑∑=-=∆+∆=mk mn j j j k kx x 11ωω<∑∑=-=≤∆+∆-mk mn j jkxx a b 11)(2ωε∑∑-==∆+∆-≤m n j j ni i x x a b 11)(2ωεεωεωε=+--≤2 )()(2a b a b . Th 4 ( (R )可积函数的特征) 设)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对0 >∀ε和0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T ,只要 δ<T ,对应于εω≥'i 的那些小区间i x '∆的长度之和σ<∆∑'i x.证)⇒)(x f 在区间] , [b a 上可积, 对0 >∀ε和 0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T , 只要δ<T , 就有σεσωωε<∆⇒<∆≤∆≤∆∑∑∑∑''''i iii i i x xx x .)⇐ 对 , , 0∍∃>∀T εεω≥'i 的区间总长小于,ωε此时有∑∑∑∑∑==''=='''+-≤∆+∆≤∆+∆=∆mk ni i mk k ni i i k k i i a b x x x x x 1111)( ωεωεωεωωω =).1(+-a b ε三． 可积函数类：1． 闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ）2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ）推论1 闭区间上按段连续函数必可积.推论2 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(x f 在区间] , [b a 上可积.例2 判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ）例3 , 2 , 1 . 111 , 1, 0, 0)(=⎪⎩⎪⎨⎧<<+==n n x n nx x f 证明)(x f 在] 1 , 0 [上可积.Ex [1]P 288—289 3 — 7.§3 定积分的性质（ 3 时 ）一. 定积分的性质:1.线性性质:Th 1 k b a R f ],,[∈为常数⇒ ],,[b a R kf ∈且⎰⎰=b abaf k kf . （ 证 ）Th 2 ],[,b a R g f ∈⇒ ],[b a R g f ∈±, 且⎰⎰⎰±=±bababag f g f )(.（ 证 ）综上, 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ],[,b a R g f ∈⇒],[b a R g f ∈⋅.证 f 和g 有界. 设)(sup , |)(|sup ],[],[x g B x f A b a b a ==, 且可设0 , 0>>B A .(否则f 或g恒为零). 插项估计∑∆⋅iix g f )(ω,有|)()()()(|sup )(,x g x f x g x f g f ix x x i ''''-''=⋅∆∈'''ωix x x ∆∈'''≤,sup )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [g A f B x g x g x f x f x f x g i i ωω+≤''-'''+''-''.但一般⎰⎰⎰⋅≠⋅bab abag f g f .3. 关于区间可加性:Th 4有界函数f 在区间],[c a 和],[b c 上可积⇔)(x f ] , [ b a R ∈,并有⎰⎰⎰+=bccaba.(证明并解释几何意义)规定:0=⎰aa,⎰⎰-=abba.推论 设函数f 在区间] , [B A 上可积. 则对∈∀b a , ] , [B A ,有⎰⎰⎰+=bccaba.（ 证 ）4. 积分关于函数的单调性:Th 5 设函数],[,b a R g f ∈, 且f ≤g , ⇒⎰baf ≤⎰bag .（ 证 ）(反之确否?)积分的基本估计:)(a b m -≤⎰baf ≤)(a b M -.其中m 和M 分别为函数f 在区间] , [b a 上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6 设函数],[b a R f ∈⇒],[||b a R f ∈, 且⎰baf ||≥⎰baf .|| (注意b a <.)证 以)()(|)(||)(|x f x f x f x f ''-'≤''-' 证明∑≤∆iix f |)(|ω∑∆iixf )(ω;以 |)(| )( |)(|x f x f x f ≤≤-证明不等式.注: 该定理之逆不真. 以例 ⎩⎨⎧-=. , 1,, 1)(为无理数为有理数x x x f 做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 (积分第一中值定理)],[b a C f ∈⇒∈∃ξ] , [b a ,使⎰baf =)(ξf )(a b -.Th 8 (推广的积分第一中值定理) ],,[,b a C g f ∈ 且g 不变号.则∈∃ξ] , [b a ,使g f ba⎰=)(ξf ⎰bag . （ 证 ）Ex [1]P 299—300 1 —7.二. 变限积分: 定义上限函数⎰=Φx adt t f x )()(，（以及函数⎰=ψbxdt t f x )()(）其中函数],[b a R f ∈. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. Th 8 ( 面积函数的连续性 )三. 举例:例 1 设],[,b a R g f ∈. 试证明: ⎰∑=∆=→bani i i i T fg x g f 1)()(lim ηξ.其中i ξ和i η是i ∆内的任二点,=T {i ∆}, n i , , 2 , 1 =.例2 比较积分⎰1dx ex与⎰12dx e x 的大小.例3 设 ],,[b a C f ∈ 0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0.例4 证明不等式⎰<-<222sin 2112πππx dx .证明分析: 所证不等式为⎰⎰⎰<-<2222.2sin 211πππdx x dx dx 只要证明在]2,0[π上成立不等式≤12sin 211212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 ⎰=∞→200cos lim πxdx nn .§4 定积分的计算（ 4 时 ）引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数⎰=Φxadt t f x )()(.一． 微积分学基本定理：1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1 （微积分学基本定理）若函数],,[b a C f ∈ 则面积函数⎰=Φxadt t f x )()(在] , [b a 上可导，且)(x Φ'=⎰=xa x f dt t f dxd )()(. 即: 当],[b a C f ∈时, 面积函数⎰=Φxadt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数恰为被积函数在上限的值.亦即)(x Φ是)(x f 的一个原函数. 推论 连续函数必有原函数.2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L 公式 ）( 证 )例1 ⅰ> ⎰bdx x 02; ⅱ> ⎰baxdx e ;例2⎰-ee xdx 1ln .例3⎰+121x dx. ( 与§1 例3 联系 ) 例4 设],,[b a C f ∈0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0. ( §3 例3对照.)证明分析:证明⎰⎰<=aabadx x f dx x f )()(0.设⎰=Φx adt t f x )()(,只要证明)()(b a Φ<Φ.为此证明: ⅰ>)(x Φ↗ ( 只要0)(≥Φ'x ),ⅱ> 但)(x Φ不是常值函数(只要0)(≡/Φ'x ), ⅲ> 又0)(≥Φa . ( 证 )例5 证明 ⎰=+∞→1.01lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式.10x x x n≤+≤ ) Ex [1]P 309 1，2，4⑴─⑽二． 定积分换元法：Th 3 设],,[b a C f ∈ 函数φ满足条件：ⅰ> b a ==)(, )(βφαφ, 且 ],[ , )(βαφ∈≤≤t b t a ; ⅱ> )(t φ在],[βα上有连续的导函数.则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαφφ)()]([)(. （ 证 ）例6 ⎰-1021dx x .例7 ⎰2cos sin πtdt t .例8 计算 ⎰++=1021)1ln(dx xx J . 该例为技巧积分. 例9 ⎰-+a x a x dx 022. 该例亦为技巧积分.例10 已知 ⎰-=324)(dx x f , 求 ⎰+212.)1(dx x xf 例11设函数)(x f 连续且有⎰=10.3)(dx x f 求积分⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100.)()(dx x f dt t f x ) 23 ( 例12 设)(x f 是区间)0( ],[>-a a a 上连续的奇（或偶函数）函数，则⎰-=a a dx x f 0)(， （⎰⎰-=a a adx x f dx x f 0)(2)( . ） 例13 []⎰--=--+223235c o s 3s i n 2ππdx arctgx e x x x x x .. 三. 分部积分公式:Th 4 (分部积分公式)例14 ⎰1.dx xe x例15 计算 ⎰⎰==220c o s s i n ππx d x x d x J n n n .解 ⎰'-=-201)(c o s s i n πdx x x J n n = ⎰'+---201201)(sin cos |cos sinππdx x x x x n n ⎰---=--=--20222)1()1()sin 1(sin )1(πn n n J n J n dx x x n ；解得 ,12--=n n J n n J 直接求得 ⎰==2011sin πxdx J ， ⎰==2002ππdx J . 于是, 当n 为偶数时, 有 ==--⋅-=-=-- 422311n n n J n n n n J n n J 2!!!)!1(224)2(135)3)(1(21432310ππ⋅-=⋅⋅-⋅⋅--=⋅⋅⋅--⋅-=n n n n n n J n n n n ; 当n 为奇数时, 有 !!!)!1(32542311n n J n n n n J n -=⋅⋅⋅--⋅-=. 四. Taylor 公式的积分型余项: [1]P 228—229.Ex [1]P 310 4⑾—⒇，5，6，7.。