数学分析(上) 9-4定积分的性质

数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。

以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。

一、函数函数是数学分析的核心概念之一。

1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。

2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。

（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。

（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。

3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。

二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。

1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。

揭示定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的根底上，我们还应了解一些定积分的根本性质.〔由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求.〕一、定积分根本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，那么有性质１ 函数代数和〔差〕的定积分等于它们的定积分的代数和〔差〕. 即[()()]()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前.即()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰〔k 为常数〕． 性质3 不管abc ，，三点的相互位置如何，恒有()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰． 这性质说明定积分对于积分区间具有可能性．性质4 假设在区间[]a b ，上，()0f x ≥，那么()0ba f x dx ⎰≥． 推论1 假设在区间[]ab ，上，()()f x g x ≤，那么()()b ba a f x dx g x dx ⎰⎰≤． 推论2 ()()bba a f x dx f x dx ⎰⎰≤． 性质5 〔估值定理〕设函数()f x 在区间[]ab ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，那么()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 证明：因为()m f x M ≤≤，由性质推论1得()b b ba a a mdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤． 即()b b ba a a m dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤． 故()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.二、定积分性质的应用例1 比拟定积分20x e dx -⎰和20xdx -⎰的大小． 解：令()x f x e x =-，[20]x ∈-，，那么()0f x >， 故02()0f x dx ->⎰，即02()0x e x dx -->⎰．022x e dx xdx -->⎰⎰，从是2200x e dx xdx --<⎰⎰． 例2 估计定积分π30212sin dx x +⎰的值．解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，320sin 1∴≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x +≤≤， 于是由估值定理有π302π1π322sin dx x +⎰≤≤． 评注：例１是比拟同区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比拟，但本例的构造函数，利用性质比拟防止了大量计算，显得简捷、明了.例２中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解.。

小结定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的基础上，我们还应了解一些定积分的基本性质．（由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求．） 一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()bbbaaafx g x d xf x d xg x d x±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形． 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0baf x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bb baaamdx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用 例1 比较定积分2e x dx -⎰和2xdx -⎰的大小．解：令()e xf x x =-，[20]x ∈-，， 则()0f x >， 故2()0f x dx ->⎰，即02(e )0x x dx -->⎰．22e xdx xdx -->⎰⎰，从而22e xdx xdx --<⎰⎰．例2 估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤． 评注：例1是比较同一区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比较，但本例的构造函数，利用性质比较避免了大量计算，显得简捷、明了．例2中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。

§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。

证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。

由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。

定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。

第九章 定积分§1 定积分的概念（教材上册P204）1. 按定积分定义证明：()bakdx k b a =-⎰知识点窍 定积分的定义. 逻辑推理 按定积分定义证明.解 0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{i ε}，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ε===≡∈∆∆=∆=-∑∑∑任意取定0δ>，当T δ<时 所以k 在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰.2. 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，求计算下列定积分. （1）130x dx ⎰ （2）1x e dx ⎰（3）bx ae dx ⎰（4）2(0)badxa b x<<⎰知识点窍 定积分的定义.逻辑推理 利用定积分的定义计算定积分，关键是()f x 在区间[,]a b 上是否可积，若可积，则由定积分的定义，()baf x dx ⎰的值就应与区间[,]a b 的分法及点i ξ的取法无关.解 （1）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n . 在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ε 而13311lim()nn k kx dx n n →+∞==⋅∑⎰3411lim nn k kn→+∞==∑224111lim(1)44n n n n →+∞=⋅+=.（2）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n .在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ξ，则 101111lim lim kk nn xnn n n k k e dx e e n n →+∞→+∞===⋅=∑∑⎰ 111(1)lim111[1()](1)1lim 1.111[1()]nn nn e e ne e n n e n n nοο→+∞→+∞-=⋅-++-==--++ （3）将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n . 在区间1[(),()]k k a b a a b a n n -+-+-上取()ka b a n+-作为k ξ，则()1lim kna b a bxn a n k b a e dx e n +-→+∞=-=⋅∑⎰()1lim (1)lim 11[1()()](1)lim 11[1()()].k b a n a n n k b ab a na b a n nb a a n b a b a e e n b a e e e ne b a b a e b a n n e b a n b a n ne e οο-→+∞=---→+∞-→+∞-=⋅--=--+-+--=--+-+=-∑ （4）取i ξ后211110111111()()nni i i i ij i n x x x x x x a b -==--=-=-=-∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n .在区间1[]k k x x -k ξ则212111lim ()nbk k an k dx x x x a b-→∞==-=-∑⎰. §2 牛顿—莱布尼茨公式（教材上册P206）1. 计算下列定积分.（1）10(23)x dx +⎰ （2）212011x dx x -+⎰ （3）2ln e edxx x⎰（4）102x xe e dx --⎰ （5）23tan xdx π⎰（6）94dx ⎰ （7）4⎰ （8）211(ln )e e x dx x⎰知识点窍 牛顿—莱布尼茨公式. 解（1）1012(23)34x dx xx+=+=⎰.（2）110211220012(1)2arctan 1112x dx dx x x x x π-=-=-=-++⎰⎰.（3）2221(ln )ln ln ln 2ln ln e ee e e e dx d x x x x x===⎰⎰.（4）10110111()12222x x x x e e dx e e e e ----=+=+-⎰. （5）22233322000sin 1cos tan cos cos x x xdx dx dx x xπππ-==⎰⎰⎰30(tan )3x x ππ=-=.（6）9439242144(2)323dx x x =+=⎰. （7）4441)]42ln3==-=-⎰⎰.（8）122311112(ln )(ln )(ln )(ln )33e eee eex dx x d x x x ===⎰⎰. 2. 利用定积分求极限. （1）3341lim(12)n n n→∞+++（2）222111lim (1)(2)()n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦（3）2222111lim ()122n n n n n →∞+++++（4）121lim (sin sin sin )n n n n n nπππ→∞-+++知识点窍 定积分求极限.逻辑推理 由定积分的定义知，若()f x 在[,]a b 上可积，则可对[,]a b 用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[,]a b 上的定积分.因此，本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限. 解（1）记3()f x x =，则()f x 在[0,1]上连续且可积，取 12{0,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=则313111lim ()lim nn i i T n i i i x dx f x n nξ→→∞===∆=∑∑⎰33341lim (123)n n n →∞=++++101144==.（2）记21()(1)f x x =+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积，取 12{0,,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim (1)(1)nn i i T n i i ex f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰ 222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞=++++++10111()(1)122x =-=---=+.（3）记21()1f x x=+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积.取 12{0,,,,}n T n n n =，,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim 11()n n i i T n i i dx f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰2222111lim ()12nn n n n n n →∞=++++++10arctan 4π==.（4）记()sin f x x =，[0,]x π∈，则f 在[0,]π上连续，所以可积，取2(1){0,,,,,}n T n nn ππππ-=，1(1)i i i i xx nξ--==∈∆，1,2,,.i n =则11(1)sin lim ()limsinni i T n i i n xdx f x nnπππξ→→∞==-=∆=∑∑⎰12(1)lim(sin sin sin)n n n n nnππππ→∞-=+++ 0cos 2.x π=-=12()2lim (sin sin sin).n n n n n nn ππππ→∞-⇒+++= §3 可积条件（教材上册P212）1. 证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则 iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑解 设T 的分点为:121,,,n x x x -,且012n a x x x x b =<<<<=设T '比T 只多一个分点x '，且1.k k x x x -'<<设()f x 在1[,],[,]k k x x x x -''和1[,]k k x x -的振幅分别为,kk w w '''与k w ,因为函数在子区间上的振幅总大于其在大区间上的振幅，即有,kk k w w w w '''≤≤ 11()()()()kk k k k k k k w x x w x x w x x w x x --'''''''-+-≤-+- 1()k k k w x x -=-除第k 个区间外，()f x 在这些区间上T 和T '的振幅相等.于是iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑若T '比T 多若干个分点，则在T 基础上逐次增加一个的办法，则上述结论也成立. 2. 证明：若f 在[,]a b 上可积，[,][,]a b αβ<，则f 在[,]αβ上也可积.知识点窍 可积准则.解 f 在[,]a b 上可积0ε⇔∀>，总存在相应的某一分割T ，使得i iTw xε∆<∑设T 的分点为012n a x x x x b =<<<<=若1[,](,)t t x x αβ-⊂则取T '0:n x x αβ=<=()()iiitT w x w w βαβαε''''∆=-≤-<∑f 在[,]αβ上可积若11t t s s x x x x αβ--≤<≤<≤ 则取0111:t t s T x x x x x αβ+-''''''=<<<<<<1iikkiiT k t Tw x w x w xε''=-''''∆≤∆<∆<∑∑∑f 在[,]αβ上可积，综上得f 在[,]αβ上可积.3. 设f ,g 均为定义在[,]a b 上的有界函数.证明：若仅在[,]a b 中有限个点处()()f x g x ≠，则当f 在[,]a b 上可积时，g 在[,]a b 上也可积，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰知识点窍 可积准则.解 不妨设f 和g 仅在一点0[,]x a b ∈处, ()()f x g x ≠.在给分法T ，()k w f 和()k w g 分别为f 和g 在第k 个区间的振幅，()w f 和()w g 为f 和g 在[,]a b 上振幅，则由f ,g 有界M ⇒∃ ()()k w f w f M ≤< ()()w g w g M ≤<0x 最多属于两个相邻小区间1[,]t t x x -和1[,]t t x x +则111()[()()]()n n nkikkikik k k w g x w g w f x w f x===∆=-∆+∆∑∑∑111[()()][()()]t t t t t t w g w f x w g w f x +++=-∆+-∆+1()nkik w f x=∆∑其中111|[()()][()()]|2(t t t t t t t w g w f x w g w f x M x +++-∆+-∆≤∆+1)0(0)t x T +∆→→1()0(0)nkik w f xT =∆→→∑∴1()0(0)nkik w g xT =∆→→∑∴ g 在[,]a b 上也可积任给[,]a b 分法T '，取特殊0,0,1,,.k x k n ξ≠=则11()()nn kkk k k k f x g x ξξ'==''∆=∆∑∑ 011lim ()lim ()n n k kk k T T k k f x g x ξξ'→→==''∆=∆∑∑ ∴()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰4. 设f 在[,]a b 上有界，{}[,]n a a b <，lim n n a c →∞=，证明：若f 在[,]a b 上只有(1,2,)n a n =为其间断点，则f 在[,]a b 上可积.知识点窍 可积准则.逻辑推理 设lim n n a c a →∞==，取合适的0δ>，使0ωδ>，再利用()f x在[,]a b δ+上可积，存在[,]a b δ+上的分割T '使2i i Tx εω∆<∑，最后将[,]a a δ+与T '合并，得[,]a b 上的分割T ，有i iTxωε∆<∑，即得证f 在[,]a b 上可积.解 不妨设lim n n a c a →∞==,()f x 在[,]a b 上的振幅为ω.0ε∀>，取02εδω<<， 因lim n n a a →∞=，所以存在N ，使当n N >时，[,]n a a a δ∈+，从而()f x在[,]a b δ+上至多只有有限个间断点，由定理9.5知()f x 在[,]a b δ+上可积，再有可积准则知，存在[,]a b δ+上的分割T '，使2i i T x εω'∆<∑.把[,]a a δ+与T '合并，就构成[,]a b 的一个分割T ，设0ω为()f x 在[,]a a δ+上的振幅，则**0.22i ii i i i TT T xx x εεωωδωωδωε∆=+∆≤+∆<+=∑∑∑故由可积准则知,()f x 在[,]a b 上可积. 5. 证明：若f 在区间∆上有界，则知识点窍 确界的定义.逻辑推理 对两个上确界和一个下确界，不便同时处理，可选定两个看作常数，而对第三个用确界定义证明.解 记sup ().inf ()x x A f x B f x ∈∆∈∆==（1） 如果()A B f x A =⇒≡,x ∈∆.上述等式两边为零，成立. （2） 如A B >，则对10()2A B ε∀<<-，及x '∀，x ''∈∆，有 ()()f x f x A B '''-≤-,()()f x f x A B '''-≤-|()()|f x f x A B '''⇒-≤-同时x '∃,x ''∈∆,使()2f x A ε'>-,()2f x B ε''<+|()()|()()().22f x f x A B A B εεε'''⇒->--+=--,sup |()()|sup ()inf ().x x x x f x f x A B f x f x ∈∆'''∈∆∈∆'''⇒-=-=-§4 定积分的性质（教材上册P219）1. 证明：若f 与g 都在[,]a b 上可积，则 01lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξη→=∆=∑⎰其中i ξ,i η是T 所属小区间i ∆中的任意两点, 1,2,,.i n =知识点窍 定积分的性质. 逻辑推理 设01()()lim ()()nbi i i aT i I f x g x dx f g x εε→===∆∑⎰，则只需证0,0εδ∀>∃>,当T δ→时11||()()|[()()()()]|n ni i i i i i i i i i f g x I f g f g x εηεηεε==∆-≤-∆+∑∑1|()()|niiii f g x I εηε=∆-<∑ 即可.解 f 在[,]a b 上可积，则f 有界，即0M ∃>,有||f M <设1()()()()nbi i i ai I f x g x dx f g x ξη===∆∑⎰11()()()[()()]nniiiiiiii i f g x f g g x ξξξηξ===∆+-∆∑∑f ,g 在[,]a b 上可积()()f x g x ⇒在[,]a b 上可积.1lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξξ→=∆=∑⎰以k w 表示()g x 在1[,]k k x x -上振幅. 因为g 可积，所以01lim0ni iT i w x→=∆=∑11|()[()()]|0(0)nniiiiii i f g g M w xT ξηξ==-≤∆→→∑∑11lim()()lim ()()()()nnbi i i i i i aT T i i f g x f g x f x g x dx ξηξξ→→==∴∆=∆=∑∑⎰2. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小. （1）1xdx ⎰与12x dx ⎰ （2）20xdx π⎰与20sin xdx π⎰知识点窍 积分不等式性. 逻辑推理 根据积分不等式，要比较两个积分区间相同的积分的大小，只要比较在该积分区间上两个被积函数的大小.解 （1）在[0,1]上2x x ≥, 112200xdx x dx ∴≥⎰⎰(2)在[0,]2π上, sin x x ≥, 220sin xdx xdx ππ∴≥⎰⎰3. 证明下列不等式（1）202ππ<<⎰（2）2101x e dx e <<⎰ （3）10sin 12x dx x π<<⎰ （4）46e e <<⎰ 解 （1）原式化为22200011dx πππ<<⎰⎰⎰(0,)2x π∈时, 1>>11∴<<22ππ∴<<⎰ (2) 原式可化为211110x e dx edx e dx <<⎰⎰⎰(0,1)x ∈时, 201x << 2111010x e dx e dx e dx ∴<<⎰⎰⎰211x e dx e ∴<<⎰（3）(0,1]x ∈时, sin x x ≤,sin 1xx≤ 10sin 1xdx x∴≤⎰,原题有误. 此题应改为在(0,)2x π∈上.在此区间上2sin 1xxπ<<，所以有 222002sin 12x dx dx dx x πππππ=<<=⎰⎰⎰（4<44ee ee=<⎰⎰44442ln 2eeee eeeex==-⎰⎰⎰4426e e eex =-=-<46ee∴<<⎰4. 设f 在[,]a b 上连续，且()f x 不恒等于零，证明2(())0baf x dx >⎰知识点窍 函数连续的性质，定积分基础性质中的性质4. 逻辑推理 只要证明2()f x 在[,]a b 上连续即可解 因为f 在[,]a b 是连续2f ⇒在[,]a b 上连续，且2(())0f x ≥, [,]x a b ∈.又因为()f x 不恒等于零，即0[,]x a b ∃∈，使20()0()0f x f x ≠⇒>.可得2(())0baf x dx >⎰5. 设f 与g 都在[,]a b 上可积，证明[,]()max{(),()}x a b M x f x g x ∈=,[,]()min{(),()}x a b m x f x g x ∈=在[,]a b 上也都可积.知识点窍 定积分基本性质中的性质6，性质2. 逻辑推理 借助||min{,}2A B A B A B +--=，||max{,}2A B A B A B ++-=，然后利用定积分性质即可得证.解 [,]1()max{(),()}(||)2x a b M x f x g x f g f g ∈==++-2[,]1()min{(),()}(||)2x a b m x f x g x f g f g ∈==+--由f ,g 在[,]a b 上可积||f g ⇒-在[,]a b 上可积()M x ⇒, ()m x 在[,]a b 上也都可积.6. 试求心形线(1cos )r a θ=+, 02θπ≤≤上各点,极径的平均值. 知识点窍 积分中值定理的几何意义.解 极径的平均值为202011(1cos )(sin )22a d a a ππθθθθππ+=⋅+=⎰.§5 微积分基本定理定积分计算（续）（教材上册P229）1. 设f 为连续函数，u ，v 均为可导函数，且可实行复合f u 与f v ，证明：()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=-⎰ 知识点窍 原函数存在定理，符合函数求导法则. 逻辑推理 0()()yG y f t dt ∆⎰，由原函数存在定理,()G y 可导，且()()G y f y '=解 由复合函数求导法则()(()){[()]}v x f t dt G v x '=⎰[()]()[()]()G v x v x f v x v x '''==()()()()00()()()v x v x u x u x d d d f t dt f t dt f t dt dx dx dx ∴=-⎰⎰⎰ (())()(())()f v x v x f u x u x ''=- 2. 设f 在[,]a b 上连续, ()()()xaF x f t x t dt =-⎰.证明()()F x f x ''=,[,]x a b ∈.知识点窍 分部积分法. 逻辑推理 积分()()xaf t x t dt -⎰是以t 为积分变量的定积分，在积分过程中x 是常量。