数学分析函数的定积分

定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。

本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。

一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。

1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。

该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。

该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。

2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。

它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。

常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。

例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。

例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。

例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。

1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。

例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。

方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。

2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。

定积分公式
1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。

通常分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，b)g(x)dxJ(a，b)kf(x)dx=k/(a，b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f (x)) 、直线x=a、
x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。

初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)
2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

主要分为定积分、不定积分以及其他积分。

积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

三角函数定积分点火公式三角函数在数学中是一个重要的概念，它与圆的关系密切。

在数学分析中，我们经常遇到需要求解三角函数的定积分问题。

为了解决这类问题，我们可以利用一些点火公式，这些公式可以简化计算过程并提供指导。

首先，我们需要了解三角函数的基本定义。

三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

这些函数在数学中具有重要的性质和应用，可以描述周期性的现象和数学模型。

接下来，我们介绍一些常用的三角函数定积分点火公式。

这些公式可以帮助我们简化计算和推导过程，提高求解速度。

1. 正弦函数的定积分点火公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C这个公式告诉我们，对于正弦函数的定积分，只需要将函数的负余弦值加上一个常数C即可得到积分结果。

2. 余弦函数的定积分点火公式：∫cos(x)dx = sin(x) + C类似地，对于余弦函数的定积分，只需要将函数的正弦值加上一个常数C即可得到积分结果。

3. 正切函数的定积分点火公式：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C当然，对于正切函数的定积分，情况会稍微复杂一些。

这个公式告诉我们，需要先求解函数的余弦值，再取其自然对数的绝对值，最后再加上一个常数C。

在实际应用中，我们经常需要结合这些点火公式来求解更复杂的三角函数定积分问题。

同时，我们也需要注意一些特殊情况和限制条件。

例如，当函数在某些点上不连续或不可导时，这些点火公式可能不适用。

此外，我们还可以利用一些三角函数的性质来简化计算。

例如，利用奇偶性和周期性质，我们可以将定积分的区间缩小到一个周期内，从而简化计算过程。

总之，三角函数定积分点火公式是数学分析中重要的工具。

通过掌握和应用这些公式，我们可以更快速地求解三角函数的定积分问题，并在实际应用中发挥指导作用。

在进行计算时，我们还需要注意一些特殊情况和限制条件，以确保结果的准确性和有效性。

希望本篇文章能够帮助读者更好地理解三角函数定积分点火公式的概念和应用。

第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。

定积分概念一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。

先看两个实例。

1．曲边梯形的面积设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)(≥x f 。

则由曲线)(x f y =，直线a x =，b x =以及x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。

下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。

在区间],[b a 内任取1-n 个分点，依次为bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 它们将区间],[b a 分割成n 个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =。

记为i x ∆，即],[1i i i x x x -=∆，n i ,,2,1 =。

并用i x ∆表示区间],[1i i x x -的长度，记},,,max{21n x x x T ∆∆∆= ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（如上右图）。

在每个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于)(x f 连续，它在每个小区间],[1i i x x -上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。

于是，该曲边梯形面积的近似值为∑=∆≈n i i i x f S 1)(ξ。

从而i n i i T x f S ∆=∑=→)(lim 10ξ。

2．变力所作的功W设质点受力F 的作用沿x 轴由点a 移动到点b ，并设F 处处平行于x 轴（如下图），同上述，有i ni i x F W ∆≈∑=)(1ξ，而i ni i T x F W ∆=∑=→)(lim 10ξ。

第9章 定 积 分 （ 2 2 时 ）§1 定积分的定义 （ 2 时 ）一． 背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:3. 函数的平均值:4. 原函数的构造型定义: ( [1]P 274—277 )二. 定积分的定义: 三. 举例:例1 已知函数)(x f 2x =在区间] , 0 [b )0(>b 上可积. 用定义求积分⎰bdx x 02.解 取n 等分区间] , 0 [b 作为分法T , n b x i =∆ . 取 , nibx i i ==ξ)1(n i ≤≤. ⎰bdx x 02=∑∑==∞→∞→∆⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆n i ni i n i i n x n ib x x 1122lim lim ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n b i 132 ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n b 123∞→=n lim 3)12)(1(6133b n n n n b =++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由函数)(x f 在区间] , 0 [b 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数)(x f 211x +=在区间] 1 , 0 [上可积, 用定义求积分⎰+1021xdx . 解 分法与介点集选法如例1 , 有⎰+1021xdx∞→=n lim ∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni n n i 12111∞→=n lim ∑=+ni in n122 . 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分⎰+121x dx. 例3 讨论Dirichlet 函数)(x D 在区间] 1 , 0 [上的可积性. Ex [1]P 204 1，2 .§2 可积条件（ 3 时 ）一. 必要条件:Th 1 R x f ∈)(],[b a ，⇒ )(x f 在区间] , [b a 上有界.二. 充要条件:1. 思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法T 及介点i ξ无关的条件.方案: 定义上和)(__T S 和下和)(T s .研究它们的性质和当0→T 时有相同极限的充要条件 .2. Darboux 和: 以下总设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.并设M x f m ≤≤)(,其中m 和M 分别是函数)(x f 在区间] , [b a 上的下确界和上确界.定义 Darboux 和, 指出Darboux 和未必是积分和.但Darboux 和由分法T 唯一确定. 分别用)(__T S 、)(T s 和∑)(T 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑)(T 是数集(多值) . 但总有 )(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 因此有 )(T s ≤)(__T S .)(T s 和)(__T S 的几何意义 .3. Darboux 和的性质: 本段研究Darboux 和的性质, 目的是建立Darboux 定理.先用分点集定义分法和精细分法: T ≤T '表示T '是T 的加细 . 性质1 若T ≤T ', 则)(T s )(T s '≤,)(__T S ≥)(__T S '. 即:分法加细, 大和不增,小和不减. 性质2 对任何T ,有 ≤-)(a b m )(__T S ,)(a b M -≥)(T s . 即:大和有下界,小和有上界. 性质3 对任何1T 和 2T , 总有)(1T s ≤)(2__T S .即:小和不会超过大和. 证 )(1T s ≤ )(21T T s + ≤ )(21__T T S + ≤ )(2__T S . 性质4 设T '是T 添加p 个新分点的加细. 则有)(T s ≤)(T s '≤)(T s + p )(m M -T ,)(__T S ≥)(__T S '≥)(__T S T m M p )( --.证 设1T 是只在T 中第i 个区间] , [1i i x x -内加上一个新分点x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[11x f M x x i -=, )(sup ],[2x f M i x x =, )(s u p ],[1x f M i i x x i -= .显然有1M m ≤ 和 M M M i ≤≤2.于是)()()()()(021111x x M x x M x x M T S T S i i i i i -----=-≤-- ≤--+--=-))(())((211x x M M x x M M i i i i))(())(())((11----=--+--≤i i i i x x m M x x m M x x m M T m M )(-≤. 添加p 个新分点可视为依次添加一个分点进行p 次. 即证得第二式.同理可证第一式.推论 设分法T '有p 个分点，则对任何分法T ，有)( ||||)()(T S T m M p T S '≤--， )( ||||)()(T s T m M p T s '≥-+.证 )( )( ||||)()(T S T T S T m M p T S '≤'+≤--. )( )( ||||)()(T s T T s T m M p T s '≥'+≥-+.4. 上积分和下积分:设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.由以上性质2，)(T s 有上界,)(__T S 有下界.因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记⎰badx x f )()(inf T S T =,⎰badx x f )()(sup T s T=. 分别称⎰ba和⎰ba为函数)(x f 在区间] , [b a 上的上积分和下积分.对区间] , [b a 上的有界函数)(x f ,⎰ba和⎰ba存在且有限,⎰ba≥⎰ba.并且对任何分法T ,有)(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S .上、下积分的几何意义.例1 求⎰1dx x D )(和⎰1dx x D )(.其中)(x D 是Dirichlet 函数.5. Darboux 定理:Th 1 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界, T 是区间] , [b a 的分法.则有 0lim →T )(__T S =⎰badx x f )(, 0lim →T )(T s =⎰badx x f )(.证 (只证第一式. 要证:对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有≤0-)(__T S ⎰baε<.≤0-)(__T S ⎰ba是显然的. 因此只证 -)(__T S ⎰baε<. )⎰ba)(inf T S T =⇒ 对T '∃>∀ , 0ε,使)(__T S '<⎰ba*) , 2ε+ 设T '有p 个分点,对任何分法T ,由性质4的系,有-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S ', 由*)式, 得-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S '<⎰ba, 2ε+ 即-)(__T S p )(m M -T <⎰ba, 2ε+亦即)(__T S ⎰-ba < 2+εp )(m M -T .于是取)(2m M p -=εδ, (可设m M >, 否则)(x f 为常值函数,⎰ba= )(__T S 对任何分法T 成立.) 对任何分法T , 只要 δ<T , 就有≤0-)(__T S ⎰baεεε=+<22.此即lim →T )(__T S =⎰badx x f )(.6. 可积的充要条件:Th 2 (充要条件1)设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈ ⇔⎰ba=⎰ba.证)⇒ 设⎰badx x f )(=I,则有0l i m→T ∑∆iixx f )(=I .即对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有 |∑∆i i x x f )(I -| <2ε对i i x ∆∈∀ ξ成立. 在每个 ] , [1i i x x -上取i η, 使)(0i i f M η-≤)(2a b -<ε, 于是,| )(__T S ∑-)(i f ηi x ∆| =))( (i i f M η-∑i x ∆ <2ε. 因此, δ<T 时有| )(__T S I -| ≤ | )(__T S ∑-)(i f ξi x ∆| + |∑∆i i x x f )(I -| <2ε + 2ε=ε. 此即0lim →T )(__T S =I . 由Darboux 定理 ,⇒⎰b a= I .同理可证⎰ba= I ⇒⎰ba=⎰ba.)⇐ 对任何分法T , 有)(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 而l i m →T )(T s =⎰ba=⎰ba= 0lim →T )(__T S .令⎰ba和⎰ba的共值为I , 由双逼原理 ⇒ 0lim→T ∑)(T =I .Th 3 )(x f 有界. )(x f ] , [ b a R ∈ ⇔ 对 , , 0∍∃>∀T ε-)(__T S )(T s ε<. 证 )⇒)(x f ] , [ b a R ∈⇒0lim →T ( -)(__T S )(T s ) = 0. 即对 , 0 , 0>∃>∀δεδ<∀T T , 时, ⇒ ≤0-)(__T S )(T s ε<.)⇐ )(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S ,由-)(__T S )(T s ε<⇒≤0⎰ba–⎰baε<,⇒⎰ba=⎰ba.定义 称i ωi i m M -=为函数)(x f 在区间] , [1i i x x -上的振幅或幅度.易见有i ω≥ 0 . 可证i ω=.)()(sup],[,1x f x f i i x x x x ''-'-∈'''Th 3’ (充要条件2 ))(x f 有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对, , 0∍∃>∀T ε∑<∆εωiIx.Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法:为应用Th 3’,通常用下法构造分法T :当函数)(x f 在区间] , [b a 上含某些点的小区间上i ω作不到任意小时, 可试用)(x f 在区间] , [b a 上的振幅m M -=ω作i ω的估计,有i ω≤ ω.此时,倘能用总长小于0 ( 2≠ωωε, 否则)(x f 为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法T的一部分分点，在区间] , [b a 的其余部分作分割，使在每个小区间上有i ω<)(2a b -ε, 对如此构造的分法T , 有∑=∆n i iix 1ω∑∑=-=∆+∆=mk mn j j j k kx x 11ωω<∑∑=-=≤∆+∆-mk mn j jkxx a b 11)(2ωε∑∑-==∆+∆-≤m n j j ni i x x a b 11)(2ωεεωεωε=+--≤2 )()(2a b a b . Th 4 ( (R )可积函数的特征) 设)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对0 >∀ε和0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T ,只要 δ<T ,对应于εω≥'i 的那些小区间i x '∆的长度之和σ<∆∑'i x.证)⇒)(x f 在区间] , [b a 上可积, 对0 >∀ε和 0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T , 只要δ<T , 就有σεσωωε<∆⇒<∆≤∆≤∆∑∑∑∑''''i iii i i x xx x .)⇐ 对 , , 0∍∃>∀T εεω≥'i 的区间总长小于,ωε此时有∑∑∑∑∑==''=='''+-≤∆+∆≤∆+∆=∆mk ni i mk k ni i i k k i i a b x x x x x 1111)( ωεωεωεωωω =).1(+-a b ε三． 可积函数类：1． 闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ）2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ）推论1 闭区间上按段连续函数必可积.推论2 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(x f 在区间] , [b a 上可积.例2 判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ）例3 , 2 , 1 . 111 , 1, 0, 0)(=⎪⎩⎪⎨⎧<<+==n n x n nx x f 证明)(x f 在] 1 , 0 [上可积.Ex [1]P 288—289 3 — 7.§3 定积分的性质（ 3 时 ）一. 定积分的性质:1.线性性质:Th 1 k b a R f ],,[∈为常数⇒ ],,[b a R kf ∈且⎰⎰=b abaf k kf . （ 证 ）Th 2 ],[,b a R g f ∈⇒ ],[b a R g f ∈±, 且⎰⎰⎰±=±bababag f g f )(.（ 证 ）综上, 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ],[,b a R g f ∈⇒],[b a R g f ∈⋅.证 f 和g 有界. 设)(sup , |)(|sup ],[],[x g B x f A b a b a ==, 且可设0 , 0>>B A .(否则f 或g恒为零). 插项估计∑∆⋅iix g f )(ω,有|)()()()(|sup )(,x g x f x g x f g f ix x x i ''''-''=⋅∆∈'''ωix x x ∆∈'''≤,sup )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [g A f B x g x g x f x f x f x g i i ωω+≤''-'''+''-''.但一般⎰⎰⎰⋅≠⋅bab abag f g f .3. 关于区间可加性:Th 4有界函数f 在区间],[c a 和],[b c 上可积⇔)(x f ] , [ b a R ∈,并有⎰⎰⎰+=bccaba.(证明并解释几何意义)规定:0=⎰aa,⎰⎰-=abba.推论 设函数f 在区间] , [B A 上可积. 则对∈∀b a , ] , [B A ,有⎰⎰⎰+=bccaba.（ 证 ）4. 积分关于函数的单调性:Th 5 设函数],[,b a R g f ∈, 且f ≤g , ⇒⎰baf ≤⎰bag .（ 证 ）(反之确否?)积分的基本估计:)(a b m -≤⎰baf ≤)(a b M -.其中m 和M 分别为函数f 在区间] , [b a 上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6 设函数],[b a R f ∈⇒],[||b a R f ∈, 且⎰baf ||≥⎰baf .|| (注意b a <.)证 以)()(|)(||)(|x f x f x f x f ''-'≤''-' 证明∑≤∆iix f |)(|ω∑∆iixf )(ω;以 |)(| )( |)(|x f x f x f ≤≤-证明不等式.注: 该定理之逆不真. 以例 ⎩⎨⎧-=. , 1,, 1)(为无理数为有理数x x x f 做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 (积分第一中值定理)],[b a C f ∈⇒∈∃ξ] , [b a ,使⎰baf =)(ξf )(a b -.Th 8 (推广的积分第一中值定理) ],,[,b a C g f ∈ 且g 不变号.则∈∃ξ] , [b a ,使g f ba⎰=)(ξf ⎰bag . （ 证 ）Ex [1]P 299—300 1 —7.二. 变限积分: 定义上限函数⎰=Φx adt t f x )()(，（以及函数⎰=ψbxdt t f x )()(）其中函数],[b a R f ∈. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. Th 8 ( 面积函数的连续性 )三. 举例:例 1 设],[,b a R g f ∈. 试证明: ⎰∑=∆=→bani i i i T fg x g f 1)()(lim ηξ.其中i ξ和i η是i ∆内的任二点,=T {i ∆}, n i , , 2 , 1 =.例2 比较积分⎰1dx ex与⎰12dx e x 的大小.例3 设 ],,[b a C f ∈ 0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0.例4 证明不等式⎰<-<222sin 2112πππx dx .证明分析: 所证不等式为⎰⎰⎰<-<2222.2sin 211πππdx x dx dx 只要证明在]2,0[π上成立不等式≤12sin 211212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 ⎰=∞→200cos lim πxdx nn .§4 定积分的计算（ 4 时 ）引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数⎰=Φxadt t f x )()(.一． 微积分学基本定理：1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1 （微积分学基本定理）若函数],,[b a C f ∈ 则面积函数⎰=Φxadt t f x )()(在] , [b a 上可导，且)(x Φ'=⎰=xa x f dt t f dxd )()(. 即: 当],[b a C f ∈时, 面积函数⎰=Φxadt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数恰为被积函数在上限的值.亦即)(x Φ是)(x f 的一个原函数. 推论 连续函数必有原函数.2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L 公式 ）( 证 )例1 ⅰ> ⎰bdx x 02; ⅱ> ⎰baxdx e ;例2⎰-ee xdx 1ln .例3⎰+121x dx. ( 与§1 例3 联系 ) 例4 设],,[b a C f ∈0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0. ( §3 例3对照.)证明分析:证明⎰⎰<=aabadx x f dx x f )()(0.设⎰=Φx adt t f x )()(,只要证明)()(b a Φ<Φ.为此证明: ⅰ>)(x Φ↗ ( 只要0)(≥Φ'x ),ⅱ> 但)(x Φ不是常值函数(只要0)(≡/Φ'x ), ⅲ> 又0)(≥Φa . ( 证 )例5 证明 ⎰=+∞→1.01lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式.10x x x n≤+≤ ) Ex [1]P 309 1，2，4⑴─⑽二． 定积分换元法：Th 3 设],,[b a C f ∈ 函数φ满足条件：ⅰ> b a ==)(, )(βφαφ, 且 ],[ , )(βαφ∈≤≤t b t a ; ⅱ> )(t φ在],[βα上有连续的导函数.则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαφφ)()]([)(. （ 证 ）例6 ⎰-1021dx x .例7 ⎰2cos sin πtdt t .例8 计算 ⎰++=1021)1ln(dx xx J . 该例为技巧积分. 例9 ⎰-+a x a x dx 022. 该例亦为技巧积分.例10 已知 ⎰-=324)(dx x f , 求 ⎰+212.)1(dx x xf 例11设函数)(x f 连续且有⎰=10.3)(dx x f 求积分⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100.)()(dx x f dt t f x ) 23 ( 例12 设)(x f 是区间)0( ],[>-a a a 上连续的奇（或偶函数）函数，则⎰-=a a dx x f 0)(， （⎰⎰-=a a adx x f dx x f 0)(2)( . ） 例13 []⎰--=--+223235c o s 3s i n 2ππdx arctgx e x x x x x .. 三. 分部积分公式:Th 4 (分部积分公式)例14 ⎰1.dx xe x例15 计算 ⎰⎰==220c o s s i n ππx d x x d x J n n n .解 ⎰'-=-201)(c o s s i n πdx x x J n n = ⎰'+---201201)(sin cos |cos sinππdx x x x x n n ⎰---=--=--20222)1()1()sin 1(sin )1(πn n n J n J n dx x x n ；解得 ,12--=n n J n n J 直接求得 ⎰==2011sin πxdx J ， ⎰==2002ππdx J . 于是, 当n 为偶数时, 有 ==--⋅-=-=-- 422311n n n J n n n n J n n J 2!!!)!1(224)2(135)3)(1(21432310ππ⋅-=⋅⋅-⋅⋅--=⋅⋅⋅--⋅-=n n n n n n J n n n n ; 当n 为奇数时, 有 !!!)!1(32542311n n J n n n n J n -=⋅⋅⋅--⋅-=. 四. Taylor 公式的积分型余项: [1]P 228—229.Ex [1]P 310 4⑾—⒇，5，6，7.。