数学分析不定积分

第6章　不定积分6.1　复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。

（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。

2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。

（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。

2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。

三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。

若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。

（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。

这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。

对作变量代换，则。

数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。

理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。

下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。

一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。

＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。

二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。

三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。

2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。

第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。

②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。

·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。

④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。

·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。

⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。

(完整版)数学分析知识点总结数学分析知识点总结导数与微分- 导数的定义：导数是一个函数在某一点的斜率，表示函数的增减速度。

- 常见函数的导数公式：- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$- 指数函数：$(a^x)' = a^x\ln(a)$- 对数函数：$(\log_a(x))' = \frac{1}{x\ln(a)}$- 微分的定义：微分是切线在某一点处的线性近似，表示函数在该点的局部变化情况。

积分与不定积分- 不定积分的定义：不定积分是对函数的原函数的求解，表示函数从某一点到变量的积分结果。

- 常见函数的基本积分公式：- 幂函数：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- 正弦函数：$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$- 余弦函数：$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$一元函数极限- 极限的定义：函数在某一点处的极限是函数在这一点附近的取值逐渐趋于某个固定值的情况。

- 常见函数的极限计算方法：- 算术运算法则：常数的极限是常数本身；极限的和等于极限的和；极限的乘积等于极限的乘积。

- 复合函数法则：对于复合函数，可以先求内层函数的极限，再求外层函数的极限。

泰勒级数- 泰勒级数的定义：泰勒级数是一个函数在某一点附近的展开式，由函数在该点的导数决定。

- 常见函数的泰勒级数展开：- 幂函数：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$以上是数学分析的一些基本知识点总结，希望对您有所帮助。

第8章　不定积分§1　不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2　换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。

不定积分概念与基本积分公式微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。

一原函数与不定积分（一）原函数定义1设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。

若)()(x f x F ='，I x ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。

如：331x 是2x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-，12cos 21+x ，x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。

问题1)(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？问题2若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。

定理1若)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。

证明：在第九章中进行。

说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。

（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。

定理2设)(x F 是)(x f 在在区间I 上的一个原函数，则（1）设C x F +)(是)(x f 在在区间I 上的原函数，其中C 为任意常量（若)(x f 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。

（2）)(x f 在I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。

证明：由定义即可得。

（二）不定积分定义2函数)(x f 在区间I 上的原函数的全体称为)(x f 在I 上的不定积分，记作：⎰dxx f )(其中⎰--积分号；--)(x f 被积函数；--dx x f )(被积表达式；--x 积分变量。

注1⎰dx x f )(是一个整体记号；注2不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的不定积分是一个函数族{}C x F +)(，其中C 是任意常数，于是，记为：⎰dx x f )(=C x F +)(。

第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式.2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分.3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时1 / 19教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式.教学重点：深刻理解不定积分的概念.、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算、讲授新课：〔一〕不定积分的定义:1.原函数:例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ;上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二；ax ax一二.二二.定义. 注意是/⑺的一个原函数.原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法原函数的个数：Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有G⑺=户⑺+ c.〔证〕2 / 19可见,假设/⑶有原函数f〔i〕,那么了⑺的全体原函数所成集合为｛产.〕+ “ CFR〕.原函数的存在性：连续函数必有原函数.〔下章给出证实〕.可见,初等函数在其定义域内有原函数；假设/⑴在区间I上有原函数, 那么/⑴在区间I上有介值性.例2. F⑺为/〔工〕=2］的一个原函数,F〔2〕=5 .求网X〕.2.不定积分一一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 I- ' ,「,•'•一；•,•;J1 + / -〔二〕不定积分的根本性质：以下设了㈤和改力有原函数.〔先积分后求导,形式不变应记牢! 〕.⑵［八］油二网+匕,〔先求导后积分,多个常数需留神！〕⑶时,」^〔二〕后="/〔工心,〔被积函数乘系数,积分运算往外挪！〕〔4〕二+ 一厂【"一厂丁厂由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对YaJeR,有4〔x〕+施〔疝必=aJ/ONx +蚱⑺dx〔当& = /二.时,上式右端应理解为任意常数.〕jy 〔2x-i 〕血=耳/+广二.求/⑴.〔/⑴二2〕..不定积分根本公式： 根本积分表.[1]P180 一 公式1 — 14. 5 12 ..利用初等化简计算不定积分：§ 2换元积分法与分部积分法 〔1 0学时〕4 / 19例4〔三〕例 〔四〕 例6例7例8例9例10例11教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步到达快而准的求出不定积分.教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：〔一〕. 第一类换元法 --------凑微分法：由」「. 一•［二：■ ■：■.：-- - :二. . ■,■1：■：■. T 一：- T. ■Jl0sin12KCC>S2Td二=5J sin4 23(sin 22di =5pin42Kdsin 2AL* 5, ,心........ .—5JV欣-u +c二仙2x + c.引出凑微公式.Thi假设’⑶连续可导,那么该定理即为：假设函数g〔f〕能分解为就有,⑷或"］7［频〕/©应=］7［施〕口的〕5 / 19J 加 + b)牌dx,(3^0.Jcos3xcos 2Kd -J(cos x + CO 65T )H 工=・••常见微分凑法:/Q 工 + S)dx = -f[ax +8)dQ 工+ 3) = -f(u)du|sin 3 xd1= g J(1 — cos x)dx =…=:5聊 2x) +c由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为 /就+b 〕型,然后用凑法1.「 P xd 工 例8 (1)i ——:Jl + V凑法dxJ2 + & + 1)显 x+l…=-arctg —j=r +c港+2z-3(x+3)(x-l) 4,半4 k+3+c, ⑵]4 + X 10凑法2 户了(#)］以= "(/ 例9 Jisin x2a 同. rSin4x , 例10 ——d^J 七dx 例111J业一)例12 fif 5 n -'『-2F +c. ?(/岫」)d W)」血.特别地,有k k)W(x‘)= —f^}du和『(')七=2/(瓜卜瓜.2 Ji伙.•= 2 f—j=£^= = 2 arc sin 正 + e .「芯欣1 . d(7) 5 1 J1 1 V = —_7---------- = - -———====- - ----------------------- auW+D 2k1. u= -In -- +c =2廿+1凑法3 / (sin x) cos xdx = /(sm 1)d sin/ (cos x) sin xdx = -/(cos x)d cos x =J厕sec xdx =拉琬dtgx = f(u)c例13⑴『in'gf疝,⑵ Jsi (彳+1) 2 J 口以+1」b /-In —+ c .2 / +11=/("加-/1)也iu.n * xdx.J-/伽 x)— = /(In /din x = 血.工:cun五)七=/(arcsx x)d arcsin x = f(ii)du;/(arctgx) >“「 上『、,.1+/2 ^arctgtdarctgt = (arctgf)2 + 匕=(平坦金丫 +c其他凑法举例:例20In 彳 + 1 , rdfx =(xln 万一 小 , ^sec x(sec z + igx) , .sec x + sec xfgx , 例 22 sec 彳改= ----= f- —J J £ECX+侬 J sec x + £gx8 / 19例15Jsec 6 xtix例16 仲'皿晨"I —九皿sec" x -1) sec sec x凑法4「二二〞、二‘'士’二.：■：■, .例17 例19十工〕「arctgG 厂『而严恭日 21丁打钎1寸小凑法5例18「 dxJ x(l J 21n x) 凑法6pd(xln x)例21必也"国力 , I.------------------ -- In | sec x + Eg 工 | +c . J seer + tgx小八八 ji cosx + sin z , 例23 _二.J Vsin x-cosx— ,cosx +5sm x s 例24.J sin z + cos x门工 -5, 例26.J? + 2x + 2从积分 心.广£山出发,从两个方向用凑微法计算,即, ------ xiu । -------------- |\/1 - x 2 dx=-== rVl _ sin；j(l + CGS 2)或=：£ Z + G引出拆微原理.Th2设了=0①是单调的可微函数,并且80H.；又 力砒叫d ©具有原 函数.那么有换元公式JV ⑶立=【「【碗4y ⑶(证)9 / 19三、小结〔二〕第二类换元法拆微法:id sin t常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换：⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换〞.是针对型如庐7 〔a〉0〕的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是：令了 = 似〉0〕,那么-x2- a cos t f dx = a cos tdt v t =3r osm - a 例271.一」解法一直接积分；解法二用弦换.例28dx时1.psinicosi . . #、、「====2 [ ------------ dt = 2i + c =2arcsin Jx + 匕.例29卜,2 +2x- x2dx = M3 - (A-1)'办====="3-/必=====3jcos2udu 3 3 . _ 3 . x-1 x-1 c - --- 2-..：i ■… ----------- ----------------- .. ■ . 1:,■1.⑵ 正切代换：正切代换简称为“切换〞.是针对型如J/ + / 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式6比.-建〞=1,即1+研=Wf, 令一二. 一二.....出.此时有+ / = aseci,f = wag- 变量复原时,常用所谓辅助三角形法. a例3010 / 19解令x=瓢馆%有dx = 成.利用例22的结果,并用辅助三角形,有= n .: ,, ' . ' . J：：Z?Y例31 |---⑶正割代换：正割代换简称为“割换〞.是针对型如&T 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式$式.7=出"令工二窘ecL有'工」=atgl f dx = xseci ,馆tdt,变量还愿时,常用辅助三角形法.例32〔.＞.〕斛J a a一『dx例33 f—； --------- .J-6-1解法一〔用割换〕J sec2/ /gi 解法二〔凑微〕sccttgtdt P , . 工=——=fsec^Z = In secZ +tgi +r atgt Jx +J- - a2 +c, c =c'-h \a Jcos^z = sin i +c = -1 +u11 / 192,无理代换:假设被积函数是娠,娠,… 倍数,作代换£ =也,有例34 j宁■心.例35 f―竺= === = =假设被积函数中只有一种根式t二产十］.从中解出［来.Vci + e例36 f—r==.例37 J-例38 户〞(例39 Jx\M-ldx = ：P / 4 2 \ j P〔=(t + i )dt = — + — + c =-J 5 3f ,娠的有理式时,设W为々(1.＜上)的最小公、公二履"出,可化被积函数为1的有理函数.6J-——=-6J(1 +£)祖+ 6J-- = ■■■=1十In 1-我+c.j北球+ &或J巴,,可试作代换t = Max+h或Kz + e给出两种解法)■ /~A - 畤=1 1 *了五W/(/)—为/十1)广2位-5 1 3-(?-l)a+-(?-l)a+c.i 3此题还可用割换计算,但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等」去掉型如痴7P的根式.(=achtdl. 如：.11ch t - -{ch2t+1), sh t = 一(e力2l - D,2 2s/x = h(x + $£ +1).r—L --- n-nskl 例40 +工&工呼热23■.我h2tT)d£= 2t +=勺口口+ / + —ln(A + 2 2此题可用切换计算,但归结为积分产题课例3.例41 f-j=S=.才■内触飞应(7小£解/ ---------- 成-『出―"=ln(x + J方『dx例42 ^-===.解/==== f ---- dt = fdt =t+c = ]nJ jsAi J : 品-幽九=1,令x 二a就,可化简时常用到双曲函数的一些恒等式域％ = Ishtcht., achtdl = a \ch tdt =—t +c =2+ /) + c .京曲,该积分计算较繁.参阅后面习r X 卜.；tk ir a +2)+c, r m企.=In | x + 柠 | +u c =c -}n\a\4.倒代换：当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式〞时,可试用倒代换.,二 114 / 195.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分就有sin x = 2sin -cos-= 坂一八22t——-=——彳2 1 1 + ? ?1 Tcosx = --1+z例44,2激ax =-------------x = 2arctgt.1 + COS J解法 用万能代换21+Z解法用初等化简cos 2- (参[1]P261).令-Jsec 2-1解法三〔用初等化简,并凑微〕,,1-cosx , ? a , 户 dfinx I = ------------ T —dx = esc xdx- ——7—J 1 T CQ j 工 J J 向'工+ c = CSCZ -ctgx + c =Zg — + c2=ln |ig- + l|+c .2代换法是一种很灵活的方法 三、小结〔三〕.分部积分法：导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一股原 那么.1.幕X X 型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幕或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替〔一般会变繁〕,但总体上应使积分简化或能 直接积出.对“幕型的积分,使用分部积分法可使“幕〞降次,或对“ X 求导以使其成为代数函数.例46 1加如〔幕对搭配,取对为u 〕例47 jxcddx 〔幕三搭配,取幕为u 〕例48 产七〔幕指搭配,取幕为u 〕 例49 卜%〞改〔幕指搭配,取幕为u 〕15 / 191=Fgx + ------------ sin 工 例 45" _______ _ _________J1 + sin cosfi 1例51 1皿或gxd工〔幕反搭配,取反为u〕例52 1二…一.•」.•..2 建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1,于是得到关于原积分的一个7例53 僻sin zdx 1例54 求人=卜"附；历威和sin bxdx f〔白工0〕二0sx1解." Q 解得sin bx ~ —I v1i a a例55 J J笳+/d工 0 >0〕解1 =+? - |Y j K dx=J二1Jk + - - 二匚或+ f=Ma2+ x2- Z +/ ln〔工+ J J解得I = -^a2 + A2 + —ln〔A + + 犬2 2,程,从该方程中解出原积分来i sin + acozbx脚—7+L … asm bx -bcosbx " jdx =后+ /d〕+s,〔参阅例41〕〕+ c三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分〔2学时〕教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来17 / 19解得 例 56 「 J ； |L：；・・•・・・：・•..•-「［•,.・・・；==cos xsrn A + x -Jcos 2,j , 工1 •小 .j/ /…一 , 一二」一二. 2 4例57Jsec 5= Jscc A 1sec2xdx= jsecxd£gx = sec A/gx- pgxsec A/gxdx secx/gx'sec 21-l)secxdfx= secxigx- fsec 3xdx+ fstcxdx=工 〞■-；. •.一 飞一.二.、,解得 「I'■'_ 「I 」 '..-' '.22一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：〔一〕有理函数的积分：1.代数知识：[1]P190例1 [1]P190 ,2.局部分式的积分：[1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.〔二〕.三角函数有理式的积分：[1]P194 万能代换. 例4—5 [1]P195 ——〔三〕某些无理函数的积分：[1]P195——198〔四〕一些不能用初等函数有限表达的积分：卜一~工「七必f生, 卜二=等.J Jx Jinx J71 + A4习题课〔2学时〕积分举例：强3* -1以.jy⑴心=句-?+ g求j矿⑴公例5 ,〔工〕=K,求J砒/〕公,例6设/〔彳〕〉0且具有连续导函数.计算积分]7〔力加加/0岫例7 [了⑺威口",求积分产;(“%二. 含有二次三项式的积分：Ec / 二-2 . 1 / 2/1 , 5 P &x例8 ------------------------ '一 ,- ----------- ：；•'「------ J Vx + A +1 2J Vx +x + 1 2JJ/+K+1_ ] "(/+# +1)_5f2 J Jv24- r + 1 2 J」.■一；-・・・:•,,.2 2J(i + -2/5欧=•・-「:.■一.•：(：・一' " =1 士t ____ f__________「二I :.. Ji. .. ■二,!:: 1■.小〕19 / 19。

第八章 不定积分习题§1 不定积分概念与基本积分公式1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照：（1）()()C x f dx x f +=⎰/； （2）()()C x f x df +=⎰2． 求一曲线()x f y =，使得在曲线上每一点()y x ,处的切线斜率为x 2，且通过点()5,2.3． 验证x x y sgn 22=是x 在()+∞∞-,上的一个原函数. 4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分：（1）⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-dx x x x 32311； （2）⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x 21； （3）⎰gxdx 2； （4）()⎰+dx x x232；（5）⎰-dx x2443； （6）()⎰+dx x x 2213； （7）⎰xdx 2tan ； （8）⎰xdx 2sin ；（9）⎰-dx x x x sin cos 2cos ； （10）⎰⋅dx x x x22sin cos 2cos ；（11）⎰•dt t t 2310； （12）⎰dx x x x ；（13）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+dx x x x x 1111； （14）()⎰+dx x x 2sin cos ； （15）()⎰•dx x x 2cos cos ； （16）()⎰--dx e e x x 3§2 换元积分法与分部积分法1． 应用换元积分法求下列不定积分：（1）()⎰+dx x 43cos ； （2）⎰dx xex 22；（3）⎰+dx x 121； （4）()⎰+dx x n1；（5）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-dx x x 2231131； （6）⎰+dx x 322；（7）⎰-dx x 38； （8）⎰-dx x3571； （9）⎰dx x x 2sin ； （10）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx x 42sin 12π；（11）⎰+dx x cos 11； （12）⎰+dx x sin 11；（13）⎰xdx csc ； （14）⎰-dx xx 21；（15）⎰+dx x x 44； （16）⎰dx x x ln 1；（17）()⎰-dx x x 3541； （18）⎰-dx x x 283； （19）()⎰+dx x x 11； （20）⎰xdx cot ；（21）⎰xdx 5cos ； （22）⎰dx x x cos sin 1；（23）⎰-+dx e e xx 1； （24）⎰+--dx x x x 83322；（25）()⎰++dx x x 3212； （26）⎰+dx ax 221；（27）()⎰+dx ax23221； （28）⎰-dx xx 251；（29）⎰-dx xx31； （30）⎰++-+dx x x 1111.2． 应用分部积分法求下列不定积分：（1）⎰xdx arcsin ； （2）⎰xdx ln ； （3）⎰xdx x cos 2； （4）⎰dx x x3ln ；（5）()⎰dx x 2ln ； （6）⎰dx x arctan ； （7）()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+dx x x ln 1ln ln ； （8）()⎰dx x 2arcsin ；（9）⎰xdx 3sec ； （10）()⎰>±022a dx a x .3． 求下列不定积分：（1）()[]()()⎰-≠1/ααdx x f x f ； （2）()()[]⎰+dx x f x f2/1；（3）()()⎰dx x f x f /； （4）()()⎰dx x f e x f /.4． 证明：（1）若 ,3,2,tan ==⎰n xdx I n n ，则21tan 11----=n n n I x n I ； （2）若()⎰=xdx x n m I n m sin cos ,，则当0≠+n m 时，()()(),3,2,,2,1sin cos ,21sin cos ,1111=-+-++-=-+-++=-++-m n n m I nm n n m x x n m I nm m n m x x n m I n m n m5． 利用上题的递推公式计算：（1）⎰xdx 3tan ； （2）⎰xdx 4tan ；（3）⎰xdx x 42sin cos .6． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：（1）⎰=dx e x I kx n n ； （2）()⎰=dx x I nn ln ； （3）()⎰=dx x I n n arcsin ； （4）⎰=xdx e I nx n sin α. 7． 利用上题的递推公式计算：（1）⎰dx e x x 23； （2）()⎰dx x 3ln ； （3）()⎰dx x 3arcsin ； （4）⎰xdx e x 3sin . §3有理函数和可化为有理函数的不定积分1． 求下列不定积分：（1）⎰-dx x x 13； （2）⎰+--dx x x x 12722； （3）⎰+dx x 113； （4）⎰+dx x 114；（5）()()⎰+-dx xx 22111； （6）()⎰++-dx x xx 221222.2． 求下列不定积分：（1）⎰-dx x cos 351； （2）⎰+dx x 2sin 21；（3）⎰+dx x tan 11； （4）⎰-+dx xx x 221；（5）⎰+dx x x 21； （6）⎰+-dx xxx 1112. 总练习题求下列不定积分： （1）⎰--dx xx x 4312； （2）⎰xdx x arcsin ； （3）⎰+dx x 11； （4）⎰xdx e x 2sin sin ；（5）⎰dx ex； （6）⎰-dx x x 112；（7）⎰+-dx x x tan 1tan 1； （8）()⎰--dx x xx 322； （9）⎰dx x 4cos 1； （10）⎰xdx 4sin ； （11）⎰+--dx x x x 43523； （12）()⎰+dx x 1arctan ； （13）⎰+dx x x 247； （14）⎰++dx x x x1tan tan tan 2； （15）()⎰-dx x x 10021； （16）⎰dx xx2arcsin ； （17）⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+dx x x x 11ln (18) ⎰dx xx 7cos sin 1； （19）⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-dx x x e x 211；（20）⎰=dx uv I n n ，其中x b a v x b a u 2211,+=+=，求递推形式解.习题答案§1 不定积分概念与基本积分公式2．12+=x y .5．（1）C x x x x +-+-342342； （2）C x x x +-+3334ln 3； （3）C gx+2； （4）C x x x +•++6ln 629ln 94ln 4； （5）C x +arcsin 23； （6）()C x x +-arctan 31； （7）C x x +-tan ； （8）()C x x +-2sin 241；（9）C x x +-cos sin ； （10）C x x +--cot tan ；（11）C t+90ln 90； （12）C x +815158； （13）C x +arcsin 2； （14）C x x +-2cos 21； （15）C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin 31sin 21； （16）C e e e e x xx x ++----33313331； §2 换元积分法与分部积分法1．（1）()C x ++43sin 31； （2）C e x +2241； （3）C x +-12ln 21； （4）()C n x n ++++111；（5）()C x x++3arcsin 313arcsin ；（6）C x ++2ln 222； （7）()C x +--33892； （8）()C x +--3257103； （9）C x +-2cos 21； （10）C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42cot 21π；（11）C x+2tan； （12）C x x +-sec tan ； （13）C x x ++-cot csc ln ； （14）C x +--21；（15）C x +2arctan412； （16）C x +ln ln ；（17）()C x +--251101； （18）C x x ++-22ln28144；（19）C xx+-1ln； （20）C x +sin ln ； （21）C x x x ++-53sin 51sin 32sin ；（22）C x +tan ln ； （23）C e x+arctan ； （24）C x x ++-83ln 2； （25）()C x x x ++-+++2123121ln ；（26）C a x x +++22ln ； （27）C ax ax ++222；（28）()()()C x x x+---+--2522322121511321；（29）C x x x x x x ++------11ln 3625676616161216567； （30）C x x x +++++-11ln414.2．（1）C x x x +-+21arcsin ； （2）C x x x +-ln ； （3）C x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2；（4）()C x x ++-1ln 2412； （5）()C x x x x x ++-2ln 2ln 2； （6）()C xx x +-+2arctan 1212；（7）()C x x +ln ln ； （8）()C x x x x x +--+2arcsin 12arcsin 22；（9）()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21； （10）C x a x a a x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+±±±22222ln 21.3．（1）()()C x f +++111αα； （2）()()C x f +arctan ； （3）()C x f +ln . 5．（1）C x x ++cos ln tan 212； （2）C x x x ++-tan tan 313；（3）C x x x x +--4sin 641sin cos 611633. 6．（1）11--=n kx n n I kn e x k I ； （2）()1ln --=n nn nI x x I ；（3）()()()2121arcsin 1arcsin -----+=n n nn I n n x x n x x I ；（4）()()[]21221cos sin sin 1---+-+=n n ax n I n n x n x a x e an I . 7．（1）C x x x e x+⎪⎭⎫⎝⎛-+-83434321232；（2）()()[]C x x x x +-+-6ln 6ln 3ln 23；（3）()()C x x x x x x x +----+222316arcsin 6arcsin 13arcsin ；（4）()C x x x x x e x+-+-cos 3sin 3cos sin 3sin 10123. §3有理函数和可化为有理函数的不定积分1．（1）C x x x x +-+++1ln 2323； （2）()C x x +--34ln 2； （3）()C x x x x +-++-+312arctan 3111ln 6122； （4）C x x x x x x +-++-++22212arctan 421212ln 82； （5）()()C x x x x x ++---+--141arctan 211ln 811ln 4122； （6）()()C x x x x ++-+++-12arctan 251222352； 2．（1）C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛2tan 2arctan 21； （2）C x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛tan 26arctan 66； （3）C xx x +++2sin cos ln 21； （4）C x x x x +-++--21432512arcsin87； （5）C x x x ++++221ln ； （6）C x x x x +---+22111ln. 总练习题（1）C x x x +--4312134534132454； （2）C x x x x x +-+-22141arcsin 41arcsin 21； （3）()C x x ++-1ln 22； （4）()C x e x +-1sin 2sin ；（5）()C x ex+-12； （6）C x+1arccos ；（7）C x x ++sin cos ln ； （8）()C x x x +-----221232ln ； （9）C x x ++3tan 31tan ； （10）C x x x ++-4sin 3212sin 4183； （11）C x x x +-++-2112ln 32； （12）()C x x x x x ++++-+22ln 1arctan ；（13）()C x x ++-2ln 214144； （14）C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-31tan 2arctan 32； （15）()()()C x x x +-+------979899197114911991； （16）C xx x x +-+--211lnarcsin 1； （17）C x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-11ln 212； （18）C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+5tan 511tan 2； （19）C xe x++21； （20）()()[]121121122--++=n n n I b a b a n u v b n I典型习题解答1．（§1 第5题（13））求⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+dx x x x x 1111 解：C x dx x xx x dx x x x x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+⎰⎰arcsin 211111111222．（§2 第1题（21））求⎰xdx 5cos解：()C x x x x d x xdx ++-=-=⎰⎰53225sin 51sin 32sin sin sin 1cos3．（§2 第1题（23））求⎰-+dx e e x x 1解：C e e de dx e e xx x x x+=+=+⎰⎰-arctan 112 4．（§2 第2题（9））求⎰xdx 3sec()C x x x x xdx xdxxdx x x xdxx x x xdxx x x x xd xdx +++=∴+-=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰tan sec ln 21tan sec 21sec sec sec tan sec sec 1sec tan sec sec tan tan sec tan sec sec 33223解：5．（§2 第题（2））若()⎰=xdx x n m I n m sin cos ,，则当0≠+n m 时，()()(),3,2,,2,1sin cos ,21sin cos ,1111=-+-++-=-+-++=-++-m n n m I nm n n m x x n m I nm m n m x x n m I n m n m证明：()()()()()()()2,1sin cos ,,21sin cos ,cos sin 11cos sin 111sin cos cos cos 1sin 111sin cos sin cos 11sin 1sin cos 1sin cos ,11112112211211111-+-++-=-+-++=∴+--+-++=-+-++=-+++=+=-++--+--+--++-+-⎰⎰⎰⎰⎰n m I n m n n m x x n m I n m I nm m n m x x n m I xdx x n m xdx x n m n x x xdx x x n m n x x xdx x m n xn x x n x xd n m I n m n m mn m n n m m n n m m n n m n m 同理， 6．（§3 第1题（4））求⎰+dx x 114解：()()⎰⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--+=+211211211112111224224x x x x d x x x x d dx x x x dx xC xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221。

第八章 不定积分3 有理函数可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：R(x)=)(Q )P(x x =n1-m 1m 0n1-n 1n 0βx βx βαx αx α+⋯+++⋯++, 其中n,m 为非负整数，α0,α1,…αn 与β0,β1,…βn 都是常数，且α0β0≠0. 若m>n ，则称它为真分式；若m ≤n ，则称它为假分式.注：1、假分式可化为整式与真分式的和；2、真分式可表示为若干个部分分式之和(称为部分分式分解)；3、分解部分分式的一般步骤：第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1) Q(x)=(x-a 1)1λ…(x-a s )sλ(x 2+p 1+q 1)1μ…(x 2+p t +q t )tμ，其中λi ,μj (i=1,2,…,s ；j=1,2,…,t)均为自然数，而且∑=s1i iλ+2∑=t1j j μ=m ；p j 2-4q j <0, j=1,2,…,t.第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式。

对于每个形如(x-a)k 的因式，它所对应的部分分式是：a -x A 1+22a)-(x A +…+k k a)-(x A ；对于每个形如(x 2+px+q)k 的因式，它所对应的部分分式是：q px x C x B 211++++2222q)px (x C x B ++++…+k2kk q)px (x C x B +++.第三步：确定待定系数。

将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，分子与原分子P(x)恒等。

根据同幂项系数相等，可得一组关于待定系数的线性方程，方程组的解就是需要确定的系数。

例1：对R(x)=8-x 4x 2x 5x x 10-x 9x 4x 2x 2345234+--+++-作部分分式分解.解：Q(x)=x 5+x 4-5x 3-2x 2+4x-8=(x-2)(x+2)2(x 2-x+1)， R(x)=2-x A 0+2x A 1++222)(x A ++1x x C Bx 2+-+，两边乘以Q(x)得：2x 4-x 3+4x 2+9x-10 ≡A 0(x+2)2(x 2-x+1)+A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+A 2(x-2)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2. 根据等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-10.=8C -2A -4A -4A ，9=4C -8B -3A +4A ，4=2C +4B -3A -3A -A ，-1=C +2B +A +A -3A ，2=B +A +A 2102121021010 解得：A 0=1, A 1=2, A 2=-1, B=-1, C=1. ∴对R(x)作部分分式分解的结果为：R(x)=2-x 1+2x 2+-22)(x 1+-1x x 1-x 2+-.注：对以上待定系数法有时可运用简便方法，如将x=2代入恒等式得： 32-8+16+18-10≡A 0·(2+2)2(4-2+1)，∴A 0=1，将x=-2代入恒等式得： 32+8+16-18-10≡A 2(-2-2)(4+2+1)，∴A 2=-1，于是化简恒等式得： x 4-3x 3+12+16≡A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2，分别令x=0,1,-1可得：⎪⎩⎪⎨⎧+ 8.=C +B -3A 2，=3C 3B +A 4，=2C +A 111 解得：A 1=2, B=-1, C=1.小结：求有理真分式的不定积分可归为以下两种形式的不定积分：(1)∫k a)-(x dx =⎪⎩⎪⎨⎧>+=+ 1.k ；C a)-k)(x -(111，k C ；|a -x |ln 1-k (2)∫k 2q)px (x M Lx +++dx=∫k 22)r (t N Lt ++dt=L ∫k 22)r (t t +dt+N ∫k22)r (t dt+，其中 t=x+2p ，r 2=q-4p 2，N=M-4p L.当k=1时，原式=L ∫22r t t +dt+N ∫22rt dt +=2L ln(t 2+r 2)+ r N arctan r t +C. 当k ≥2时，∫k 22)r (t t +dt =1-k 22)r (t )k 1(21+-+C. I k =∫k 22)r (t dt +=2r 1∫k 22222)r (t t -)r (t ++dt=2r 1I k-1-2r 1∫k 222)r (t t +dt=2r 1I k-1+)1k (2r 12-∫td ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1-k 22)r (t 1=2r 1I k-1+)1k (2r 12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1-k 1-k 22I )r (t t=1-k 21-k 222I )1k (2r 3-2k )r (t )1k (2r t -++-.重复计算直至归为计算I 1. 最后换元为x ，就得到最终的结果.例2：求∫2222)2x -(x 1x ++dx. 解：2222)2x -(x 1x ++=2222)2x -(x 1)-x 2(2)x 2(x +++-=22x -x 12++222)2x -(x 1-x 2+∫22x -x dx2+=∫11)-(x 1)-d(x 2+dx=arctan(x-1)+C.∫222)2x -(x 1-x 2+dx=∫2222)2x -(x 2)2x -d(x +++∫221)]1)-[(x 1)-d(x +=-222)2x -(x 1++∫22)1t (dt +. ∫22)1t (dt +=1)2(t t 2++21∫1t dt 2+=1)2(t t 2++21arctant+C=2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C. ∴原式= arctan(x-1)-222)2x -(x 1++2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C=2)2x -2(x 3-x 2++23arctan(x-1)+C.二、三角函数有理式的不定积分：由u(x),v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x),v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.∵sinx=2x tan 12x2tan2+=2t12t +, cosx=2x tan 12xtan -122+=22t 1t -1+, (t=tan 2x )； ∴∫R(sinx,cosx)dx=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)d(2arctant)=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)2t12+d(t). 例3：求∫cosx )sinx (1sinx1++dx.解：∫cosx )sinx (1sinx 1++dx=∫22222t 12)t1t -1(1t 12t t 12t 1+⋅+++++dt =21∫(t+2+t 1)dt=4t 2+t+21ln|t|+C=41tan 22x + tan 2x +21ln|tan 2x|+C.例4：求∫xcos b x sin a dx2222+(ab ≠0).解：∫x cos b x sin a dx 2222+=∫2222b x tan a x sec +dx=∫222b x tan a dtanx +=∫222b t a dt+=ab 1∫1b at bat d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab 1arctan b at +C=ab 1arctan batanx +C.三、某些无理根式的不定积分： 1、∫R(x,nd cx b ax ++)dx 型不定积分(ad-bc ≠0)，只需令t=n dcx bax ++，化为有理函数的不定积分. 例5：求∫2x 2x x1-+dx. 解：令t=2x 2x -+，则x=1t 22t 22-+，原式=∫22t 1)t(t 22+-d 1t 22t 22-+=∫2222221)2)(t (2t 2)]2t(2t -1)1)[4t(t t(t -++--dt=-2∫1)1)(t (t 2t 222-+dt=-2∫(1t 12++1t 12-)dt=-2arctant-∫(1t 1--1t 1+)dt=ln 1t 1t -+-2arctant +C =ln12x 2x 12x 2x --++-+-2arctan 2x 2x -++C=ln 2x 2x 2x 2x --+-++-2arctan2x 2x -++C =ln 44x 2x 22-+-2arctan 2x 2x -++C=ln|2x+24x 2-|-2arctan 2x 2x -++C.例6：求∫2xx 2x)(1dx-++.解：∫2x x 2x)(1dx-++=∫)x 1)(x 2(x)(1dx+-+=∫x2x1x)(112-++dx. 令t=x 2x 1-+，则x=1t 1-2t 22+，dx=22221)(t 1)-2t(2t -1)4t(t ++dt=221)(t t 6+dt. 1+x=1+1t 1-2t 22+=1t 3t 22+，2x )(11+=422t 91)(t +.原式=∫224221)(t t6t 91)t(t +⋅+dt=32∫t -2dt=-t 32+C=x 1x 232+--+C.2、∫R(x,c bx ax 2++)dx 型不定积分(a>0时b 2-4ac ≠0, a<0时b 2-4ac>0)，由于ax 2+bx+c=a[(x+a 2b )2+22a 4b -4ac ]，若记u=x+a 2b , k 2=22a4b -4ac ，则此二次三项式必属于以下三种情形之一：|a|(u 2±k 2)，|a|(k 2-u 2). 因此上述无理根式的不定积分可化为以下三种类型之一：∫R(u,22k u ±)du ，∫R(u,22u k -)du.分别令u=ktant, u=ksect, u=ksint ，则都化为三角有理式的不定积分.例7：求I=∫3x 2x x dx 2--.解法一：令u=x-1=2sec θ, t=tan 2θ, 则t=1x 3-x +. I=∫41)-(x x 1)-d(x 2-=∫4u )1(u du 2-+=∫1θsec )1(2sec θdsec θ2-+=∫)1θ(2secθtan tan θanθs+d θ=∫12sec θsec θ+d θ=∫cos θ21+d θ=∫222t 1t -12t 12+++dt=2∫3t 12+dt=32∫13t 12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t=32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3t +C=32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33x 3-x +C. 解法二：令3x 2x 2--=x-t, 则x=)1t (23t 2-+, dx=22)1t (23-t 2t --dt. I=∫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+--t )1t (23t )1t (23t )1t (23-t 2t 2222dt=-2∫3t 12+dt=-32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t +C =32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3x 3x 2x 2+C.注：一般地，二次三项式ax 2+bx+c 中若a>0，则可令c bx ax 2++=a x ±t ；若c>0，也可令c bx ax 2++=xt ±a ，这类变换称为欧拉变换.习题求下列不定积分：(1)∫1-x x 3dx ；(2)∫127x -x 2-x 2+dx ；(3)∫3x 1dx +；(4)∫4x1dx+；(5)∫221)1)(x -(x dx +； (6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx ；(7)∫x cos 35dx -；(8)∫xsin 2dx 2+；(9)∫x tan 1dx+； (10)∫22x x 1x -+dx ；(11)∫xx dx 2+；(12)∫x1x-1x 12+dx. 解：(1)∫1-x x 3dx=∫1-x 11x 3+-dx=∫(x 2+x+1)dx+∫1-x 1dx=3x 3+2x 2+x+ln|x-1|+C.(2)127x -x 2-x 2+=4)-3)(x -(x 2-x ≡3-x A +4-x B ；∴x-2≡A(x-4)+B(x-3).当x=3时，解得A=-1；当x=4时，解得B=2.∴原式=∫4-x 2dx-∫3-x 1dx=2ln|x-4|-ln|x-3|+C=ln 3-x 4)-(x 2+C.(3)3x11+=1)x 1)(x (x 12+-+≡1x A ++1x -x C Bx 2++;∴A(x 2-x+1)+(Bx+C)(x+1)≡1. 当x=-1时，解得A=31；由A+B=0，得B=-31；由A+C=1，得C=32. ∴原式=31∫1x 1+dx-31∫1x -x 2-x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 3-1-2x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 1)x -d(x 22+++21∫1x -x 12+dx=61ln 1x -x 1)+(x 22++21∫4321-x 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛dx =61ln 1x -x 1)+(x 22++31∫121-x 3221-x 32d 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=61ln 1x -x 1)+(x 22++31arctan 31-x 2+C. (4)∫4x 1dx +=21∫422x 11x -1x +++dx=21∫42x 11x ++dx -21∫42x 11x +-dx=21∫222x 1x x 11++dx-21∫222x 1x x 11+-dx=21∫2x 1x x 1x d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--21∫2x 1x x 1x d 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =42arctan x 21-x 2-82∫)2x 1(x x 1x d ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++82∫)2x 1(x x 1x d -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42arctan x 21-x 2-82ln 1x 2x 1x 2x 22+-+++C. (5)由221)1)(x -(x 1+≡1-x A +1x C Bx 2+++221)(x EDx ++得：A(x 2+1)2+(Bx+C)(x-1)(x 2+1)+(Dx+E)(x-1)≡1. 当x=1时，解得A=41. ∴41x 4+21x 2+41+Bx 4-Bx 3+Cx 3+Bx 2-Cx 2-Bx+Cx-C+Dx 2-Dx+Ex-E=(41+B)x 4-(B-C)x 3+(21+B-C+D)x 2-(B-C+D-E)x-(C+E-41)≡1. ∴B=-41，C =-41，D=-21，E=-21. 原式=41∫1-x dx -41∫1x 1x 2++dx-21∫221)(x 1x ++dx =41ln|x-1|-81∫1x 1)d(x 22++-41∫1x dx 2+-41∫2221)(x 1)d(x ++-21∫221)(x dx + =81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-21∫221)(x dx +又∫221)(x dx +=∫221)t (tan dtant +=∫cos 2tdt=21∫(cos2t+1)dt=41∫cos2td2t +21∫dt =41sin2t+21t+C=)1t (tan 2tant 2++21arctanx+C=)1x (2x 2++21arctanx+C.∴原式=81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-)1x (4x 2+-41arctanx+C=81ln 1x 1)(x 22+--21arctanx+)1x (4x -12++C.(6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx=41∫222)1x 2(2x )1x 2d(2x ++++-25∫22)1x 2(2x dx ++=-)1x 24(2x 12++-5∫22)]11)[(2x 1)d(2x +++=-)1x 24(2x 12++-45[1x 22x 12x 2++++2arctan(2x+1)]+C =-)1x 22(2x 3x 52+++-25arctan(2x+1)+C.(7)∫x cos 35dx -=∫222t 1)t 3(15t 12+--+dt=21∫1t)2(d2t 2+=21arctan2t+C=21arctan(2tan 2x )+C.(8)方法一：∫x sin 2dx 2+=∫22t 1t 22t 12+++dt=∫1t t dt 2++=32∫13132t 3132t d 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =32arctan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132t +C=32arctan ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132x 2tan +C. 方法二：∫x sin 2dx 2+=∫x tan x sec 2x dx sec 222+=∫2x tan 3dtanx 2+dt=66∫1x tan 23tanx23d2+=66arctan(tanx 23)+C.(9)∫x tan 1dx +=∫x tanx sec x sec x dx sec 222+=∫1tanx x tan x tan dtanx23+++ =21(∫1tanx dtanx +-∫1x tan tanxdtanx 2++∫1x tan dtanx 2+)=21(ln|tanx+1|-21∫1x tan )1x d(tan 22+++x) =21(ln 1x tan |1tanx |2+++x)+C=21(ln|cosx+sinx|+x)+C. (10)I=∫22xx 1x -+dx=-∫22xx 1x x 1-+-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-∫2x x 1-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-∫22xx 12x -x 2-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2xx 1-+-I+21∫2xx 1x -+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-I+23∫2xx 132x -++dx. ∴I=-2x x 12x -++43∫2x x 132x -++dx.又∫2x x 132x -++dx=-21∫2x x 1x 21-+-dx+67∫2x x 1dx -+ =-2x x 1-++67∫251-2x 151-2x d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2x x 1-++67∫arcsin 51-2x +C. ∴原式=-2x x 12x -+-432x x 1-++87∫arcsin 51-2x +C. (11)令t-x=x x 2+，则x=12t t 2+，dx=d 12t t 2+=21)(2t 1)t(t 2++dt. ∫x x dx 2+=∫12t t t 1)(2t 1)t(t 222+-++dt=∫12t 1)d(2t ++=ln|2t+1|+C=ln|2x x 2++2x+1|+C. (12) ∫x 1x -1x 12+dx=-∫1x11-x 1+d x 1=-∫1t 1-t +dt=-∫1t 1-t 2-dt=-∫1t tdt 2-+∫1t dt 2- =-1t 2-+ln|t+1t 2-|+C=-x x 12-+ln x x 112-++C.。

不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。

下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。

2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。

3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。

4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。

5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C三角函数的积分需要牢记这些常见的公式，在解题中经常会用到。

二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。