数学05异方差

不满足基本假定的情况，称为基本假定违背。
主要包括：
（1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）；
在进行计量经济学模型的回归分析时，必须对模型是否 满足基本假定进行检验，这种检验称为计量经济学检验。
第一节 异方差的概念
一、异方差的概念
对于模型
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
如果出现
Var
(ui
)


2 i
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为模型出现了异方 差性(Heteroskedasticity)。
概
率
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大； (2)单调递减型： i2随X的增大而减小； (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
图5.1 异方差的类型
三、实际经济问题中的异方差性
例5.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; Xi : 第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 高收入家庭随机误差项的方差明显大于低收入家 庭。
例5.2：截面资料下研究企业的成本函数
Yi 0 1Xi ui
Yi : 第i个企业的生产成本; Xi : 第i个企业的总产值
密
Y
度
X1
X2
X3
X
异方差性干扰
存在异方差时U的方差 协方差矩阵为：

f
ˆ 2
2
w i (Yˆ ( ˆ1 ˆ2 X i ))( X i ) 0
ˆ2
wi xi* yi*
w
i
x
* i
2
ˆ1 Y * ˆ 2 X *
其中， X * w i X i ， Y * w iYi
wi
wi
xi*
Xi
X
* i
,
yi*
Yi
Yi*
Econometrics 2005
将是不可靠的。
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5.3 异方差的检验
方法有 （1）图示法（ X _ e2）； （2）解析法：
戈德菲尔德－匡特检验 怀特检验 ARCH检验
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5.3.1 图示法及其类型
1. 异方差指u的方差随着x的变化而变化。 2. 故可以根据x-e2的散点图，对异方差是否
Y的预测值的精度降低；
2
（2）由于 i 难以确定， Y的方差也就难以确定， Y
的预测区间的确定也出 现困难；
2
（3）在 ＝ ei2 /( n k )是 2的无偏的证明中用到了
2
同方差的假定，由于异 方差性，使得 ＝ ei2 /( n k )
是有偏的。在此区间估 计基础上区间估计和假 设检验
基本思路:
（以二元回归为例Y：t 1 2 X2t 3X3t ut）
如果有异方差，则i2与解释变量有关系。：如
i2＝0
1X2i
3 X3i
2
X
2 2i
4 X32i
5 X2i
X3i＋vi
但是i2一般未知，用模型回剩归余ei2作为i2的渐进

V (ui ) E(ui2) ui 2 常数
(5.1.2)
异方差性的数学表达式，可写成自变量 xi 的函数，
即
2 ui
f (xi )
(5.1.3)
§5.2 异方差性的后果 一、线性和无偏性
ˆ ki ui
ki
xi xi2
ˆ 是ui的线性函数显然成立
(5.2.1)
由(2.3.7)知α的OLS估计量为
对于多元线性回归模型
y 0 1 x1 k xk u
若异方差的结构不知道，可以证明有下列估计式
n
Vˆ (ˆ
j)
rˆi2j uˆi2
i1
ESS2j
(5.2.9)
其中 ESS j rˆi2j
式中 rˆij 为xj将对所有其它自变量作回归所得到的第i个
残差；ESSj则为这个回归的残差平方和。 (5.2.9)的算 术根称为 ˆ j 的异方差—稳健标准差(heteroskedasticity -robust standard error )。（参看武德263页）
(5.2.8)的结果是线性模型(5.2.5)具有异方差情况下，
参数β估计值的方差。用
ˆ
2 u
代替
u2便有估计值
Vˆ
(ˆ
)
ˆ
2 u
xi2
xi2
( xi2 )2
可以证明：u具有异方差时，参数的方差失去了最 佳性。（参看课本108页）
如果存在异方差性而仍然采用OLS估计参数β， 由于参数的估计值的方差并非最小，在对β进行显 著性检验时将低估t值可能导致错误的统计判断， 在对参数β进行区间估计时就会不必要地扩大置信 区间。 甚至统计量T失去t
ˆ
(1 n
x

ˆ Yi |ei| |ei|等级
9 8 6 7 5 4 1 2 3 10
di
0 -1 2 -1 -1 1 2 0 -2 -9
d
2 i
0 1 4 1 1 1 4 0 4 81
计量经济学
解：根据表中的数据， ˆ Y = 4 . 5615 − 0 . 7965 X
t
利用普通最小二乘得：
t
R
2
= 0 . 93
计量经济学
四、帕克（Pack）检验 帕克（ ）
假定σ i2与某一解释变量X k 有关 :
σ i2 = σ 2 X β e v , 或 ln(σ i2 ) = ln(σ 2 ) + β ln( X k ) + vi
i k
由于σ i2未知，以同方差假定下OLS估计得到的e i2 代替： ln(ei2 ) = α + β ln( X k ) + vi 进行回归，对β作显著性检验。若显著，则存在异方差。
且能确定影响随机项的解释变量。 且能确定影响随机项的解释变量。
计量经济学
夸特（ 五、戈德菲尔德—夸特（Goldfied-Quandt）检验 戈德菲尔德 夸特 ） G-Q检验适用于大样本、随机项的方差与某异解释变量 检验适用于大样本、 检验适用于大样本 存在正相关的情况。检验的前提条件是： 存在正相关的情况。检验的前提条件是：随机项服从正态分 无序列相关。步骤： 布；无序列相关。步骤：
计量经济学
三、异方差的后果 基于CLRM假定的 假定的OLS估计参数结果将受到影响。 估计参数结果将受到影响。 基于 假定的 估计参数结果将受到影响 1、考虑异方差性的 、考虑异方差性的OLS估计 估计 E (u i ) = σ i2 ≠ 常数 ，保留其它的 保留其它的CLRM假定， 假定， 如果假定 假定 以双变量回归模型为例，普通OLS估计为： 估计为： 以双变量回归模型为例，普通 估计为