05 异方差性学习辅导

05 异方差性学习辅导一、本章的基本内容（一）基本内容图5.1 第五章基本内容(二)本章的教学目标本章的教学目标是：深刻理解异方差性的实质、异方差出现的原因、异方差的出现对模型的不良影响(即异方差的后果)，掌握估计和检验异方差性的基本思想和修正异方差的若干方法；能够运用所学的知识处理模型中出现的异方差问题，并要求初步掌握用EViews处理异方差的基本操作方法。

二、重点与难点分析1、对异方差性的基本认识由于2()()i i i i i Var u X Var Y X σ==，这里的方差度量的是被解释变量Y 的观测值围绕其条件期望的分散程度。

因此对于同方差假定来说,指的是Y 的观测值围绕回归线的分散程度相同，而异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随着解释变量的变化而变化的。

从设定误差角度看,模型中的随机扰动项主要代表两方面的影响：（1）被模型忽略的其他变量对被解释变量的影响 ；（2）测量误差的影响。

实际上随机扰动主要代表的两方面因素都有可能随纳入模型的解释变量i X 的变化而变化，导致随机扰动的方差也随i X 的变化而变化，这种情况即称为存在异方差性。

所以进一步可以把异方差性看成随机扰动项的方差是某个解释变量的函数，22()()i i i Var u f X σσ== (1,2,)i n =L 。

2.为什么存在异方差时OLS 估计仍然是无偏估计？参数OLS 估计的无偏性仅依赖于基本假定中随机误差项的零均值假定（即0)(=i u E ），以及解释变量的非随机性。

事实上在第二章和第三章关于OLS 估计式无偏性的证明中并未涉及同方差性，所以异方差的存在并不影响参数估计式的无偏性。

3. 为什么存在异方差时OLS 估计式不再具有有效性？为了便于理解出现异方差或自相关时对OLS 估计式方差的影响，以一元回归12i i i Y X u ββ=++为例来说明。

22222212222()ˆ()i iii i i iiiiiii iii i i i i x y x Y Y x Y Y x Y xx xxx x X x x u x u x ββββ-===-==++=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2222222222ˆˆ()()[()][]i i i i i i x u x u Var E E E x x βββββ=-=+-=∑∑∑∑ 2222222()2[]()()2()()i ii i j ji jii i i j i j i jix u x u x u E x x E u x x E u u x ≠≠+=+=∑∑∑∑∑∑1）在异方差且自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ=≠，则有22222()2()ˆ()()iii j i j i j ix E ux x E u V x a u r β≠+=∑∑∑2）在异方差但无自相关时，22(),()0i i i j E u E u u σ==，则有222222222()ˆ()()()ii ii iix E u x Var x x σβ==∑∑∑∑3）在同方差且无自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ==，则有2222222()ˆ()()ii iix E u Var x xσβ==∑∑∑4）在同方差但自相关时，22(),()0i i j E u E u u σ=≠，则有222222()ˆ()()i j i j i jiix x E u u Var xx σβ≠=+∑∑∑设存在异方差时的参数为*2β，估计式为*2ˆβ。

例如为22()i i f X σσ=存在异方差时，用OLS 估计的*2ˆβ的方差为: 22222*2222222()()()ˆˆ()()()iiiiiiiiiix f X x f X x f X Var Var x x x xσσββ==⋅=⋅∑∑∑∑∑∑∑ 因为实际经济问题中一般 22(())1ii ixf X x ≠∑∑，所以有*22ˆˆ()()Var Var ββ≠，从理论上说，异方差时参数的方差将会比无异方差时或者扩大，或者缩小。

但是在大多数经济问题中，有22()1ii ix f X x>∑∑，而2ˆ()Var β是不存在异方差时2ˆβ的方差，具有效性(最小方差性)，而*2ˆ()Var β比2ˆ()Var β更大，则不具有有效性。

4.异方差性对显著性检验的影响在i u 存在异方差时，OLS 估计式可能不再具有最小方差特性。

以一元回归为例，在出现异方差的情况下，参数估计式的方差222ˆ()i Var x βσ≠∑，若还是用OLS 方法以222ˆ()iVar xβσ=∑去估计其方差，通常得到的t 统计量不再服从t 分布，并且使用大样本也不能解决这个问题。

类似地，F 统计量也不再服从F 分布。

因此，一般情况下，只要存在异方差性，在古典假定下用来检验假设的统计量不再成立。

而且，如果还是用无异方差时的222ˆ()iVar xβσ=∑去估计2ˆβ的方差，通常会低估2ˆβ的真实方差，也就会低估其标准误差，从而夸大t 统计量，导致假设检验得出错误的结论。

类似的，异方差使得F 检验和错误!未找到引用源。

检验也是不可靠的。

5.检验异方差性的基本思想异方差性的本质是随机扰动的方差随着解释变量i X 的变化而变化。

那么,检验异方差性的基本思想，也就是检验随机误差项的方差是否与解释变量观测值有相关性，并努力寻求相关的“形式”。

1）图示法的基本思想是用Y 或2i e 与解释变量i X 的图形，去判断Y 的离散程度或方差2iσ的代表2i e 的变化是否与i X 的变化有关。

2)Goldfeld-Quandt 检验法的基本思想，是比较前后两个回归的剩余平方和是否有明显差异，因为方差不相等，剩余平方和也就不相等，可以此判断是否存在异方差。

去掉中间一部分样本，只是为了差异更容易判断。

3)White 检验法的基本思想是，方差2i σ的代表2i e 是否与解释变量的某种形式有显著关系,以判断异方差性。

4)ARCH 检验法的基本思想是，在时间序列数据中，如果方差2t σ呈现为自回归条件异方差(ARCH 过程)，则表示方差是明显变动的，可以通过检验ARCH 过程是否成立去判断时间序列有无异方差。

5）Glejser 检验的基本思想是， i e 的绝对值i e 与方差2i σ有关，将i e 对某个解释变量iX 的各种函数形式回归，根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。

应注意,几种检验方法除了检验的基本思想和大样本的前提条件一致外,也有以下不同点：1）Goldfeld-Quandt 检验法和ARCH 检验法通常只能对异方差是否存在做出判断，对于是由哪一个变量引起的异方差无法做出判断；而White 检验法不仅能对异方差是否存在做出判断，而且能够对于是由哪一个变量引起的异方差做出判断。

2）White 检验法通常适用于截面数据，ARCH 检验法只适用于时间序列数据，而Goldfeld-Quandt 检验和Glejser 检验法对于时间序列情形和截面数据都适用。

三、 本章实验项目要点运用EViews 软件检验和补救异方差问题，着重应掌握以下方面：1.熟悉用EViews 软件中的”Procs/Generate Series ”路径或点击 “Genr ”对话框生成2i e 及各种权数的新变量。

2.练习用EViews 软件绘制2i e 与i X 的各种图形。

3. 用EViews 软件作Goldfeld-Quanadt 检验时,注意练习在“Procs ”菜单中选“Sort Series ”命令对变量排序。

练习通过 “Sample ”重新定义和调整样本区间。

4. 练习按路径view/residual tests/white heteroskedasticity （no cross terms or cross terms ），进入White 检验。

正确解读EViews 中White 检验的输出结果。

5. 练习按路径view/residual tests/ARCH LM Test ，并选择阶数,进入ARCH 检验。

正确解读EViews 中ARCH 检验的输出结果。

6.练习通过EViews 软件用加权最小二乘法估计模型参数。

在Quick/Estimate equation 中输入"Y C X"，点“ option ”，在对话框中点 weighted LS ，在 weighte 中输入"权数"/ok ，即出现加权最小二乘结果。

正确解读EViews 软件加权最小二乘法的输出结果。

本章具体实验内容，见《计量经济学》上机实验的“实验三：异方差性和自相关”中的异方差部分。

四、本章补充案例与案例讨论案例：中国农村居民人均消费函数（一）问题的提出：居民消费在社会经济发展中有着重要的作用，合理的消费模式和适度的消费规模有利于经济的持续增长，也是人民生活水平提高的体现。

改革开放以来，中国经济的快速发展，人民生活水平的不断提高，消费水平也随着不断提高。

但是在全国范围内，由于各地区经济发展速度不同，农村居民消费也有着明显差异。

为了研究中国农村居民消费水平及其变动原因，需要做具体的分析。

（二）建立模型：以2001年中国各地区的农村消费为例，中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。

农村人均纯收入包括：(1)从事农业经营的收入；(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入；(4)财产收入；(4)转移支付收入。

这四部分可大体分为两类，一类是从事农业经营的收入(X 1)，另一类是其他收入(X 2)。

考察从事农业经营的收入(X 1)和其他收入(X 2)对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响，构造普通线性模型：12233i i i i Y X X u βββ=+++表5.1 中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：元）数据来源:2002年《中国统计年鉴》估计结果为 12317.70220.45450.6977i i i Y X X =++t= (1.756) (3.107) (17.966)2R =0.9209 2R =0.9153DW=1.5577 F=163.0388 RSS=1594927从回归方程中可以看出，其他收入（而非农业经营收入）的增长，对农村人均消费的增长更有刺激作用。

（三）异方差检验:从结果分析可认为，不同地区的农村人均消费支出的差别主要来源于非农经营收入和其他收入的差别。

因此，如果存在异方差，则可能是2X 引起的。

1、图示检验法：X的散点图。

做OLS回归的残差平方和2ˆi e与2X的散点图图5.2 2ˆi e与2表明存在单调递增型异方差。