含参变量广义积分一致收敛的Heine定理

heine定理及其扩展
Heine定理是解析数论中重要的定理之一，它可以用来证明一些数列的收敛性和发散性。

定理的形式是：如果一个数列有两个子数列，一个是单调递增的，另一个是单调递减的，并且它们都趋于相同的极限，那么这个数列就是收敛的。

近年来，对Heine定理的研究逐渐扩展到更广泛的领域中，涉及到了复变函数、偏微分方程、代数几何等多个数学分支。

例如，在复变函数中，Heine定理被用来证明一些复变函数的极限存在性和唯一性；在代数几何中，Heine定理的扩展被应用于一些代数体的研究。

此外，还有一些涉及到非线性偏微分方程和微分方程组的扩展版本，它们在数学物理和工程学中具有重要的应用价值。

总的来说，Heine定理及其扩展为解析数论以及其他数学分支提供了一些重要的工具，它们在理论和实际问题中都具有广泛的应用。

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heine定理lebesgue控制收敛定理
Heine定理和Lebesgue控制收敛定理是数学分析中的两个重要定理。

Heine定理，也称为Heine-Borel定理，它给出了一个集合是闭集和有界集的充分必要条件。

具体来说，如果一个集合在欧几里得空间中是有界的，那么这个集合一定是闭集。

Lebesgue控制收敛定理是勒贝格积分理论中的重要定理之一。

它提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。

具体来说，如果对任意>0，存在一个可积函数f'，使得对一切x[a,b]，有|fm(x)-f(x)|< ，那么{fm}实际上由一个可积函数控制住了。

在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。

但是当一致收敛的定义中的M充分大时，却可以使|fm(x)|< +|f(x)|在[a,b]上可积，从而积分与极限可以交换顺序。

以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍或咨询专业数学人士。

目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。

它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。

国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。

国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。

比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。

含参变量广义积分一致收敛的Heine定理
王秀红
【期刊名称】《鲁东大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(019)004
【摘要】从二元函数一致极限的角度出发,给出含参变量广义积分一致收敛的Heine定理的简单证明及应用.
【总页数】4页(P305-307,312)
【作者】王秀红
【作者单位】烟台师范学院数学与信息学院,山东,烟台,264025
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.含参变量积分的一致收敛和绝对一致收敛 [J], 王铂强
2.含参变量的广义积分非一致收敛的一个判定定理 [J], 郭小春
3.函数项级数一致收敛定理的证明和广义积分收敛的充要条件 [J], 薛访存
4.含参变量的Fuzzy值函数广义积分一致收敛性 [J], 吴传生
5.含参变量广义积分与瑕积分一致收敛的一个判别法 [J], 谢胜利
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广义积分上的一致收敛问题刘邓【摘要】文章主要讨论并总结合参变量的广义积分以及一些常规的判别法,展示并举例了Cauchy判别法、M判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法、微分法、级数判别法以及含参量广义积分的Heine定理在实际问题中的运用,同时对各个判别法进行了详细的阐述并对其优缺点简要的说明与归纳,希望对读者们有所帮助.【期刊名称】《湖北成人教育学院学报》【年(卷),期】2017(023)005【总页数】5页(P22-26)【关键词】广义积分;一致收敛;判别法【作者】刘邓【作者单位】江汉大学,武汉430010【正文语种】中文【中图分类】O141我们知道定积分有两个最重要且最基础的限制：①积分区间的有穷性；②被积分函数的有界性,而广义积分是突破其限制的推广，当积分的有穷区间变为无穷区间，我们便得到了无穷积分，而当被积函数有界变为无界时，我们便得到了无界积分，也称为瑕积分。

生活中面临的大多数实际问题经常会突破有限或有界的限制，因此广义积分便有了诞生的意义和必要。

由于许多广义积分的计算非常困难，于是人们希望通过对其性质的判断来为计算带来方便，其中敛散性的判别尤其重要。

一致收敛是收敛的一种“强化”，无论x在定义域上哪一点，有一个固定的N(ε)，当n1，n2>N，有(即一致收敛是指积分在定义域的整体收敛速率趋于平稳，波动较小或没有).根据书上的定理我们可以得知无穷积分和瑕积分的收敛的充要条件本身与x无关，因此，讨论上述两类广义积分没有多大意义，对含参量广义积分的讨论与研究应该更为深入和广泛。

在实际生活中，自然条件远比人为假设要复杂的多，故含参量广义积分的应用范围要比非含参量广义积分的应用范围要广阔的多，而含参量广义积分的计算相应的更为的复杂。

而为了方便人们去计算这类积分，我们希望广义积分和被积函数所具备性质更加优化，故广义积分上的一致收敛就是人们所关注的。

首先我们给出含参量广义积分以及一致收敛的两个具体概念。

第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。

求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。

含参量积分一致收敛及其应用1 引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分, 又名反常积分. 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。

但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件. 因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分, 这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛. 但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了. 在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序. 于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.1. 含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。

从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。

1.1无穷限广义积分的定义定义1：设f (x , y ) 为定义在D =[a , +∞)⨯I （I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰+∞af (x , y ) dx 的积分称为含参变量y 的广义积分。

从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-----收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。