水平面内圆周运动(五大类)

微专题28水平面内的圆周运动1．描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力.2.常见的传动方式：同轴转动(ω相同)、皮带传动、齿轮传动和摩擦传动(边缘v 大小相同).3.圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，向心力F n ＝m v 2r＝mω2r ＝m 4π2T 2r .1.在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验，如图所示，在T 形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m ，细绳长度为L .王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T ，小球半径忽略不计，由此可知()A ．小球运动的角速度ω＝2πLTB ．小球运动的线速度大小为v ＝2πTC ．小球运动的加速度大小为a ＝2π2LT 2D ．细绳中的拉力为大小为F ＝4m π2L T2答案D 解析小球的角速度ω＝2πT ，故A 错误；小球运动的线速度大小为v ＝2πL T，故B 错误；小球的加速度大小为a ＝ω2L ＝4π2L T 2，故C 错误；细绳中的拉力大小为F ＝ma ＝4m π2L T2，故D 正确．2．(2023·河北省石家庄二中模拟)如图所示为“行星减速机”的工作原理图，当中心“太阳齿轮”转动时，三个完全相同的“行星齿轮”绕着“太阳齿轮”公转的同时进行自转，并带动“内齿轮环”转动．已知“太阳齿轮”半径为R 1，“行星齿轮”的半径为R 2，且R 2＝2R 1，所有齿轮的齿缝相同，A 、B 、C 分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点．在工作时()A ．A 点与B 点的角速度之比为1∶2B ．A 点与B 点的转速之比为1∶1C ．B 点与C 点的周期之比为1∶1D ．B 点与C 点的线速度大小之比1∶1答案D 解析A 、B 、C 分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点，它们通过齿轮传动，线速度大小相等，D 正确；A 点与B 点的角速度与半径成反比，故角速度之比为2∶1，转速与角速度成正比，故A 点与B 点的转速之比为2∶1，A 、B 错误；B 点与C 点的半径之比为2∶5，由T ＝2πr v可知，B 点与C 点的周期之比为2∶5，C 错误．3.(多选)如图所示为一个半径为5m 的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A 处在如图所示位置的时候，在圆心正上方20m 的高度处有一个小球以一定的速度水平抛出，取g ＝10m/s 2，要使得小球正好落在A 点，则()A ．小球平抛的初速度一定是2.5m/sB ．小球平抛的初速度可能是2.5m/sC ．圆盘转动的角速度一定是πrad/sD ．圆盘转动的角速度可能是πrad/s答案AD 解析根据h ＝12gt 2，可得t ＝2h g ＝2s ，则小球平抛的初速度一定为v 0＝R t＝2.5m/s ，故A 正确，B 错误；根据ωt ＝2n π(n ＝1,2,3，…)，解得圆盘转动的角速度ω＝2n πt ＝n πrad/s(n ＝1,2,3，…)，故C 错误，D 正确．4.天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P 可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P ，两端分别连接质量为m 1和m 2的小球A 、B (m 1≠m 2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则()A ．两球运动的周期相等B ．两球的向心加速度大小相等C ．A 、B 两球的线速度大小之比等于sin α∶sin θD ．A 、B 两球的质量之比等于cos θ∶cos α答案A 解析设悬挂点到圆周运动的圆心的高度为h ，对小球B 由牛顿第二定律有m 2g tan θ＝m 2ω2h tan θ，可知两球角速度相等，两球的周期相等，故A 正确；由于向心加速度大小a n ＝ω2r ＝4π2T2r ，由于A 、B 两球到圆心的距离r 不同，可得向心加速度大小不相等，故B 错误；由公式v ＝ωr ，又r A ＝h tan α，r B ＝h tan θ，可得A 、B 两球的线速度大小之比v A v B＝r A r B ＝tan αtan θ，故C 错误；绳子上的拉力处处相等，则有m 1g m 2g ＝F T cos αF T cos θ，可得m 1m 2＝cos αcos θ，故D 错误．5．如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔(用O 表示)，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m 1、m 2的小球A 和B .让两小球同时做圆周运动，B 球绕O 点做圆锥摆运动，细绳与竖直方向的夹角为θ，A 球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O 做匀速圆周运动，两球做圆周运动的角速度相同，OA 、OB 的绳长相等，两小球均视为质点，则两球的质量之比为()A ．1∶1B ．1∶sin θC ．1∶cos θD ．1∶tan θ答案A 解析对A 球，细绳的拉力提供向心力，所以有F T ＝m 1rω2，对B 球，细绳的拉力的分力提供向心力，即F T sin θ＝m 2r sin θ·ω2，联立解得m 1m 2＝1，故A 项正确．6．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O ，最低点为C ，有两个可视为质点且质量相同的小球A 和B ，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A 球的轨迹平面高于B 球的轨迹平面，A 、B 两球与O 点的连线与竖直线OC 间的夹角分别为α＝53°和β＝37°(sin 37°＝0.6)，则()A ．A 、B 两球所受支持力的大小之比为1∶1B ．A 、B 两球运动的周期之比为2∶3C ．A 、B 两球的角速度大小之比为2∶3D ．A 、B 两球的线速度大小之比为2∶3答案C 解析由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得F N ＝mg cos θ，则有F N A F N B ＝cos βcos α＝43，故A 错误；小球受到的合力为mg tan θ＝mr 4π2T2，又因为r ＝R sin θ，解得T ＝4π2R cos θg ，则有T A T B ＝cos αcos β＝32，故B 错误；角速度为ω＝2πT，则有ωA ωB ＝23，故C 正确；根据mg tan θ＝m v 2r ，解得v ＝gr tan θ＝gR sin θtan θ，则有v A v B＝833，故D 错误．7．(多选)如图所示，一个上表面粗糙、中心有孔的水平圆盘绕轴MN 转动，系有不可伸长细线的木块置于圆盘上，细线另一端穿过中心小孔O 系着一个小球．已知木块、小球皆可视为质点，质量皆为m ，木块到O 点的距离为R ，O 点与小球之间的细线长为L .当圆盘以角速度为ω匀速转动时，小球以角速度ω随圆盘做圆锥摆运动，木块相对圆盘静止；连接小球的细线与竖直方向的夹角为α，小孔与细线之间无摩擦，则()A ．如果L 不变，ω越大，则α越大B ．如果R ＝L ，无论ω多大木块都不会滑动C ．如果R >L ，ω增大，木块可能向O 点滑动D ．如果R <L ，ω增大，木块可能向远离O 点的方向滑动答案AB 解析小球做圆锥摆运动，设细线张力为F T ，则有F T sin α＝mL sin α·ω2，F T cos α＝mg ，联立可得ω＝g L cos α，如果L 不变，ω越大，则α越大，A 正确；由小球的运动可知细线张力F T＝mLω2，木块随圆盘匀速转动所需向心力F ＝mRω2，当R ＝L 时，细线张力恰好提供木块做圆周运动的向心力，摩擦力为零，所以无论ω多大木块都不会滑动，B 正确；如果R >L ，木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O 点的摩擦力F f ，当ω增大，摩擦力F f 也增大，达到最大静摩擦力后木块会向远离O 点的方向滑动，C 错误；同理，如果R <L ，木块随圆盘匀速转动所需向心力小于细线张力，木块受到由O 指向圆盘边缘的摩擦力F f ，ω增大到一定值，摩擦力达到最大静摩擦力后，木块会向O 点滑动，D 错误．8．如图所示，木块a 、b 和c (均可视为质点)放在水平圆盘上，a 、b 的质量均为m 0，c 的质量为m 02，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 、c 与转轴OO ′的距离为2l 且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是()A ．b 、c 所受的摩擦力大小始终相等B ．当a 、b 和c 均未滑动时，a 、c 所受摩擦力的大小相等C ．b 和c 均未滑动时线速度一定相等D ．b 开始滑动时的角速度大小是2kgl答案B 解析木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动．b 、c 质量不相等，由F f ＝mrω2知b 、c 所受摩擦力大小不相等，A 错误；当a 、b 和c 均未滑动时，a 、b 、c 和圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，a 、b 的质量均为m 0，c 的质量为m 02，a 与转轴OO ′的距离为l ，c 与转轴OO ′的距离为2l ，F f ＝mrω2，所以a 、c 所受摩擦力的大小相等，B 正确；b 和c 均未滑动时，由v ＝rω知线速度大小相等，方向不相同，C 错误；b 开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则km 0g ＝m 0·2lω2，解得ω＝kg 2l，D 错误．9.如图所示，用两根长分别为l 1、l 2的细线拴一小球a ，细线另一端分别系在一竖直杆上O 1、O 2处，当竖直杆以某一范围的角速度ω(ω1≤ω≤ω2)转动时，小球a 保持在图示虚线的轨迹上做圆周运动，此时两根线均被拉直，圆周半径为r ，已知l 1∶l 2∶r ＝20∶15∶12，则ω1∶ω2等于()A ．3∶4B ．3∶5C ．4∶5D ．1∶2答案A 解析设l 1、l 2与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，将细线拉力沿竖直方向和水平方向分解，竖直方向的分力大小等于重力，水平方向的分力提供向心力，细线l 2没有弹力时，则有F 向1＝mg tan θ1＝mω12r ，细线l 1没有弹力时，则有F 向2＝mg tan θ2＝mω22r ，由几何关系可得r ＝l 1sin θ1＝l 2sin θ2，又l 1∶l 2∶r ＝20∶15∶12，联立解得ω1∶ω2＝3∶4，B 、C 、D 错误，A 正确．10.(多选)如图所示为一圆锥状转筒，左右各系着一长一短的绳子，绳上挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面．转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A ．角速度慢慢增大，一定是绳子长的那个球先离开转筒B ．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开转筒C ．两个球都离开转筒后，它们一定高度相同D ．两个球都离开转筒时两段绳子的拉力一定相同答案AC 解析设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开转筒时，转筒的支持力为0，则有mg tan θ＝mω2l sin θ，解得ω＝g l cos θ，则绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开转筒，所以A 正确，B 错误；两个球都离开转筒后，小球都只受重力与绳子的拉力的作用，两小球都随转筒一起转动，有相同的角速度，又因小球的高度为h ＝l cos θ，所以它们高度相同，所以C 正确；小球都离开转筒时绳子的拉力大小为F T ＝mg cos θ，由于不是同时离开转筒，则小球都离开转筒时的夹角不同，所以拉力也不相同，所以D 错误．11.(多选)如图所示，放在水平转台上的物体A 、B 、C 正随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，B 与转台、C 与转台、A 与B 间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 和1.5r ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，以下说法正确的是()A ．B 对A 的摩擦力有可能为2μmgB ．C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力C ．转台的角速度有可能恰好等于2μg3rD ．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，A 将最先发生相对滑动答案AC 解析对A 、B 整体，有(3m ＋2m )ω2r ≤μ(3m ＋2m )g ，对物体C ，有mω2(1.5r )≤μmg ，对物体A ，有3mω2r ≤3μmg ，联立解得ω≤2μg 3r ，即要满足不发生相对滑动，转台的角速度ω的最大值为ωm ＝2μg 3r，A 与B 间的静摩擦力最大值F f ＝3mωm 2r ＝2μmg ，故A 、C 正确；A 与C 转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，A 所受摩擦力F f A ＝3mω2r ，C 所受摩擦力F f C ＝mω2(1.5r )＝1.5mω2r ，则C 与转台间的摩擦力小于A 与B 间的摩擦力，故B 错误；据以上分析知，最先发生相对滑动的是C ，故D 错误．。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题24 圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象导练目标导练内容目标1圆周运动基本物理量目标2水平面内的圆周运动（圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型）目标3离心现象一、圆周运动基本物理量1．匀速圆周运动各物理量间的关系2．三种传动方式及特点(1)皮带传动（甲乙）：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。

(2)齿轮传动（丙）：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。

(3)同轴传动（丁）：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。

3.向心力：（1）来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

（2）公式：F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝mr ·4π2T2＝mr ·4π2f 2＝mωv 。

【例1】如图所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB ∶RC ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B 轮也随之无滑动地转动起来．a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在运动过程中的（ ）A ．线速度大小之比为3∶2∶2B ．角速度之比为3∶3∶2C ．转速之比为2∶3∶2D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4 【答案】D【详解】A ．A 、B 靠摩擦传动，则边缘上a 、b 两点的线速度大小相等，即v a ∶v b ＝1∶1 BC 同轴转动角速度相等，根据v =ωR 又R B ∶R C ＝3∶2可得v b ∶v c ＝3∶2解得线速度大小之比为v a ∶v b ∶v c =3∶3∶2故A 错误；BC ．B 、C 同轴转动，则边缘上b 、c 两点的角速度相等，即ωb ＝ωca 、b 两点的线速度大小相等，根据v =ωR 依题意，有R B ∶R A ＝3∶2解得ωb ：ωa =2:3解得 角速度之比为ωa ：ωb ：ωc =3∶2∶2又ω＝2πn 所以转速之比n a ：n b ：n c =3∶2∶2故BC 错误；D ．对a 、b 两点，由2n v a R =解得a a ∶a b ＝3∶2对b 、c 两点，由a n ＝ω2R 解得a b ∶a c ＝3∶2可得a a ∶ab ∶ac ＝9∶6∶4故D 正确。

突破16 水平面内的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。

1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。

解题技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。

这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg /cos θ；D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg /cos θ. 【答案】： A【典例2】 如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A 和B 。

小球A 和B 的质量之比m A m B ＝12。

当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时，小球A 到管口的细绳长为l ，此时小球B 恰好处于平衡状态。

钢管内径的粗细不计，重力加速度为g 。

求：(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ；(2)小球A 转动的周期。

【答案】 (1)60° (2)π 2lg【典例3】 如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A. b 一定比a 先开始滑动B. a 、b 所受的摩擦力始终相等C. ω＝ kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D. 当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】 AC【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f ＝mω2R ，由于小木块b 的轨道半径大于小木块a 的轨道半径，故小木块b 做圆周运动需要的向心力较大，B 项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；当b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b ·2l ，可得ωb ＝kg2l ，C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2a l ，可得ωa ＝ kgl，而转盘的角速度2kg 3l < kgl，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f ＝mω2l ＝23kmg ，D 项错误。

圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象导练目标导练内容目标1圆周运动基本物理量目标2水平面内的圆周运动(圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型)目标3离心现象【知识导学与典例导练】一、圆周运动基本物理量1.匀速圆周运动各物理量间的关系2.三种传动方式及特点(1)皮带传动(甲乙)：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。

(2)齿轮传动(丙)：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。

(3)同轴传动(丁)：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。

3.向心力：(1)来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

(2)公式：F n =ma n =m v 2r =mω2r =mr ·4π2T2=mr ·4π2f 2=mωv 。

1明代出版的《天工开物》一书中，有牛力齿轮(牛转翻车)的图画，如图所示，这说明勤劳勇敢的先辈们已经掌握了齿轮传动技术。

A 、B 两轮边缘质点做匀速圆周运动的半径分别为r 1、r 2(r 1>r 2)，A 、B 两轮边缘的齿轮数分别为N 1、N 2，N 1>N 2，在两轮转动过程中(不打滑)，下列说法正确的是()A.A、B两轮边缘质点的线速度大小之比v1：v2=r1：r2B.A、B两轮的转速之比n1：n2=N2：N1C.A、B两轮的角速度ω1：ω2=1：1D.A、B两轮边缘质点的向心加速度大小之比a1：a2=r2：r1【答案】BD【详解】A．A、B两轮是齿轮传动，边缘质点线速度大小相等，即v1:v2=1:1，A错误；:n2=N2:N1，B正确；B．两轮的周期之比T1:T2=N1:N2转速n∝1T所以两轮的转速之比n1C．由公式v=rω可知，两轮的角速度ω1:ω2=r2:r1，C错误；:a2=r2:r1，D正确。

水平面内圆周运动的两种模型一、两种模型模型Ⅰ圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．图1临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．模型Ⅱ火车拐弯类如图2 所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．图2临界条件若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．二、两种模型的应用例1 如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图3 图4【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡f max=G，μN=mg列出圆周运动方程N=mω2min R联立解得ωmin=例2 在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?图5【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0其中 sinθ=联立解得ω=例3 长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?图6【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示图7隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程 F+Fcosθ=mω2r由平衡条件有 Fsinθ-mg=0其中 cosθ=，sinθ=联立解得ω=小试身手1、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）图82、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.则杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？图9。

微专题27 水平面内的圆周运动1．考点及要求：(1)匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)；(2)匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)；(3)离心现象(Ⅰ).2．方法与技巧：(1)分析运动性质，确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向；(2)受力分析，在向心力方向求合力；(3)据圆周运动和牛顿第二定律列方程．考点逐项排查1．(对匀速圆周运动的理解)关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )①匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度②做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度③做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动④匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．(描述圆周运动的参量之间的关系)(多选)如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点．设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )A．细线L1和细线L2所受的拉力之比为∶1B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶13．(匀速圆周运动的周期性问题)在同一水平面内有两个围绕各自固定轴匀速转动的圆盘A、B，转动方向如图所示，在A盘上距圆心48 cm处固定一个小球P，在B 盘上距圆心16 cm处固定一个小球Q.已知P、Q转动的线速度大小都为4π m/s.当P、Q相距最近时开始计时，则每隔一定时间两球相距最远，这个时间的最小值应为( )A．0.08 s B．0.12 s C．0.24 s D．0.48 s4．(匀速圆周运动的临界问题)(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动B．当ω>时，绳子一定有弹力C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大考题综合突破5.如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动．要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是( )A.B．πC.D．2π6．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h＝5 m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．(取g＝10 m/s2)(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？(3)当圆盘的角速度为1.5π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2 m，求容器的加速度a.答案解析1．D [速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故②④正确，选D.]2．AC [由mg＝FT1cos 60°可得FT1＝2mg；由mg＝FT2cos 30°可得FT2＝mg；细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为∶1，选项A正确．由mgtan θ＝mω2htan θ，可得小球m1和m2的角速度大小之比为1∶1，选项B错误．小球m1和m2的向心力大小之比为mgtan 60°∶mgtan 30°＝3∶1，选项C正确．由mgtan θ＝，可得小球m1和m2的线速度大小之比为tan 60°∶tan 30°＝3∶1，选项D错误．]3．B [欲让P、Q相距最远，则P、Q同时运动到各自所在位置的圆周直径的另一端，由线速度和角速度公式可得：t＝2nπ＋π，t＝＝(2n＋1)×0.12，(n＝0,1,2,3，…)和t′＝2kπ＋π，可得：t′＝＝(2k＋1)×0.04，(k＝0,1,2,3，…)；当n＝0，k＝1时，t＝t′＝0.12 s为最小值，选项B正确．]4．ABD [当A、B所受静摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝mω2·2L，解得：ω＝，B项正确；当<ω<时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错；0<ω≤时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当<ω<时，以A、B整体为研究对象，FfA＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大，D项正确．]5．A [对小球，在水平方向有FTsin θ＝mω2R＝4π2mn2R，在竖直方向有FTcos θ＋FN＝mg，且R＝htan θ，当球即将离开水平面时，FN＝0，转速n有最大值，联立解得n＝，则A正确．]6．见解析解析(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动．则每一滴水滴落到盘面上所用时间t＝＝1 s(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在1 s内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．由ωt＝kπ即ω＝kπ＝kπ，其中k＝1,2,3，…(3)第二滴水与O点的距离为x1＝at2＋(at)t＝a第三滴水与O点的距离为x2＝a(2t)2＋(a·2t)t＝4a又Δθ＝ωt＝1.5π即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上，所以x＋x＝x2即(a)2＋(4a)2＝22解得：a＝m/s2。