第9讲第6节置换群

近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。

换句话说，置换群就是有限集上的变换群。

由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。

这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。

2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。

3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。

4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。

本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。

注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。

就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。

所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。

并且也不能一下子把所有群都不得找出来。

因为问题太复杂了。

人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。

对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。

可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。

一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。

有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。

含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。

通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。

现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。

第九讲§置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。

换句话说，置换群就是有限集上的变换群。

由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。

这一讲主要要求：1º弄清置换与双射的等同关系。

2º掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。

3º置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。

4º对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。

本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。

注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。

就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。

所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。

并且也不能一下子把所有群都不得找出来。

因为问题太复杂了。

人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。

对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。

可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。

一．置换群的基本概念定义1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。

有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。

含有n个元素的有S.限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。

通常记为n明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）S也就是有限集合A的完全变换群。

而n次对称群n现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。

§6 置换群定义 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.定义 一个包 n 个元的集合的置换作成的群叫做n 次对称群.这个群用n S 表示. 定理1 !.n S n ={}1,,n A a a = :,1,,i ik a a i n π=以上置换可以写成1212n n k k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 以上表示与第一行的数字无关.如：2121n n k k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭例1 {}123,,A a a a =122331:,,a a a a a a π123132213231213321231312321312123132π⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2 3S 有6个元：123123123,,,123132213123123123,,.231231321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123123123,132213231123123123,213132312⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3S 不是交换群.置换还有另一种表示把： 若()()()()11111111122211,,k k n k k n k k n kk n j j j j j j j j j j j j jj j j ππ++++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭则()()()()1112112211k k n k k n j j j j j j j j ππ++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 定义 n S 的一个把1i a 变到2i a ，2i a 变到3i a ，…，1k i a -变到k i a ，k i a 变到1i a 而其余元素（如果还有的话）不变的置换，叫做一个k -循环置换.这样的置换记为()()()1223111,,,.k k k k i i i i i i i i i i -或例3 在5S 中()()()()()()()()()()()()()()12345123231312,2314512345123452345151234,2345112345245452524,143521234512345.12345⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫===== ⎪⎝⎭例4 在4S 中，12342143π⎛⎫= ⎪⎝⎭不是一个循环置换.π使每一元都变动，∴若π是一循环置换，它必为4-循环置换. 在π下：121a a a ，π∴不是4-循环置换.()()123412341234.21341243π⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭定理2 每一个n 个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积.,n S π∀∈()()()1112.t s r i i j j k k k π=把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是表示置换的第二种方法.4S 中的元12343412⎛⎫⎪⎝⎭表示为不相连的循环置换的乘积：()()1324.4S 中的元12342431⎛⎫⎪⎝⎭表示为不相连的循环置换的乘积:()124.例5 4S 的全体元用循环置换的方法写出来是()1；()()()()()()12,34,13,24,14,23；()()()()()()()()123,132,134,143,124,142,234,243； ()()()()()()1234,1243,1324,1342,1423,1432； ()()()()()()1234,1324,1423.定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.作业 P55:1,2. 习题选解（P55） 1.指出所有3S 的不能和123231⎛⎫⎪⎝⎭交换的元.解 ()123123,231⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()()(){}31,23,12,123,132,13,S =()()()()()()1123123,1231123,==()()()()()()2312312,1232313,==()()()()()()1212313,1231223,==()()()()123123123123,=()()()()()()1231321,1321231,==()()()()()()1312323,1231312,==∴不能和()123交换的元有()()()23,12,13.2.把3S 的所有元写成不相连的循环置换的乘积. 见上题3. 证明：1）两个不相连的循环置换可以交换； 2）()()11211.k k k i i i i i i --=证 1）设()112r i i i π=，()21s n j j S π=∈是两个不相连的循环置换.{}1,,k n ∀∈，则 {}1,,k k i i ∈，或{}1,,s k j j ∈，或{}{}111,,\,,,,,.r s k n i i j j ∈（ⅰ）当{}1,,r k i i ∈时，易知{}121,,,,r k i i k k ππ∈=故()()2121112121,,k k k kkk ππππππππππ====此时，1221.kk ππππ=（ⅱ）当{}1,,s k j j ∈时，同理有1221.k k ππππ=（ⅲ）当{}{}1121,,\,,,,,r k n i i j j ∈时，有12,k k k k ππ==，()()2121212121,,k k k k k k k k ππππππππππ∴======1221.k k ππππ∴=由（ⅰ）~（ⅲ）有1221.ππππ=2）()()()()()1211112111,.k k k k k k i i i i i i i i i i i i ---=∴=4.证明一个k -循环置换的阶是.k 证 设()12k i i i π=是一个k -循环置换，则 ()()1212112231,k k kk k k i i i i i i i ππππππππ----=======同理，22,,kkkk i i i i ππ==()1.k π∴=易知，当1l k ≤<时，有111ll i i i π+=≠， ()1.l π∴≠ .k π∴=补充题1 把置换()()()()()()456567671123234345写成不相连的循环置换的积. 答案：()127. 补充题2 设123456789452138796π⎛⎫= ⎪⎝⎭，把π表示为不相连的循环置换的乘积. 解：14,41ππ==； 25,53,32πππ===； 68,89,96πππ===；7π7=()()()()()()()14253689714253689.π∴==。