根式和分数指数幂

(m - n )4 p 6⋅ q 5a a a 3 6a 9 6 3a 9 4 a3 1 3x 3 x -23、⎛ 3 6 a 9 ⎫ ⎛ 6 3 a 9 ⎫ ⎪ 根式与分数指数幂的运算（1）一、根式与指数转化1、用分数指数幂表达下列各式：(1) 3 x 2 =（2） 4 (a + b )3 （ a + b > 0 ） =（3）3 (m - n )2 =（4） （ m > n ）=m 3（5） （ｐ＞０）=（6） =m（7）（9）4 (- a )2（式中a > 0 ）= （8）3 ab 2（10）（11） =（12）( )4⋅ ()4=32、将52 写为根式44⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭等于（ C ）A 、a 16B 、a 8C 、a 4D 、a 24、已知x 5 = -2009 ，则x =（用根式表达）⎛ 8 - 6 ⎫ - 1 25、 a 5 b 5 ⎪ ⎝ ⎭⋅ 5 a 4 ÷ 5 b 3 (a ≠ 0, b ≠ 0)⎛ ⎫46、已知a ≥0，化简3 ⎪ = a7 (3 6⎝a 9 )4 ⋅ (6 3 ⎭a 9 )44、将表达成指数幂形式，其成果为 a- 8 ⎛ ⎫58、 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭4 化成分数指数幂为 ________ 159、将(3 6 a 9 )4 ⋅ (6 3 a 9 )4 ( a >0)表达成指数幂形式，其成果为 a 4 .x 3 x 2 4 x 31 1a a(-2)4481⨯ 392 6 12 227 9 ⎭ ⎛ 6 ⎫ 7 3 二、求值1 求值：3 - 64 =； = ； 4 (3 -π)4 =3 42、 +3、22 ⨯ 23 =3 42216 - 34、(22 ) 3 =35、23⨯ 23=236 36、求值：( ) 814 =7、(1) 252 =（２） 27 3 =（３）( ) 2 =49（4）( 25)- 24=（5） =（6） 2 ⨯ ⨯ =[(- )2 ]-1-8、22 等于（）A ． B ．C D ． 2 2- 1 ⎛ 1 ⎫-23( )9、计算：0.0273- - ⎪ ⎝ ⎭+ 2564 - 3-1 + - 1 = 。

高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导由于分数指数幂的概念是借助n 次方根给出的，而n 次根式又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且n 次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．根式和分数指数幂的互化既是重点也是难点．根据不同需要，灵活进行互化是解决有些问题的有效途径．根式的运算，一般先化为分数指数幂后用分数指数幂的运算性质进行运算比较方便．例1 计算： （1）48373)27102(1.0)972(03225.0＋－＋＋－－π；（2）31213125.01041027.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯⨯⨯－＋－－－－－－.解析：（1）原式＝48373)2764()101()925(32221＋－＋＋－－．1004837316910035＝＋－＋＋＝． （2）原式＝⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯313103.01021])23(3[)13(])103[(313)31(3)41(41414－＝－－＋－－－－－ 031＝－点评：一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数．例2 化简下列各式： （1）))((21211x x x x x －＋＋－-；（2）323222323222－－－－－－－－－－－＋＋yx y x yx y x ．解析：注意题中各式的结构特点． （1）原式＝2323321321)()(x x x x－＝－－－．（2）原式＝32323323323232332332)()()()(－－－－－－－－－－－＋＋yx yxyx yx])()[()()(23232322322323232232－－－－－－－－＋＋－＋－＝yy xxyy xxxyxy xy 3322)(2＝－＝－－． 点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点．例3 若a ＜b ＜c ，化简33332)(b a a b b a －＋－＋＋． 解析：∵a ＜b ＜c ，∴a ＋b ＜0，b －a ＞0，a －b ＜0∴原式＝b a a b a b b a b a a b b a ＋＝－－＋－＋－＝－－＋－＋＋3．点评：本题灵活应用：当n 是奇数时，a a n n＝． 例4 求使23－x 有意义的x 的取值范围．解析：3231xx＝－因此x ∈（0，＋∞）．例5x x x x ⋅．解析：原式＝1615815214747212321)()(xx x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝⋅⋅⋅．。

n次方根与分数指数幂数学分数指数　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，2也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．一、n次方根问题1　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？提示　如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．知识梳理1．n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈R a>0a＝0a<0x＝n a x＝±n a x＝0不存在3.根式n a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．n0(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.n a(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．n an(4)＝|a|＝Error!(n为大于1的偶数)．注意点：n a n a n an(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0；(2)()n与意义不同，3(－3)34(－3)44－3n a n an比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠；n a n an n a n an(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对n an于要注意运算次序．例1　(1)化简下列各式：5(－2)55－2①＋()5；6(－2)662②＋()6；4(x＋2)4③.解　①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.③原式＝|x＋2|＝Error!x2－2x＋1x2＋6x＋9(2)已知－3<x<3，求－的值．(x－1)2(x＋3)2解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝Error!延伸探究　在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？(x－1)2(x＋3)2解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.n an n a反思感悟　正确区分与()nn an n an(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．n a n a(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．跟踪训练1　化简下列各式：7(－2)7(1)；(2)＋；(π－4)23(π－4)3(3)(a ≤1)；4(3a －3)4(4)＋；3a 34(1－a )4解　(1)＝－2.7(－2)7(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(π－4)23(π－4)3(3)∵a ≤1，∴＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .4(3a －3)4(4)＋＝a ＋|1－a |＝Error!3a 34(1－a )4二、分数指数幂问题3　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a >0，是3a 24a 23a 59a 3否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示　＝，＝＝，＝，＝＝.3a 223a 4a 224a 12a 3a 553a 9a 339a 13a 知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na nam (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；1m nm naa-=1nam (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数m na mn 指数幂总表示正数，而不是负数．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．拓展：①＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )．②r ＝(a >0，r ，s ∈Q )aras (a b )arbr 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．例2　(1)化简的结果是( )1312527-⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C ．3 D ．53553(2)(a >0)的分数指数幂表示为( )3a ·a A ． B ． C ． D ．都不对12a 32a 34a (3)化简·(a >0)的结果是( )a 3a 2A. B. C. D.3a 6a 71a 6a 6a答案　(1)A (2)A (3)B解析　(1)原式＝＝－1＝.13353⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭(53)35(2)＝＝.3123a ⨯12a (3)原式＝·＝＝.12a 23a 76a 6a 7反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练2　(1)求值：＝________.3－827(2)用分数指数幂表示a ·(a >0)＝________.51a 3答案　(1)－　(2)2325a 解析　(1)原式＝＝＝－.13827⎛⎫- ⎪⎝⎭13323⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭23(2)原式＝a ·＝.35a-25a 三、有理数指数幂的运算性质例3　＝________.(式中的字母均是正数)121121332a b a b ---⎛⎫答案　1a解析　原式＝21111323221566ab aba b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅111155513223666615156666aba b aa ba b--+---⋅⋅===⋅⋅＝a －1＝.1a (2)计算：－－(π－3)0＋.25913827⎛⎫ ⎪⎝⎭1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭解　原式＝－－1＋2＝2.5323反思感悟　关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．跟踪训练3　(1)－(－2)0－＋－2；12124⎛⎫ ⎪⎝⎭23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭(32)(2)(x ，y >0)．1411333442236x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解　(1)原式＝－1－＋2＝－1－＋＝.12232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦23332-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(23)32494912(2)原式＝.()()14113233442236xyxy -+++⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)分数指数幂的运算性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：(1)对于，当n 为偶数时，a ≥0.na(2)混淆()n 和.na nan1．()4运算的结果是( )42A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定答案　A 解析　()4＝2.422．若a <，则化简的结果是( )14(4a －1)2A ．4a －1 B ．1－4a C ．－ D ．－4a －11－4a答案　B解析　∵a <，14∴4a －1<0，∴＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .(4a －1)23．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(－1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6a 答案　A解析　A 项，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项正确；B 项，(－a 2)3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 项错误；C 项，当a ＝1时无意义，故C 项错误；D 项，(－a 2)3＝－a 6，故D 项错误．4．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.(－12)12116-⎛⎫⎪⎝⎭答案　－4解析　原式＝×16－4÷1－－114(14)＝4－4－4＝－4.课时对点练1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A. B. C. D.4a 25a 5－a 4a答案　D解析　当a <0时，a 的偶次方根无意义．2．若＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )a －2A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案　B解析　由题意可知Error!∴a ≥2且a ≠4.3．化简(其中a >0，b >0)的结果是( )3(8a －327b 3)4A. B ．－ C. D ．－2a 3b 2a 3b 1681a 4b 4181a 4b 4答案　C解析　＝＝4＝.3(8a －327b 3)44333323a b -3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2a －13b)1681a 4b 44．下列等式一定成立的是( )A ．＝a B ．＝03132a a ⋅1122a a ⋅C ．(a 3)2＝a 9 D ．113126a a a÷=答案　D解析　同底数幂相乘，指数相加，故A ，B 错误；因为(a m )n ＝a mn,3×2＝6，故C 错误；同底数幂相除，指数相减，故D 正确．5．若a >0，将表示成分数指数幂，其结果是( )a 2a ·3a 2A ． B ． C ． D ．12a 56a 76a 32a 答案　C解析　由题意得＝＝.a 2a ·3a 211223a--76a 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－＝x 12()x -B.＝(y >0)6y 213yC ．＝(x >0)34x-4(1x )3D ．＝(x >0)3412x 答案　BCD解析　A 项错误，－＝(x ≥0)，而＝(x ≤0)；x 12x -12()x -－x B 项正确，＝(y >0)；6y 213y C 项正确，＝(x >0)；33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭4(1x )3D 项正确，(x >0)．313124342x x ⨯⨯==7．当x <0时，x ＋＋＝________.4x 43x 3x 答案　1解析　原式＝x ＋|x |＋＝x －x ＋1＝1.xx 8．方程3x －1＝的解是________．19答案　x ＝－1解析　3x －1＝＝3－2⇒x －1＝－2⇒x ＝－1.199．化简下列各式：(1)＋；(5－3)2(5－2)2(2)＋(x ≥1)．(1－x )2(3－x )2解　(1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.(5－3)2(5－2)25555(2)当1≤x <3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋3－x ＝2；(1－x )2(3－x )2当x ≥3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋x －3＝2x －4.(1－x )2(3－x )2所以原式＝Error!10．(1)化简：(a >0，b >0)；211511336622263a b a b a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求值：0＋2－2×－0.010.5.(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭解　(1)211511336622263a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2×(－6)×211115326236(3)ab+-+-.5336ab =(2)0＋2－2×－0.010.5(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋×141122419100⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋×－1423110＝1＋－＝.16110161511．若有意义，则x 的取值范围是( )()3412x --A ．R B.∪(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(12，＋∞)(－∞，12)答案　D 解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <.1212．已知m 10＝2，则m 等于( )A. B ．－ C. D ．±102102210102答案　D解析　∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±.10213．化简·的结果为( )－a 3a A ． B ． C ． D ．25a -()56a --()56a -56a -答案　B解析　原式＝.()()()115236a a a --⋅-=--14．如果45x ＝3,45y ＝5，那么2x ＋y ＝________.答案　1解析　由45x ＝3，得(45x )2＝9.又45y ＝5，则452x ×45y ＝9×5＝45＝451，即452x ＋y ＝451，∴2x ＋y ＝1.15．化简：(＋)2 021·(－)2 021＝________.3232答案　1解析　原式＝[(＋)·(－)]2 021＝12 021＝1.323216．若a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，＋＋＝0，求abc .1x 1y 1z 解　设a x ＝b y ＝c z ＝k ，则k >0，a ＝，b ＝，c ＝，1xk 1yk 1zk 因此abc ＝＝k 0＝1.111111yx y zxzk k k k++=。

第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。

例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。

第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。

第二章 根式与分数指数幂背景在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：n a 和N a log ，教材中是通过实例引入并给出定义：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

如果)1,0(≠>=a a N a x ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。

当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。

至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。

“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？ 解决策略 当我们重新回忆“2”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。

如果设这个数为x ，既然21x x =，推导的结果即22=x 。

他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理211222=+=x ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。

可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了2，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。

那么，“2”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：2是一个数，它的平方等于2！由此，“n a ”也是一个数，它的n 次方等于a ！更进一步，N a log 是什么呢？由N a x =知N aN a =log ，故N a l o g 也是一个数（对数），a 的N a log 次方等于N 。

如此，则n a 及N a log 便不难理解了。

于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。