求一个3×3矩阵对角线元素之和。

线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵1. 矩阵乘法如果矩阵 B 的列为 b 1,b 2,b 3，那么 EB 的列就是 Eb 1,Eb 2,Eb 3。

EB =E [b 1b 2b 3]=[Eb 1Eb 2Eb 3]E (B 的第 j 列)=EB 的第 j 列置换矩阵（permutation matrix ）在消元的过程中，如果遇到了某⼀⾏主元的位置为 0，⽽其下⾯⼀⾏对应的位置不为 0，我们就可以通过⾏交换来继续进⾏消元。

如下的矩阵 P 23 可以实现将向量或者矩阵的第 2 、 3 ⾏进⾏交换。

P 23=10000101100001010135=15310000101241003065=24106503置换矩阵 P ij 就是将单位矩阵的第 i ⾏和第 j ⾏进⾏互换，当交换矩阵乘以另⼀个矩阵时，它的作⽤就是交换那个矩阵的第 i ⾏和第 j ⾏。

增⼴矩阵（augmented matrix ）在消元的过程中，⽅程两边的系数 A 和 b 都要进⾏同样的变换，这样，我们可以把 b 作为矩阵 A 的额外的⼀列，然后，就可以⽤消元矩阵E 乘以这个增⼴的矩阵⼀次性完成左右两边的变换。

E [A b ]=[EA E b ]100−2100124−2249−38−2−3710=24−220114−2−3710矩阵乘法的四种理解如果矩阵 A 有 n 列， B 有n ⾏，那么我们可以进⾏矩阵乘法 AB 。

假设矩阵 A 有 m ⾏ n 列，矩阵 B 有 n ⾏ p 列，那么 AB 是 m ⾏ p 列的。

(m ×n )(n ×p )(m ×p )m ⾏n 列n ⾏p 列m ⾏p 列矩阵乘法的第⼀种理解⽅式就是⼀个⼀个求取矩阵 AB 位于 (i ,j ) 处的元素(AB )ij =A 的第 i ⾏与 B 的第 j 列的内积=∑a ik b kj第⼆种理解，矩阵 AB 的列是 A 的列的线性组合AB =A [b 1b 2⋯b p ]=[Ab 1Ab 2⋯Ab p ]第三种理解，矩阵 AB 的⾏是 B 的⾏的线性组合[][][][][][][][][][][][][]AB=a1a2⋮a mB=a1Ba2B⋮a m B第四种理解，矩阵AB是所有A的列与B的⾏的乘积的和AB=[a1a2⋯a n]b1b2⋮b n=n∑i=1a i b i其中，⼀列乘以⼀⾏称为外积（outer product），(n×1)(1×n)=(n, n)，结果为⼀个 n×n 的矩阵。

C语言编程题练习(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数）。

2.用选择结构的嵌套实现：判断一个数是否同时是5和7的倍数3.在给定的含n（不超过100）个整数的数组中查找某个数m，若找到则打印在数组中第几个元素，若不在该数组中则打印“无此数”。

4.编程判断输入的正整数是否既是5又是7的整倍数。

若是，输出yes，否则输出no。

5.歌唱比赛有10个评委，分别给出1~100分，除去一个最高分，再除去一个最低分，剩余8个人的给分的平均值作为选手的最终得分。

请编写该程序。

6.输入一个正整数n(1<n<=10),再输入n个整数,输出最大值及其下标（设最大值唯一，下标从0开始）。

要求使用数组实现。

7.编程求1+（1+2）+…+（1+2+…+n),n的值由键盘输入。

要求使用for语句实现8.输入一个字符，判断它是否是小写字母，是小写字母，则将它转换成大写字母，如果不是，则不转换，然后输出所得到字符。

9.输入1个整数，判断该数是奇数还是偶数10.从键盘输入10个整数，统计其中正数、负数和零的个数，并在屏幕上依次输出。

要求必须使用while语句。

11.用数组实现以下功能：输入5个学生成绩，而后求出这些成绩的平均值并显示出来。

12.从键盘接收一个字符，如果是字母，输出其对应的ASCII码，如果是数字，按原样输入，否则给出提示信息“输入错误！”。

13.在给定的含n（不超过100）个整数的数组中查找某个数m，若找到则打印在数组中第几个元素，若不在该数组中则打印“无此数”。

14.编写一个程序，能够实现当从键盘输入x和y时，求出xy的结果。

15.定义一个菜单，用switch结构显示选择的菜单项16.从键盘输入正整数n，输出1+1/3+1/5+1/7+…前n项的和.(输入的n<=10)17.从键盘接收三个整数，分别存在变量x,y,z中。

编程输出最大数。

计算机程序设计基础（C语言）编程练习题及参考答案1.输入2个整数，求两数的平方和并输出。

#include <stdio.h>main(){ intt a ,b,s;printf("please input a,b:\n");scanf("%d%d”,&a,&b);s=a*a+b*b;printf("the result is %d\n",s);}2. 输入一个圆半径（r）当r>＝0时，计算并输出圆的面积和周长，否则，输出提示信息。

#include <stdio.h>#define PI 3.14 <stdio.h>main(){ float r ,s , l;printf("please input r:\n");scanf("%f”,&r);if (r>=0){s=pi*r*r;l=2*i*r ;printf("the area is %f\n",s);printf("the circumference is %f\n",l);}elseprintf("input error!\n");}3、函数y=f(x)可表示为：2x+1 (x<0)y= 0 (x=0)2x-1 (x>0)编程实现输入一个x值，输出y值。

main(){int x,y;scanf(“%d”,&x);If(x<0)y=2*x+1;If(x>0)y=2*x-1;If(x==0) y=0;prin tf(“%d”,y);}4、编写一个程序,从4个整数中找出最小的数,并显示此数。

main( ){int a,b,c,d,t;scanf (“%d,%d,%d,%d ”,&a,&b,&c,&d);if (a>b){t=a; a=b; b=t;}if (a>c){t=a; a=c; c=t;}if (a>d){t=a; a=d; d=t;}pri ntf (“m in = %d \n”,a);}5．有一函数当x<0时y=1，当x>0时，y=3，当x=0时y=5，编程，从键盘输入一个x值，输出y值。

1、输入一个字符，判断它是否是大写字母，如果是，将它转换成小写字母；如果不是，不转换。

然后输出最后得到的字符。

#include<stdio.h>int main(){char c1;printf("input a latter:\n");scanf("%c",&c1);if(c1>='A'&&c1<='Z')c1=c1+32;printf("%c",c1);return 0;}2、输入一行字符，分别统计出其中英文字母、空格、数字和其他字符的个数。

#include<stdio.h>int main(){char c;int letters=0,space=0,digit=0,other=0;printf("Please input letters:\n");while((c=getchar())!='\n'){if(c>='a'&&c<='z'||c>='A'&&c<='Z')letters++;else if(c>='0'&&c<='9')digit++;else if(c==' ')space++;elseother++;}printf("字母数:%d\n数字数:%d\n空格数:%d\n其他字母数:%d\n",letters,digit,space,other);return 0;}3、编写一个函数，求数列1+1/2+1/3+1/4+1/5+...1/n，利用主函数调用这个函数并输出结果。

#include<stdio.h>int main(){int n;float c;float sum(int n);scanf("%d",&n);c=sum(n);printf("%f\n",c);float sum(int n){int i;float sum=0.0;for(i=1;i<=n;i++)sum=sum+1.0/i;return sum;}4、输入一个字符，判断它是否是小写字母，如果是，将它转换成大写字母；如果不是，不转换。

三阶矩阵求逆公式三阶矩阵是一个3行3列的矩阵，可以表示为：A=[a₁₁a₁₂a₁₃][a₂₁a₂₂a₂₃][a₃₁a₃₂a₃₃]要求矩阵A的逆矩阵A⁻¹，需要满足以下条件：A×A⁻¹=I其中I是单位矩阵。

也就是说，当A乘以A⁻¹时，结果应该是一个单位矩阵。

单位矩阵是一个对角线上的元素都是1，其余元素都为0的矩阵：I=[100][010][001]接下来，我将介绍三阶矩阵求逆的步骤。

步骤1：计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)。

伴随矩阵adj(A)是由矩阵A的每个元素的代数余子式构成，代数余子式的定义如下：若M是一个3×3矩阵，M(i,j)表示矩阵M的元素aij则M(i,j)的代数余子式ij为：(-1)^(i+j) × Δij其中Δij是元素M(i,j)的伴随矩阵det(M(i,j))。

adj(A) = [A11 A21 A31][A12A22A32][A13A23A33]步骤2：计算矩阵A的行列式det(A)。

行列式的计算公式为：det(A) = A11 × (A22A33 - A23A32) -A12×(A21A33 - A23A31) + A13×(A21A32 - A22A31)。

步骤3：计算A的伴随矩阵adj(A)的转置adj(A)ᵀ。

将伴随矩阵adj(A)的行变为列，得到adj(A)的转置adj(A)ᵀ。

adj(A)ᵀ = [A11 A12 A13][A21A22A23][A31A32A33]步骤4：计算逆矩阵A⁻¹。

逆矩阵的计算公式为：A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)ᵀ。

至此，我们完成了三阶矩阵求逆的步骤。

需要注意的是，如果矩阵A的行列式det(A)等于0，那么矩阵A是不可逆的。

在求解逆矩阵的过程中，我们需要先计算行列式，若行列式为0，则无法继续求逆矩阵。

习题五--数组⼀、A类程序设计题1、求⼀个4x4矩阵对⾓线元素之和。

2、⽤数组的⽅法求Fibonacci数列的值(要求输出前20个数)。

3、将⼀个3x4矩阵转置(⾏列互换)存放。

4、将⼀个数组中的数按逆序存放，例如原来的顺序为8，7，6，4，2，要求改为2，4，6，7，8。

5、⽤选择法对10个整数进⾏降序排序。

6、⽤冒泡法对10个整数进⾏升序排序。

7、编写⼀个简单程序，要求：（1）从键盘上输⼊8个整数放⼊数组a[8]中（⽤for循环实现）；（2）求出数组元素的最⼤值及数组的平均值。

8、求3×4矩阵中每⼀列元素的最⼤值并输出。

9、求4×4矩阵中每⼀⾏元素的最⼩值并输出。

10、某班有30个学⽣，进⾏了数学考试，编写程序将考试成绩输⼊⼀维数组，并求数学的平均成绩及不及格学⽣的⼈数。

11、有⼀个3x4矩阵，求出最⼤元素，以及其所在的⾏号和列号。

12、从键盘上输⼊10个实数，然后按输⼊顺序的逆序输出这10个数。

13、从键盘输⼊10个整数，找出其中最⼤值和最⼩值。

14、输⼊10个学⽣的姓名、学号和成绩，将其中不及格者的姓名、学号和成绩输出。

15、输⼊字符串 s，统计出 s 中共出现了多少个数字字符。

⼆、B类程序设计题1、对⼀个已按由⼩到⼤排好顺序的整型数组，若从键盘输⼊⼀个数x，现要查询该数是否在此整型数组中，若存在则删除该数，否则显⽰“不存在”信息。

2、对⼀个已按由⼩到⼤排好顺序的整型数组，若从键盘输⼊⼀个数x，现要将该数插⼊到该数组中，使其插⼊后整个数组排序规律不变。

3、编写⼀程序，要求从键盘上输⼊10个整数放⼊⼀个数组中（⽤for循环实现），并编写求最⼤值的函数max，在主程序调⽤这个函数实现输出数组中10个整数的最⼤值，要求⽤数组名作为函数参数。

4、输⼊⼀个4⾏4列的⼆维数组，编程实现：(1) 求出其中的最⼤值和最⼩值及其对应的⾏列位置；(2) 求出对⾓线上各元素之和。

5、⽤筛选法求100之内的素数。

行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。

以下是行列式计算方法和技巧的大总结。

1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。

2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。

3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。

行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。

当进行行变换时，行列式的值保持不变。

4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。

5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。

展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。

6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。

这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。

7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。

克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。

具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。

8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。

具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。

矩阵迹的概念1. 概念定义矩阵的迹（trace）是指一个方阵（即行数和列数相等的矩阵）对角线上元素的和。

对于一个n×n的方阵A，其迹记作tr(A)，计算方式为tr(A) = a11 + a22 + …+ ann，即将A的对角线上的元素相加得到的值。

2. 重要性矩阵迹在线性代数和矩阵理论中具有重要的地位和作用，它有以下几个重要性：2.1 表征矩阵的性质矩阵迹可以用来表征矩阵的一些重要性质。

例如，对于一个对称矩阵，其迹是矩阵的特征值之和。

这意味着通过计算矩阵的迹，我们可以获得一些关于矩阵特征值的信息，从而对矩阵的性质进行分析。

另外，矩阵的迹还可以用来判断矩阵的相似性。

两个矩阵A和B相似的充要条件是它们的迹相等，即tr(A) = tr(B)。

2.2 矩阵运算的性质矩阵迹具有一些有用的运算性质。

例如，对于任意两个矩阵A和B，有tr(A + B) = tr(A) + tr(B)，tr(kA) = k * tr(A)，其中k是一个常数。

这些运算性质使得矩阵迹在矩阵计算中具有一定的便利性，可以简化计算过程。

2.3 矩阵的不变性矩阵迹在矩阵相似变换下具有不变性。

即对于一个矩阵A和它的相似变换矩阵P，有tr(P^(-1) * A * P) = tr(A)。

这个性质在矩阵相似变换的研究中起到了重要的作用，可以简化相似变换的计算过程。

2.4 应用于矩阵的迹矩阵迹在很多应用领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：2.4.1 特征值分析矩阵迹可以用来计算矩阵的特征值之和，从而对矩阵的特征值进行分析。

在物理学、工程学和计算机图形学等领域，特征值分析是一种常用的方法，用于解决一些关于系统稳定性、振动模态、图像处理等问题。

2.4.2 矩阵相似性判断矩阵迹可以用来判断两个矩阵是否相似。

在机器学习和模式识别中，相似性判断是一个重要的问题，矩阵迹提供了一种简单有效的判断方法。

2.4.3 矩阵的压缩表示对于一个稀疏矩阵（即大部分元素为零的矩阵），可以利用矩阵迹的性质进行压缩表示。