三次样条插值函数PPT课件

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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！Βιβλιοθήκη 61详细讲解三次样条插值法及 其实现方法
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1

p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1

f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]

(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;

样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)

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2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj

(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(

(1 ≤ x ≤ 2 ) ( 2 ≤ x ≤ 4) (4 ≤ x ≤ 5)
三次样条/ 三次样条 Cubic Spline /插值 插值
邹昌文
三次样条函数的定义
设在xoy平面上给定 n + 1个有序点( x0 , y0 ) ⋯ ( x n , yn ), 其中x0 < x1 < ⋯ < x n , 要求构造 一个函数 S ( x )使其满足条件 1. S ( x i ) = yi ( i = 0,1,⋯ n)
∧
已知的函数值如下： 例.已知的函数值如下：
x f (x)
1 1
2 3
4 4
5 2
在区间[1,5]上求三次样条插值函数S(x),使它满足 在区间[1,5]上求三次样条插值函数S(x),使它满足 S(x), 边界条件 S ′′(1) = 0, S ′′( 5) = 0 这是在第二种边界条件下的插值问题， 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，由已知 ′ 边界条件, 边界条件,有 S′′( x0 ) = y0′ = M0 = 0, S′′( x3 ) = y′′ = M3 = 0 3 则得求解 M 1 , M 2 的方程组为
这时： 0 = 0 , g0 = 2 y0′ ; µn = 0 , gn = 2 y′′ 这时： ′ λ n 特别地， 称为自由边界 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 / free boundary /，对应的样 ， 条函数称为自然样条 。 条函数称为自然样条 / Natural Spline /。 第3类边条件 / periodic boundary / ： 类边条件 µ M g 2 λ 周期函数时 当 f 为周期函数时，
2 λ1 M1 g1 − µ1 y0 '' 6 f [ x0 , x1 , x2 ] − µ1 y0 '' µ 2 M = g − λ y '' = 6 f [ x , x , x ] − λ y '' 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3

hk hk 1
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k 0,1,2
小结
1 x3 3 x2 7 x 1
8 8 4
1 x2
S(x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
3 x3 45 x2 103 x 33
88
4
2x4 4x5
f (3) S(3) 17 4
最后，介绍一个有用的结果
定理 . 设f (x)C2[a,b],S(x)是以xk (k 0,1,,n)
m2 m3
g0 g1 g2
g3
解方程组得：m0
17 8
, m1
Байду номын сангаас
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
将上述结果代入(10)式
S0 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
S1 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
1 x 2 2x4
S2(x)
3 8
x3
45 8
x2
103 4
x
33
4x5
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。

Ai
1 hi
y i 1
1 6
M
h2
i1 i
,
Bi
1 hi
yi
1 6
M
i
hi2
将其代入（5.31）即得
第8页，共38页。
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
yi1
M i1 6
hi2
(xi hi
x)
yi
Mi 6
hi2
(x
xi1) hi
)
将
x0
1, x1
2, y0
1, y1
3, h1
1, M 0
0, M1
3 4
代入上式化简后得
S1 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
同理S(x)在 x1 , x2 上的表达式为
S2 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
第20页，共38页。
S(x)在 x2 , x3 上的表达式为
S3 (x)
S i( x)
M i1
xi x xi1 xi
Mi
x xi1 xi xi1
记 hi xi x，i1 则有
S i( x)
M i1
xi x hi
Mi
x xi1 hi
第7页，共38页。
连续两次积分得
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
Ai (xi
y0
M 0
h1 2
y1 y0 h1
h1 6