三次样条插值课件

三次样条。
三、三次样条插值函数的构造
记 S'' ( x j ) M j ( j 0,1,, n) , f (xj ) yj
表达式S ( x ),由于S ( x )在区间 [ x j , x j 1 ]上是三次多项式，
故 : S' ' ( x )在[ x j , x j 1 ]上是线性函数，
第二型边界条件： 已知f(x)在两端点的二阶导数 f (a )和f (b)要求 S″(a)=M0 = f″(a) , S″(b)=Mn= f″(b) 特别当 S″(a)= S″(b) =0时，S(x)称为自然三次样条
三次样条插值函数的构造
第三型边界条件：
已知f(x)是以b -a为周期的周期函数 ，要求S(x)满足 周期条件
' 0
hn1 yn yn1 hn1 S ( b ) y Mn ( M n M n 1 ) 2 hn1 6
' n
6 y1 y0 令 2 M M ( y ' ) c0 0 1 0 化简得 h0 h0 令 M 2 M 6 ( y' y n y n 1 ) cn n 1 n n hn1 hn1
供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同
要求。
二、三次样条函数的概念
设y = f(x)在点 x0，x1，x2, xn的值为y0，y1，y2, yn，若函数S(x)满足下列条件 （1）S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,,n (1.1) （2）在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上S(x)是 三次多项式，记为 （3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。 则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数, 简称
插值法
第五节 样条插值法
样条插值的研究背景 样条函数的力学意义 三次样条插值多项式的构造 一般的插值问题
样条插值的研究背景
一、拉格朗日(Lagrange) 插值
用基函数法构造: ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( x ) , i 0,1 n ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
1
2
2

n 1
三次样条插值函数的构造
上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi， 故还需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边 界条件 第一型边界条件： f f (a ) f (b) ,要求 已知f(x)在两端点的导数
S (a ) f (a ), S (b) f (b)
y j 1 y j hj M j 1 M j 6 hj x [ x j , x j 1 ]
由S(x)在节点的一阶导数的连续性
S ( x j 0) S 'j ( x j 0) S ' ( x j 0) S 'j 1 ( x j 0) ( j 1,2,, n 1)
3
分别代入： S ( x j ) y j 及S ( x j 1 ) y j 1得：
三次样条插值函数的构造
( x j 1 x j ) 3 C1 x j 1 C 2 y j 1 M j 1 6h j 3 ( x x ) j j 1 y M C1 x j C 2 j j 6h j 化简得： 2 hj C1 x j 1 C 2 y j 1 M j 1 6 2 hj yj M j C1 x j C 2 6
)
h j 1 h j
( j 1,2, , n 1)
n+1个方程n－1个未知量！
三次样条插值函数的构造
h j 1 , j j j h j 1 h j y j 1 y j y j y j 1 令 c j 6( )( h j 1 h j ) 1 hj h j 1 f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j ] 6 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ] ( x j x j 1 ) ( x j 1 x j )
S j'( x) M j 1 2h j
x xj hj
2
Mj
Mj 2h j
x x j 1 hj
积分得：
2
(x xj )
( x x j 1 ) C1
再次积分得：
S j ( x)
M j 1 6h j
(x xj )
3
Mj 6h j
( x x j 1 ) C1 x C 2
n=6
取等距节点做n次 Lagrange插值多项式。 当节点无限加密时， 插值多项式出现振荡现 象。
称为龙格Runge现象。
分段线性插值
三、分段插值


x0
xj-1
xj
xj+1
xn
分段线性插值（低次多项式插值），误差小， 整体逼近效果好，但曲线光滑性差。
Hermite插值
四、 Hermite插值
(1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 次数不超过m的多项式; (2) S(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称S(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1， x2, 称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为 边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数
一般插值函数的不足
插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 从而导数不连续。 而一些实际问题,不但要求一阶导数连续, 而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不
不能满足实际需要。
一、样条函数的概念
设S(x)是区间[a,b]上的函数,在区间[a,b]上给定一 组节点: a=x0<x1<x2<<xn=b 若S(x)满足条件
由Lagrange插值公式得： x xj x x j 1 S j ' ' ( x ) M j 1 Mj x [ x j , x j 1 ] hj hj 其中： h j x j 1 x j
以节点处的二阶导数M为参数的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造
对 S j ' ' ( x ) M j 1
得：
M j 1 6h j
(x xj )
3
MjБайду номын сангаас6h j
( x x j 1 ) 3 C1 x C 2
三次样条插值函数的构造
S j ( x ) M j 1 ( yj M j hj 6
(x xj ) 6h j )
3
Mj
( x x j 1 ) 6h j
三次样条插值函数的构造
联立方程组：
M 2 M M c ( j 1,2, , n 1) j j 1 j j j 1 j 6 y1 y0 令 2 M M ( y ' ) c0 0 1 0 h0 h0 y n y n 1 6 令 M 2 M ( y ' ) cn n 1 n n hn1 hn1
3
2
x x j 1 hj
( y j 1
M j 1h j 6
2
)
x xj hj
第j个区间上的三次样条插值函数
三次样条插值函数的构造 因此，只要能求出所有的{M i}，就能求出样
条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法 2 2 ( x x ) ( x x ) j j 1 ' S j ( x ) M j 1 Mj 2h j 2h j
带导数的插值 插值问题的较高要求：
(1) ( 2)
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) ' ( x i ) y i' ( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。 但实际问题中，导数值往往很难获得！
S (a ) S (b), S (a ) S (b ), S (a ) S (b )
三次样条插值函数的构造
(1)若S ( x )满足：S ' (a ) y'0 , S ' (b) y'n 则代入S ' ( x )的表达式可得：
h0 y1 y0 h0 则 S ( a ) y M 0 ( M1 M 0 ) 2 h0 6
可得： j M j 1 2 M j j M j 1 c j
( j 1,2,, n 1)
称为三次样条的M关系式
特点：n+1个未知数，n-1个方程 称为三弯矩方程
三次样条插值函数的构造
方程组可写成矩阵形式 如下
1 2 2 (1) M 0 M 1 c1 M c 2 2 2 n 1 M n 1 c n 1 M n
样条插值
取插值函数为样条函数的插值称为
样条插值
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工 具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相 近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之
成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样
条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提
三次样条插值函数的构造 由上式可解出：
C1 y j 1 hj hj 6 M j 1 hj