当前位置：文档之家 › 三次样条插值知识讲解

三次样条插值知识讲解

  • 格式：ppt
  • 大小：920.00 KB
  • 文档页数：36

下载文档原格式

  / 36

合集下载

三次样条插值的方法和思路

三次样条插值的方法和思路

三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。

插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。

本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。

一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。

它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。

二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。

1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。

分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。

2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。

通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。

三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。

3.4三次样条插值

3.4三次样条插值

3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1

三次样条插值

三次样条插值

0)
s(xn 0) s(xn 0)
三弯矩插值法
x xi,
x i+1
s”(x) M i , M i+1
记Mi = s″(xi), f(xi)= yi ,考虑它在任一区间[xi, xi+1]上的形式. 根据三次样条的定义可知 , s(x)的二阶导数 s ″(x)在每一个子区
间[xi, xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数.
2 6
M
i
)(xi1
xi
)
(1)
同理在[xi1, xi ]上讨论得
s(xi )
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
1 ( 6 M i1
2 6
M i )(xi1
xi )
yi xi
yi1 xi1
(2) (n 1)内节点处连续及光滑性条件：
s(x s( x
j j
0) 0)
s(x j 0) s(x j 0)
j
1,2,...,n
1
s(x j 0) s(x j 0)
对于待定系数a j ,bj , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，
而插值条件为4n 2个，还缺两个，因此须给出两个 条件称为边界条件，有以下三类：
——分段三次插值多项式
分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点 (衔接处)不光滑,即导数不连续。
实际应用中，如机翼设计、船体放样等往往要求有二阶光滑度， 即二阶连续导数。早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条 （所谓样条SPLINE ）用压铁固定在样点上，其它地方让其自 由弯曲，然后画下曲线（称为样条曲线），它实际上是由分段 多项式光滑连接而成，在样点上要求二阶连续可导。

第5章-3三次样条插值解析

第5章-3三次样条插值解析

0 x
( x 3)3 ,
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．



2( x 1)3 ,
3
x,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x 2 0 x 1 S ( x) 3 2 ax bx cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= 解：1）由 , b= , c=
p j ( x), x j x x j 1

p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
pn ( x), xn x
s(x)是m次样条的充要条件应为 p0 ( x) a0 a1x am xm ,
பைடு நூலகம்
p1 ( x) p0 ( x) c1 ( x x1 )m ,
已知 f(x0)=f(xn) 确定的周期函数。
例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间[-1,1]上的
三次自然样条插值多项式。 解：这里n=2区间[-1,1]分成两个子区间，故设
S ( x)
且

s0 ( x) a0 x3 b0 x2 c0 x d0
1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个
边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比 分段Lagarnge插值更光滑。
2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有
插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处 二阶导函数一般不连续。
下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。 一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x) ，若用待定系数法， 可写成 S3 ( x) ai x3 bi x2 ci x di x xi , xi1 i 0, 1, , n 1 其中 ai, bi, ci, di 为待定系数，共有4n个。按定义s3(x)应满足： （1）插值条件n+1个： S ( xi ) yi i 0, 1, , n 连续性条件n-1个：S ( xi 0) S ( xi 0) i 0, 1, , n 1 （2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：

三次样条插值算法详解知识讲解

三次样条插值算法详解知识讲解

mn
Mn
18
稍加整理得
2m0m13y1h0y0h20M0 g0 m n12m n3ynh n y 1n1hn 21M n gn
联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组， 化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优
2 1
1
2
1
m0 m1
g0 g1
2 2 2
3 2
m 2 g2
x [ x i,x i 1 ]h i, x i 1 x i,i 0 , 1 , ,n 1
( x ) ( 2 x 1 )x ( 1 ) 2 ,1 ( x ) x ( x 1 ) 2 12
对Si(x)求二阶,导 并数 整理后得
Si(x)6(xix hii3 12x)(yi1yi) 6 x 2 x h ii2 4 x i 1m i6 x 4 x h ii2 2 x i 1m i 1
3
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
4
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
6
第三类又称周期边界条件： 由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出
s3 (x0 0) s3 (xn 0)
s3
(
x0
0)
s3 ( xn
0)
s3(x0 0) s3(xn 0)
这样三次样条插 值问题就分成三 类！其实不止这
三类!
7
样条函数的例子
容易验证： (11x326x215x)15 0x1

详细讲解三次样条插值法及其实现方法

详细讲解三次样条插值法及其实现方法
1
样条函数的定义 定义4.1 设区间[a,b]上给定一个节点划分
a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
x [xi , xi1], hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
(x) (2x 1)( x 1)2,1(x) x(x 1)2 13
对Si (x)求二阶导数 ,并整理后得
Si( x)
6( xi
xi 1 hi3
2x)
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续 可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处 的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0), i 1,, n 1
S(x)
y ( xxi i 0 hi
)
y ( ) m h ( xi1x i1 0 hi
( yn
yn 1 )
2 hn1
(mn1
2mn )
立即可得下式：
21
其中：
nm1 nmn1 2mn gn
n
h0
h0 hn1
, n
hn1 h0 hn1
1 n
gn
3 n
y1 y0 h0
n
yn
yn1 hn1
联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
2 1
1
1
2

数值分析三次样条插值

数值分析三次样条插值


0
2
1



n1
1
n2
2 n1
M d 0
MM dd n2 M d 2


1 1 2 2
n1 n1 n n
di f xi2, xi1, xi
华长生制作
7
2、 三弯矩构造法
三次样条插值函数 S( x) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
值S( xi) Mi (i 0,1,, n)
Mi
xi
表示时，使用更方便。 在力学上解释
为细M梁i 在 S处( x的) 弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故
称用由于表S(示x)在区间的算[x法i , x为i三1](弯i 矩0,算1,法,。n 1) 上是三次多项式，
hn
n1 3
Mn

f
x0 , x1 f
xn1, xn
其中
0

h1 h1h n
1
0 ,
hn , 0 hnh0
d1

6(
f
[
x
,
0
x1]
f
x[ , n1
x
n])(h1
h
n)
1
.
可解出 M i (i 0,1,, n) ，方程组的矩阵形式为
2
hi
min hi
,M4
max x[a,b]
f (4) (x)
1in
华长生制作
16
精品课件！
精品课件！
可见S(x), S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x), f (x)和f (x)

三次样条插值算法详解

三次样条插值算法详解
局限性
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。

2[1].7三次样条插值

2[1].7三次样条插值
确定S ( x )必须确定4n个待定的系数的条件正好也是4n个
即
lim S ( x ) = lim S ( x ) lim S ′ ( x) = lim S ′ ( x) = m lim S ′′( x) = lim S ′′ ( x) S ′( x ) = f ′ S ′( x ) = f ′ 或
将(13)式化为矩阵形式
2 λ2
µ1 λ3
2
µ2 λ4
2
µ3
2 O O O
λn − 2
λn − 1
O 2
m1 g 1 − λ1 f 0′ m2 g2 g3 m3 M = M M M µ n − 2 mn − 2 gn−2 2 mn − 1 g n − 1 − µ n − 1 f n′
共4 n − 2个条件
′ ′ lim S k′( x ) = lim S k′− 1 ( x ) + −
S k ( x )是[ xk , xk + 1 ]上的三次样条插值多项式, 应有4个待定的系数 即要确定S ( x )必须确定4n个待定的系数
少两个条件
并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件: 第二类(二阶)边界条件 第三类(周期)边界条件
f(x) H(x) S(x)
二、三次样条插值多项式
a ≤ x0 , x1 ,L , xn ≤ b为区间[ a , b ]的一个分割 如果函数f ( x )在节点x0 , x1 ,L , xn处的函数值为
f ( x j ) = y j , j = 0 ,1,L , n 如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数, 则其必满足

三次样条插值法原理

三次样条插值法原理

三次样条插值法原理
1.数据准备：首先需要准备一组给定的数据点，这些数据点一般是用来描述曲线的离散点。

2.分段拟合：将整个曲线分成若干小段，在每个小段内利用三次多项式进行拟合。

首先需要选择一个插值函数，常用的有自然边界条件和固定边界条件。

自然边界条件要求在两个端点处的二阶导数为0，固定边界条件要求曲线在两个端点处预先给定斜率。

3. 插值多项式：在每个小段内，采用三次多项式进行拟合。

三次多项式的形式为：S(x) = a0 + a1(x-xi) + a2(x-xi)^2 + a3(x-xi)^3，其中a0、a1、a2、a3是待求的系数，xi是小段的起点。

4.网格生成：通过如B样条和调和插值等技术生成均匀网格，用于计算插补值。

5.网格递推：利用已知的数据点和边界条件，通过求解线性方程组，递推求解出每个局部区间内的系数。

6.连续性要求：在相邻小段之间，需要保持连续性。

这可以通过要求相邻小段的一阶导数和二阶导数相等来实现。

7.插值计算：利用求解出的系数，在每个小段内计算得出插值曲线上的点。

然而，三次样条插值法也存在一些限制和问题。

首先，它要求给定的数据点必须是离散的，无法处理连续的数据流。

其次，曲线的拟合结果完全依赖于给定的数据点。

如果数据点有误差或者不均匀分布，可能会导致插值曲线的误差。

综上所述，三次样条插值法是一种常用的曲线插值方法，通过拟合三次多项式，得到一条平滑的曲线。

它可以应用于各种插值问题，如图像处理、数值分析等领域。

在使用时，需要注意数据点的准确性和分布情况，以获得较好的插值效果。

三次样条插值

三次样条插值

三次样条插值
三次样条插值是插值运算的一种，它具有计算精度高、收敛性好以及曲线拟合准确等特点，是插值运算中最常用的插值方法之
三次样条插值是以曲线为基本元素，把离散点数据连接成一个曲线，并能够在曲线上求出任意点的函数值。

它通过拟合所有离散数据点，来求出一个连续曲线，从而解决了插值法的局限性。

三次样条插值的基本原理是：在离散点的两端，曲线的曲率是零，由此可以计算出曲线的系数，从而得到曲线的表达式，这样就可以得到曲线上任意点的函数值。

三次样条插值的优点在于计算精度高、收敛性好，可以很好地拟合离散数据，并且经过插值后得到的曲线更加平滑，其结果更加可靠。

由于它的优点，三次样条插值得到了广泛的应用，如在统计分析中，用于拟合离散数据；在机械工程中，用于优化加工轨迹；在号处理中，用于滤波等。

总之，三次样条插值是插值运算的一种，它的准确性高，拟合性好，广泛应用于各种领域，是科学研究中的一种重要方法。

三次样条插值要点前面讲过的插值多项式包

三次样条插值要点前面讲过的插值多项式包
8
平面上相邻的四个点 (xi-1 , yi-1 ) , (xi , yi ) , (xi+1 , yi+1 ) , (xi+2 , yi+2 ) 确定区间 [ xi , xi+1 ]上的 一个三次多项式 Pi (x ) ，使得（等距节点情况， 步长为1）：
Pi ( x i )
yi1 4 yi 6
i =Pn (xi ) - yi , i=1,2,….,m 在某种意义下最小。
误差i 实际上是多项式函数的待定系数（n+1个） 的多元函数。
11
（3）例如，可以考察误差函数向量的二范数， 确定待定多项式的各个系数，使其最小。

||
||22

m
| i
|2
i 1
求这一极小值问题，得到拟合多项式，这就是最
的一个线性组合：
( x) a00 ( x) a11 ( x) an n ( x)
则误差函数为
mn
(a0 , a0 ,, an ) | ak ( xi ) yi |2
i1 k0
关于ai (i=0,1,…,n)的极小值问题，要求：

ak
(i 1,2,, n 1)
i

hi1 hi hi1
,
i

hi
hi hi1
1 i
di

3 hi hi1 (hi1
yi
yi1 hi
hi
yi1 yi ) hi1
5
（6）利用节点上的二阶导数值Mi 来表示插值多项式， 需要解关于Mi 的方程组。因为，Mi 在力学上解 释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的 两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。

三次样条插值cubicsplineinterpolation

三次样条插值cubicsplineinterpolation

三次样条插值cubicsplineinterpolation什么是三次样条插值 插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，然后根据得到的曲线进⾏未知位置点函数值预测的⽅法（未知点在上述已知点⾃变量范围内）。

样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使⽤软尺连接两个相邻数据点，以达到连接曲线光滑的效果。

样条插值是⼀种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。

数学上，曲线光滑需要在曲线上处处⼀阶导连续，因此，在节点处需要满⾜⼀阶导数相等。

另外，为了使得曲线的曲率最⼩，要求曲线⼆阶导连续【1】，在节点处需要⼆阶导相等。

三次及以上多项式可以满⾜节点处光滑和曲率最⼩要求，但是次数⾼的曲线容易震荡，因此，就选⽤三次多项式即可。

数学表述 假设有n个已知节点： 函数关系记为：。

在区间中插值多项式曲线：注意，这⾥头曲线为，尾曲线为。

插值在节点处满⾜条件： （1）曲线经过节点： （2）曲线⼀阶导连续（光滑）： （3）曲线⼆阶导连续（曲率最⼩）： 边界条件：对两端节点的约束。

（B1）⾃然(natural (or free))边界条件 （B2）固定(clamped)边界条件 固定⼀阶导数： , 固定⼆阶导数： , （B3）⾮节点边界(not-a-knot ) 要求在第⼆个节点和倒数第⼆个节点，曲线的三阶导也连续：三次多样式函数的计算 样条函数采⽤n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，⼀共是4n-4个参数，因此需要4n-4个⽅程。

条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个⽅程； 条件（2）n-1个曲线相邻⼀阶导连续，提供n-2个⽅程； 条件（3）n-1个曲线相邻⼆阶导连续，提供n-2个⽅程； 以上⼀共是4n-6个⽅程，还需要2个⽅程，这两个⽅程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）每个均提供2个⽅程，这样就凑够了4n-4个⽅程。

三次样条插值

三次样条插值

三次样条插值0 引⾔三次样条插值以构造简单，使⽤⽅便，拟合准确，具有“保凸”的重要性质等特点成为了常⽤的插值⽅法。

⼀般三次样条插值解算过程中通过追赶法求解三弯矩阵，但使⽤计算机求解时会表现出解的精度不⾼的问题，导致其计算结果⽆法应⽤到⼯程实践之中。

因此需要找出⼀种提⾼解精度的⽅法。

1 基本概念三次样条函数的定义：在区间内对于给定的函数值，其中，如果函数满⾜条件：（1）在每个⼦区间，上都是不⾼于三次的多项式；（2）、、在上都连续；（3），。

则称为函数关于节点的三次样条函数。

想要求解三次样条插值函数，只需在每个⼦区间上确定⼀个三次多项式共有4个系数，确定它们需要 4n 个条件，因此要完全确定共需 4n 个条件。

由所满⾜的条件（1）、（2）、（3），可确定个条件，仍然缺少两个条件。

这两个条件通常由实际问题对三次样条插值函数在端点的状态要求给出，也称之为边界条件，常见的边界条件有：1）夹持边界条件（Clamped Spline）：给定两端点的⼀阶导数值，即，；2）⾃然边界条件（Natural Spline）：使两端点的⼆阶导数值为零，即；3）⾮扭结边界条件（Not-A-Knot Spline）：强制第⼀个插值点的三阶导数值等于第⼆个点的三阶导数值，最后第⼀个点的三阶导数值等于最后第⼆个点的三阶导数值，即，。

2 计算⽅法设三次样条函数，（0），，，由三次样条函数定义（1）（2）（3）可得：，（1）如下构造式（1）矩阵：（2）由式（1）可知：，，，，（3）1）在夹持边界条件时，，，，；，，，；2）在⾃然边界条件时，，，，；，，，；3）在⾮扭结边界条件时，，，，；，，，；由n个未知数的⾮齐次⽅程组有惟⼀解的充分必要条件是，可知矩阵⽅程（2）在以上三种情况下都有惟⼀解。

对矩阵⽅程（2）采⽤⾼斯列主元消去法即可求解得出。

最后，代⼊式（0）可以得出：，，，，3 应⽤算例有点集，在⾮扭结边界条件下进⾏插值。

同时使⽤Matlab R2010a和⽂章所述⽅法进⾏插值计算，对⽐计算结果。

三次样条插值算法详解

三次样条插值算法详解

三次样条插值算法详解下面详细介绍三次样条插值方法的具体步骤：1.数据准备：首先，需要获得一组数据点，这些数据点包含了所需插值曲线的关键信息。

通常情况下，数据点是从实际观测中获得的。

2.区间划分：将插值区间划分为若干个小区间，每个小区间对应一个三次函数。

3. 函数构建：对于每个小区间，在该区间内构建一个三次函数。

这里使用三次多项式进行构建，形如 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。

每个小区间内的函数有四个待定系数：a、b、c、d。

4.条件设置：为了确定每个小区间内的函数，需要设置相应的条件。

一般来说，需要满足以下两个条件：(a) 函数值条件：保证每条小区间内的函数值通过对应的数据点。

即，对于每个小区间，函数值满足 f(xi) = yi，其中(xi, yi)表示第i个数据点的横纵坐标。

(b)导数条件：保证每个小区间内函数的导数连续。

这可以通过限制每个小区间内的函数的一阶导数（即斜率）相等来实现。

5.矩阵方程求解：根据上述条件设置，可以得到一个线性方程组，其中待求的系数为未知数。

将上述条件代入方程组中，然后求解该方程组以获得每个小区间内的函数系数。

6.曲线绘制：通过得到的函数系数，可以计算每个小区间内的函数值，并连接这些函数值，最终得到整个插值曲线。

三次样条插值方法是一种非常强大和灵活的插值方法，适用于各种类型的数据点，包括均匀和非均匀间距的数据。

通过调整划分区间的个数，可以控制插值曲线的光滑程度。

一般来说，插值区间越多，插值曲线越平滑，但对输入数据的噪声更敏感。

总结起来，三次样条插值是一种高级的插值方法，通过构建三次函数来逼近数据点，可以产生平滑的插值曲线。

它的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，并在每个小区间内构建一个三次函数。

通过设置函数值条件和导数条件，可以得到一个线性方程组，从而求解出每个小区间内的函数系数。

最终连接每个小区间内的函数值，得到整个插值曲线。

三次样条插值

三次样条插值

其中c1=b1-(1-a1)m0, cn-1=bn-1-an-1)mn
2011-1-1
光电学院 肖慧敏----数值计算
例1. 给定数据 x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2 求 f (x)的自然(边界条件)3次样条插值函数， 并求f (3)和f(4.5)的近似值。 解： 记 x0 = x 1 -2，x2 = 4， 3 =5，则 x
一、三次样条插值简介
样条插值是一个基于工程方法的用语，三次样条插 值就是对一般的多项式插值问题，在每个小区间上 采用标准的三次样条函数而形成的方法。 在实际操作过程中，我们是利用三次Hermit分段插 值的原理形成三次样条插值，所以我们是借用样条 这个名词。 大家要记住，以计算函数值为目标的插值方法的重 要性已经大为降低，而“捡便宜”式的插值方法的 应用以突显其重要意义。 所以目前大体了解一下三次样条插值方法，真正在 工程总要用到它时，在花些时间研究一下，编出计 算程序也不太难。
2011-1-1 光电学院 肖慧敏----数值计算
二、三次样条插值（问题与思路）
对于一般的n个基点的插值问题（同样假定 a=x0<x1<…<xn=b），假设基点处的导数值分别为 m0,m1,…,mn,利用分段三次Hermit插值方法，记第 Si(t)为第i个区间[xi-1,xi]上的三次Hermit插值函数 Si(t)=y0 ϕ0(t)+y1ϕ1(t)+himiψ0(t)+himi+1ψ1(t) 其中hi=xi+1-xi,t=(x-xi)/hi 假如m0和mn是已知的，对于0<i<n,我们可以利用 Si-1(t)和Si(t)在x=xi处的二阶导数值相等来组织n-1个 方程，由此确定m1,m2,…,mn-1,从而形成一个完整的 方法。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（1）差商定义
定义
称 f[xi,xj]f(xxi)i xfj(xj), ij 为 f ( x ) 在 x i , x j
两点处的一阶差商.
f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,L x n ]f[x 0 ,x 1 L x n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
n
P n(x)
i0
yi (xxn i)1(n 'x)1(xi)
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存在,
节点 a x 0 x 1 x n b ，Pn ( x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x[a,b] , 插值余项
1 (x4)(x6)(x8)(x10) 3(x2)(x6)(x8)(x10)
384
96
5(x2)(x4)(x8)(x10) 4(x2)(x4)(x6)(x10)
64
96
1 (x2)(x4)(x6)(x8) 384
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
为 Det(A) (xi xj) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
l i( x ) ( x ( i x x x 0 0 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) L L ( ( x x i x n x ) n ) ,i 0 ,1 ,L n
二、存在唯一性
定理1 设 x0,x1xn为给定的彼此互异的 n 1个插值 节点，则存在唯一的次数不超过 n的多项式 Pn (x) ，满足 条件
Pn(xi) yi , i0,1,n.
证明: 设 P n a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n, 其中 a0,a1,a2,Lan
插值与拟合
前言
函数是多种多样的，在科研与工程实际中有的 函数表达式过于复杂而不便于计算，但又需要计算 多点的函数值；有的函数甚至给不出数学式子，只 能通过实验和测量得到一些离散数据（如某些点的 函数值和导数值）。面对这种情况，很自然的一个 想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的 近似 。
如果要求近似函数满足给定的离散数据，则称之 为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比较简 单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插 值。
为待定系数.利用插值条件 Pn(xi) yi ,我们得到一个线性代数方程
组 Aa b ,其中
1 x0 L A 1 x1 L
M M LM
,
a0
a
a1
,
M
x
n
n
a
n
y0
b
y1
M
y
n
观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A 的行列式
差商表
xk
f (xk)
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
一、问题提出
设 x0,x1L xn为给定的节点，yi f(xi)，i0,1,n 为相应的函数值，求一个次数不超过 n的多项式 Pn (x)， 使其满足
Pn(xi) yi， i0,1,n. 这类问题称为插值问题。f ( x ) 称为被插值函数，P n ( x ) 称
为插值函数，x0,x1L xn 称为插值节点
R n(x)f(x)P n(x)f(n (n 1)1 ())!n 1(x) 其中(a,b)且依赖于 x.
例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多 项式。
解：用4次插值多项式对5个点插值
x0,y02 ,0,x1,y14 ,3 ,x2,y26 ,5, x3,y38 ,4,x4,y41 0 ,1 ,
引入记号 n 1 ( x i ) ( x x 0 ) x ( x 1 ) ( x x n ),
易证 n 1 ( x i ) ( x i x 0 ) ( x i x i 1 ) x i x ( i 1 ) ( x i x n ) ,
从而Lagrange插值多项式可表示为
( x 2 ) ( x 4 ) ( x 8 ) ( x 1 0 )1 l2 ( x ) ( 6 2 ) ( 6 4 ) ( 6 8 ) ( 6 1 0 ) 6 4 ( x 2 ) ( x 4 ) ( x 8 ) ( x 1 0 ) l3 (x ) ( (x 8 2 2 ) )( (8 x 4 4 ) )( (8 x 6 6 ) )( (8 x 1 1 0 0 ) ) 9 1 6 (x 2 )(x 4 )(x 6 )(x 1 0 )
( x 4 ) ( x 6 ) ( x 8 ) ( x 1 0 ) 1 l0 ( x ) ( 2 4 ) ( 2 6 ) ( 2 8 ) ( 2 1 0 ) 3 8 4 ( x 4 ) ( x 6 ) ( x 8 ) ( x 1 0 )
( x 2 ) ( x 6 ) ( x 8 ) ( x 1 0 ) 1 l 1 ( x ) ( 4 2 ) ( 4 6 ) ( 4 8 ) ( 4 1 0 ) 9 6 ( x 2 ) ( x 6 ) ( x 8 ) ( x 1 0 )
l4 (x ) (1 ( 0 x 2 2 )( ) 1 (0 x 4 4 ) )( (1 x 0 6 6 )( )( x 1 0 8 )8 ) 3 1 8 4 (x 2 )(x 4 )(x 6 )(x 8 )
于是有
P 4 ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y 2 l 2 ( x ) y 3 l 3 ( x ) y 4 l 4 ( x )