高中数学知识点：棱柱、棱锥、棱台的表面积

1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 棱柱 棱锥 棱台
表面积
多面体的表面积就是 S 棱柱表＝ 02 _S__棱_柱_侧__＋__2_S_底____
01 _围__成__多__面__体__各__个__面_ _的__面__积__的__和_______
S
棱锥表＝ 03 _S__棱_锥_侧__＋__S_底__
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例 1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对 角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．
(2)已知棱长均为 5，底面为正方形的四棱锥 S－ABCD 如图所示，求它 的侧面积、表面积．
D．6
解析 S 表＝4× 43×22＝4 3.故选 B.
解析 答案
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为 1，长方体
的高为 6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为 1×2×4＝8.
解析
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例 2 (1)已知高为 3 的三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三 角形，如图所示，则三棱锥 B1－ABC 的体积为( )
A．14
B．12
C．
3 6
D．
3 4
答案
(2)如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1 的中点， F 为 CC1 上一点，求三棱锥 A1－D1EF 的体积．

(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A

（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部

第八页，共十九页。
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台 的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去 “小棱锥”的方法求棱台的体积．
第九页，共十九页。
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线
长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [ 解] 如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，
第十二页，共十九页。
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [例 2] (1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为________．
第(1)题图
第(2)题图
第十三页，共十九页。
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S -ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该 几何体的体积为________．
[思考发现]
1．棱长为 3 的正方体的表面积为
()
A．27
B．64
C．54
D．36
解析：根据表面积的定义，组成正方体的表面共 6 个，且每
个都是边长为 3 的正方形．从而，其表面积为 6×32＝54.故
选 C.
答案：C
第三页，共十九页。
2．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为
A．48 6
B．64
[变式训练]
1．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积 等于________ cm3.
第十七页，共十九页。
解析：由三视图可知原几何体如图所示． 所以 V＝VABC-A′B′C′－VM -ABC ＝S△ABC·5－13S△ABC·3 ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24.

体积公式
棱 柱
底面积为S，高为h，V＝___S_h____
棱 锥
1 底面积为S，高为h, V＝___3_S_h___
棱
上底面积为S′，下底面积为S，高为
台
h，V＝13(S′＋ S′S＋S)·h
状元随笔
(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算 中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其 和即可，一般不把多面体真正展开．
VAGD -BHC＝2×13×
42×12＋
42×1＝
2 3.
答案：A
方法归纳 若所给定的几何体是不规则的几何体，则将不规则的几何体 通过分割或补形转化为规则的几何体，再利用公式求解．
跟踪训练1 (1)已知高为3的棱柱ABC -A1B1C1的底面是边长为
1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1 -ABC的体积为( )
2 A. 3
4 C.3
3 B. 3
3 D.2
解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，
H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝
1 2
，AG＝GD＝BH＝HC＝
3 2
，
则△BHC中BC边的高h＝
2 2.
∴S△AGD＝S△BHC＝12× 22×1＝ 42，
∴该多面体的体积V＝VE -ADG＋VF -BHC＋VAGD -BHC＝2VE -ADG＋
高中数学必修二
8.3.1 棱柱、棱锥、 棱台的表面积和体积

[教材要点]
要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个__平__面____图形围成的多面体， 因此它们的表面积等于_各__个__面___的面积之和，也就是_展__开__图___的 面积．

例4. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 它们的面积分别为49πcm 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 求球的表面积. 解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO =20cm， 解得AO1=20cm， BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下 直棱柱的表面积就等于侧面积与上 表面积就等于侧面积与上、 底面面积的和. 底面面积的和. 斜棱柱的侧面积 3.斜棱柱的侧面积，可以先求出每个侧面 3.斜棱柱的侧面积，可以先求出每个侧面 的面积，然后求和，也可以用直截面周长 的面积，然后求和，也可以用直截面周长 与侧棱长的乘积来求. 与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和 棱垂直的截面. 棱垂直的截面. 如果斜棱柱的侧棱长为l 如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长 为c’，则其侧面积的计算公式就是 S侧=c’·l. ’·l
a
如上图， 正四棱锥为例由于正四棱 如上图，以正四棱锥为例由于正四棱 锥若设它的底面边长为 底面边长为a 底面周长为4 锥若设它的底面边长为a，底面周长为4a， 斜高为h 斜高为h’ 1 ·4a·h’= 1 ch’， S正四棱锥侧= ch’ 2 2 对于正n棱锥， 对于正n棱锥，其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= c·h’. 2 2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 表面积等于正棱锥的 底面积之和 之和. 与底面积之和.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是 在正方体的八个顶点中， 正四面体的顶点，则正方体的表面积与此 正四面体的顶点， 正四面体的表面积的比值为（ B ） 正四面体的表面积的比值为（ （A） 2

棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例1 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
解：由题意知
所以个漏斗的容积
A
D
解：
3.正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，求它的表面积.
教材：P116 练习2、3
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台 的表面积和体积
普通高中教科书 数学 必修 第二册
第八章 立体几何初步
问题：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
1．掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
h
s
柱 体
(其中S为底面面积，h为高)
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
锥 体
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式(过程略)．
面积:平面图形所占平面的大小
什么是面积？
S=ab
a
b
A
a
h
B
C
a
b
h

法二：延长正四棱台的侧棱交于点 P， 如图设 PB1＝x， 则x＋x 8＝48，得 x＝8. ∴PB1＝B1B＝8， ∴E1 为 PE 的中点 ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
∴S ＝S －S 正棱台侧
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
[通一类] 4．(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120cm2的正 方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的
底面上，求半球的表面积．
解：如图，为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为 a， 半球的半径为 R， 由 6a2＝120 得 a2＝20， 在 Rt△AOB 中，AB＝a，OB＝ 22a， 由勾股定理，得 R2＝a2＋( 22a)2＝32a2＝30. 所以半球的表面积为 S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
＝48 15(cm2)．
∴正四棱台的侧面积为 48 15 cm2.
[研一题] [例3] 正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．若侧棱所在 直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求 棱台的侧面积． [自主解答] 如图， 设O1，O分别为上、下底面的中心， 过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC 于F，连接C1F， 则C1F为正四棱台的斜高． 由题意知∠C1CO＝45°，
∴球的表面积 S＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2. [答案] B
[悟一法] 与球有关的组合体共有两种，一种是内切，一种是外接．解 题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，灵活利用球的 对称性， ①若半径为 R 的球的内接正方体的棱长为 a，则 2R＝ 3a. ②若半径为 R 的球的内接长方体的长、宽、高分别为 a， b，c，则 2R＝ a2＋b2＋c2.

高中数学 必修第二册 RJ·A
易错辨析
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( × ) 2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( × ) 3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ ) 4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( √ )
高中数学 必修第二册 RJ·A
高中数学 必修第二册 RJ·A
二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，
如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
1
1
3
3
A.4
B.2
C. 6
D. 4
D解析 设三棱锥B1－ABC的高为h，
则
V三棱锥B1－ABC ＝13S△ABCh＝31×
43×3＝
＋3S△DBC＋ S△A1BD ＝ 23a2＋3×12×a2＋3a2＝ 32＋9a2.
几何体 A1B1C1D1－DBC 的体积 V＝V正方体ABCD－A1B1C1D1 －V三棱锥A1－ABD＝a3－13×12×a×a×a＝56a3.
高中数学 必修第二册 RJ·A
随堂小测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
解析 V 棱台＝13×(2＋4＋ 2×4)×3 ＝13×3×(6＋2 2) ＝6＋2 2.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点， 则三棱锥A－DED1的体积为__16___.
V V 解析 ＝ 三棱锥A－DED1 三棱锥E－DD1A
高中数学 必修第二册 RJ·A
新知学习
知识点一 棱锥、棱柱、棱台的表面积

已知正四棱锥底面正 方形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为 35°(如图),求正 四棱锥的侧面积与全 面积(单位:cm2, 精确到0.01).
C
答
案
P D O B E C
解:正四棱锥的高,斜高, 底面边心距组成直角POE. OE=2cm OPE=35 因为OE=2cm,∠OPE=35° 所以 斜高PE=OE/sin35° A =2/0.574≈3.49(cm) 因此 S棱锥侧=1/2ch' =1/2×4×3.49×4=27.92(cm2) S棱锥全=27.92+16=43.92(cm2)
直棱柱的表面积
设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c, 则得到直棱柱的侧面面积计算公式:
S直棱柱侧面积 =ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面周 长和高的乘积.
* 棱柱的表面积是正三棱锥的展 开图. 正棱锥的侧面展开图 是一些全等的等腰三 角形,底面是正多边 形,如果设它的底面 边长为a,底面周长 为c,斜高为h' .
*
棱台的表面积或全面积等于侧面积与 底面积的和.
思考题
联系棱柱,棱锥,棱台的几 何图形间的转化过程,思考 是否能由棱台的侧面积公式 得到棱柱,棱锥的侧面积公 式.
想一想
观察圆柱,圆锥,圆台的展开图,思考计 算圆柱,圆锥,圆台侧面积公式.
圆柱展 开图
圆锥展 开图
圆台展 开图
例
题
P D O A B
正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯 形,设棱台下底面边长为a,周长为c , 上底面边长为a',周长为c',斜高为 h',可以得出正n棱台的侧面积公式: S 正棱台侧 =n·1/2(a+a')h'=1/2(n a+na')h'=1/2(c+c')h'