棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算

《直棱柱、正棱锥、正棱台》讲义一、直棱柱1、定义直棱柱是指侧棱与底面垂直的棱柱。

2、特点（1）侧棱垂直于底面，且侧棱互相平行且相等。

（2）两个底面是全等的多边形。

（3）侧面都是矩形。

3、表面积和体积（1）表面积直棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面积。

侧面积等于底面周长乘以侧棱长。

例如，一个直三棱柱，底面是一个边长分别为 a、b、c 的三角形，侧棱长为 h，则表面积 S ＝ 2×（1/2×a×b×sinC）＋（a ＋ b ＋ c）×h （其中 C 为 a、b 两边的夹角）。

（2）体积直棱柱的体积等于底面积乘以高。

若直棱柱的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ S×h 。

4、常见的直棱柱（1）直三棱柱有三条侧棱的直棱柱。

（2）直四棱柱有四条侧棱的直棱柱，常见的如长方体、正方体等。

二、正棱锥1、定义如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2、特点（1）底面是正多边形。

（2）顶点在底面的射影是底面的中心。

（3）侧面都是全等的等腰三角形。

3、表面积和体积（1）表面积正棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。

侧面积等于 1/2×底面周长×斜高。

例如，一个正三棱锥，底面边长为 a，侧面的斜高为 h'，则侧面积为 3×（1/2×a×h'），表面积为√3/4×a² ＋ 3×（1/2×a×h'）。

（2）体积正棱锥的体积等于 1/3×底面积×高。

设正棱锥的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ 1/3×S×h 。

4、正棱锥的性质（1）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形。

（3）正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形。

棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。

2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。

（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。

（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。

二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。

2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。

（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。

三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。

2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。

（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。

（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。

四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。

2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。

3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。

以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。

如果还有其他问题，欢迎继续提问。

苏教版棱柱棱锥棱台在苏教版的数学教材中，棱柱、棱锥和棱台是立体几何中的重要概念。

它们不仅在数学理论中有着基础且关键的地位，在实际生活中的应用也十分广泛。

首先，咱们来聊聊棱柱。

棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及若干个平行四边形侧面围成的多面体。

棱柱的特点十分明显，两个底面是全等且平行的多边形，侧面都是平行四边形。

根据底面多边形的边数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。

比如说三棱柱，它的底面就是一个三角形；四棱柱呢，底面就是一个四边形，像咱们常见的长方体、正方体都属于四棱柱。

棱柱有着很多独特的性质。

棱柱的侧棱都相互平行且相等，这意味着如果我们沿着棱柱的侧棱方向进行测量，得到的长度都是一样的。

而且，棱柱的侧面展开图是一个矩形。

这一性质在解决很多与表面积相关的问题时非常有用。

在实际生活中，棱柱的例子比比皆是。

像建筑物中的柱子，很多就是棱柱的形状；还有一些包装盒，比如装牙膏的盒子，往往也设计成棱柱的形状，这样既美观又能充分利用空间。

接下来，咱们说说棱锥。

棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面围成的多面体。

与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，顶点与底面多边形的各个顶点相连，形成侧面三角形。

同样，根据底面多边形的边数，棱锥也有三棱锥、四棱锥等分类。

棱锥的性质也有其特点。

棱锥的顶点到底面多边形各个顶点的连线叫做棱锥的侧棱，这些侧棱相交于一点，也就是棱锥的顶点。

棱锥的侧面三角形的面积之和就是棱锥的侧面积。

棱锥在生活中的应用也不少。

比如金字塔，就是一种棱锥的形状，展现出了独特的建筑美学和稳定性。

最后，再讲讲棱台。

棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体中，位于截面上方的部分就是棱台。

棱台的上下底面是互相平行且相似的多边形，侧面都是梯形。

棱台也有自己的相关性质和计算公式。

通过了解这些性质和公式，我们可以更准确地计算棱台的体积、表面积等。

在实际应用中，比如一些花坛的造型、某些特殊的容器，可能会采用棱台的形状，既实用又具有一定的艺术感。

棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算【知识梳理】1．一般地，我们把叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，______________叫做多面体的顶点。

2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做___________。

3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做___________。

两个互相平行的面叫做___________，简称底；其余各面叫做棱柱的___________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的___________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的___________。

4．棱柱按照底面边数分类：底面是__________________的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。

5．棱柱的结构特征：①______________ ；②_______________；③________________。

6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的______；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的________，各侧面的公共顶点叫做棱锥的_________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的________。

7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做________、_________、___________。

8.棱锥的结构特征：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形。

9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______；其余各面叫做棱台的____；底面与侧面的公共点叫做棱台的_______；相邻侧面的公共边叫做棱台的_______；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……【典型例题】例1下列几何体是棱柱的有（）变式练习：下列几何体中是棱柱的有例2．判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。

棱柱棱锥棱台的体积公式棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。

下面我们将分别介绍它们的体积公式。

一、棱柱的体积公式棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = S × h其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。

例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³二、棱锥的体积公式棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = 1/3 × S × h其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。

例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³三、棱台的体积公式棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。

它的体积公式为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。

例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。

棱柱棱台棱锥的表面积和体积一、棱柱的表面积和体积1.1 棱柱的定义棱柱是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点的侧面所组成的立体图形。

1.2 棱柱的表面积公式棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。

表面积公式：S = 2B + Ph （其中B为底面积，P为侧棱长，h为高）1.3 棱柱的体积公式棱柱的体积等于底面积乘以高。

体积公式：V = Bh （其中B为底面积，h为高）二、棱台的表面积和体积2.1 棱台的定义棱台是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。

2.2 棱台的表面积公式棱台的表面积等于上下底面积之和加上所有侧棱形所组成部分之和。

表面积公式：S = B1 + B2 + L （其中B1、B2为上下底部分别对应的底面积，L为侧棱长）2.3 棱台的体积公式棱台的体积等于上下底面积之和乘以高再除以2。

体积公式：V = (B1 + B2)h / 2（其中B1、B2为上下底面积，h为高）三、棱锥的表面积和体积3.1 棱锥的定义棱锥是由一个多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。

3.2 棱锥的表面积公式棱锥的表面积等于底面积加上所有侧棱形所组成部分之和。

表面积公式：S = B + L （其中B为底面积，L为侧棱长）3.3 棱锥的体积公式棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。

体积公式：V = Bh / 3（其中B为底面积，h为高）四、总结通过以上介绍可以发现，无论是棱柱、棱台还是棱锥，它们计算表面积和体积都有自己独特的公式。

在实际运用中，我们需要根据所给出的具体数据，选择相应的公式进行计算。

同时，对于这些几何图形的认识和理解也是非常重要的，只有深入了解它们的定义和性质，才能更好地应用到实际问题中。