棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。

教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。

【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。

【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。

8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导．核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养.1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( )(2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( )(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )(4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )2．做一做(1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( )A．274B．94C．2734D．934(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____.(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____.题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积．(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．[跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A．48(3＋3) B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144(2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )A．3＋34a2B．34a2C．3＋32a2D．6＋34a2(3)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为12a，则该正三棱台的侧面积为____，表面积为____.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( )A．14B．12C．36D．34(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．(3)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积．[跟踪训练2] (1)已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )A．2 B．4C．6 D．12(2)若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32题型三组合体的表面积与体积例3 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．54 B．60C．66 D．72(2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?[跟踪训练3] (1)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A．26B．23C．33D．23(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积．1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( )A．2 3 B．4 3C．4 D．62．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A．2 B．4C．6 D．83．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A．26B．36C．23D．224．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于____.5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求△AB1C1的面积．一、选择题1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )A．6 3 B． 3C．2 3 D．22．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A．6a2B．12a2C．18a2D．24a23．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )A．1∶1 B．1∶ 2C．1∶ 3 D．1∶24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．5603B．5803C．200 D．2405. 如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为( )A．9 3 B．18 3C．27 3 D．36二、填空题6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是____.7. 如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2(几何体BFECC′B′的体积)的两部分，那么V∶V2＝____.18．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是____ cm.三、解答题9. 如图，正六棱锥P－ABCDEF被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF和较小的棱锥P－A1B1C1D1E1F1.(1)求大棱锥P－ABCDEF、小棱锥P－A1B1C1D1E1F1、棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF 的侧面面积之比；(2)若大棱锥P－ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，求截得的棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积和表面积．10．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．1．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点．则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为( )A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．3∶22．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是____.3. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA＝4 cm.3D打印所用原料密1度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____g.4．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．15．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导．核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养.1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( )(2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( )(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( )(4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( )A．274B．94C．2734D．934(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____.(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____.答案(1)D (2)60,94 (3)28题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．[解] (1)如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8. ∴该直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160. ∴该直四棱柱的底面积S 底＝12AC ·BD ＝207.∴该直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×207＝160＋407. (2)∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE ，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12AB ×SE＝2×5×52－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝253，S 表＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)．(3)如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过B 1作B 1F ⊥BC ，垂足为F ，在Rt △B 1FB 中，BF ＝12×(8－4)＝2，B 1B ＝8，故B 1F ＝82－22＝215，所以S 梯形BB 1C 1C ＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S 侧＝4×1215＝4815，所以四棱台的表面积S 表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815.1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．3．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.[跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A ．48(3＋3)B ．48(3＋23)C ．24(6＋2)D ．144(2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A ．3＋34a 2B ．34a 2C ．3＋32a 2D ．6＋34a 2(3)正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，高为12a ，则该正三棱台的侧面积为____，表面积为____.答案 (1)A (2)A (3)332a 2 1134a 2解析 (1)由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S ＝48(3＋3)．(2)因为底面边长为a ，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为a 2，故S 侧＝3×12a ·a 2＝34a 2，而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2. (3)如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1的中点，过D 1作D 1E ⊥DO ，垂足为E ，在直角梯形ODD 1O 1中，OD ＝13×32×2a ＝33a ，O 1D 1＝13×32a ＝36a ，所以DE ＝OD －O 1D 1＝36a . 在Rt △DED 1中，D 1E ＝a2，则D 1D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝ 112a 2＋a 24＝33a ，所以S棱台侧＝3×12(a＋2a)×33a＝332a2.所以S棱台表＝S上底＋S下底＋S棱台侧＝34a2＋34×(2a)2＋332a2＝1134a2.题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( )A．14B．12C．36D．34(2)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．(3)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积．[解析](1)设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC ＝13S△ABCh＝13×34×3＝34.(2)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，∵S△A1D1E＝12EA1·A1D1＝14a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，∴V三棱锥F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V三棱锥A1－D1EF＝112a3.(3)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．∵S侧＝4×12×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5 cm，OE＝12AB＝10 cm，∴O1O＝132－10－52＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．[答案](1)D (2)见解析(3)见解析求几何体体积的常用方法[跟踪训练2] (1)已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为( )A．2 B．4C．6 D．12(2)若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32答案(1)B (2)B解析(1)正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为13×4×3＝4.(2)所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.题型三组合体的表面积与体积例3 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．54 B．60C．66 D．72(2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?[解析] (1)根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的几何体ABC －DEF ，其中AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝5，AC ＝3，BE ＝2，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S梯形ABED ＋S梯形CBEF ＋S矩形ACFD＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60. (2)将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S 底＝0.6×1.1－12×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)， V ＝S 底·h ＝0.54×24.8≈13.39(立方米)．故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土． [答案] (1)B (2)见解析求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．[跟踪训练3] (1)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A ．26B ．23C．33D．23(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积．答案(1)B (2)见解析解析(1)如图所示，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×22＝23.(2)由题图可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面积为32a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3×12×a2＋3a2＝3＋92a2.1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是( ) A．2 3 B．4 3C．4 D．6答案 B解析S表＝4×34×22＝4 3.故选B.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A．2 B．4C．6 D．8答案 D解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为1×2×4＝8.3．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A．26B．36C．23D．22答案 A解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，作出三棱锥O－ABC的高OD，连接DC，则S△ABC＝12×1×32＝34，OD＝OC2－CD2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63，所以V S－ABC＝2V O－ABC＝2×13×34×63＝26.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于____.答案160 3解析由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为4，故V直三棱柱＝8×4＝32，四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥＝13×16×4＝643，故该几何体的体积V＝V直三棱柱＋V四棱锥＝32＋643＝1603.5．已知三棱台ABC－A1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a>0，b>0)，作截面AB1C1，设三棱锥B－AB1C1的高等于三棱台的高，求△AB1C1的面积．解将三棱台分割成三棱锥A－A1B1C1，B－AB1C1及C1－ABC，设三棱台的高为h，则这三个三棱锥的高都是h.由于V ABC－A1B1C1＝V A－A1B1C1＋V B－AB1C1＋V C1－ABC，即13(a2＋ab＋b2)h＝13a2h＋13S△AB1C1·h＋13b2h，得S△AB1C1＝ab，故△AB1C1的面积为ab.一、选择题1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( ) A ．6 3 B ． 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为5，可知高h ＝2，又因为底面积S ＝332，所以体积V ＝13Sh ＝13×332×2＝ 3.2．将一个棱长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2 答案 B解析 棱长为a 的正方体的表面积为S 1＝6a 2，由棱长为a 的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S 2＝27×⎣⎢⎡⎦⎥⎤6×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝18a 2，因此表面积增加了12a 2，故选B.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶2 答案 C解析 如图，三棱锥D 1－AB 1C 的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥 ＝4×12×(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．5603B．5803C．200 D．240答案 C解析由三视图可作出如图所示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为1，下底长为9，高为4，故底面积S＝1＋9×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.5. 如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，则此正三棱锥的表面积为( )A．9 3 B．18 3C．27 3 D．36答案 C解析如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 二、填空题6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是____.答案 8解析 如图(1)为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图(2)所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.7. 如图所示，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，若E ，F 分别为AC ，AB 的中点，平面EC ′B ′F 将三棱柱分成体积为V 1(棱台AEF －A ′C ′B ′的体积)，V 2(几何体BFECC ′B ′的体积)的两部分，那么V 1∶V 2＝____.答案 7∶5解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝14 S，所以V1＝13h⎝⎛⎭⎪⎫S＋14S＋S·S4＝712Sh，V 2＝V－V1＝512Sh.所以V1∶V2＝7∶5.8．已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是____ cm. 答案 6解析如图所示，正三棱锥P－ABC的底面边长为6 cm，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.由题意得3×12×AB×PD＝27，所以PD＝3 cm.又OD＝36×6＝ 3 cm，所以它的高PO＝PD2－OD2＝9－3＝ 6 cm.三、解答题9. 如图，正六棱锥P－ABCDEF被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF和较小的棱锥P－A1B1C1D1E1F1.(1)求大棱锥P－ABCDEF、小棱锥P－A1B1C1D1E1F1、棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF 的侧面面积之比；(2)若大棱锥P－ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，求截得的棱台A1B1C1D1E1F1－ABCDEF的侧面面积和表面积．解(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)∵小棱锥P－A1B1C1D1E1F1的底面边长为4 cm，∴大棱锥P－ABCDEF的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h′＝62－22＝42(cm)，∴S棱台侧＝6×4＋82×42＝1442(cm2)，∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝1442＋243＋963＝(1442＋1203)(cm2)．10．甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积)．(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．解(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱．将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥．(2)因为正四棱柱的底面边长为2a，高为a，所以其体积V柱＝(2a)2·a＝4a3.又因为正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ＝9a 2－a 2＝22a ， 所以其体积V 锥＝13(2a )2·22a ＝823a 3.因为42－⎝ ⎛⎭⎪⎫8232＝16－1289＝169>0，即4>823，所以4a 3>823a 3，所以V 柱>V 锥， 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．1．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点．则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2答案 C解析 ∵G 为PB 的中点，∴V P －GAC ＝V P －ABC －V G －ABC ＝2V G －ABC －V G －ABC ＝V G －ABC .又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD .∴V D －GAC ＝V G －ACD ＝2V G －ABC .∴V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1.2．已知长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则长方体的体对角线的长是____.答案 2 3解析 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则有⎩⎨⎧2xy ＋xz ＋yz ＝24，4x ＋y ＋z ＝24⇒⎩⎨⎧xy ＋xz ＋yz ＝12，x ＋y ＋z ＝6，则长方体的体对角线的长为x 2＋y 2＋z 2 ＝x ＋y ＋z2－2xy ＋xz ＋yz ＝36－24＝2 3.3. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____g.答案 118.8解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．4．如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形， 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，则V F －EBA 1＝112a 3，所以V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2VF －EBA 1＝16a 3.5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0.上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253， 所以h 0＝1333(cm)． 又O ′D ′＝13×32×20＝1033(cm)，OD ＝13×32×30＝53(cm)， 记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 20－OD －O ′D ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．。

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高中数学　1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．导语　在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？提示　知识梳理　多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高为 cm ，求此正三棱台的表面积．32解　如图所示，画出正三棱台ABC －A 1B 1C 1，其中O 1，O 为正三棱台上、下底面的中心，D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点，则OO 1为正三棱台的高，DD 1为侧面梯形BCC 1B 1的高，四边形ODD 1O 1为直角梯形，所以DD 1＝＝＝，所OO 21＋(OD －O 1D 1)2(32)2＋(3－32)23以此三棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm 2)．12334349934反思感悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．解　∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE (图略)，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×AB ×SE ＝2×5×＝25，S表＝S 侧＋S 底1252－(52)23＝25＋25＝25(＋1)．33二、棱柱、棱锥、棱台的体积知识梳理　几何体体积说明棱柱V 棱柱＝ShS 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝Sh 13S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝(S ′＋＋S )h13S ′S S ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A. B.1412C. D.3634答案　D解析　设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则＝S △ABC h ＝××3＝.1B ABCV 锥－△△13133434(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积．解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形．∵S 侧＝4××(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，12∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝A 1B 1＝5 cm ，OE ＝AB ＝10 cm ，1212∴O 1O ＝＝12(cm)．132－(10－5)2故该正四棱台的体积为V ＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．13反思感悟　求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________．答案　13解析　由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为2A 1C 1＝，1222则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝×1××＝.1322213三、简单组合体的表面积与体积例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解　由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝·A 1B ·PO 1＝×62×2＝24 (m 3)，正四棱柱132113ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288 (m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312 (m 3)，故仓库的容积是312 m 3.反思感悟　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．跟踪训练3　如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1－ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积和体积．解　由图可知△A 1BD 是边长为a 的等边三角形，其面积为a 2，232故所求几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积S ＝＋3S △1A BDS △DBC ＋3＝a 2＋3××a 2＋3a 2＝a 2.1111A B C D S △△△32123＋92几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的体积V ＝－＝a 3－××a ×a ×a1111ABCD A B C D V －△△△1A ABDV 锥－△△1312＝a 3.561．知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．(3)组合体的表面积与体积．(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．2．方法归纳：等体积法、割补法．3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( )A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3 D ．125 cm 3答案　B解析　V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)．2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.B.1213C. D ．不确定14答案　B解析　令正方体棱长为a ，则V 正方体＝a 3，V S －ABCD ＝×a 2×a ＝a 3，1313∴V 四棱锥S －ABCD ＝V 正方体．133．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为( )41A ．48 B ．64 C ．80 D ．120答案　C4．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________．答案　6＋22解析　V 棱台＝×(2＋4＋)×3132×4＝×3×(6＋2)132＝6＋2.2课时对点练1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．48 B ．64 C ．16 D ．966答案　B2．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( )A ．8 B ．16 2C ．8＋12 D ．8＋1622答案　D3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )A. B ．2 C. D ．31213答案　B解析　设棱柱的高为h ，底面积为S ，则棱锥的高为h ，底面积为S ，故二者的体积之比为32＝＝＝2.V 1V 2Sh13×32Sh214.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A. B.1312C. D.2334答案　C解析　∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝，1313∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－＝.13235．正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长为，则这个棱柱的表面积是( )43A ．15 B ．60 2C ．78 D ．602答案　C解析　如图所示，正四棱柱的侧棱长为AA 1＝5，对角线长为BD 1＝，则(AB )4322＋52＝43，解得AB ＝3，所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.6．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是( )A ．侧面积之比为1∶4 B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27 D ．体积之比为1∶26答案　BD解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥3A －B 1DC 1的体积为______．答案　1解析　∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，3∴底面B 1DC 1的面积为×2×＝.1233三棱锥A －B 1DC 1的高就是底面正三角形的高.3三棱锥A －B 1DC 1的体积为××＝1.13338．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则其表面积为______ cm 2.答案　1 012解析　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积132－52S ＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm 2)．129．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．解　如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝2＋2＝＝＝64，(AC 2)(BD 2)a 2＋b 24200＋564∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160.直四棱柱的底面积S 底＝AC ·BD ＝20.127直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×20＝160＋40.7710.如图，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12 cm ，小棱锥的底面边长为4 cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积．解　(1)由题意知S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，则S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm ，∴大棱锥的底面边长为8 cm ，又PA ＝12 cm ，∴A 1A ＝6 cm.又梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝4(cm)，2∴S 棱台侧＝6××4＝144(cm 2)，4＋8222∴S 棱台表＝S 棱台侧＋S 上底＋S 下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm 2)．2332311.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m 2，互相平行的两个侧面的距离为1 m ，则这个六棱柱的体积为( )A. m 3B. m 333434C ．1 m 3D. m 312答案　B解析　设正六棱柱的底面边长为am ，高为hm ，则2ah ＝1，a ＝1，解得3a ＝，h ＝，所以六棱柱的体积V ＝×2×6×＝(m 3)．333234(33)323412．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 23＋34343＋326＋34答案　A解析　如图，PA ，PB ，PC两两垂直且PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为等边三角形，AB ＝a ，∴PA ＝PB ＝PC ＝a ，22∴表面积为×a 2＋×2×3＝a 2＋a 2＝a 2.3412(22a)34343＋3413．如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶1∶1C ．4∶2∶1D ．4∶1∶2答案　D解析　设三棱台的高为h ，则由题可知三棱锥A 1－ABC 的体积V 1＝×h ×S △ABC ，三棱锥13A 1－B 1C 1B 的体积V 2＝×h ×＝×h ××S △ABC ，三棱锥A 1－C 1BC 的体积13111A B C S △1314V 3＝2V 2，所以三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为4∶1∶2.14.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案　112解析　连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC (图略)，∵E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，∴EH ∥AC ，EH ＝AC .12∵F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，12∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，∴四边形EHGF 为正方形．又四棱锥M －EFGH 的高为，12∴四棱锥M －EFGH 的体积为×2×＝.13(22)1211215.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案　36解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，2∴S 表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.2∴该几何体的表面积为36.16．在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解　设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2，连接MD ，因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝V ，所以V E －MBC ＝V －V E －MDC .1212而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ，所以＝＝.VE －MBC VE －MDC VB －EMC VD －EMC h 1h 2因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以＝.h 1h 232所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝V .310。

棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
（原创版）
目录
1.教学目标
2.教学内容
3.教学方法
4.教学步骤
5.教学评价
正文
一、教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算方法，并能熟练运用这些知识解决实际问题。

同时，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容
1.棱柱的表面积和体积
2.棱锥的表面积和体积
3.棱台的表面积和体积
三、教学方法
1.讲授法：讲解相关概念和公式
2.案例分析法：通过具体例子讲解计算方法
3.练习法：布置课后习题，让学生自主练习
四、教学步骤
1.引入：通过简单立体图形的表面积和体积计算，引导学生思考如何
计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积。

2.讲解：分别讲解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，结合具体例子进行讲解。

3.案例分析：选取典型例题进行分析，让学生掌握如何运用公式进行计算。

4.练习：布置课后习题，让学生自主练习，巩固所学知识。

第24课棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课程标准课标解读1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力.2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。

对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解.3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用知识精讲知识点01棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是的面积【即学即练1】已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A．4B C ．D ．知识点02棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S 为棱柱的，h 为棱柱的棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的，h 为棱锥的棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的，h 为棱台的【即学即练2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线的长为体积是（）A ．48B ．24C ．12D ．6能力拓展考法01棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【典例1】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为AB ．2C ．3D ．334【变式训练】若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为336，则此正三棱台的侧面积为（）A ．2a B ．212aC ．292aD ．232a【变式训练】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.反思感悟(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法①多面体的表面积是各个面的面积之和．②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形．考法02棱柱、棱锥、棱台的体积【典例2】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为AB ．22C ．26D ．334反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．【变式训练】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A ． 483B ． 483C ．24D ．144考法03简单组合体的表面积与体积【典例3】如图，在几何体ABCFED 中，8AB ，10BC ，6AC ，侧棱AE ，CF ，BD 均垂直于底面ABC ，3BD ，4FC ，5AE ，求该几何体的体积.如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．【典例4】等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF 的体积．【典例5】分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．反思感悟(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养．分层提分题组A基础过关练一、单选题1．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为A．4)B．2)C．1)D．8)2．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）B．6C．D．A3．鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（）A ．2(6B ．8 C ．2(6 D ．8 4．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，P 在线段1BD 上，且12BPPD ，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为（）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．27二、多选题6．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为）A ．正三棱锥高为3BC ．正三棱锥的体积为4D ．正三棱锥的侧面积为47．如图，四边形ABCD 为正方形，ED 平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ，记三棱锥E ABC ，E ACF ，F ABC 的体积分别为1V ，2V ，3V ，则（）A ．322V VB ．322V VC ．312V V V D ．3123V V 三、填空题8．玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm ，孔径8cm .外径18cm ，则该玉璧的体积为_____________9．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.10．侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为______．【答案】12 ##1211．已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1则此三棱锥的高为_________．四、解答题12．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.13．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．14．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，111AA A D a ，2AB a ，且E 为AB 中点．求1C 到平面1D DE 的距离．题组B 能力提升练一、单选题1．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A ．B ．C ．8D ．122．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2123 B ．12 C ．122 D ．1233．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（）A ．13B ．23 C ．223D 4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A ．24B ．24C ．12D ．125．正三棱锥P ﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A ．1：3B ．1： 3C ． 13：D ． 13：6．用半径为2，弧长为2 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）A BC D ．4二、多选题7．正三棱锥S ABC 的外接球半径为2，底面边长为3AB ，则此三棱锥的体积为（）A B ．334C ．2734D ．3328．如图，在多面体EFG ABCD 中，四边形ABCD ，CFGD ，ADGE 均是边长为1的正方形，点H 在棱EF 上，则（）A ．该几何体的体积为23B ．点D 在平面BEF 内的射影为BEF △的垂心C ．GH BHD ．存在点H ，使得DH BF三、填空题9．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．10．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．11．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为___________.12．正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．四、解答题13．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积．题组C培优拔尖练1．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．2．正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45 ，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.3．一个圆台，上底面面积为 ，下底面面积为16 ，母线长为6.求圆台的体积.4．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？，结果精确到0.01．0.32。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。

教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。

A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

所以，22PBC4360sin BC 21S a =⨯=︒∆ 因此，四面体P -ABC 的表面积223434a a S =⨯= 2.一般棱柱的体积公式也是V = Sh ，其中S 为底面面积，h 为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。