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3．1.2 弧度制1．弧度与弧度制用单位圆中的弧长来度量所对圆心角的大小，单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称作弧度，这样的单位制称为弧度制．2．角度与弧度的换算公式 1弧度＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57°18′， 周角＝360°＝2π弧度， 1°＝π180弧度≈0.017_45弧度． 3．角度制以周角的1360作为度量单位，称为“度”；弧度制以周角的12π作为度量单位，称为“弧度”．1．下列说法不正确的是( )A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周长的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，知180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短有关[提示] 不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短无关．选D. 2．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．[提示] 4在角度制下，弧长公式与扇形面积公式分别是l ＝n πr 180，S ＝n πr 2360，根据角度制与弧度制的互换，能否用圆心角的弧度数表示弧长与扇形面积呢？扇形的弧长及面积公式设圆的半径为r ，圆心角α的角度数为n ，弧度数为x ，1．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的圆弧，其所对的圆心角为α，则α为________． [提示]2π32．已知扇形的圆心角为2π5，半径等于20 cm.则扇形的面积为________ cm 2.[提示] 80π[例1] (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.[思路点拨] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． [边听边记] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.1．将下列各角度与弧度互化：(1)22.5°＝__________；(2)－72°＝__________；(3)15°＝__________；(4)－7π6＝__________； (5)3π5＝__________；(6)5π12＝__________. 答案：(1)π8 (2)－2π5 (3)π12 (4)－210° (5)108°(6)75°[例2] 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积． [思路点拨] (1)将圆心角化为弧度数；(2)求出扇形的半径或弧长；(3)代入面积公式． [边听边记] 设扇形的半径为r ，面积为S ， 由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r .由已知，4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2，∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.将本例条件变为“已知2 rad 的圆心角所对的弦长为2”，求这个扇形的面积．解：如图，已知∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2. 取AB 的中点C ，连接OC ，则OC ⊥AB ，在Rt △ACO 中，AC ＝12AB ＝1，∠AOC ＝12∠AOB ＝1 rad.∵sin ∠AOC ＝AC AO ，∴AO ＝1sin 1为圆半径，∴S ＝1sin 21.[例3] 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路点拨] 正确使用扇形弧长公式及面积公式．[边听边记] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad).2．已知扇形AOB 的周长为10 cm ，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， 由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－⎝⎛⎭⎫r －522＋254，0＜r ＜5. 当r ＝52时，S 取得最大值254，这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，及取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm.1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．答案：D2．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4D ．－7π6解析：∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad. 答案：B 3.3π4对应的角度是( ) A ．75° B ．125° C ．135° D ．155°答案：C4．一扇形的圆心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为__________． 解析：∵|α|＝2，l ＝4，∴r ＝l |α|＝42＝2，∴S ＝12lr ＝12×4×2＝4.答案：45．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________ cm. 解析：因为1°＝π180 rad ，所以54°＝π180×54＝3π10， 则扇形的弧长l ＝αr ＝3π10×20＝6π(cm)， 故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：40＋6π6．用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3是不是第二象限角．解：在0～2π范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ∴终边落在第二象限的所有角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， ∴－10π3是第二象限角．弧度制与角度制有何异同点？使用时注意什么？都是角的度量方法，但使用了不同的标准，角度制是利用了圆周的1360为1度，而弧度制是利用了长度等于半径的圆弧所对的圆心角为1弧度．使用时“度”不能省略，“弧度”二字可省略不写，另外两者不能混用，要避免如2k π＋30°或k ·360°＋π3这样的错误形式．一、选择题1．若圆的半径为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R ，当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍． 答案：B2.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等， 所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.答案：B3．若β＝－1 rad ，则β的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵1 rad ≈57°18′，∴－1 rad ≈－57°18′， ∴β的终边在第四象限． 答案：D4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图，所以P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B 二、填空题5．－22π3角的终边在第________象限．解析：∵－22π3＝2π3－8π，2π3的终边在第二象限．∴－22π3的终边在第二象限．答案：二6．若角θ的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是__________．解析：∵θ＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴θ4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．当k ＝0时，θ4＝2π5；k ＝1时，θ4＝9π10；k ＝2时，θ4＝7π5；k ＝3时，θ4＝19π10.答案：2π5 或 9π10 或 7π5 或 19π10三、解答题7．已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形的面积．解：扇形的圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm ， 扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10， 所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π3.(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12×10×53＝253，所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。
