苏教版高中数学必修2第1章 立体几何初步点、线、面之间的位置关系练习3

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．给出下列命题:①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;③a∥α，b、cα，a∥b，b⊥c，则有a⊥c;④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.其中正确的是.2.a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出四个命题：①∥c，∥c⇒∥；②∥，∥⇒∥；③∥c，∥c⇒∥；④∥，∥⇒∥.其中正确的命题是 .3．设直线a，b分别是长方体相邻两个平面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是．4．如图，是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱，的中点，P是上底面的棱AD上一点，AP= ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .5. 已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ;②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β;③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是.6. 已知平面α∥β，△ABC，△分别在平面α，β内，线段，，共点于O，O在α，β之间，若AB=2，AC=1，BC= ，△的面积是，则= .7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有P A=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的位置关系是.8.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”正确的是____________（填序号）.①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.9.若三个平面两两垂直，则它们的交线.10.下面三个结论:①三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直;②分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直;③分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直.其中正确结论的序号是.二、解答题（共50分）11.(12分)如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证:SA∥平面MDB12．（12分）如图，在长方体中，试作出过AC且与直线平行的截面，并说明理由.13.（13分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱上，点F在侧棱上，且AE = 22，BF =2.(1)求证：CF⊥；(2)求二面角的大小.14.（13分）如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.（1）画出l的位置；（2）设l∩=P，求的长．第14题图一、填空题1．①③2．②解析：②正确，①错在与可能相交，③④错在可能在内.3．可能相交，也可能是异面直线解析：如图所示，a与b相交；a与b′异面．第3题答图4．a解析：如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP= ，∴ = = = ，∴PQ= AC= a.5. ②③解析：可通过公理、定理判定命题正确，通过特例、反例说明命题错误.①如图，在正方体-ABCD中，平面D∩平面=CD，平面∩平面，且CD∥，但平面D与平面不平行，①错误.②因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据∥，∥，可得∥，同理可得∥，因此∥，②正确.③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确.④当直线a∥b，垂直于平面内的两条不相交直线时，得不出l⊥，④错误.6. 解析：因为平面∥，平面∩平面=AB，平面∩平面，所以AB∥.同理AC∥，BC∥，可得两三角形相似.因为AB=2，AC=1，BC=5，所以，所以= ×2×1=1.所以== ，所以= .7.垂直解析：因为PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，所以PO⊥平面ABCD.8.②③解析：因为垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都可以，所以①错误.根据线面垂直的性质②③正确.垂直于同一个平面的两个平面可能相交、平行和垂直，所以④错误，故正确的有②③.9.互相垂直解析：如图，设∩=AB，∩=AC，在内取点P，过P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.∵⊥，∴PM⊥.又∵∩=，∴PM⊥.同理可得PN⊥，∴⊥，∴⊥AB，⊥AC.同理可证AB与AC垂直.10.①②解析：分别经过两条互相垂直的直线的平面有无数个，但不一定互相垂直，所以③错误.二.解答题11. 证明：如图，连接AC交BD于N，连接MN.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点N是AC的中点.又因为点M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN⊂平面MDB，SA平面MDB，所以SA∥平面MDB.12. 解：如图，连接DB交AC于点O，取的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面.因为MO为△的中位线，所以∥MO.因为⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以∥平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线平行的截面.13.(1)证明：由已知可得，，== 6， = 6，于是有，所以⊥EF，⊥CE.又EF∩CE=E，所以⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥.(2)解：在△CEF中，由(1)可得EF=CF=6，CE=23，于是有，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥，且EF∩=E，所以CF⊥平面.又⊂平面，故CF⊥.于是∠即为二面角的平面角.由(1)知△是等腰直角三角形，所以∠=45°，即所求二面角的大小为45°.14.解：（1）如图，QN即为所求作的直线l.第14题答图（2）设QN∩=P，∵△≌△MAD，∴，∴是的中点．又∥，∴===．∴=a－=。

寻找异面直线所成的角
我们知道，求异面直线所成的角的关键是在图形中作出平行线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角来处理，本文介绍平移直线的方法，供同学们参考．
方法一：沿着第三条直线的方向平移
在图形中，若两条异面直线都与第三条直线相交，可将异面直线中的一条沿着第三条直线的方向平移，直到与异面直线中的另一条相交．也可将两条异面直线同时沿着第三条直线的方向平移，直到相交即可．
例1 在棱长是a 的正方体1111ABCD A B C D -中，请作出直线1AB 与1BC 所成的角． 作法：如图1，由于1AB 、1BC 都与AB 相交，可将1BC 沿AB
平移至1AD ，连结11B D ，则在11AB D △中，11B DA ∠就是直线1AB 与
1BC 所成的角．
方法二：利用平行平面的性质作平行线
若图形中存在两个平行平面，两条异面直线至少有一条在其中的平面内，可在平行平面内作平行线．
例2 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F G ，，分别是11A D 、11A B 、BC 的中点，请作出直线EF 与AG 所成的角．
作法：如图2，在平面AC 内取CD 的中点H ，连结GH ，则
GH EF ∥，连结AH ，所以在AGH △中，AGH ∠就是直线EF 与
AG 所成的角．
例 3 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F G H ，，，分别是
11A D 、11A B 、1CC 、CD 的中点，请作出直线EF 与GH 所成的角．
作法：如图3，取BC 的中点K ，连结HK 、KG ，则HK EF ∥，所以在GHK △中，GHK ∠就是直线EF 与GH 所成的角．。

2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 第二课时直线与平面垂直课时作业苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 第二课时直线与平面垂直课时作业苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2。

3 第二课时直线与平面垂直[学业水平训练]1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°）;②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°］;③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°］；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案:①④2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：24．如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b,则a ⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b,∴l∥b，即可得l∥α。

2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定习题苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定习题苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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直线与平面平行的判定(答题时间：40分钟）*1. 若直线a不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是（ )A. α内的所有直线与a异面 B。

α内的直线与a都相交C. α内存在唯一的直线与a平行D. α内不存在与a平行的直线＊2. 长方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个。

＊＊3. (天津二模）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD ＝2AB，PA⊥底面ABCD,E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是________。

**4。

（泰州检测)在正方体ABCD－A1B1C111BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是________。

*＊5. 如图,在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点。

（填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况）*6. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________。

必修2 第一章 立体几何初步 1.2点、线、面之间的位置关系专题训练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A.异面B.相交C.平行D.不能确定2.已知平面α⊥平面β，l αβ⋂＝，点A A l α∈∉,，直线//AB l ，直线AC l ⊥，直线////m m αβ,，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A.//AB mB.AC m ⊥C.//AB βD.AC β⊥3.如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,1BC AC ⊥,过点1C 作平面ABC 的垂线,则垂足H 必在( )A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线CA 上D.ABC △内部4.已知,m n 表示两条不同的直线, ,,αβγ表示三个不同的平面,下列命题中正确的个数是( ) ①若,m n αγβγ⋂=⋂=,且//m n ,则//αβ;②若,m n 相交且都在,αβ外, //,//,//m m n αβα;③若//,//m n αβ,且//m n ,则//αβ.A.1B.2C.3D.05.设平面//α平面,,,A B C βαβ∈∈是AB 的中点,当,?A B 分别在,αβ内运动时,所有的动点 C ( )A.不共面B.当且仅当,?A B 在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当,?A B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D.共面6.异面直线是指( )A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.若直线1l 与2l 是异面直线, 1l 在平面α内, 2l 在平面β内, l 是平面α与β平面的交线,则下列命题正确的是( )A. l 至少与12,l l 中的一条相交B. l 与12,l l 都相交C. l 至多与12,l l 中的一条相交D. l 与12,l l 都不相交8.如图,点A α∈,点B α∈,点P ,PB α⊥, C 是α内异于A 和B 的动点,且PC AC ⊥,则动点 C 在平面α内的轨迹是( )A.—条线段,但要去掉两个点B.—个圆,但要去掉两个点C.两条平行直线D.半圆,但要去掉两个点9.已知 m 和n 是两条不同的直线, α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m β⊥的是( )A. //αβ,且m α⊂B. //m n ,且n β⊥C. m n ⊥,且n β⊂D. m n ⊥,且//n β10.若111AOB AO B ∠=∠,且11//OA O A,射线11,OA O A ,的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A. 11//OB O B ,且射线11,OB O B 的方向相同B. 11//OB O BC. OB 与11O B 不平行D. OB 与11O B 不一定平行二、填空题11.如图,边长为a 的正三角形ABC 的边,AB AC 的中点分别为,E F , 将AEF ∆沿EF 折起至A EF ∆'位置,使平面'A EF ⊥平面BEFC ,则 'A B =__________.12.如图, P 为所在平面外一点, E 为AD 的中点, F 为PC 上一点,若//PA 平面EBF ,则PF FC =__________.13.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O ,且点P 到三个平面的距离分别为3,4,5,则OP 的长为__________.14.α、β、γ是三个两两平行的平面,且α与β之间的距离为3,α与γ之间的距离为4,则β与γ之间的距离为__________.15.如下图所示, P 是ABC ∆所在平面外一点, ,,E F G 分别是,,AB BC PC 的中点,则图中与过,,E F G 的截面平行的线段是__________.三、解答题16.如图, ABC ∆为正三角形, EC ⊥平面ABC ,//BD CE ,且2CE CA BD ==,M 是EA 的中点.1.求证: DE DA =;2.求证:平面BDM ⊥平面ECA ;3.求证:平面DEA ⊥平面ECA .17.如图所示,△ABC 和△A B C '''的对应顶点的连线',','AA BB CC 交于同一点 O ,且23AO BO CO OA OB OC =''=='.。

高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系两条直线平行教案苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系两条直线平行教案苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系两条直线平行教案苏教版必修2的全部内容。

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2 点、线、面之间的位置关系 两条直线平行教学目标掌握用斜率判断两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，运用分类讨论、数形结合等数学思想培养学生思维的严谨性、辩证性．重点难点两直线平行的判断．引入新课 1．解下列各题（1）直线()00126≠=--a y ax ，在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍,则=a ______________(2）已知点()12,1--m P 在经过()()4,3,1,2--N M 两点的直线上，则m 的值是_____2．（1）当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互平行，则它们的斜率______， 反之,若它们的斜率相等，那么它们互相___________，即1l //⇔2l ____________． 当两条直线21,l l 的斜率都不存在时，那么它们都与x 轴_________，故21_____l l ． 3．练习：分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）)1,1()1,3(--B A ，，)1,5()5,3(D C ，-； （2）)4,3()4,2(---B A ，，)1,4()1,0(D C ，．例题剖析已知两直线052074221=+-=+-y x l y x l ：，：　，求证:1l //2l ．求证：顺次连结)4,4()3,2()27,5()3,2(---D C B A ，，，所得的四边形是梯形．例1 例2 ABC D-42 53-3xy例3 求过点)3,2(-A ，且与直线052=-+y x 平行的直线的方程．求与直线0143=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为37的直线l 的方程．巩固练习1．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行,则=a ____________________．2．过点)2,1(-且与直线01=--y x 平行的直线方程是____________________________． 3．两直线)(02R k k y x ∈=+-和0563=+-y x 的位置关系是___________________． 4．已知直线1l 与经过点)6,3(P 与)3,6(Q 的直线平行，若直线1l 在y 轴上的截距为2， 则直线1l 的方程是_____________________________．5．已知)27,31()5,5()1,1()2,4(----D C B A ，，，，求证：四边形ABCD 是梯形．课堂小结1l //2l ⇔⎩⎨⎧≠=2121b b k k 或1l //2l ⇔斜率不存在且横截距不相等,即如果21k k =，那么一定有1l //2l ，反之不一定成立．课后训练班级：高一（ ）班 姓名:____________一 基础题1．下列所给直线中，与直线012=--y x 平行的是( ）A ．0224=-+y xB ．0224=--y xC ．0124=-+y xD ．0124=+-y x2．经过点)3,2(-C ，且平行于过两点)2,1(M 和)5,1(--N 的直线的方程是____________． 3．将直线032=++y x 沿x 轴负方向平移2个单位，则所得的直线方程为____________． 4．若直线012=-+y ax 与直线0)1(2=+-+a y a x 平行,则=a _________________． 二 提高题5．已知直线l 与与直线m ：0532=-+y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为1， 求直线l 的方程．例46．当a 为何值时，直线012=-+ay x 和直线01)13(=---ay x a 平行．三 能力题 7．（1）已知直线1l :0=++C By Ax ，且直线1l //2l ，求证:直线2l 的方程总可以写成)(011C C C By Ax ≠=++；(2)直线1l 和2l 的方程分别是0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A ，其中1A ,1B 不全为0,22,B A 也不全为0,试探求：当1l //2l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？8．已知平行于直线0152=-+y x 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 求直线l 的方程．。

点到面的距离和线面角知识点课标要求题型说明点到面的距离和线面角1. 理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角；2. 理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离选择题填空题解答题求点到面的距离和斜线与平面所成的角其实质是垂直关系的应用，其中寻找一个点在平面内的射影是解决问题的难点。

二、重难点提示重点：掌握点到面的距离和线面角的解法。

难点：如何寻找点在平面内的射影。

考点一：点到平面的距离1. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。

2. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。

【要点诠释】直线到平面的距离常常转化为点到平面的距离求解。

【规律总结】求点面距离的常用方法①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形。

②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解。

③体积法：利用三棱锥的特征转化位置来求解。

（后面章节）考点二：直线和平面所成的角1. 斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

2. 正投影过平面α外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图所示。

3. 直线和平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。

特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角。

（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°。

（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO。

【核心归纳】求解斜线和平面所成的角的一般步骤是：①确定斜线与平面的交点即斜足；②经过斜足上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；③求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形。

第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时 直线与平面垂直的判定 答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。

第一章章末总结一、空间几何体的画法及表面积、体积计算立体图形和平面图形的转化是立体几何主要的考点．一方面，由几何体能够画出其平面图，如三视图、直观图等；另一方面，由三视图能够想象出几何体的形状，并能研究其表面积、体积等．例1一几何体的三视图如图所示，尺寸如图中所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．变式训练1 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为____________．例2梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝2，C1D1＝3，A1D1＝1，则ABCD的面积是________．变式训练2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为______．二、平面基本性质的应用1．关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面的交线上．2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．例3如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．变式训练3 如图，四边形ABB′A′，BCC′B′，CAA′C′都是梯形．求证：三直线AA′，BB′，CC′相交于一点．三、直线、平面的位置关系1．空间平行关系的判定方法：(1)判定线线平行的方法．①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理4；③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．(2)判断线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(3)面面平行的判定方法有：①平面平行的定义(无公共点)；②判定定理(若a∥β，b∥β，a、b⊂α，且a∩b＝A，则α∥β)；③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂α且a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．平行关系的转化是：2．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)；③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°．(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．垂直关系的转化是：例4如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN．变式训练4 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过E 点作EF⊥PB 交PB 于点F ．求证：(1)PA∥平面EDB ； (2)PB⊥平面EFD ．第一章 章末总结 答案例1解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm ，高为20 cm 的圆柱，上部为底面直径为8 cm ，母线长为5 cm 的圆锥．易求得圆锥高h ＝52－42＝3(cm )，∴体积V ＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm 3)，表面积S ＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm 2)．∴该几何体的体积为336π cm 3，表面积为196π cm 2．点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．变式训练1 36 3解析 观察三视图得棱柱底面正三角形的高和侧棱长．注意图中数据33是底面正三角形的高，不是边长．棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的高为33，设边长为a ，则32a ＝33，所以a ＝6．所以底面积为34a 2＝93．所以棱柱的体积为93×4＝363． 例2 5解析 把图还原，ABCD 为直角梯形，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2．∴S 梯ABCD ＝＋2＝5．点评 斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x ，y ，z 轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x ，z 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半．变式训练2 22解析∵OE＝22－1＝1，∴O′E′＝12，E′F＝24，∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22．例3 证明 (1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G，H 不是BC 、CD 的中点，∴EF≠GH． 又EF∥GH，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M ．⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂面ABC HF ⊂面ACD ⇒M∈面ABC 且M∈面ACD ⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上 ⇒M∈AC．∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用公理1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个公理．变式训练3 证明 梯形ABB′A′中，A′B′∥AB．∴AA′，BB′在同一平面A′B 内． 设直线AA′，BB′相交于点P ，同理BB′、CC′同在平面BC′内，CC′、AA′同在平面A′C 内．∵P∈AA′，AA′⊂平面A′C， ∴P∈平面A′C．同理点P∈平面BC′．根据公理2，点P 在平面A′C 与平面BC′的交线上，而平面A′C∩平面BC′＝CC′，故点P ∈直线CC′，即三直线AA′、BB′、CC′相交于一点．例4 证明 (1)因为AD∥BC，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD∥平面PBC ， 又平面ADMN∩平面PBC ＝MN ， 所以AD∥MN，所以MN∥BC．因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN∥BC，且MN ＝12BC ．又E 为AD 的中点，所以四边形DENM 为平行四边形． 所以EN∥DM．又EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN∥平面PDC ．(2)因为ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°， 所以BE⊥AD．又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E ， 所以AD⊥平面PEB ．因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB ． (3)由(2)知AD⊥PB．又因为PA ＝AB 且N 为PB 的中点， 所以AN⊥PB，又AD∩AN＝A ， 所以PB⊥平面ADMN ．又PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC⊥平面ADMN ．点评 立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．变式训练4 证明 (1)如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结EO ．∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA∥EO．而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA∥平面EDB ．(2)∵PD⊥底面ABCD ，且DC ⊂平面ABCD ， ∴PD⊥DC．∵PD＝DC ，∴△PDC 是等腰直角三角形．又DE 是斜边PC 的中线，∴DE⊥PC． ① 由PD⊥底面ABCD ，得PD⊥BC． ∵底面ABCD 是正方形，∴DC⊥BC． ∴BC⊥平面PDC ．又DE ⊂平面PDC ，∴BC⊥DE． ② 由①和②推得DE⊥平面PBC ．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1.2.2 空间两条直线的位置关系（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共60分）1.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列说法正确的是.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面.2.已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是.3.和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.4.三条直线两两相交，可以确定平面的个数是_______.5.下列说法正确的是_______.①一条直线上有一个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内;②一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内;③若线段AB⊂平面α，则线段AB延长线上的任何一点必在平面α内;④一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内.6.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相在上面的结论中，正确结论的编号是.(写出所有正确结论的编号)7．如图，是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有_______对．8.三条直线两两平行，但不共面，可以确定______个平面；共点的三条直线可以确定______个平面.9.长方体的6个面所在的平面可以将空间分成______部分.10.若P是两条异面直线l,m外的任意一点，则过点P有且只有一条直线与l,m都_______.11.给出的下列命题中，正确的是_______.①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④每两条都相交且交点各不相同的四条直线，一定共面.12.空间有五个点，若五点共线，可确定_______个平面；若其中四点共线，可确定_______个平面；若其中有三点共线，其他任何三点不共线，可确定_______个平面；若任何三点都不共线，可确定_______个平二、解答题（共40分）13.（13分）已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交,求证:直线a，b，c共面.14.(13分)如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线. 15．（14分）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD= ∠FAB=90°，BC平行且等于12AD，BE平行且等于12FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面?为什么?1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. .二、解答题13..14.15.1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1.2.2 空间两条直线的位置关系（苏教版必修2）参考答案一、填空题1.②解析：对于①，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除①；对于②，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故②正确；过点P有无数条直线l,m都相交，故③不正确；过点P有无数条直线与l,m都异面，故④不正确.2.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交.3.相交或异面解析:由公理4可知直线AB与CD不可能平行,只有相交或异面.4.1或3 解析：三条直线两两相交，交于一点时任意两条直线都可以确定一个平面；不交于一点时三条直线共面.5.②③④解析：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线在这个平面内，所以②③④正确.6.①②④解析：①②④对应的情况如图：③可以用反证法证明错误.7.三解析：把各个侧面还原到正方体中，可知四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有三对．8.3；1或3 解析：三条直线两两平行，但不共面可以确定3个平面；共点的三条直线若共面只能确定1个平面，若不共面可以确定3个平面.9.27解析：本题考查空间想象能力，我们可以先把长方体拆开，然后重新进行“组装”.两个相对的平面可以把空间分为3部分，那么4个侧面将空间划分为9部分，加上一个上底面，则将空间划分为18部分，再加上一个下底面，则将空间划分为27部分，故长方体的6个面所在平面将空间划分为27部分.10.垂直解析：过点P作两条直线分别与l,m平行，则这两条直线确定一个平面，过点P垂直于这个平面的直线一定与l,m都垂直，且它是唯一的，故应填垂直.11.①④解析：梯形中有两边平行，可确定一个平面，各顶点都在这个平面内，①对；三条平行直线不一定共面，当一条直线不在另两条直线确定的平面内时，它们就不共面，②错；三个公共点共线时，这两个平面不一定重合，③错；④对.故应填①④.12.无数；1；1个或5个；1个或7个或10个二、解答题设a∩b=A，a∩c=B，∴A∈a,B∈a.∵ A∈α,B∈α,即a⊂α，∴a，b，c共面.14.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC交平面α于点R,则P，Q，R三点都在平面α内.又因为P，Q，R三点都在平面ABC内，所以P，Q，R三点都在平面α和平面ABC的交线上.而两平面的交线只有一条，所以P，Q，R三点共线.15．(1)证明：由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GH∥12AD.又∥12AD，故∥，所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解：C,D,F,E四点共面.理由如下：由BE∥12AF，G是FA的中点知，BE∥GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC,FH共面. 又点D在直线FH上，所以C,D,F,E四点共面.。

1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．给出下列命题:①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;③a∥α，b、c⊂α，a∥b，b⊥c，则有a⊥c;④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.其中正确的是 .2.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①α∥c，β∥c⇒α∥β；②α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③α∥c，a∥c⇒a∥α；④a∥γ，α∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是 . 所在的直线，则a与b的位置关系是．4．如图，的正方体，M，N分别下底面的棱的中点，P是上底面的棱AD上一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .5.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ;②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b ∥α，b∥β，则α∥β;③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是 .6.已知平面α∥β，△ABC，△A1B1C1分别在平面α，β内，线段AA1，BB1，CC1共点于O，O在α，β之间，4OAOA1= .7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC 外一点且有PA=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的位置关系是 .8.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”正确的是____________（填序号）.①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z 是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.9.若三个平面两两垂直，则它们的交线 .10.下面三个结论:①三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直;②分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直;③分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直.其中正确结论的序号是 .二、解答题（共50分）11.(12分)如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证:SA∥平面MDB. 12．（12分）如图，在长方体中，试作出过AC且与线平行的截，并说明理由.13.（13分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=22，BF=2.(1)求证：CF⊥；(2)求二面角E−CF−C1的大小. 14.（13分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长．第14题图1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.14.1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系（苏教版必修2）参考答案一、填空题1．①③2．②解析：②正确，①错在α与β可能相交，③④错在a 可能在α内. 3．可能相交，也可能是异面直线解析：如图所示，a 与b 相交；a 与b ′异面．第3题答图4．a 解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP =a3，∴PD AD =DQ CD =PQ AC =23，∴PQ =23AC =a .5.②③解析：可通过公理、定理判定命题正确，通过特例、反例说明命题错误.①如图，在正方体-ABCD ，平面D ∩面=D ，平面∩平面，且D ∥，但面与平面不行，①误.②因为、b 相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确.③根据平面与平面垂直的判定定理：当直线a ∥b ，l 垂直于平面α内的两条不相交直线时，得不出l ⊥α，④错误.6.解析：因为平面α∥β，平面∩平面α=B ，平面∩平面，所AB ∥.同理AC ∥，BC ∥，可得两三角形相似. 因为AB =2，AC =1，BC =5，所以BC 2=AB 2+AC 2，所以S △ABC =12×2×1=1.所以(OA OA 1)2==94，所以=32.7.垂直解析：因为PA =PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理PO ⊥BD ，所以PO ⊥平面ABCD .8.②③解析：因为垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都可以，所以①错误.根据线面垂直的性质②③正确.垂直于同一个平面的两个平面可能相交、平行和垂直，所以④错误，故正确的有②③. 9.互相垂直解析：如图，设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ， 在γ内取点P ，过P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N . ∵α⊥γ，∴PM ⊥α. 又∵∩β=a ，∴PM ⊥a . 同理可得PN ⊥a ，∴a ⊥γ，∴a ⊥AB ，a ⊥AC . 同理可证AB 与AC 垂直.10.①②解析：分别经过两条互相垂直的直线的平面有无数个， 但不一定互相垂直，所以③错误. 二.解答题11.证明：如图，连接AC 交BD 于N ，连接MN. 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以点N 是AC 的中点. 又因为点M 是SC 的中点， 所以MN ∥SA .因为MN ⊂平面MDB ，SA ⊄平面MDB ， 所以SA ∥平面MDB .12.解：如图，连接DB 交AC 于点O ，取的中点M ， 连接MA ，MC ，MO ，则截面MAC 即为所求作的截面. 因为MO 为△的中位线， 所以∥MO .因为⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ， 所以∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线平行的截面. 13.(1)证明：由已知可得，，==6，=6， 于是有，所以⊥EF ，⊥CE .又EF ∩CE =E ，所以平面CEF . 又CF ⊂平面CEF ，故CF ⊥.(2)解：在△CEF 中，由(1)可得EF =CF =6，CE =23， 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以CF ⊥EF . 又由(1)知CF ⊥，且EF ∩=E ，所以CF ⊥平面. 又⊂平面，故CF ⊥.由(1)知△是等腰直角三角形，所以∠EFC1=45°，即所求二面角E−CF−C1的大小为45°.14.解：（1）如图，QN即为所求作的直线l.第14题答图（2）设QN∩A1B1=P，∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1，∴A1是QD1的中点．又A1P∥D1N，∴A1P=12D1N=14C1D1=14a．∴PB1=A1B1－A1P=a－14a=34a．。

第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系A组　基础巩固1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线( ) A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内解析：如图所示，因为l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m.所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的．答案：B2．三棱锥S-ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交 B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质定理可知EF∥BC.答案：B3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.答案：B4．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4解析：对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②.答案：B5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B6．(2014·浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面成立的是( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A 中，由m ⊥n ，n ∥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误；B 中，由m ∥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误；C 中，由m ⊥β，n ⊥β可得m ∥n ，又n ⊥α，所以 m ⊥α，正确；D 中，由m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α可得m ∥α或m 与α相交或m ⊂α，错误．答案：C7．线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：如图所示，AC ⊥α，AB ∩α＝B，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝AB ，所以∠ABC ＝60°，12它是AB与平面α所成的角．答案：C8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④9．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④10.如图所示，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形有________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.所以△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.所以△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个11．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：012.如图所示，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P 到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解：(1)因为PD⊥平面BCD，所以BD是PB在平面BCD内的射影．所以∠PBD为PB与平面BCD所成的角．因为BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又因为CD的长等于点P到BC的距离，所以BP ＝CD .设BC ＝a ，则BD ＝a ，BP ＝CD ＝a ，2所以在Rt △BPD 中，cos ∠DBP ＝.22所以∠DBP ＝45°，即PB 与平面BCD 所成角为45°.(2)如图所示，过点B 作BE ⊥CD于点E ，连接PE .由PD ⊥平面BCD 得PD ⊥BE ，又PD ∩CD ＝D ，所以BE ⊥平面PCD .所以∠BPE 为BP 与平面PCD 所成的角．在Rt △BEP 中，由(1)知：BE ＝a ，BP ＝a ，222所以∠BPE ＝30°，即BP 与平面PCD 所成角为30°.B 组　能力提升13．点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH 平行的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：C14．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边．不能保证该直线与平面垂直的是( )A．①② B．②C．②④D．①②④解析：三角形的两边及圆的两条直径一定相交，而梯形的两边及正六边形的两边可能平行，故②④不能保证该直线与平面垂直．答案：C15．如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是________．解析：由题知，当A、B在平面α同侧时，直线AB和平面α平行；当A，B在平面α异侧时，直线AB和平面α相交．答案：平行或相交16.如右图，已知：M，N分别是△ADB和△ADC的重心，点A不在平面α内，B，D，C在平面α内．求证：MN∥α.证明：如图所示，连接AM ，AN 并延长分别交BD ，CD 于点P ，Q ，连接PQ.因为M ，N 分别是△ADB ，△ADC 的重心，所以＝＝2.AM MP AN NQ 所以MN ∥PQ .又PQ ⊂α，MN ⊄α，所以MN ∥α.17.如图所示，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝a ，点E 2在PD 上，且PE ：ED ＝2∶1.那么，在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？证明你的结论．证明：如图所示，当F 为PC 的中点时，BF ∥面AEC .取PE 的中点M ，连接FM ，有FM ∥CE .　①由EM ＝PE ＝ED 知：E 是MD 的中点，12连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连OE ，所以BM ∥OE . ②由①②知：平面BFM ∥平面ACE .又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC .因此当F 为PC 中点时满足题意．。

第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q 在CD上，则PQ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________．二、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC ∥l ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n ∥α． 8．223a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3．9．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE ∶EB ＝m ∶n ．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。

1.2 点、线、面之间的位置关系1、下列四个命题中错误的是( )A. 若直线a b 、互相平行,则直线a b 、确定一个平面B. 若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C. 若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 2、给出下列四个命题:①平行于同一直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两条直线平行; ③垂直于同一直线的两条直线平行; ④垂直于同一平面的两条直线平行. 其中正确命题的个数是( ) A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图,在正方体中,下列结论不正确的是( )A.111C D B C ⊥B.1BD AC ⊥C.11//BD B CD.160ACB ∠=︒4、已知()0,1,1A ,()2,1,0-B ,()3,5,7C ,()1,2,4D ,则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) 522 B.522 522 D.5225、设,m n 是两条不同的直线,α表示平面，下列说法正确的是( ) A.若//,m n αα⊂，则//m n ； B.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥； C.若,m m n α⊥⊥，则//n α； D. 若//,m m n α⊥，则n α⊥；6、如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点，A B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点，M N 分别为线段，PB BC 的中点，有以下三个命题：①⊥OC 平面PAC ；②//MO 平面PAC ；③平面//PAC 平面，MON其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( ) A ．//αβ B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．//αβ或α与β相交8、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 矩形，侧棱AP ⊥平面ABCD ，1AB =，3AP =,点M 在线段BC 上，且AM MD ⊥，则当PMD △的面积最小时，线段BC 的长度为( )332C.2D.329、在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，点P 为直线BC 上一动点，记直线P A 与平面BCD 所成的角为θ，则 （ ）A. θ的最大值为60B. θ的最小值为60C. θ的最大值为30D. θ的最小值为3010、如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若2==PA AB ，=AC BC ，则二面角--P AC B 大小的正切值是（ ）667711、正方体1111ABCDA B C D ﹣，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1AD PC ﹣的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C ﹣﹣的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线； 其中正确的命题编号是 ．12、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为2，1＝＝AC BC ，090=∠ACB ， D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E .要使11平面⊥AB C DF ，则线段1B F 的长为_____________.13、如图,以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕,把ABD △和ACD △折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD AC ⊥;②BAC △是等边三角形; ③三棱锥D ABC -是正三棱锥; ④平面ADC ⊥平面ABC , 其中正确的是__________.14、如图所示,在四面体ABCD 中, ,E F 分别是AC 、BD 的中点,若22CD AB ==,EF AB ⊥,则EF 与CD 所成的角等于__________.15、如图所示,正四棱锥PABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱PA 与底面ABCD 所成的角6（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;（2）若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;（3）问在棱AD上是否存在一点F,使EF 侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选C．2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：B解析：由题意，设,BM x MC y ==，则BC AD x y ==+因为PA ⊥平面ABCD ,MD ⊂平面ABCD ,所以PA MD ⊥.又AM MD ⊥，所以PA AM A ⋂=，所以,MD ⊥平面PAM ，则MD PM ⊥.易知 AM MD Rt AMD △中，222AM DM AD +=,即()22211x y x y +++=+,化简得1xy =,Rt PMD △中， PM MD ,所以32PMD S =≥△当且仅当224x x=，即x y ==时，取等号，此时BC x y =+=9答案及解析： 答案：A 解析：10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：①③④ 解析：12答案及解析： 答案：21解析：13答案及解析： 答案：①②③ 解析：14答案及解析： 答案：30°解析：如图所示,设H 为DA 的中点,连接HF ,HE , 则易得FH EF ⊥,在Rt EFH ∆中, 1HE =,12HF =, ∴30HEF ∠=︒,即EF 与CD 所成的角为30.15答案及解析：答案：解:(1)取AD 中点M,连接,,MO PM 依条件可知,AD MO AD PO ⊥⊥,则PMO ∠为所求二面角PADO 的平面角.因为PO ⊥平面ABCD ,所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角. 所以6tan PAO ∠=设2,AB a AO ==,所以3·PO AO tan PAO =∠3POtan PMO MO ∠==所以60.PMO ∠=︒(2)连接,AE OE ,因为//OE PD ,所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角. 因为,AO BD AO PO ⊥⊥,所以AO ⊥平面PBD . 又OE ⊂平面PBD ,所以AO OE ⊥. 因为12OE PD ==所以AO tan AEO EO ∠==(3)延长MO 交BC 于N,取PN 中点G,连,EG MG . 因为,BC MN BC PN ⊥⊥, 所以BC ⊥平面.PMN 所以平面PMN ⊥平面PBC . 又,60,PM PN PMN =∠=︒ 所以PMN ∆为正三角形. 所以MG PN ⊥.又平面PMN ⋂平面,PBC PN = 所以MG ⊥平面PBC . 取AM 中点F,因为//EG MF , 所以12MF MA EG==, 所以//.EF MG 所以EF ⊥平面PBC .点F 为AD 的靠近A 的四等分点. 解析：由Ruize收集整理。

§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面．(2)推论2 经过____________，有且只有一个平面．(3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线； ②一点和一直线；③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；(2)E 、C 、D 1、F 四点共面；(3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点 ⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或34．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。

第章立体几何初步点、线、面之间的位置关系空间两条直线的位置关系组基础巩固．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )．一定平行．一定相交．一定异面．相交或异面解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．答案：．，为异面直线是指( )①∩＝∅，且不平行于；②⊂平面α，⊄平面α，且∩＝∅；③⊂平面α，⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使⊂α，且⊂α成立．．①②③．①③④．②③．①④解析：②③中的，有可能平行，①④符合异面直线的定义．答案：．下列选项中，点，，，分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是( )解析：易知选项，中∥，选项中与相交，只有选项中与是异面直线．答案：．下列命题中，其中正确的为(填序号)．①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行；③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．答案：③．已知∥，∥，若∠＝°，则∠＝．解析：由等角定理可知，当∠的两边和∠的两边分别平行并且方向相同时，∠＝°；当∠的两边和∠的两边分别平行并且方向相反时，∠＝°.故填°或°.答案：°或°.如图所示，在正方体中，和分别是正方形和的对角线．()∠的两边与∠的两边分别平行并且方向相同；()∠的两边与∠的两边分别平行并且方向相反．解析：()∥，∥并且方向相同，所以∠的两边与∠的两边分别平行并且方向相同．()∥，∥并且方向相反，所以∠的两边与∠的两边分别平行并且方向相反．答案：() ()．两条异面直线指的是(填序号)．①空间中不相交的两条直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；。