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眉山市高中2015届第一次诊断性考试语文试题科参考答案2015．01一、（12分，每小题3分）1．C [解析] A弄．堂（lòng）；B模棱．两可（léng）；C毗．邻（pí）。
2．B [解析]A繁文褥节——繁文缛节；C天随人愿——天遂人愿；D讫今——迄今。
3．A [解析] 第①句；“反而”表示跟上文的意思相反或者超出预料，在句中起转折作用；“进而”强调在原有基础上更进一步；从句中看，后句的意思与上句的意思正好相反，所以应选用“反而”；第②句：“目睹”“目击”意思都是亲眼看见，“目睹”后面一般搭配的是一个场面和情景；“目击”更强调的是亲眼看见了事件的整个过程；如“目击了事件的真相”；从句中看选“目睹”更符合语境（该组词语出自《语言文字运用》第66页）；第③句：“不绝于耳”形容声音不断地在耳边响起；“不绝如缕”形容形势危急或声音细微悠长。
从句意看，句子表达的意思是唱衰中国的声音不断地出现，选“不绝于耳”才符合句意。
4．D [解析] A搭配不当，“提升”不能与“办学条件”相搭配；B成分残缺，“在……背后”造成了主语残缺；C句式杂糅，“规划为……组成”杂糅，可改为“由……组成”，或“规划为……”删去“组成”。
二、（9分，每小题3分）5．C [解析]文本本身没有直接回答这一问题，从文本论述出现原因和每一自然段中作者陈述的主体都可以看出促成转变的主体是执政的卿大夫。
6．D [解析] 回答的是春秋时期最核心的文化概念，这不是“春秋时代成为中国文化突破的关键时期”的原因。
7．B [解析]A原文第三四段中只提到了“某些统治者表现出对‘天’的怨恨和质疑，很多人开始认识到所谓的‘天命’或‘上帝’的支撑有点靠不住”，对祖先的崇拜、对社会等级秩序的追求都没有受到挑战；C原文的表述为“儒家的那些基本文化观念都已经形成”，并不等于儒家这一学派已经形成；其次，原文“孔子是中国‘礼’文化的集大成者”并不能等同于是儒家文化的集大成者；D“以孔子为代表的‘以德治国’在文本中缺少依据”。
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。
学必求其心得，业必贵于专精2013年四川省眉山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1．(5分)（2013•眉山一模）若集合A=｛x｜x＞0}，B=｛x|x2＜4}，则A∩B=()A．｛x｜﹣2＜x ＜0}B．｛x｜0＜x＜2}C．{x｜﹣2＜x＜2｝D．｛x｜x＞﹣2}考点:交集及其运算．专题：计算题．分析:求出集合B中一元二次不等式的解集，确定出集合B,找出两集合解集的公共部分，即可确定出两集合的交集．解答：解：由集合B中的不等式x2＜4，变形得：（x+2）（x﹣2）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴集合B={x｜﹣2＜x＜2}，又A={x｜x＞0｝，则A∩B={x｜0＜x＜2｝．故选B点评：此题属于以一元二次不等式的解法为平台,考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型．2．（5分)(2013•眉山一模）设i是虚数单位，则复数(1﹣i）﹣等于( ）学必求其心得，业必贵于专精A．0B．1+i C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接把给出的复数的分式部分分子分母同时乘以（﹣i），整理后利用复数的加减运算化简．解答：解：(1﹣i)﹣=（1﹣i)﹣=(1﹣i）+2i=1+i．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．(5分）（2007•陕西）某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7考点:分层抽样方法．分析：先计算分层抽样的抽样比，再求植物油类与果蔬类食品所需抽取的个数．解解：共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取,故抽取答：植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6．故选C．点评:本题考查基本的分层抽样，属基本题．4．（5分)(2013•眉山一模）若S n是等差数列{a n｝的前n项和，且S8﹣S3=20,则S11的值为( ）A．44B．22C．D．88考点:等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题:等差数列与等比数列．分析：由于S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8，结合等差数列的性质a4+a8=a5+a7=2a6可求a6，由等差数列的求和公式S11==11a6 ，运算求得结果．解答：解：∵S8﹣S3=a4+a5+a6+a7+a8=20，由等差数列的性质可得,5a6=20，∴a6=4．由等差数列的求和公式可得S11==11a6=44，故选A．点评：本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．5．（5分）(2013•眉山一模）下列四种说法中，错误的个数是（)①集合A=｛0，1}的子集有3个;②命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．③命题“∀x∈R,均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是:“∃x∈R,使得x2﹣3x﹣2≤0"④“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题:计算题．分析：①集合A={0,1｝的子集有4个；②命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1"；③命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”；④p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可,p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，由此能作出正确判断．解答：解:①集合A=｛0,1}的子集有4个，故①不正确；②命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故②不正确；③命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是:“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故③不正确；④∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件，故④正确；故选D．点评：本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题，仔细解答,注意合理地进行等价转化．6．(5分）(2013•汕头二模)执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（）A．B．C．D．考点：选择结构．专题：图表型．分析：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，令y=，利用此分段函数的解析式求出相应的x 的即可．解答：解：分析如图执行框图，可知:该程序的作用是计算分段函数的函数值．当x＞1时，若y=,则x=当x≤1时,若y=,则x﹣1=,x=不合．故选D．点评:本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．7．（5分）（2013•眉山一模）把函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位,得到的函数的解析式为（)A．s in2x B．c os2x C．c os（2x+）D．﹣cos（2x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析:根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．解答:解：把函数f（x)=sin（2x+)的图象向右平移个单位,得到的函数的解析式为y=sin［2(x ﹣)+］=sin（2x ﹣）=﹣cos(2x+），故选D．点评:本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．8．(5分）（2013•眉山一模）函数的大致图象为（) A．B．C．D．考点:函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是偶函数，所以排除A，B．再由x＞1时，f（x）＞0，故排除C，从而得出结论．解答：解：∵f（﹣x）=f(x），故函数是偶函数,所以排除A，B．当x＞1时，f（x）＞0，故排除C,综合以上可得应选D，故选D．点评：本题主要考查将函数的性质与图象,将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键，属于基础题．9．(5分）（2013•眉山一模)关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β,下列命题正确的是（)A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β,则m∥n C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥nD．m∥α,n⊥β且α⊥β，则m∥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题:计算题．分析：根据空间中面面平行及线面平行的性质,我们易判断A的对错,根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假;根据空间中直线与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错,进而得到结论．解答：解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误;若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n,故B错误;当n∥β且α∥β时,存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α,则m与n可能平行,也可能垂直，也可能相交，故D错误；故选C点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键．10．(5分）（2013•眉山一模）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时f（x）=1﹣x2，函数,则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间［﹣5,4]内的零点的个数为（) A．7B．8C．9D．10考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：由函数y=f(x）（x∈R）满足f（x+2）=f(x）,可知函数y=f（x）(x∈R）是周期为2的函数，进而根据x∈［﹣1,1］时，f（x）=1﹣x2，函数g（x)=的图象得到交点为7个．解答:解：因为f（x+2）=f（x)，所以函数y=f（x）（x∈R)是周期为2函数．因为x∈［﹣1，1]时,f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象,利用函数y=f（x）（x∈R)是周期为2函数,可作出y=f（x）在区间［﹣5，5]上的图象，如图所示再作出函数g（x）=的图象，可得函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5,4]内的零点的个数为7个．故选A．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象,注意掌握周期函数的常见结论:若f(x+a）=﹣f（x），则周期为2a．二．填空题:本大题共5小题，每小题5分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置.11．（5分）（2013•眉山一模）已知平面向量=(3,1），=(x，﹣3)，∥，则x等于﹣9 ．考点：平行向量与共线向量；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由向量平行的充要条件可得：3×（﹣3)﹣x=0，解之即可．解答：解：∵=（3，1），=(x，﹣3），∥，∴3×（﹣3）﹣x=0，解得x=﹣9故答案为：﹣9点评:本题考查向量平行的充要条件,属基础题．12．（5分)(2013•眉山一模）设x，y 满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y 的最大值为9 ．考点:简单线性规划．专题:不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出各角点坐标，代入目标函数，比较后可得最优解．解答:解：满足约束条件，的可行域如下图所示：∵目标函数z=3x﹣2y故z A=9，z B=﹣1，故z=3x﹣2y的最大值是9故答案为：9点评：本题考查的知识点是简单线性规划，线性规划是高考必考内容，“角点法”是解答此类问题最常用最快捷的方法．13．（5分）（2013•眉山一模）在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC 的面积小于的概率是．考点：几何概型．专题:计算题．分析:根据△PBC 的面积小于S 时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率．解答：解：设P到BC 的距离为h∵矩形ABCD的面积为S，∴△PBC的面积小于S 时，h≤BC∴点P所在区域的面积为矩形面积的一半，∴△PBC的面积小于S 的概率是故答案为：点评：本题考查几何概型，解题的关键是根据△PBC 的面积小于S 时,确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半14．(5分）（2013•眉山一模）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．考点:由三视图求面积、体积．专题:函数的性质及应用．分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面是边长为2的正方形,棱柱的高也为2，由此代入棱锥的体积公式，可得答案．解答:解：由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥由于底面为边长为2的正方形,故S=2×2=4而棱锥的高h=2故V=×S×h=×4×2=故答案为:点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．15．(5分）（2013•眉山一模)定义在区间[a，b］上的连续函数y=f（x)，如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f’（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b］上的“中值点”．下列函数：①f（x)=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）;④在区间[0，1］上“中值点”多于一个的函数序号为①④．(写出所有满足条件的函数的序号）考点：导数的概念．专题:新定义；导数的概念及应用．分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间［0,1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0,1］的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质,对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．解答：解：根据题意，“中值点"的几何意义是在区间［0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1］的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0,1］上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点",故②不正确;对于③，f(x）=ln(x+1）在区间［0,1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④,根据对称性,函数在区间[0,1］存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题．三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分)(2013•眉山一模）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C 所对的边依次为a，b，c，设=（sin （﹣A），1），=（2sin （+1），﹣1)，a=2,且•=﹣．（1)若b=2，求△ABC的面积；（2）求b+c的最大值．考点:余弦定理；函数的值域;平面向量数量积的运算．专题：计算题；转化思想；解三角形．分析：（1)通过向量的数量积二倍角的余弦函数，求出A的二倍角的余弦值，然后求出A．通过正弦定理求出R，然后求出三角形的面积．（2）解法1：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,结合不等式求出b+c的最大值为4．解法2:由正弦定理得:=，利用两角和与差的三角函数,根据角的范围,求出b+c的最大值．解答:解：（1)•=2sin(﹣A）sin （+A）﹣1=2sin （﹣A）cos （﹣A)﹣1=sin （﹣2A）﹣1=cos2A﹣1=﹣，∴cos2A=﹣，…（3分）∵0＜A ＜，∴0＜2A ＜π，∴2A=，A=…（4分）设△ABC的外接圆半径为R，由a=2RsinA得2=2R×，∴R=2由b=2RsinB得sinB=,又b＜a ，∴B=，…（5分）∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=•+•=，…（6分）∴△ABC的面积为S=absinC=•2•2•=3+．…（7分）(2）解法1：由a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2+c2﹣bc=12，…（9分）∴（b+c）2=3bc+12≤3(）2+12，…（11分）∴（b+c）2≤48,即b+c≤4，（当且仅当b=c时取等号）从而b+c的最大值为4．…（12分）解法2：由正弦定理得:====4，又B+C=π﹣A=，…（8分）∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(﹣B）]=6sinB+2cosB=4sin(B+）,…（10分）∴当B+=，即B=时，b+c取得最大值4．…（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．17．(12分）（2013•眉山一模）如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形,回答下列问题:（1）79.5～89。
眉山市高中2013届第一次诊断性考试数学试题卷(理科)注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5. 考试结束,将答题卡上交。
参考公式：如果事件A、B互斥,那么()()()P A B P A P B+=+如果事件A、B相互独立,那么()()()P A B P A P B⋅=⋅如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P n(k)=C k n p k(1−p)n−k.一．选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.若集合M={y|y=2x,x∈R},集合S={x|y=lg(x−1)}, 则下列各式中正确的是A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S=∅2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−2i等于A．0 B．2 C．4i D．−4i3.下列四种说法中,错误的个数是①集合A={0,1}的子集有3个；②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x≠1”．③命题“∀x∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x∈R,使得x2−3x−2≤0”④“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件.A．0个B．1个C．2个D．3个4.若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为A.44B.22C. 2203D.885. 执行如图的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=A．6364B.12764C.127128D.2551286. 已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α//β,则m⊥l；②若α⊥β,则m//l；③若m⊥l,则α//β；④若m//l,则α⊥β。
四川眉山市高中2014届第一次诊断性考试C．背离了原始儒学的人文精神追求与价值取向，过度诠释儒学所具有的知识理性及其现代价值。
D．先后受到黄老之学、佛学和西学的不断冲击，对负面人生问题缺乏应有的关注。
7．下面对原文内容的理解与分析，不正确的一项是A．从汉代起，儒学兴起了三次复兴运动，但迄今为止都未能找到解决其发展的可靠途径。
B．儒学的世俗化就是要容忍世俗价值，重视民众的世俗愿望与世俗要求。
C．儒学的世俗化就是要清除儒学的贵族化倾向，将儒学化为民众世俗生活的精神导向。
D．实现“三个转变”，儒学的普世价值才能得以真正发挥作用，儒学才有求得当代发展的可能。
三、（6分，每小题3分）阅读下面的文言文，完成8～9题。
贾诩字文和，武威姑臧人也。
少时人莫知，唯汉阳阎忠异之，贾诩有良、平之奇。
察孝廉为郎，疾病去官，西还至汧，道遇叛氐，同行数十人皆为所执。
诩曰：“我段公外孙也，汝别埋我，我家必厚赎之。
”时太尉段颎，昔久为边将，威震西土，故诩假以惧氐。
氐果不敢害，与盟而送之，其余悉死。
诩实非段甥，权以济事，咸此类也。
董卓之入洛阳，诩以太尉掾为平津都尉，迁讨虏校尉。
卓败，众恐惧，校尉李傕、郭汜、张济等欲解散，间行归乡里。
诩曰：“闻长安中议欲尽诛凉州人，而诸君弃众单行，即一亭长能束君矣。
不如率众而西，所在收兵，以攻长安，为董公报仇，幸而事济，奉国家以征天下，若不济，走未后也。
”众以为然。
后诩为左冯翊，傕等欲以功侯之，诩曰：“此救命之计，何功之有!”固辞不受。
张绣在南阳，诩阴结绣，绣遣人迎诩。
诩说绣与刘表连和。
太祖比征之，一朝引军退，绣自追之。
诩谓绣曰：“不可追也，追必败。
”绣不从，进兵交战，大败而还。
诩谓绣曰：“促更追之，更战必胜。
”绣谢曰：“不用公言，以至于此。
今已败，奈何复追?”诩曰：“兵势有变，亟往必利。
”锈信之，遂收散卒赴追，大战，果以胜还。
是后，太祖拒袁绍于官渡，绍遣人招绣，并与诩书结援。
绣欲许之，诩显于绣坐上谓绍使曰：“归谢袁本初，兄弟不能相容，而能容天下国士乎?”绣惊惧曰：“何至于此!”窃谓诩曰：“若此，当何归?”诩曰：“不如从曹公。
秘密★启用前【考试时间：2024年10月30日15：00—17：00】绵阳市高中2022级第一次诊断性考试数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.[]2,0- D.[]22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2.“22ac bc >”，是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3.已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（）A.3B.C.6D.9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.【详解】3x y xy +=-≥)23310-=≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A.30万元B.32万元C.36万元D.40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A.2y x -=B.1y x x =+C.sin y x x=- D.1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x f x ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6.已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A.9B.3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ或3tan 3θ=-（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据：lg 20.301≈）A.33hB.35hC.37hD.39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ek P P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8.已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（）A.30,2⎛⎤⎥⎝⎦B.2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]2e,0- D.()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′<0，则ℎ在0,1上单调递减；当1x >时，ℎ′>0，则ℎ在1,+∞上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x gx >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（）A.342S =B.2n nS a <C.{}n S 是等比数列D.存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10.已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B.令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C.函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D.函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐【详解】()2π2sincos sin 2sin (0)2223x x x f x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ，[)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，∈0,π，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点，故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.故D 正确；故选：ABD.11.已知函数()f x 的定义域为，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.()0f 可以等于零B.()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C.曲线−1为轴对称图形D.若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【答案】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13.已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14.若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e 222e x xf x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，′<0，当2x >时，′>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，′>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，′<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，′>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，′<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，′≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为10014004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14；（2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，1(sin 2cos )2A A A ⋅+=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17.已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++- ()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18.已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析（3）325,15⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数在R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，′>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，′<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，′>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，′<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得5a >-，故,05a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a 的取值范围,15⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19.已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）=2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =.所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n nn n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
四川省眉山市高中2014届高三第一次诊断性考试数学(理)试题数学（理工类）参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BAB CB BC DC D二、填空题：11.12. 13.14.15. 6π 0 3(,1]2364②③三、解答题： 16. 解：（1）由题意知： 6223a a a ⋅=，即2(12)(1)(15)-+=-+-+d d d ， …………………………………………2分0≠d 得2=d ……………………………………………………………4分∴23=-n a n ……………………………………………………………6分（2）由题意12231,3====b a b a ，所以213==b q b ，13n n b -= 13)32(-⋅-=⋅=n n n n n b a C 8分 112233n n n S a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+122311334n n n n n S a b a b a b a b a b -+=+++⋅⋅⋅++ ∴11212(34)n n n n S a b d b b b b a b +-=++++⋅⋅⋅+-13(13)2(1)12(23)313n nn S n -⨯--=-⨯+--- (2)32n n S n =-+ 12分17. 解： ⊥m n ，∴0=⋅n m 2分即(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0-+++-=B B B B B B ，即234sin 0-=B ，即3sin 2=B 4分 又 锐角三角形ABC 中，∴3=B π6分 （2）由（1）3=B π， 232sin cos()2-=+C Ay A=232sin cos()2---+B A A A π =22sin cos(2)3+-A A πOFOEF31sin 2cos 2122=-+A A sin(2)16=-+A π9分 当(2)62-=A ππ时，即3=A π时y 有最大值. 此时3===A B C π，∴三角形ABC 是正三角形. 12分 18. 解:(Ⅰ)由已知得,样本中有25周岁以上组工人=⨯50030010060名 4分样本中“25周岁以上(含25周岁)组”的日生产量平均数为550.05650.35750.35850.2950.0573.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 5分（2）由样本中“25周岁以上组”中日平均生产90件及90件以上的 “生产能手”工人有600.053⨯=(人), “25周岁以下组”中日平均生产不足60件的称为“菜鸟”工人有400.052⨯=(人)，则这2人日平均生产件数之和X 取值有180,150,110. 8分23253(190)10C P X C ===，1132253(150)5C C P X C === ，22251(110)10C P X C ===X 的概率分布列：X190150 110 P31035 110 10分X 的期望33119015011015810510E ξ=⨯+⨯+⨯= 12分19. 证明：（1）A B '交'AB 于O ，连接OD ，在'A BC 中，//'OD A C ,A '⊂OD B D ,''⊄A C AB D ，所以//''A C AB D . 5分 （2）面BB A A ABC ''⊥，过D 作FD AB ⊥于F ，作FE AB '⊥ 于E ，连结DE ，则DEF ∠为二面角D AB B '--的平面角. 6分4302253'',423=⋅=⋅==AB DB AD DE EF 15cos 5EF DEF ED ∠==. 11分故二面角D AB B '--的余弦值为155. 12分20. 解：（1）2()3'=+f x x a ，()f x 在区间()1,+∞上是增函数，所以2()30'=+≥f x x a ，在()1,+∞上恒成立，23≥-a x 恒成立，所以3≥-a ，a 的取值范围是[)3,-+∞ 4分（2）(),0()1,0.'-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩f x a x g x x x 即 23,0()1,0.⎧≤⎪=⎨>⎪⎩x x g x x xyx o 1 1由0()3=f x ，即02000()33≤⎧⎨==⎩x g x x 或00001()3>⎧⎪⎨==⎪⎩x g x x 所以01=-x ，或013=x . 9分（3）(1),1()1, 1.'-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩af x x g x x x 即223(1),1()1, 1.⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩a x a x g x x x 在R 上是减函数201.>⎧⎨≥⎩a a 所以1≥a . 13分21.解:(1) f (x)的反函数x x g ln )(=. 设直线y =kx +1与x x g ln )(=相切与点220000000,x x1)(x g'k lnx 1kx ，则)y ，P(x -==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===+e k e .所以2-=e k 4分(2) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数即方程2)(mx x f =根的个数. 5分由2222)2()(')(,)(xx xe x h x e x h x e m mx x f x x x -=⇒==⇒=令, 则 h(x)在);(h(2),h(x))2,0(+∞∈上单调递减，这时 h(x)).(h(2),h(x),),2(+∞∈+∞这时上单调递增在4h(2)2e = 的极小值即最小值。
四川省眉山市2014届高三语文第一次诊断性考试试卷及答案四川省眉山市高中2014届第一次诊断性考试语文试题卷2014．01语文试题卷共8页,满分150分,考试时间150分钟。
第Ⅰ卷(单项选择题,共27分)一、(12分,每小题3分)1．下列词语中加点的字,每对读音都不相同的一项是A．畸形/菜畦住宿/星宿隽永/眷恋梗概/粳米B．忏悔/歼灭巷道/小巷庇护/毗邻暴露/曝光C．愀然/揪心累积/劳累桎梏/鸿鹄悱恻/斐然D．缄默/箴言回旋/旋风妊娠/赈灾绮丽/犄角2．下列词语中,没有错别字的一项是A．熨帖嘉宾改弦更章随声附和B．涵盖寒暄真知卓见蛛丝马迹C．严竣折中戊戌变法与日剧增D．陷阱脉搏责无旁贷蜂拥而上3．依次在下列横线处填入词语,最恰当的一项是(1)川菜历史悠久,我们还要不断创新,博采众长,加强川菜饮食文化建设,让整个产业健康、持久发展下去。
(2)12月11日晚,国务院公布了2014年法定节假日放假安排。
至此,近期舆论对该方案的争论,终于。
(3)这样的小错误对于整个项目的要求来说是无伤大雅、的,我们决不能只纠缠于细枝末节而忘了更根本的目标。
A．的尘埃落定不足为训B．地盖棺论定不足为奇C．地尘埃落定不足为奇D．的盖棺论定不足为训4．下列各句中,没有语病的一句是A．这次全球创业周中国站活动围绕“创业梦、中国梦”为主题,传播创业文化,分享创业经验,弘扬创业精神,有利于激励更多青年开启创业理想、开展创业活动。
B．随着眉山交通中心广场最后一块顶板浇筑完成,标志着该项目建设进入全面装修阶段,为提升眉山交通形象迈出了坚实的一步。
C．在政治体制改革领域,中共十八届三中全会在权力制约监督、民主法治进步、打破利益固化藩篱、拓宽民众利益诉求渠道等方面作出了重要部署。
D．2013年的宽带中国专项行动,使我国宽带家庭覆盖面和网络能力都有了大幅增加,下一步工作的着力点和落脚点将是解决“宽带不宽,网速不快”的问题。
二、(9分,每小题3题)阅读下面一篇文章,完成5—7题。
2021届四川省眉山市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}4,4|2|1xA xB x x =≥=<<，则AB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}24x x <<C ．{}24x x ≤<D ．{2x x < 或4}x ≥【答案】C【分析】先求集合A ，再求AB .【详解】242x x ≥⇒≥，得{}2A x x =≥，{}14B x x =<<，{}24A B x x ∴⋂=≤<.故选：C2．若221)),((a i b i a b R +=-∈，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据复数相等的定义进行求解即可. 【详解】2222(1)222221a b a a i b i a i b bi b b ==-⎧⎧+=-⇒+=-⇒⇒⎨⎨=-=-⎩⎩，即2a bi i +=--，因此复数a bi +在复平面内所对应的点位于第三象限， 故选：C 3．抛物线212y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【分析】根据抛物线的几何性质可得选项. 【详解】由212y x =得22x y =，所以1p =，所以抛物线212y x =的焦点到准线的距离为1， 故选：B.4．若sin 2cos θθ=，则2cos θ=（ ）A ．15B ．13C ．35D ．45【答案】A【分析】由sin 2cos θθ=可得tan 2θ=，而221cos 1tan θθ=+，代值计算即可【详解】解：由sin 2cos θθ=，可得cos 0θ≠，tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos 1tan 5θθθθθ===++， 故选：A5．已知直线l 是圆2225x y +=在点()3,4-处的切线﹐则直线l 的方程为（ ） A ．3470x y --= B ．34250x y -+= C ．3470x y +-=D ．34250x y +-=【答案】B【分析】首先判断点()3,4-与圆2225x y +=的位置关系，根据圆的切线的几何性质求得直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程.【详解】由于()223425-+=，所以点(3,4)A -在圆2225x y +=上，圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，43OA k =-，由于1OA l k k ⋅=-， 所以34l k =， 所以直线l 的方程为()343,41639,342504y x y x x y -=+-=+-+=. 故选：B6．居民消费价格指数(ConsumerPriceIndex ，简称CPI )是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月-2020年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图，以下结论正确的是（ ）A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势【答案】D【分析】根据环比增长折线图可判断选项A、B，根据同比折线图可判断选项C、D即可得正确选项.【详解】对于选项A：由环比增长折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项A不正确；对于选项B：由环比增长折线图可知2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项B不正确；对于选项C：由同比折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数均高于2019年同期水平，故选项C不正确；对于选项D：由同比折线图可知2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势故选项D项正确．故选：D.7．若,x y满足约束条件2,21,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为（）A．14B．12C．1D．32【答案】D【分析】先画出可行域，由12z x y =+得12y x z =-+，画出直线12y x =-，将其向上平移过点C 时，目标函数取得最大值，求出点C 的坐标代入目标函数中可得答案 【详解】解：约束条件表示的可行域如图所示，由12z x y =+得12y x z =-+，画出直线12y x =-，将其向上平移过点C 时，目标函数取得最大值， 由221x y x y +=⎧⎨-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，所以12z x y =+的最大值为131122⨯+=，故选：D8．函数()2xf x e x x =--的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】从各选择支图象的区别，确定先判断函数奇偶性(对称性)，再局部求导研究(1)f '的符号即可.【详解】22()()()xxf x ex x e x x f x --=----=--=，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项AB.当0x >时，2()x f x e x x =--，则()21xf x e x '=--，由(1)30f e '=-<，排除D. 故选：C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．,1x x R e x ∀∈≥+ B ．,1x x R e x ∃<∈+ C ．2,2x x R x ∀∈≥ D ．()10,,2x x x∃∈+∞+< 【答案】A【分析】对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，构造函数()()()'1,00,1xx f x e x f fx e =--==-，所以()f x 在区间(),0-∞上()'0fx <，递减，在()0,∞+上()'0f x >，递增.所以()f x 在0x =处取得极小值也即是最小值，所以()()00f x f ≥=，即10,1x xe x e x --≥≥+.所以A 选项正确.对于B 选项，由于A 选项正确，所以B 选项错误. 对于C 选项，当1x =-时，22x x <，所以C 选项不正确.对于D 选项，当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，所以D 选项错误. 故选：A10．将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】A【分析】根据正弦型函数的图象的变换性质，结合正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()sin 444g x f x x πππωω=-=-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 的图象关于y 轴对称，所以()g x 是偶函数，故()41()442k k Z k k Z πππωπω-+=+∈⇒=--∈，因为0>ω，所以当1k =-时，ω有最小值，最小值为3，故选：A11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()22f x =++()2021f =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【分析】根据题意，利用偶函数的性质可得(2)(2)f x f x +=-+，变形可得(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得(2021)(1)f f =，然后令1x =-可求出(1)f 的值，从而得答案【详解】解：因为定义在R 上的偶函数()f x 满足()22f x =++所以()222f x -++=+=所以(2)(2)f x f x +=-+，所以(4)()f x f x +=， 所以函数()f x 是周期为4的周期函数， 所以()2021(20201)(1)f f f =+=，在()22f x =+1x =-，则(1)22f ==，解得(1)4f =或(1)1f =-（舍去） 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的性质及应用，解题的关键是利用偶函数的性质由()22f x =+得()222f x -+==(2)(2)f x f x +=-+，进而可得其周期为4，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面,APB G 为PC 上一点，且BG ⊥平面,2APC AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为（ ）A ．23B ．223C ．43D ．2【答案】A【分析】求得三棱锥P ABC -体积的表达式，然后利用基本不等式求得体积的最大值. 【详解】由题意，平面ABCD ⊥平面APB ，得⊥AP BC ； 由BG ⊥平面APC ，有AP BG ⊥； 因为BCBG B =,从而AP ⊥平面PBC ，所以BP AP ⊥， 所以111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅=⋅． 令PA m =，PB n =，则224m n +=． 所以221123323P ABCm n V mn -+=≤⋅=， 其中“=”当且仅当2m n == 故选：A二、填空题13．已知向量()()3,2,1,1,,()4a b c t -===，若()a b c -⊥，则实数t =_______________________．【答案】1-【分析】根据平面向量运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为()3,2,1(,)1a b -==，所以(4,1)a b -=，又因为()a b c -⊥，所以()()404,14041,t t t =⇒+=⇒=-⋅， 故答案为：1-14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________． 【答案】35【分析】由于甲队获胜与乙队不输为对立事件，从而可求出答案；或乙队不输包括乙队获胜和甲、乙两队打平，分别求出这两个事件的概率，再求和即可【详解】方法一 设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”， 因为甲队获胜的概率()25P A =， 所以这次比赛乙队不输的概率()()231155P A P A =-=-=． 方法二 设事件A 为“这次比赛乙队不输”，事件B 为“这次比赛乙队获胜”，事件C 为“这次比赛甲、乙两队打平”，所以()110P C =，()21115102P B =--=， 所以这次比赛乙队不输的概率()()()1132105P A P B P C =+=+=． 故答案为：3515．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设,,αβγ为平面，若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥； ④设,,αβγ为平面，若//,//αββγ，则//αγ． 其中所有正确命题的序号为_______________________． 【答案】①②④【分析】由线面垂直的性质可判断①；由线面平行的性质和线面垂直的性质可判断②； 举出反例可判断③；由面面平行的性质可判断④.【详解】根据线面垂直的性质知命题①正确； 由线面平行的性质和线面垂直的性质知命题②正确； 由下图知命题③不正确；由面面平行的性质知命题④正确． 故答案为：①②④.16．设函数()2ln 2f x x mx x =-+，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，则实数m的取值范围是_______________________．【答案】ln 21,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】令ln ()xg x x=，()2h x mx =-，利用导数求得函数()g x 单调性与最大值，画出两个函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】当0m ≤，函数()2ln 2f x x mx x =-+在()0+∞，上单调递增，且0x →时，()f x →-∞ ，+x →∞时，()+f x →∞ ，所以不可能存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，所以0m ≤不符合题意，当0m >时，由于0x >，所以ln 2xmx x>-， 令ln ()xg x x=，()2h x mx =-，其定义域为(0,)+∞， 则'2(1ln )()x g x x-=，令'()0g x =，即1ln 0x -=，解得x e =， 当(0,)x e ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，所以()g x 在x e =处取极大值也是最大值， 又由1(e)g e=、(1)0g =，当x →+∞时()0>g x ，画出函数()g x 的大致图像，又由函数()h x 的图像是恒过点(02)，-的直线，所以作出函数()ln xg x x=和()2h x mx =-的大致图象（如图）， 过点()0,2-的直线2y mx =-介于()1,0、()()22f ,之间时满足条件， 直线2y mx =-过点()1,0时，m 的值为2； 该直线过点()()22f ,时，m 的值为ln 214+， 由图知m 的取值范围是ln 2[1,2)4+． 故答案为：ln 2[1,2)4+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)22+=-⋅+n n S n ．【分析】（1）首先求得q ，由此求得数列{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减求和法求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q因为142,16a a ==， 所以3162q =， 解得2q，所以数列{}n a 的通项公式2nn a =．（2）由（1）得2n n n b n a n =⋅=⋅，所以231222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，①2341212223()2122n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，由①-②得231122222n n n S n +-=⨯+++⋯+-⋅，即()111212222212n n n n nS n n +++--=-⋅=--⋅-所以1(1)22+=-⋅+n n S n ．18．在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分)．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？ 良 优 合计 男 40 女40（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[)50,60和[]90,100的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取2名再发放礼品，记体验度评分为[)50,60的顾客中至少有1人获得礼品的概率．附表及公式：()()()()22(n ad bc a b c d a c K b d -++++=【答案】（1）填表见解析；能；（2）35． 【分析】（1）根据题意，评分为“良”的有40人，进而完成列联表，计算2 2.78 2.706K ≈>，进而得答案；（2）由题知随机抽取的6人中评分为[)50,60有2人，评分为[]90,100有4人，进而根据编号，列举的方法，计算古典概型的概率.【详解】()1根据题意，评分低于80分的有()0.010.010.021010040++⨯⨯=人，即评分为“良”的有40人，所以列联表如下：由题得，()221002040202025 2.78 2.706406060409K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以﹐能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为评分为“优良”与性别有关．()2随机抽取的6人中评分为[)50,60有2人，记分12,A A ，评分[]90,100为有4人，记为1234,,,B B B B从中随机抽取2人，所有基本事件有：()()()()()()121112131421,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B ，()()()()22232412,,,,,,,A B A B A B B B ，()()()()()1314232434,,,,,,,,B B B B B B B B B B ,， 共15个．其中评分为[)50,60至少有1人的基本事件有：()()()()()1112131421,,,,,,,,,A B A B A B A B A B ， ()()()()22232412,,,,,,,A B A B A B A A ，共9个．所以，在评分为[)50,60的顾客中至少有1人获得礼品的概率93155P == 19．如图，在平面五边形ABCDE 中，12,43,33,AE CE CD ===60ABC ∠=︒，120AED ∠=，2sin 3CDE ∠=．（1）求AC 的值；（2）求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）83（2）483【分析】（1）在CDE △中，由正弦定理求出CED ∠，进而可以解CEA ； （2）先用余弦定理求出192AB BC ⋅≤，再用面积公式即可. 【详解】（1）在CDE △中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠所以233sin 13sin 243CD CDE CED CE ⋅∠∠=== 因为,CD CE < 所以CED ∠为锐角， 所以30CED ∠=.所以1203090AEC AED CED ∠=∠-∠=-︒=︒， 所以()2222124383AC AE CE =+=+=.（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅， 即221922AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅≥⋅-⋅=⋅， 当且仅当83AB BC ==时等号成立， 所以192AB BC ⋅≤. 所以1sin 602ABCSAB BC =⋅131924832≤⨯⨯=. 20．如图，在四棱锥M ABCD -中，,AB AD AM ⊥⊥平面,ABCD AB AM AD ==．（1）证明：BDM 是正三角形﹔（2）若//,22CD AB AB CD ==，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 在同一球面上，求该球的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）9π．【分析】()1根据线面垂直的定义，有,AM AB AM AD ⊥⊥，再由勾股定理可得,BD BM DM ==可得证．()2根据直线与平面垂直的判定定理，有AB ⊥平面,ADM 由线面垂直的定义，可得MCD △为直角三角形．由此可得MC 的中点到顶点,,,M A C D 的距离都相等，从而得出三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 所在球是以MC 的中点为球心，32为半径的球，根据球的表面积公式可求得答案.【详解】解：()1由已知，AM ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的定义，有,AM AB AM AD ⊥⊥，又,AB AM AD AB AD ==⊥，所以222,BD AB AD =+222,BM AB AM =+222DM AD AM =+，则,BD BM DM ==所以BDM 是正三角形．()2由()1的可知，,AB AD AB AM ⊥⊥，根据直线与平面垂直的判定定理，有AB ⊥平面,ADM 由线面垂直的定义，有,AB DM ⊥因为//,CD AB 所以，CD DM ⊥，即MCD △为直角三角形．又MAC △是直角三角形，所以，MC 的中点О到顶点,,,M A C D 的距离都等于1322MC =， 所以，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 所在球是以О为球心，32为半径的球，所以，球的长面积为23492ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：求解几何体外接球半径的思路是依据球的截面的性质：利用球的半径R ､截面圆的半径r 及球心到截面的距离d 三者的关系222R r d =+求解，其中确定球心的位置是关键.21．已知函数()()2ln 2ln 22()xf x x e a x a R =--+-∈．（1）当2a =时，若()f x 在点()()00,x f x 处的切线垂直于y 轴，求证00ln ln 2;x x =- （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）(],2-∞． 【分析】（1）根据导数的意义进行证明即可；（2）运用常变量分离法，构造新函数，运用二次求导法进行求解即可. 【详解】（1）由题可知()()22ln 2ln 22)0(xf x x e x x +-=-->，则()()2221x x x f x e xe x e x x ⎛⎫'=-+-=+- ⎪⎝⎭ 设切点为()()00,x f x ，则由()00f x '=得02x e x =则002lnx x =，即00ln ln 2x x =-，得证． ()2因为()2ln 2ln 22()0x f x e a x x =+---≥，其中0x >，则2ln 2ln 22xx a e x-+≤-对于0x >恒成立，令()2ln 2ln 22xx h x e x-+=-，则()()2222ln 2ln 222ln 2ln 2x xx x h x e e x x--+-+'=-=- 即()2222ln 2ln 2x e x h x x+-'= 令()22ln 2ln2xu x x e x =+-，则()()22'20xu x x x e x=++>，其中0x >， 则()22ln 2ln2xu x x e x =+-为()0,∞+的增函数，又因为()12ln 20,4ln 1220u u e ⎛⎫=-⎪⎝⎭=-><， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()02002ln 2ln 20x u x x e x =+-=， 即02002lnx x e x =， 而0002ln 20000002222ln ln ln x x x x e x e e x x x x =⇔==又由于()xv x xe =为()0,∞+的增函数，故002lnx x =，即002x e x =，又()()00,'0,x x h x h x <<≤为减函数；()()0,'0,x x h x h x ≥>为增函数，所以()()00000000min002ln 22ln 2ln 2222222x x x x x e x x h x h x e e x e e x +-+-+==-=-=-=故a 的取值范围是(],2-∞．【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立问题一般方法是进行常变量分离，通过构造函数，利用导数进行求解.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以原点О为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为42cos πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点Р的坐标为(2,0)，证明：直线,PA PB 关于x 轴对称．【答案】（1）2212x y +=；10x y --=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用同角的三角函数关系式把曲线C 的参数方程化成普通方程，利用直角坐标方程与极坐标方程互化公式，结合两角和的余弦公式把直线l 的极坐标方程，化成直角坐标方程；（2）通过解方程组求出,A B 两点坐标，根据直线斜率公式进行证明即可.【详解】（1）由曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数）可得曲线C 的普通方程为2212x y +=．直线l 的极坐标方程可变形为：(cos cossin sin )44ππρθθ-=⇒cos sin 10ρθρθ--=， 于是，其直角坐标方程为10x y --=．（2）由方程组221012x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消元，有2340x x -=． 由此可知，点,A B 的坐标分别为()410,1,,33⎛⎫- ⎪⎝⎭直线,PA PB 的斜率分别为12101113,4022223k k --====---所以，1211022k k ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭于是，直线,PA PB 关于x 轴对称． 23．已知函数2|1|2f x x x =-++． （1）解不等式()4f x ≥；（2）令()f x 的最小值为,M 正数,,a b c 满足a b c M ++=，求证：11194a b b c c a ++≥+++ 【答案】（1）(]5,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值的性质进行分类讨论求解即可；（2）根据绝对值的性质进行分类讨论求出()f x 的最小值，最后利用均值不等式进行证明即可.【详解】（1）当1x ≤-时，()221314f x x x x =-+--=-+≥，得1x ≤-； 当11x -≤≤时，()22134f x x x x =-+++=-+≥，此时无解﹔ 当1x >时，()221314f x x x x =-++=-≥，得53x ≥， 所以，不等式的解集为(]5,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由（1），当1x ≤-时，3(4)1f x x =-+≥； 当11x -≤≤时，()32f x x =-+≥； 当1x >时，()312f x x =->，则1x =时，()f x 的最小值为2，即2M =． 于是,,a b c 满足2a b c ++=，()11111112a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭134b c a b b c c a c a a b a b b c c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫=++++++ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦19344⎡⎤⎛≥+=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦当且仅当b c a b a b b c ++=++且b c c a c a b c ++=++且c a a ba b c a++=++即a b c ==时取“=”.【点睛】关键点睛：由已知得到()11111112a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭这个变形是解题的关键.。
