高考数学第一次诊断性考试(附答案)

卜人入州八九几市潮王学校高2021级第一次教学质量诊断性考试数学〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，应选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.，〞的否认是A.不存在，使B.，使C.，使D.，使【答案】D【解析】【分析】“〞“〞可得结果.【详解】,“，〞的否认是，使，应选D..;.，，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，应选C.【点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间〔一般是看三个区间〕；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.，那么函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，应选C.【点睛】此题主要考察二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被无视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的才能，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，应选D.【点睛】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题..解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.是两条不同的直线，垂直于平面，那么“〞是“〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设，因为垂直于平面，那么或者；假设，又垂直于平面，那么，所以“〞是“的必要不充分条件，应选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】，满足，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法那么可得结果.【详解】，，，，应选B.【点睛】此题主要考察对数的性质与对数的运算法那么，以及换底公式的应用，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度，考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，外表积为两个圆锥侧面积的和，，应选A.【点睛】求几何体的外表积的方法:(1)求外表积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规那么几何体的外表积时，通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的外表积，再通过求和或者求差求得几何体的外表积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为A.16B.8C.4D.20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，应选A.【点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，假设图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，那么的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考察数形结合思想的应用，以及灵敏运用所学知识解答问题的才能，属于中档题.的局部图象如下列图，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，应选A.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.的值域与函数的值域一样，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，那么，要使的值域为，那么，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，那么，在上递增，在上递减，要使的值域为，那么，，又，的范围是，应选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：〔1〕求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；〔2〕根据单调性可得函数的极值，假设只有一个极值点，那么在该处即是极值也是最值；〔3〕假设求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上〕，假设，那么__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】此题主要考察对数的根本性质，意在考察对根底知识的理解与运用，属于简单题.中，角，，所对的边分别为，，，假设，那么角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．15.函数，那么的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或者，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】此题主要考察分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题..的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，假设此三棱锥的最大体积为，那么球的外表积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，那么的边长，，当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，，，球外表积为，故答案为.【点睛】此题主要考察球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.中，角，，所对的边分别是，，，，.〔1〕假设，求的值；〔2〕的面积为，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；〔2〕由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】〔1〕由，那么，且，由正弦定理，因为，所以，所以，〔2〕，∴，，∴，，∴.【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径．.〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕假设函数在区间上是增函数，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A ．{}2,1--B ．{}2,1,0--C ．[]2,0-D ．[]22-,2．“22ac bc >”，是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（）A ．3B ．C ．6D ．94．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A ．30万元B ．32万元C ．36万元D ．40万元5．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A ．2y x -=B ．1y x x=+C ．sin y x x =-D ．1ln1x y x -=+6．已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A ．9B ．3C ．13D ．197．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据：lg 20.301≈）A ．33h B ．35h C ．37h D ．39h8．已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]2e,0-D ．()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知数列的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（）A ．342S =B ．2n nS a <C ．{}n S 是等比数列D ．存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =10．已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=->在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．令()π6g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C ．函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D ．函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．已知函数()f x 的定义域为，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()0f 可以等于零B ．()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C ．曲线−1为轴对称图形D ．若()11f =，则201()20k f k ==∑三、填空题12．记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =．13．已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为．14．若2x =是函数()()213e 22xf x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x α1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，(1)求ABC V 的面积；(2)若π4B =，求A ．17．已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．(1)若124a a +=，求1b 的值；(2)若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．18．已知函数()3221f x x ax a x =+--．(1)当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．19．已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312ni i a =-<∑．。

2021届第一次诊断性测试数 学 试 题(理科)注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=032x x x A ，{}0432≤--=x x x B ，则A （R C B ）等于 （ ） A ．{3≤x x 或}4>x B ．}31|{≤<-x xC ．}43|{<≤x xD ．}12|{-<≤-x x2．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( )A. ba 11<. B. 22b a >. C.1122+>+c bc a . D. ||||c b c a >.3. 已知点)cos 2 ,cos (sin ααα⋅P 在第四象限, 则角α的终边在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 ( )A ．31)(x x f = B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+ D ．()1()2x x f x a a -=+ 5．已知函数54)(--=x x x f ，则当方程a x f =)(有三个根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．15-<<-a B ．15-≤≤-a C ．5-<a D ．1->a 6．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．)3,1()3,( --∞B ．),3()0,3(+∞-C ． ),3()1,1(+∞-D ． ),3()1,3(+∞-7．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是( ) A ．x x y lg +=B ．x x y lg -=C ．x x y lg +-=D ．x x y lg --=8．若对(,0)a ∀∈-∞，R ∈∃θ，使a a ≤θsin 成立，则)6cos(πθ-的值为D( )A ．12B ．12- C ．32 D ．32- 9．已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“a b 2>”是“0)2(<-f ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数|log |)(3x x f =在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值为( )A ．31B. 32C.1D.211．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有8)()()(111=⋅---b f a f x f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．6D ．912．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：①对任意的R x ∈都有);()2(x f x f -=+②对于任意的2021≤<≤x x ，都有),()(21x f x f <③)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）A ．)7()5.6()5.4(f f f <<B ． )5.6()7()5.4(f f f <<C ．)5.6()5.4()7(f f f <<D ． )5.4()5.6()7(f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数xx x x f -++-=16)(2的定义域是_________________________.14．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是_____________________________.15．若,53)cos(,51)cos(=-=+βαβα则______________________tan tan =⋅βα.16．已知实数y x ,满足)0(,1255334>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-a y ax z x y x y x 设，若633当取z 最大值时对应的点有无数多个，则a = .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ． （1）若3a =，求A ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围 .18．（本小题满分12分）已知3sin cos sin 2cos =-+xx xx ．（1）求x tan ； （2）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．19．（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数． （1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 的极值.20．（本小题满分12分）已知20,1413)cos(,71cosαββαα<<=-=且(1)求α2tan 的值； （2）求β.21．（本小题满分12分）已知命题p ：在]2,1[∈x 内，不等式022>-+ax x 恒成立；命。

德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x ∈ N |x ²≤9},Q={1,3},则P∩Q=（ ） A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ） A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为（ ） A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=（ ） A.90B.125C.155D.1805.已知x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y +1≥0x −y ≤0 则 yx+2的最小值为（ ）A.1B.17C.−13D.−156.已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 点M 关于A 的对称点为S ，点S 关于B 的对称点为N ，那么MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB 与CD 所在直线的描述中正确的是（ ） ①直线AB.与CD 是异面直线 ②直线AB 与CD 是相交直线 ③直线AB 与CD.成60°角 ④直线AB 与CD 垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A. B.C. D.10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12(e x+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)（）A.2.5米B.2.6米C.-2.8米D.2.9米11.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√x√x )n(n∈N∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n =______.14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=______.15.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=______.16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形Sₙ正方形S的周长.和正方形Sₙ分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sn,且S nS2n为常数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅an,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba =√3sinA.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①：cosA=√33,b=1;条件②：b=2,c=2√3;条件③：a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程 y ̂=â+b̂x ⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b̂=∑i=1n(x i −x̅)(y i −y ̅)∑i=1n (x i−x̅)2=∑i=1nx i y i −nx̅y ̅∑i=1n x i2−nx̅2,â=y ̅−b̂x̅. 参考数据： ∑i=18x i2=580,∑i=18x i y i =459.5.20.(本题满分12分)已知函数 f (x )=13x 3+12(a −1)x 2−ax (a ⟩0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m ∈ (13,23). 设f(x)的三个零点为xₙ,xₙ,xₙ,求 f( xₙxₙ+xₙxₙ+xₙxₙ)的取值范围. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=eˣ,g (x )=tsinx +1,设 b(x) =f(x)-g(x).(1)若h(x)在 (−π2,π2) 上单调递增，求实数t 的取值范围；(2)求证：∃t ∈(0,+∞);对∀x ∈R,∃a ∈[0,+∞),使得xh(x)=a 总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线Cₙ的方程为(x −1)2+(y −√3)2=1,曲线Cₙ的参数方程为 {x =3t 2y =√3t(t 为参数)，直线l 过原点O 且与曲线Cₙ交于A 、B 两点，点P 在曲线Cₙ上且·OP ⊥AB.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线Cₙ的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l 平分曲线Cₙ,求△PAB 的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.德阳市高中2020级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．12 14．12 15．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题17．解：（1）由题意知：()()211222n n n dn d nS na d -+-=+=． 所以()224222n dn d nS +-=．所以()()22222422442n n dn d n S dn dS dn d n dn d+-+-==+-+-为常数． 因为0d ≠，故只要2442d dd d-=-，解得2d =，此时21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()112212n n n n b a n --=-⋅=．所以()111232212n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯得()()22121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得：()011122222212n n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3223n n =-⨯-所以()2323nn T n =-⨯+．18．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理及b a =， sin sin cos sin A B A B A ⋅=⋅+因为sin 0A ≠cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得：66B ππ-=或56π，解得3B π=． （2）若选条件①：cos A =，1b =．易知符合条件的ABC △存在且唯一，AC 边上的高为sin c A ⋅．由cos A =得：sin A =所以()sin 3sin sin sin 326A AC A B A ππ⎛⎫=--=+==⎪⎝⎭．故sin sin b Cc B===AC边上的高为sin c A ⋅=．若选条②：2b =，c =sin 32c B ⋅=>，所以符合条件的ABC △不存在． 若选条件③：3a =，2c =，由余弦定理得：294232cos 73b π=+-⨯⨯⨯=．所以b =由正弦定理sin sin C Bc b =得：2sin sin 7c B C b ⎛ ===． 所以AC边上的高为sin 7a C ⋅=． 19．解：（1）由题意得：8x =， 6.5y =，所以818221ˆ8459.588 6.50.645808618i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑6.50.64ˆ8 1.38.a y bx=-=-⨯= 故月利润y （千元）关于月销售量x （百个）的回归方程为：0.64 1.38y x =+． （2）ξ的所有市能取值为0，1，2、3，则()34384056C P C ξ===，()24433824156C C P C ξ⨯===， ()12443824256C C P C ξ⨯===，()34384356C P C ξ===． 故ξ的分布列为：ξ的数学期望0123565656562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解（1）因为()()()()211f x x a x a x a x =+--=+-' 令()0f x '=解得：1x =或x a =-因为0a >，可知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 所以()()321162f x f a a a =-=+极大值，()()1126a f x f ==--极小值． （2）由（1）知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 当1a >时，()f x 在[]1,1-上单减，在[]1,2上单增． 所双()f x 在区间[]1,2-的最小值()11.26a m f ==-- 最大值M 为()35126a f -=-与()223f =的较大者。

高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（文科）注意事项：全卷满分为150分；完成时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立；那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ； 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题；共60分）一、选择题：本题共有12个小题；每小题5分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8+3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ；则下列不等式中总成立的是(A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+ (C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ；则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是R 上的增函数；若令)1()1()(x f x f x F +--=；则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α；直线m ⊂平面β；有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象；则向量a 可以是(A) )0,3(π (B) )0,6(π(C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．一组样本数据；容量为150。

2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 设复数z 满足R ，则z 的实部为A. 0B. 1C.D. i3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是A. B. C.D.4. 已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是( ) A.B.C.D.5. 设双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的渐近线方程为A. B.C. D.6. 已知，，，则( )A.B. C.D.7. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当时，N ，据此计算的近似值为A. B. C. D.8. 定义在上的函数满足：当时，，当时，，若关于x 的方程有两个不等实根，则a 的取值范围是A. B. C. D.9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是.( )A. B. C. D.10. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是( )A. 回归直线至少经过点中的一个点B. 若，，则回归直线一定经过点C. 若点都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数D. 若，，则相应于样本点的残差为11. 已知数列满足：N，则下列说法中正确的是A. B.C. 数列的前10项和为定值D. 数列的前20项和为定值12. 已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是A. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D. 过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为13.已知a为非零实数，直线与曲线相切，则_________.14. 的值等于__________.15. 中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力．其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”．12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道．现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有_________种．16. 在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若则的最大值为__________.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求C；若，，点D在边AB上，且，求CD的长．18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，求的长；求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列满足：，N，R.证明：数列是等差数列；是否存在使得数列为等差数列？若存在，求的值及数列的前n项和；否则，请说明理由．20. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束；否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．21. 已知椭圆C：的右顶点为B，O为坐标原点，D为线段OB的中点，过点D的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；若，求直线l的斜率．22. 已知函数，R.当时，讨论的单调性；若存在唯一极值点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.【解答】解：因为，，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.根据复数的乘法法则计算，结合复数的概念即可求得z的实部.【解答】解：设复数，a，，因为，所以，所以z的实部为0，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量垂直的性质，单位向量的概念，属于基础题.依次判断选项中的向量是否与向量垂直且模为1即可.【解答】解：，可知向量与向量垂直，而，模长不为1，故A错误；同理可知向量、与向量垂直，而，，故B正确，C错误；，与向量平行，故D错误.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题.求得函数为奇函数的等价条件，结合充分不必要条件的定义判断即可.【解答】解：函数为奇函数，则，，即，解得，当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件是的非充分非必要条件是的充分不必要条件;则函数为奇函数的一个充分不必要条件是，故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的标准方程和几何性质.把右焦点的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，结合点A是BF的中点，得到，再根据即可求解渐近线方程.【解答】解：设双曲线的右焦点为，因为过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，所以设双曲线的一条渐近线方程为，把右焦点F的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，又，所以可得点A是BF的中点，所以，即，又，所以，则双曲线C的渐近线方程为故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较大小，不等式性质和对数函数及其性质，属于基础题.利用对数函数的性质和不等式性质得和，再利用不等式性质得结论.【解答】解：，，因此，即又，，，因此，即，综上所述，故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题.分别求出进行10合1混检和采用5合1混检每个个体平均检测，即可求出比值.【解答】解：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，故答案选8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题．、利用导数得出当时，，单调递减，当时，，单调递增，，从而故在上单调递增，在上单调递减，即可求解．【解答】解：当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，时，时，故有两个不等实根只需，故选9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查函数的周期性，考查运算能力．属于基础题.根据函数的周期公式和单调性，对选项加以判断，即可得到在上单调递增，且最小正周期为的函数．【解答】解：对于A，的最小正周期为，由于当时，，故函数在上不单调，故A不正确；对于B，的最小正周期为，且在上单调递增，故B正确．对于C，的最小正周期为，在上单调递增，故C正确；对于D，函数的图像可以看做将正切函数的图象保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分沿x轴翻折上去，所以最小正周期为，且在上单调递增，故D正确.故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查回归直线方程、相关系数和残差分析，属于基础题.利用回归直线方程、相关系数和残差分析逐个判断即可.【解答】解：回归直线一定过样本中心点，但不一定要过样本点，故A错误，B正确；对于C、因为点都落在直线上，属于完全正相关，故相关系数，正确；对于D、若则相对应于样本的残差为，正确．故选11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查数列的函数特征以及数列的递推关系，属较难题；由，两式可判断A，B选项;根据由题知，①，②，③，②-①得，②+③得即可判断C，D选项.【解答】解：取得，故，A正确;取得，又，所以，B错误;由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定，C错误;前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值，D正确.故答案选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于中档题.先确定点P不在这两条异面直线AB与中的任何一条上，取的中点Q，设与AB 交于点E，确定点，，Q，E，P共面，由此分析直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，即可判断选项A；利用假设法，即可判断B；由题意可得平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即可判断C；分别平移AB，，使AB与均经过点P，即可判断选项【解答】解：直线AB与是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示，取的中点Q，则，且，设与AB交于点E，则点，，Q，E，P共面，直线EP必与相交于某点F，由于直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，则过点P有且只有一条直线l与AB，都相交，故选项A正确;对于B，若存在一条直线与AB，都平行，则，矛盾，故B错误;对于C，因为，若，则，若，而，且平面ABCD，则平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即，故C正确；对于D，分别平移AB，，使AB与均经过点P，则有两条互相垂直的直线与AB，都成角，故选项D错误;故选13.【答案】e【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设切点坐标，利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：设切点，则，，又对于，其导函数为又切线方程的斜率为1，即，，，又a为非零实数，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角和与差的余弦公式，属于基础题.根据，利用两角和与差的余弦公式即可得答案.【解答】解：故答案为：15.【答案】56【解析】【分析】本题考查组合问题，属于基础题.转化为从8次选3次运送2颗即可.【解答】解：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有种情况.故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题.先求出点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，再利用即可求解.【解答】解：，设，则，化简得，故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，的最大值为，故的最大值为故答案为17.【答案】解：根据题意，中，因为，，所以由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，又，所以由余弦定理知，，由知，，即【解析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式与同角三角函数关系式，考查逻辑推理能力和运算能力．利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解；由余弦定理知，可得，结合，即可解答.18.【答案】解：取中点N，连接MN，AN，则，平面ABC，平面ABC，，又，，BA，平面，平面，故平面，平面，，又，，AM，平面AMN，平面AMN，平面AMN，，故∽，，而，；连接，由知平面，故为直线与平面所成角，，，即所求角的正弦值为【解析】本题考查线面垂直的判定及性质、直线与平面所成角，属中档题.先由线面垂直的判定定理得到平面，故平面，则∽，可得AB的长，则；为直线与平面所成角，求解其正弦值即可.19.【答案】解：，，两式相减得，n 为偶数时，，，，，，数列是首项为，公差为3的等差数列.由题知，，若为等差数列，则，故即，此时，，即对有，故为等差数列，且，【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的判定以及等差数列的概念与通项公式及前n项和公式，属于中档题.根据递推关系式得出，进而得出是等差数列；由题意求出，再由为等差数列，则，得出，再由求出对有，得出为等差数列，由等差数列的前n项和公式求出20.【答案】解：考虑两种情况：甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，故所求概率为由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为，按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为，按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为，，故甲按ABC或BAC顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.【解析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，是中档题.若选手甲先选择A类问题，分别求出甲接下来选择回答B类或者C类问题并取得复赛资格的概率，相加即可得解；由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，分别求出这三种顺序的概率，比较即可得解.21.【答案】解：由题意可得，点在椭圆上，将点代入椭圆方程得，故，由知，，设，，直线，代入椭圆方程得，由D在椭圆内部知必有，则，，由题知，故①，②，由得，即，故l的斜率为【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.将点代入椭圆方程得，故，，将直线代入椭圆方程得，由根于系数关系即可求解.22.【答案】解：由题知，，即，令，则，故在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以，或，从而或，，在和上单调递增，在上单调递减.由题知，则，即，令，则，或，，即在和上单调递增，在上单调递减，且时，时，在上有唯一零点，记为，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，在上，由的单调性可知，的极大值，时，且时，故当时，，在上单调递增，，在上无极值点，当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，，单调递增，时，，单调递减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去，综上，即【解析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性和利用导数解决函数的极值问题，属于难题.由函数解析式求出导数，构造函数，得出在和上单增，在上单减；分和两种情况判断函数是否存在唯一的极值点，求出a的取值范围。

普高2021届第一次诊断性考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

数学试题(文史类)一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.{}1A x x =，2{|230}B x x x =--<，那么A B ⋂=〔 〕A. {|13}x x <<B. {|1x x <-或者1}x ≥C. {}3x x D. {}1x x【答案】A 【解析】 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，求出A 与B 的交集即可．【详解】{}1A x x =，由B 中不等式变形得：()310x x （）-+< ， 解得：13x -<< ，即{|13}B x x =-<< ， ∴A∩B={|13}x x <<， 应选：A ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．23iz i-+=〔其中i 为虚数单位〕，那么复数z 的虚部是〔 〕 A. 2i B. 2i -C. 2-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 计算出23iz i-+=，即可求出复数z 的虚部．【详解】()()()232332i i i z i i i i -+⋅--+===+⋅- 复数z 的虚部是2 应选D.【点睛】此题考察了复数的除法运算，其关键是纯熟掌握其运算法那么．{}n a 的前n 项和为n S ，假设711a =，那么13S =〔 〕A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D 【解析】 【分析】由711a =，那么7!13222,a a a =+= 由等差数列的前n 项和公式可求13S . 【详解】711a =，那么7!13222,a a a =+=那么()1131313143,2a a S ⨯+==应选D.【点睛】此题考察等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式.属根底题.1sin()43x π-=，那么sin 2x =〔 〕A. 79B. 79-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可得到答案 【详解】227sin2cos 2cos 212sin 1.24499x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 应选A.【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式，属根底题.ABCD 中，8AB =，6AD =，假设向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.49【答案】A 【解析】 【分析】此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，那么三角形的高要1h <，得到两个三角形的高即为P 点到AB 和AD 的间隔 ，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，由于142ABPSAB h h =⨯=， 那么三角形的高要1h < ，同样，P 点到AD 的间隔 要小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部，它的面积是43，∴使得△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为：4138636＝⨯ ； 应选：A ．【点睛】此题考察几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．6.如下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞，执行该程序框图，假设输入的,a b 分别为63，36，那么输出的a =〔 〕A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由循环构造的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论． 【详解】由a=63，b=36，满足a ＞b ， 那么a 变为63-36=27， 由a ＜b ，那么b 变为36-27=9， 由b ＜a ，那么a =27-9=18， 由b ＜a ，那么，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，那么输出的a 的值是9． 应选：C ．【点睛】此题考察算法和程序框图，主要考察循环构造的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于根底题．{}n a ，那么123a a a <<是数列{}n a 是递增数列的〔 〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】假设“a 1＜a 2＜a 3〞，那么“数列{a n }是递增数列〞，不一定，充分性不成立，假设“数列{a n }是递增数列〞，那么“a 1＜a 2＜a 3〞成立，即必要性成立，故“a 1＜a 2＜a 3〞是“数列{a n }是递增数列〞的必要条件． 应选B.【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，属根底题.()sin 2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，那么()g x 具有性质〔 〕 A. 在(0,)4π上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线34x π=对称 C. 在3(,)88ππ-上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3(,0)8π对称【答案】A 【解析】 【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，求得g 〔x 〕的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数()sin2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数sin 2cos 24g x x x π=-=-（）（） 的图象， 故当x∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，2x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，故函数g 〔x 〕在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数， 应选A ．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于根底题．ABCD 中，2AC =，1BD =，那么()()AB DC CA DB +⋅+=〔 〕A. 5B. 5-C. 3-D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算化简AB DC CA DB ，，++.利用向量数量积的运算性质即可得到结论. 【详解】()()()()()()AB DC CA DB AC CB DB BC CA DB AC DB CA DB +⋅+=+++⋅+=+⋅+()()2241 3.AC DB DB AC DB AC =+⋅-=-=-=【点睛】此题考察向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属根底题()(1)()f x x ax c =-+〔,a c 为实数〕为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，那么(1)0f x -<的解集为〔 〕A. (0,2)B. (2,0)-C. (,2)(0,)-∞-+∞D. (,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，c 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进展求解即可．【详解】∵()()()1f x x ax c =-+=ax 2+〔c-a 〕x-c 为偶函数， ∴f〔-x 〕=f 〔x 〕，那么ax 2-〔c-a 〕x-c=ax 2+〔c-a 〕x-b ， 即-〔b-c 〕=c-a ， 得c-a=0，得c=a ，那么f 〔x 〕=ax 2-a=a 〔x 2-1〕， 假设f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减， 那么a ＜0，由f 〔1-x 〕＜0得a[〔1-x 〕2-1〕]＜0，即〔1-x 〕2-1＞0， 得x ＞2或者x ＜0，即不等式的解集为〔()(),02,-∞⋃+∞， 应选 D .．【点睛】此题主要考察不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，c 的关系是解决此题的关键．1111ABCD A B C D -的顶点都在体积为288π的球O 的球面上，那么长方体1111ABCD A B C D -的外表积的最大值等于〔 〕A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B 【解析】 【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的外表积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为288π，可得34288,6,3R R ππ=∴= 设长方体的三边为：a ，b ，c ，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知222212144a b c ++== ，长方体的外表积为：222222222288ab ac bc a b c ++≤++= ；当a=b=c 时获得最大值，也就是长方体为正方体时外表积最大． 应选B.．【点睛】此题考察长方体的外接球的知识，长方体的外表积的最大值的求法，根本不等式的应用，考察计算才能；注意利用根本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．,,a b m ，以下说法：①假设a b >，那么22am bm >；②假设a b >，那么a a b b >；③假设0,0b a m >>>，那么a m ab m b+>+；④假设0a b >>，且ln ln a b =，那么2)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由不等式可乘性，即可判断①；由f 〔x 〕=x|x|在R 上递增，可判断②；运用作差和不等式的性质，可判断③；运用绝对值函数y=|lnx|的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断④． 【详解】对于实数,,a b m ，①假设a b >，那么m=0，22am bm =，不成立； ②由f 〔x 〕=x|x|为奇函数，且x≥0时，f 〔x 〕递增，可得f 〔x 〕在R 上递增， 假设a ＞b ，那么a|a|＞b|b|成立； ③假设b ＞a ＞0，m ＞0，那么()()()0a m a ab bm ab am m b a b m b b b m b a b ++----==+++， 可得a m a b m b+>+成立； ④假设a ＞b ＞0且|lna|=|lnb|，那么lna ＞lnb ，即有a ＞1，0＜b ＜1，可得lna+lnb=0，即1122ab a b a a，=+=+在〔1，+∞〕递增，可得23a b （，）+∈+∞ 成立．所以④不正确． 应选：B ．【点睛】此题考察函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性、以及不等式的性质，考察运算才能，属于中档题．二、填空题〔每一小题4分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.sin(675)-=_______．【答案】2【解析】 【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【详解】sin 675sin 180445sin 452-︒=-︒⨯+︒=︒=（）（）即答案为2. 【点睛】此题主要考察应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于根底题．,x y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么2u x y =+的最小值为_______．【答案】72【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得答案．【详解】由约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，令2u x y =+，化为22x u y -+＝ ，由图可知，当直线22x u y -+＝过点312B （，） 时，直线在y 轴上的截距最小，3721.22u =+⨯= u 有最小值为72． 故答案为72．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.通常，满分是为100分的试卷，60100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)24,36，[)36,48，…，[]84,96分组后绘制的频率分布直方图如下图.由于及格人数较少，某位教师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整〞的方法进展换算以进步及格率〔实数a 的取整等于不超过a 的最大整数〕，如：某位学生卷面49分，那么换算成70分作为他的最终考试成绩，那么按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．〔结果用小数表示〕【答案】0.82【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，假设某位学生卷面36分，那么换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得[)2436，组的频率为0.015120.18⨯=，所以这次测试的及格率为10.180.82-= 点睛：此题考察了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率频率组距组距=⨯，结合题目要求的转化分数即可算出结果。