高考数学第一次诊断性考试(附答案)

故 ｇ（ｘ）≤ｇ（１）＝０，
所以当 ａ＝１时，ｌｎｘ≤ｘ－１，即 ｆ（ｘ）≤ｘ－１． ４分
⑵①解：令 ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ，则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ－１＝ａｘ－ｘ，
当 ０＜ｘ＜ａ时，ｈ′（ｘ）＞０，函数 ｈ（ｘ）为增函数；当 ｘ＞ａ时，ｈ′（ｘ）＜０，函数 ｈ（ｘ）为减函数，
令 Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ， ２
则 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ， 由（１）知 ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知 ｅｌｎｘ≤ｘ，即 ｌｎｘ≤ ｘ ｅ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案 第 ５页 （共 ６页）
得 ２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
( ) ∴曲线 Ｃ是以点 １２，０为焦点，直线 ｘ＝－１ ２为准线的抛物线，
其方程为：ｙ２＝２ｘ． ４分
（２）设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－１），设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
{联立
ｙ２ ＝２ｘ ，可得
ｙ＝ｋ１（ｘ－１）
ｋ２ １ｘ２ －（２ｋ２ １ ＋２）ｘ＋ｋ２ １ ＝０，
则 Δ＝（２ｋ２ １＋２）２－４ｋ４ １＝４（２ｋ２ １＋１）＞０， 且 ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ １ｋ２ １＋２＝２＋ｋ２２ １，ｘ１ｘ２＝ｋ ｋ２ １ ２ １ ＝１， ６分
第一次诊断理科数学答案 第 ４页 （共 ６页）
故 Ｐ（１＋ｋ１２ １，ｋ１１），同理可得 Ｑ（１＋ｋ１２ ２，ｋ１２），
则直线
ＰＱ的方程为
ｙ－ｋ１１
１ ＝ｋ１２
ｋ２ ２
－ －ｋ ｋ１ １１ ２ １（ｘ－１－ｋ１２ １），又
ｋ１ ＋ｋ２ ＝２，
直线 ＰＱ的方程可化为 ｙ＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１－ｋ１２ １）＋ｋ１１ ＝ｋ１２ｋ２ｘ－ｋ１２ｋ２－ｋ２２ｋ－１２＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１）＋１２，

卜人入州八九几市潮王学校高2021级第一次教学质量诊断性考试数学〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，应选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.，〞的否认是A.不存在，使B.，使C.，使D.，使【答案】D【解析】【分析】“〞“〞可得结果.【详解】,“，〞的否认是，使，应选D..;.，，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，应选C.【点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间〔一般是看三个区间〕；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.，那么函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，应选C.【点睛】此题主要考察二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被无视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的才能，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，应选D.【点睛】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题..解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.是两条不同的直线，垂直于平面，那么“〞是“〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设，因为垂直于平面，那么或者；假设，又垂直于平面，那么，所以“〞是“的必要不充分条件，应选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】，满足，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法那么可得结果.【详解】，，，，应选B.【点睛】此题主要考察对数的性质与对数的运算法那么，以及换底公式的应用，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度，考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，外表积为两个圆锥侧面积的和，，应选A.【点睛】求几何体的外表积的方法:(1)求外表积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规那么几何体的外表积时，通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的外表积，再通过求和或者求差求得几何体的外表积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为A.16B.8C.4D.20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，应选A.【点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，假设图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，那么的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考察数形结合思想的应用，以及灵敏运用所学知识解答问题的才能，属于中档题.的局部图象如下列图，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，应选A.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.的值域与函数的值域一样，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，那么，要使的值域为，那么，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，那么，在上递增，在上递减，要使的值域为，那么，，又，的范围是，应选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：〔1〕求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；〔2〕根据单调性可得函数的极值，假设只有一个极值点，那么在该处即是极值也是最值；〔3〕假设求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上〕，假设，那么__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】此题主要考察对数的根本性质，意在考察对根底知识的理解与运用，属于简单题.中，角，，所对的边分别为，，，假设，那么角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．15.函数，那么的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或者，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】此题主要考察分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题..的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，假设此三棱锥的最大体积为，那么球的外表积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，那么的边长，，当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，，，球外表积为，故答案为.【点睛】此题主要考察球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.中，角，，所对的边分别是，，，，.〔1〕假设，求的值；〔2〕的面积为，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；〔2〕由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】〔1〕由，那么，且，由正弦定理，因为，所以，所以，〔2〕，∴，，∴，，∴.【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径．.〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕假设函数在区间上是增函数，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A ．{}2,1--B ．{}2,1,0--C ．[]2,0-D ．[]22-,2．“22ac bc >”，是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（）A ．3B ．C ．6D ．94．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A ．30万元B ．32万元C ．36万元D ．40万元5．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A ．2y x -=B ．1y x x=+C ．sin y x x =-D ．1ln1x y x -=+6．已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A ．9B ．3C ．13D ．197．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据：lg 20.301≈）A ．33h B ．35h C ．37h D ．39h8．已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]2e,0-D ．()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知数列的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（）A ．342S =B ．2n nS a <C ．{}n S 是等比数列D ．存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =10．已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=->在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．令()π6g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C ．函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D ．函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．已知函数()f x 的定义域为，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()0f 可以等于零B ．()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C ．曲线−1为轴对称图形D ．若()11f =，则201()20k f k ==∑三、填空题12．记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =．13．已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为．14．若2x =是函数()()213e 22xf x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x α1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，(1)求ABC V 的面积；(2)若π4B =，求A ．17．已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．(1)若124a a +=，求1b 的值；(2)若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．18．已知函数()3221f x x ax a x =+--．(1)当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．19．已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312ni i a =-<∑．。

2021届第一次诊断性测试数 学 试 题(理科)注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=032x x x A ，{}0432≤--=x x x B ，则A （R C B ）等于 （ ） A ．{3≤x x 或}4>x B ．}31|{≤<-x xC ．}43|{<≤x xD ．}12|{-<≤-x x2．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( )A. ba 11<. B. 22b a >. C.1122+>+c bc a . D. ||||c b c a >.3. 已知点)cos 2 ,cos (sin ααα⋅P 在第四象限, 则角α的终边在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 ( )A ．31)(x x f = B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+ D ．()1()2x x f x a a -=+ 5．已知函数54)(--=x x x f ，则当方程a x f =)(有三个根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．15-<<-a B ．15-≤≤-a C ．5-<a D ．1->a 6．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．)3,1()3,( --∞B ．),3()0,3(+∞-C ． ),3()1,1(+∞-D ． ),3()1,3(+∞-7．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是( ) A ．x x y lg +=B ．x x y lg -=C ．x x y lg +-=D ．x x y lg --=8．若对(,0)a ∀∈-∞，R ∈∃θ，使a a ≤θsin 成立，则)6cos(πθ-的值为D( )A ．12B ．12- C ．32 D ．32- 9．已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“a b 2>”是“0)2(<-f ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数|log |)(3x x f =在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值为( )A ．31B. 32C.1D.211．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有8)()()(111=⋅---b f a f x f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．6D ．912．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：①对任意的R x ∈都有);()2(x f x f -=+②对于任意的2021≤<≤x x ，都有),()(21x f x f <③)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）A ．)7()5.6()5.4(f f f <<B ． )5.6()7()5.4(f f f <<C ．)5.6()5.4()7(f f f <<D ． )5.4()5.6()7(f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数xx x x f -++-=16)(2的定义域是_________________________.14．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是_____________________________.15．若,53)cos(,51)cos(=-=+βαβα则______________________tan tan =⋅βα.16．已知实数y x ,满足)0(,1255334>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-a y ax z x y x y x 设，若633当取z 最大值时对应的点有无数多个，则a = .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ． （1）若3a =，求A ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围 .18．（本小题满分12分）已知3sin cos sin 2cos =-+xx xx ．（1）求x tan ； （2）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．19．（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数． （1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 的极值.20．（本小题满分12分）已知20,1413)cos(,71cosαββαα<<=-=且(1)求α2tan 的值； （2）求β.21．（本小题满分12分）已知命题p ：在]2,1[∈x 内，不等式022>-+ax x 恒成立；命。

德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x ∈ N |x ²≤9},Q={1,3},则P∩Q=（ ） A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ） A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为（ ） A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=（ ） A.90B.125C.155D.1805.已知x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y +1≥0x −y ≤0 则 yx+2的最小值为（ ）A.1B.17C.−13D.−156.已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 点M 关于A 的对称点为S ，点S 关于B 的对称点为N ，那么MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB 与CD 所在直线的描述中正确的是（ ） ①直线AB.与CD 是异面直线 ②直线AB 与CD 是相交直线 ③直线AB 与CD.成60°角 ④直线AB 与CD 垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A. B.C. D.10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12(e x+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)（）A.2.5米B.2.6米C.-2.8米D.2.9米11.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√x√x )n(n∈N∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n =______.14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=______.15.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=______.16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形Sₙ正方形S的周长.和正方形Sₙ分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sn,且S nS2n为常数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅an,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba =√3sinA.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①：cosA=√33,b=1;条件②：b=2,c=2√3;条件③：a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程 y ̂=â+b̂x ⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b̂=∑i=1n(x i −x̅)(y i −y ̅)∑i=1n (x i−x̅)2=∑i=1nx i y i −nx̅y ̅∑i=1n x i2−nx̅2,â=y ̅−b̂x̅. 参考数据： ∑i=18x i2=580,∑i=18x i y i =459.5.20.(本题满分12分)已知函数 f (x )=13x 3+12(a −1)x 2−ax (a ⟩0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m ∈ (13,23). 设f(x)的三个零点为xₙ,xₙ,xₙ,求 f( xₙxₙ+xₙxₙ+xₙxₙ)的取值范围. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=eˣ,g (x )=tsinx +1,设 b(x) =f(x)-g(x).(1)若h(x)在 (−π2,π2) 上单调递增，求实数t 的取值范围；(2)求证：∃t ∈(0,+∞);对∀x ∈R,∃a ∈[0,+∞),使得xh(x)=a 总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线Cₙ的方程为(x −1)2+(y −√3)2=1,曲线Cₙ的参数方程为 {x =3t 2y =√3t(t 为参数)，直线l 过原点O 且与曲线Cₙ交于A 、B 两点，点P 在曲线Cₙ上且·OP ⊥AB.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线Cₙ的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l 平分曲线Cₙ,求△PAB 的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.德阳市高中2020级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．12 14．12 15．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题17．解：（1）由题意知：()()211222n n n dn d nS na d -+-=+=． 所以()224222n dn d nS +-=．所以()()22222422442n n dn d n S dn dS dn d n dn d+-+-==+-+-为常数． 因为0d ≠，故只要2442d dd d-=-，解得2d =，此时21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()112212n n n n b a n --=-⋅=．所以()111232212n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯得()()22121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得：()011122222212n n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3223n n =-⨯-所以()2323nn T n =-⨯+．18．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理及b a =， sin sin cos sin A B A B A ⋅=⋅+因为sin 0A ≠cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得：66B ππ-=或56π，解得3B π=． （2）若选条件①：cos A =，1b =．易知符合条件的ABC △存在且唯一，AC 边上的高为sin c A ⋅．由cos A =得：sin A =所以()sin 3sin sin sin 326A AC A B A ππ⎛⎫=--=+==⎪⎝⎭．故sin sin b Cc B===AC边上的高为sin c A ⋅=．若选条②：2b =，c =sin 32c B ⋅=>，所以符合条件的ABC △不存在． 若选条件③：3a =，2c =，由余弦定理得：294232cos 73b π=+-⨯⨯⨯=．所以b =由正弦定理sin sin C Bc b =得：2sin sin 7c B C b ⎛ ===． 所以AC边上的高为sin 7a C ⋅=． 19．解：（1）由题意得：8x =， 6.5y =，所以818221ˆ8459.588 6.50.645808618i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑6.50.64ˆ8 1.38.a y bx=-=-⨯= 故月利润y （千元）关于月销售量x （百个）的回归方程为：0.64 1.38y x =+． （2）ξ的所有市能取值为0，1，2、3，则()34384056C P C ξ===，()24433824156C C P C ξ⨯===， ()12443824256C C P C ξ⨯===，()34384356C P C ξ===． 故ξ的分布列为：ξ的数学期望0123565656562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解（1）因为()()()()211f x x a x a x a x =+--=+-' 令()0f x '=解得：1x =或x a =-因为0a >，可知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 所以()()321162f x f a a a =-=+极大值，()()1126a f x f ==--极小值． （2）由（1）知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 当1a >时，()f x 在[]1,1-上单减，在[]1,2上单增． 所双()f x 在区间[]1,2-的最小值()11.26a m f ==-- 最大值M 为()35126a f -=-与()223f =的较大者。

高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（文科）注意事项：全卷满分为150分；完成时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立；那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ； 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题；共60分）一、选择题：本题共有12个小题；每小题5分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8+3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ；则下列不等式中总成立的是(A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+ (C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ；则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是R 上的增函数；若令)1()1()(x f x f x F +--=；则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α；直线m ⊂平面β；有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象；则向量a 可以是(A) )0,3(π (B) )0,6(π(C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．一组样本数据；容量为150。

2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 设复数z 满足R ，则z 的实部为A. 0B. 1C.D. i3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是A. B. C.D.4. 已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是( ) A.B.C.D.5. 设双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的渐近线方程为A. B.C. D.6. 已知，，，则( )A.B. C.D.7. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当时，N ，据此计算的近似值为A. B. C. D.8. 定义在上的函数满足：当时，，当时，，若关于x 的方程有两个不等实根，则a 的取值范围是A. B. C. D.9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是.( )A. B. C. D.10. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是( )A. 回归直线至少经过点中的一个点B. 若，，则回归直线一定经过点C. 若点都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数D. 若，，则相应于样本点的残差为11. 已知数列满足：N，则下列说法中正确的是A. B.C. 数列的前10项和为定值D. 数列的前20项和为定值12. 已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是A. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D. 过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为13.已知a为非零实数，直线与曲线相切，则_________.14. 的值等于__________.15. 中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力．其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”．12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道．现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有_________种．16. 在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若则的最大值为__________.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求C；若，，点D在边AB上，且，求CD的长．18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，求的长；求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列满足：，N，R.证明：数列是等差数列；是否存在使得数列为等差数列？若存在，求的值及数列的前n项和；否则，请说明理由．20. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束；否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．21. 已知椭圆C：的右顶点为B，O为坐标原点，D为线段OB的中点，过点D的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；若，求直线l的斜率．22. 已知函数，R.当时，讨论的单调性；若存在唯一极值点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.【解答】解：因为，，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.根据复数的乘法法则计算，结合复数的概念即可求得z的实部.【解答】解：设复数，a，，因为，所以，所以z的实部为0，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量垂直的性质，单位向量的概念，属于基础题.依次判断选项中的向量是否与向量垂直且模为1即可.【解答】解：，可知向量与向量垂直，而，模长不为1，故A错误；同理可知向量、与向量垂直，而，，故B正确，C错误；，与向量平行，故D错误.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题.求得函数为奇函数的等价条件，结合充分不必要条件的定义判断即可.【解答】解：函数为奇函数，则，，即，解得，当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件是的非充分非必要条件是的充分不必要条件;则函数为奇函数的一个充分不必要条件是，故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的标准方程和几何性质.把右焦点的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，结合点A是BF的中点，得到，再根据即可求解渐近线方程.【解答】解：设双曲线的右焦点为，因为过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，所以设双曲线的一条渐近线方程为，把右焦点F的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，又，所以可得点A是BF的中点，所以，即，又，所以，则双曲线C的渐近线方程为故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较大小，不等式性质和对数函数及其性质，属于基础题.利用对数函数的性质和不等式性质得和，再利用不等式性质得结论.【解答】解：，，因此，即又，，，因此，即，综上所述，故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题.分别求出进行10合1混检和采用5合1混检每个个体平均检测，即可求出比值.【解答】解：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，故答案选8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题．、利用导数得出当时，，单调递减，当时，，单调递增，，从而故在上单调递增，在上单调递减，即可求解．【解答】解：当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，时，时，故有两个不等实根只需，故选9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查函数的周期性，考查运算能力．属于基础题.根据函数的周期公式和单调性，对选项加以判断，即可得到在上单调递增，且最小正周期为的函数．【解答】解：对于A，的最小正周期为，由于当时，，故函数在上不单调，故A不正确；对于B，的最小正周期为，且在上单调递增，故B正确．对于C，的最小正周期为，在上单调递增，故C正确；对于D，函数的图像可以看做将正切函数的图象保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分沿x轴翻折上去，所以最小正周期为，且在上单调递增，故D正确.故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查回归直线方程、相关系数和残差分析，属于基础题.利用回归直线方程、相关系数和残差分析逐个判断即可.【解答】解：回归直线一定过样本中心点，但不一定要过样本点，故A错误，B正确；对于C、因为点都落在直线上，属于完全正相关，故相关系数，正确；对于D、若则相对应于样本的残差为，正确．故选11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查数列的函数特征以及数列的递推关系，属较难题；由，两式可判断A，B选项;根据由题知，①，②，③，②-①得，②+③得即可判断C，D选项.【解答】解：取得，故，A正确;取得，又，所以，B错误;由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定，C错误;前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值，D正确.故答案选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于中档题.先确定点P不在这两条异面直线AB与中的任何一条上，取的中点Q，设与AB 交于点E，确定点，，Q，E，P共面，由此分析直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，即可判断选项A；利用假设法，即可判断B；由题意可得平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即可判断C；分别平移AB，，使AB与均经过点P，即可判断选项【解答】解：直线AB与是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示，取的中点Q，则，且，设与AB交于点E，则点，，Q，E，P共面，直线EP必与相交于某点F，由于直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，则过点P有且只有一条直线l与AB，都相交，故选项A正确;对于B，若存在一条直线与AB，都平行，则，矛盾，故B错误;对于C，因为，若，则，若，而，且平面ABCD，则平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即，故C正确；对于D，分别平移AB，，使AB与均经过点P，则有两条互相垂直的直线与AB，都成角，故选项D错误;故选13.【答案】e【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设切点坐标，利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：设切点，则，，又对于，其导函数为又切线方程的斜率为1，即，，，又a为非零实数，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角和与差的余弦公式，属于基础题.根据，利用两角和与差的余弦公式即可得答案.【解答】解：故答案为：15.【答案】56【解析】【分析】本题考查组合问题，属于基础题.转化为从8次选3次运送2颗即可.【解答】解：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有种情况.故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题.先求出点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，再利用即可求解.【解答】解：，设，则，化简得，故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，的最大值为，故的最大值为故答案为17.【答案】解：根据题意，中，因为，，所以由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，又，所以由余弦定理知，，由知，，即【解析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式与同角三角函数关系式，考查逻辑推理能力和运算能力．利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解；由余弦定理知，可得，结合，即可解答.18.【答案】解：取中点N，连接MN，AN，则，平面ABC，平面ABC，，又，，BA，平面，平面，故平面，平面，，又，，AM，平面AMN，平面AMN，平面AMN，，故∽，，而，；连接，由知平面，故为直线与平面所成角，，，即所求角的正弦值为【解析】本题考查线面垂直的判定及性质、直线与平面所成角，属中档题.先由线面垂直的判定定理得到平面，故平面，则∽，可得AB的长，则；为直线与平面所成角，求解其正弦值即可.19.【答案】解：，，两式相减得，n 为偶数时，，，，，，数列是首项为，公差为3的等差数列.由题知，，若为等差数列，则，故即，此时，，即对有，故为等差数列，且，【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的判定以及等差数列的概念与通项公式及前n项和公式，属于中档题.根据递推关系式得出，进而得出是等差数列；由题意求出，再由为等差数列，则，得出，再由求出对有，得出为等差数列，由等差数列的前n项和公式求出20.【答案】解：考虑两种情况：甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，故所求概率为由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为，按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为，按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为，，故甲按ABC或BAC顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.【解析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，是中档题.若选手甲先选择A类问题，分别求出甲接下来选择回答B类或者C类问题并取得复赛资格的概率，相加即可得解；由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，分别求出这三种顺序的概率，比较即可得解.21.【答案】解：由题意可得，点在椭圆上，将点代入椭圆方程得，故，由知，，设，，直线，代入椭圆方程得，由D在椭圆内部知必有，则，，由题知，故①，②，由得，即，故l的斜率为【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.将点代入椭圆方程得，故，，将直线代入椭圆方程得，由根于系数关系即可求解.22.【答案】解：由题知，，即，令，则，故在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以，或，从而或，，在和上单调递增，在上单调递减.由题知，则，即，令，则，或，，即在和上单调递增，在上单调递减，且时，时，在上有唯一零点，记为，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，在上，由的单调性可知，的极大值，时，且时，故当时，，在上单调递增，，在上无极值点，当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，，单调递增，时，，单调递减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去，综上，即【解析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性和利用导数解决函数的极值问题，属于难题.由函数解析式求出导数，构造函数，得出在和上单增，在上单减；分和两种情况判断函数是否存在唯一的极值点，求出a的取值范围。

普高2021届第一次诊断性考试制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

数学试题(文史类)一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.{}1A x x =，2{|230}B x x x =--<，那么A B ⋂=〔 〕A. {|13}x x <<B. {|1x x <-或者1}x ≥C. {}3x x D. {}1x x【答案】A 【解析】 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，求出A 与B 的交集即可．【详解】{}1A x x =，由B 中不等式变形得：()310x x （）-+< ， 解得：13x -<< ，即{|13}B x x =-<< ， ∴A∩B={|13}x x <<， 应选：A ．【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．23iz i-+=〔其中i 为虚数单位〕，那么复数z 的虚部是〔 〕 A. 2i B. 2i -C. 2-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】 计算出23iz i-+=，即可求出复数z 的虚部．【详解】()()()232332i i i z i i i i -+⋅--+===+⋅- 复数z 的虚部是2 应选D.【点睛】此题考察了复数的除法运算，其关键是纯熟掌握其运算法那么．{}n a 的前n 项和为n S ，假设711a =，那么13S =〔 〕A. 66B. 99C. 110D. 143【答案】D 【解析】 【分析】由711a =，那么7!13222,a a a =+= 由等差数列的前n 项和公式可求13S . 【详解】711a =，那么7!13222,a a a =+=那么()1131313143,2a a S ⨯+==应选D.【点睛】此题考察等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式.属根底题.1sin()43x π-=，那么sin 2x =〔 〕A. 79B. 79-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可得到答案 【详解】227sin2cos 2cos 212sin 1.24499x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 应选A.【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式，属根底题.ABCD 中，8AB =，6AD =，假设向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.49【答案】A 【解析】 【分析】此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，那么三角形的高要1h <，得到两个三角形的高即为P 点到AB 和AD 的间隔 ，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知此题是一个几何概型的概率，以AB 为底边，要使面积小于4，由于142ABPSAB h h =⨯=， 那么三角形的高要1h < ，同样，P 点到AD 的间隔 要小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影局部，它的面积是43，∴使得△ABP 与△ADP 的面积都小于4的概率为：4138636＝⨯ ； 应选：A ．【点睛】此题考察几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．6.如下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞，执行该程序框图，假设输入的,a b 分别为63，36，那么输出的a =〔 〕A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由循环构造的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论． 【详解】由a=63，b=36，满足a ＞b ， 那么a 变为63-36=27， 由a ＜b ，那么b 变为36-27=9， 由b ＜a ，那么a =27-9=18， 由b ＜a ，那么，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，那么输出的a 的值是9． 应选：C ．【点睛】此题考察算法和程序框图，主要考察循环构造的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于根底题．{}n a ，那么123a a a <<是数列{}n a 是递增数列的〔 〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】假设“a 1＜a 2＜a 3〞，那么“数列{a n }是递增数列〞，不一定，充分性不成立，假设“数列{a n }是递增数列〞，那么“a 1＜a 2＜a 3〞成立，即必要性成立，故“a 1＜a 2＜a 3〞是“数列{a n }是递增数列〞的必要条件． 应选B.【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，属根底题.()sin 2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，那么()g x 具有性质〔 〕 A. 在(0,)4π上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线34x π=对称 C. 在3(,)88ππ-上单调递增，为奇函数 D. 周期为π，图象关于点3(,0)8π对称【答案】A 【解析】 【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，求得g 〔x 〕的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数()sin2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数sin 2cos 24g x x x π=-=-（）（） 的图象， 故当x∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，2x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，故函数g 〔x 〕在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数， 应选A ．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于根底题．ABCD 中，2AC =，1BD =，那么()()AB DC CA DB +⋅+=〔 〕A. 5B. 5-C. 3-D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算化简AB DC CA DB ，，++.利用向量数量积的运算性质即可得到结论. 【详解】()()()()()()AB DC CA DB AC CB DB BC CA DB AC DB CA DB +⋅+=+++⋅+=+⋅+()()2241 3.AC DB DB AC DB AC =+⋅-=-=-=【点睛】此题考察向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属根底题()(1)()f x x ax c =-+〔,a c 为实数〕为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，那么(1)0f x -<的解集为〔 〕A. (0,2)B. (2,0)-C. (,2)(0,)-∞-+∞D. (,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出a ，c 的关系，结合函数的单调性判断a 的符号，然后根据不等式的解法进展求解即可．【详解】∵()()()1f x x ax c =-+=ax 2+〔c-a 〕x-c 为偶函数， ∴f〔-x 〕=f 〔x 〕，那么ax 2-〔c-a 〕x-c=ax 2+〔c-a 〕x-b ， 即-〔b-c 〕=c-a ， 得c-a=0，得c=a ，那么f 〔x 〕=ax 2-a=a 〔x 2-1〕， 假设f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减， 那么a ＜0，由f 〔1-x 〕＜0得a[〔1-x 〕2-1〕]＜0，即〔1-x 〕2-1＞0， 得x ＞2或者x ＜0，即不等式的解集为〔()(),02,-∞⋃+∞， 应选 D .．【点睛】此题主要考察不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，c 的关系是解决此题的关键．1111ABCD A B C D -的顶点都在体积为288π的球O 的球面上，那么长方体1111ABCD A B C D -的外表积的最大值等于〔 〕A. 576B. 288C. 144D. 72【答案】B 【解析】 【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的外表积的表达式，然后求出最大值．【详解】由球的体积为288π，可得34288,6,3R R ππ=∴= 设长方体的三边为：a ，b ，c ，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知222212144a b c ++== ，长方体的外表积为：222222222288ab ac bc a b c ++≤++= ；当a=b=c 时获得最大值，也就是长方体为正方体时外表积最大． 应选B.．【点睛】此题考察长方体的外接球的知识，长方体的外表积的最大值的求法，根本不等式的应用，考察计算才能；注意利用根本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．,,a b m ，以下说法：①假设a b >，那么22am bm >；②假设a b >，那么a a b b >；③假设0,0b a m >>>，那么a m ab m b+>+；④假设0a b >>，且ln ln a b =，那么2)a b +∈+∞，其中正确的命题的个数〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由不等式可乘性，即可判断①；由f 〔x 〕=x|x|在R 上递增，可判断②；运用作差和不等式的性质，可判断③；运用绝对值函数y=|lnx|的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断④． 【详解】对于实数,,a b m ，①假设a b >，那么m=0，22am bm =，不成立； ②由f 〔x 〕=x|x|为奇函数，且x≥0时，f 〔x 〕递增，可得f 〔x 〕在R 上递增， 假设a ＞b ，那么a|a|＞b|b|成立； ③假设b ＞a ＞0，m ＞0，那么()()()0a m a ab bm ab am m b a b m b b b m b a b ++----==+++， 可得a m a b m b+>+成立； ④假设a ＞b ＞0且|lna|=|lnb|，那么lna ＞lnb ，即有a ＞1，0＜b ＜1，可得lna+lnb=0，即1122ab a b a a，=+=+在〔1，+∞〕递增，可得23a b （，）+∈+∞ 成立．所以④不正确． 应选：B ．【点睛】此题考察函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性、以及不等式的性质，考察运算才能，属于中档题．二、填空题〔每一小题4分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.sin(675)-=_______．【答案】2【解析】 【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【详解】sin 675sin 180445sin 452-︒=-︒⨯+︒=︒=（）（）即答案为2. 【点睛】此题主要考察应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于根底题．,x y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么2u x y =+的最小值为_______．【答案】72【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得答案．【详解】由约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，令2u x y =+，化为22x u y -+＝ ，由图可知，当直线22x u y -+＝过点312B （，） 时，直线在y 轴上的截距最小，3721.22u =+⨯= u 有最小值为72． 故答案为72．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.通常，满分是为100分的试卷，60100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)24,36，[)36,48，…，[]84,96分组后绘制的频率分布直方图如下图.由于及格人数较少，某位教师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整〞的方法进展换算以进步及格率〔实数a 的取整等于不超过a 的最大整数〕，如：某位学生卷面49分，那么换算成70分作为他的最终考试成绩，那么按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．〔结果用小数表示〕【答案】0.82【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，假设某位学生卷面36分，那么换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得[)2436，组的频率为0.015120.18⨯=，所以这次测试的及格率为10.180.82-= 点睛：此题考察了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率频率组距组距=⨯，结合题目要求的转化分数即可算出结果。

2021届高三数学第一次诊断性试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的.z =21i+在复平面内对应的点位于〔 〕 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案． 【详解】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 应选D ． 【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的几何意义，属于根底题．{}2(,)|A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，那么A B =( )A. {(0,0)}B. {(1,1)}C. {(0,0),(1,1)}D. {0,1}【答案】C【解析】【分析】集合A ,B 分别表示抛物线，直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集.【详解】由2y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或者11x y =⎧⎨=⎩， A B ∴={(0,0),(1,1)}，应选：C【点睛】此题主要考察了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题.sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么( ) A. a c b <<B. c a b <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B【解析】【分析】 利用相关知识分析各值的范围，即可比拟大小. 【详解】1sin 62a π==, 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,应选：B【点睛】此题主要考察了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,那么以下说法错误的选项是( )A. 变量x ,y 之间呈现负相关关系 B. 可以预测,当x =20时,yC. m =4D. 该回归直线必过点(9,4)【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进展逐一分析，即可进展选择.【详解】对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为0.710.3y x =-+，b =﹣0.7<0，故负相关.对于B ：当x =20时，代入可得y对于C ：根据表中数据：()16810124x =+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4. 即()163244m +++=， 解得：m =5.对于D ：由线性回归方程一定过(x y ，)，即(9，4).应选：C.【点睛】此题考察线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合根底题.A ，B ，C 不一共线，那么“AB 与AC 的夹角为3π〞是“AB AC BC +>〞的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的性质,可判断AB AC BC +>与AB 与AC 的夹角为3π的推出关系，即可求解. 【详解】当AB 与AC 的夹角为3π时 222=||+2+||2=2||||cos03AB AC AB AB AC AC AB AC AB AC π+⋅⋅⋅⋅>，， 222222=||+2+||||2+||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB ∴+⋅>-⋅=-，||AB AC AC AB BC ∴+>-=，当AB AC BC +>时， 2222222=||+2+||||2+|||||AB AC AB AB AC AC AB AB AC AC AC AB BC +⋅>-⋅=-=，化简得：0AB AC ⋅>，A ，B ，C 不一共线，∴AB 与AC 的夹角为锐角， 所以“AB 与AC 的夹角为3π〞是“AB AC BC +>〞的充分不必要条件， 应选：A【点睛】此题主要考察了数量积的运算性质，充分不必要条件，属于中档题. ()sin f x x =和函数()sin g x x =的结论，正确的选项是( )A. ()g x 值域是[1,1]-B. ()0f x ≥C. ()()2f x f x π+=D. ()()g x g x π+=【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的值域，周期性分别分析(),()f x g x 即可.【详解】()sin g x x =,(0)1g x ∴≤≤,()()|sin()||sin ||sin |g x x x g x x ππ∴+=+=-==,故A 错误D 正确，()sin f x x =，||0x ≥，()[1,1]f x ∴∈-，()()2sin |2|f x x f x ππ∴+=+≠故B,C 错误，应选：D【点睛】此题主要考察了正弦函数的值域，周期性，属于容易题.()21cos 4f x x x =+，那么其导函数()f x '的图象大致是( ) A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.【详解】()21cos 4f x x x =+, 1()sin 2f x x x '∴=-,1()sin ()2f x x x f x ''∴-=-+=-, 即函数为奇函数，排除B ,D 选项，令()()g x f x '=-， 那么1()cos 2g x x '=-， 当(0,)3x π∈时，()0g x '<，()f x '∴在(0,)3x π∈上单调递减， 应选：A【点睛】此题主要考察了函数的导数，利用导数断定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题. m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出以下命题：①假设//n α，βn//，那么//αβ；②假设//m α，//m n ，那么//n α；③假设m α⊥，m β⊥，那么//αβ；④假设m α⊥，//αβ，那么m β⊥.其中所有正确命题序号是( )A. ③④B. ②④C. ①②D. ①③【答案】A【解析】【分析】在①中，α与β相交或者平行；在②中，//n α或者n ⊂α；在③中，由线面垂直的性质定定理得//αβ；在④中，由线面垂直的断定定理得m β⊥．【详解】由m ，n 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，知：在①中，假设//n α，//n β，那么α与β相交或者平行，故①错误；在②中，假设//m α，//m n ，那么//n α或者n ⊂α，故②错误；在③中，假设m α⊥，m β⊥，那么由线面垂直的性质定理得//αβ，故③正确；在④中，假设m α⊥，//αβ，那么由线面垂直的断定定理得m β⊥，故④正确．故答案为：③④．【点睛】此题主要考察了命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能、空间想象才能，考察化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>焦距为2c ，圆1C ：222()(0)x c y r r -+=>与圆2C ：222()4()x y m r m +-=∈R 外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，那么E 的离心率为〔 〕D. 32 【答案】C【解析】【分析】两圆相外切，可得两圆心距为3r ，从而可得222c m 9r +=，渐近线b y x a=-为两圆的公切线，故可得2r r ⎧=⎪⎪=，从而可得出关于,,a b c 的关系，求得离心率.【详解】解：因为圆1C ：()222(0)x c y r r -+=>与圆2C ：()()2224x y m r m R +-=∈外切，3r =即222c m 9r +=①， 渐近线b y x a =-为两圆的公切线，故可得2r r ⎧=⎪⎪=，即2b r bc m a =⎧⎪⎨=⎪⎩②， 将②代入到①中， 得222224b c c 9b a +=，即222222a c 4b c 9a b +=，又因为222b c a =-故42249a 12a c 4c 0-+=，解得：2232c a ，故2e =，应选C. 【点睛】此题考察了双曲线的离心率问题、直线与圆相切、圆与圆相切问题，构造出,a c 的等量关系式是此题解题的关键.()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且()()2x f x g x e +=，假设存在2(]0,x ∈，使不等式()()20f x mg x -≤成立，那么实数m 的最小值为〔 〕A. 4B.C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，【详解】∵()()2x f x g x e +=，① ∴()()2xf xg x e --+-=，又函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数， ∴()2()xf xg x e --=，② 由①②得1()()2x x f x e e -=+，1()()4x x g x e e -=-， 不等式()()20f x mg x -≤为2211()()024x x x x e e m e e --+--≤，〔*〕， 设x x t e e -=-，这是一个增函数，当02]x ∈（，时，221(0,]t e e ∈-， 〔*〕变为21202t mt +-≤，22(2)22()t m t t t +≥=+， 假设存在2(]0,x ∈，使不等式()()20f x mg x -≤成立，那么为：存在221(0,]t e e ∈-，使22()m t t ≥+成立，由于22()2t t +≥⨯=2t t =，即t =时等号成立，∴22()2t +的最小值是∴m ≥应选：B.【点睛】此题考察函数的奇偶性，考察不等式“能〞成立问题．解题方法也是别离参数法，把问题转化为求函数的最值．S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，假设SC 是其外接球的直径，那么球的外表积为〔 〕A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π【答案】D【解析】【分析】 由SC 是其外接球的直径，得SC 中点O 是S ABC -外接球球心，设G 是ABC ∆的外心，那么OG ⊥平面ABC ，且OG 等于S 到平面ABC 的间隔 的一半．求出ABC ∆中AB 长〔用余弦定理〕，由正弦定理求得ABC ∆外接圆半径，求出ABC ∆面积，求体积求出OG ，从而可得外接圆半径，得外表积．【详解】如图，O 是SC 中点，那么O 是S ABC -外接球球心，设G 是ABC ∆的外心，那么OG ⊥平面ABC ，且OG 等于S 到平面ABC 的间隔 的一半．∵1AC BC ==，120ACB ∠=︒，∴AB =，22sin sin120AB GC BCA ===∠︒，1GC =，1sin1202ABC S AC BC ∆=⨯⨯︒=11122332S ABC ABC V S OG OG -∆=⋅==，3OG =， ∴222OC GC GO =+=，224()4216S OC πππ==⨯=．应选：D.【点睛】此题考察球的外表积，考察三棱锥与外接球的关系．三棱锥外接球球心一定在过它的各面外心且与此面垂直的直线上．1,0()()3,0x e x f x a R x ax x -⎧>⎪=∈⎨⎪+≤⎩，假设方程(())20f f x -=恰有5个不同的根，那么a 的取值范围是〔 〕 A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (0,1)D. (1,)+∞【答案】B【解析】【分析】当x>0时，对函数求导判断单调性求出最值，即可画出函数的图像，设t ＝f 〔x 〕，那么()2f t =，结合图像分析即可得到答案.【详解】当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x--'=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()()min 11f x f ==，当0x ≤时，()3f x ax =+的图象恒过点()0,3， 当0a ≤，0x ≤时，()()03f x f ≥=，当0a >，0x ≤时，()()03f x f ≤=， 作出大致图象如下图.方程()()20ff x -=有5个不同的根，即方程()()2f f x =有五个解，设()t f x =，那么()2f t =.结合图象可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根()1,0t ∈-∞，()20,1t ∈，()31,3t ∈〔∵()2323e f =>，∴313t <<〕， 于是()1f x t =有一个解，()2f x t =有一个解，()3f x t =有三个解，一共有5个解， 而当0a ≤时，结合图象可知，方程()()2f f x =不可能有5个解.综上所述：方程()()20f f x -=在0a >时恰有5个不同的根.应选B【点睛】此题考察函数零点的断定，考察数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分.25100a b ==,那么11a b+=__________.【答案】12【解析】 【分析】将指数式化为对数式，结合对数运算，求得11a b+的值. 【详解】25100a b ==,25log 100,log 100a b ∴==,10000111log 2,log 5a b∴==.210010010010111log 2log 5log 10log 102a b ∴+=+===. 故答案为：12【点睛】本小题主要考察指数式化为对数式，考察对数运算，属于根底题.14.HYHY 在“HY〞报告中指出：坚决文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角〞提醒了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的?详解九章算法?一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.“杨辉三角〞是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如以下图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角〞中，第10行中从左至右第5与第6个数的比值为________.【答案】56【解析】 【分析】第10行的数就是二项式10()a b +的展开式中各项的二项式系数，由此可得．【详解】由题意第10行的数就是二项式10()a b +的展开式中各项的二项式系数，因此从左至右第5与第6个数的比值为41051056C C =．故答案为：56． 【点睛】此题考察数学文化，考察二项式系数与杨辉三角的关系．掌握二项式定理是解题关键．C ：22y px =〔0p >〕的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，假设3PF FQ =，那么AQQF=________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，利用平行线分线段成比例，即可推导出所求结果. 【详解】过P ，Q 分别作PM,QN 垂直准线l 于,M N ,如图：3PF FQ =，1||||4QF PQ ∴=, 由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==, ||3||PM QN ∴=, //PM QN , ||||1||||3AQ QN AP PM ∴==, 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=,2AQQF∴=， 故答案为：2【点睛】此题主要考察了抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，属于中档题.ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，那么ABC ∆面积的最大值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】题意说明ABD ∆是ABC ∆面积的13，设AD x =，那么3AB x =，由三角形的边的性质求出x 的范围，然后可把ABD ∆面积用x 表示，求出最大值． 【详解】∵AC 3AD =，∴3ABC ABD S S ∆∆=，设AD x =，那么3AB x =，由343x x x x +>>-得12x <<，222291658cos 233x x x A x x x +--==⋅⋅，sin A ==11sin 322ABDS AB AD A x ∆=⋅=⋅⋅==，∵12x <<，∴252x =时，ABD S ∆获得最大值3=，∴ABC S ∆最大值为9.故答案为：9.【点睛】此题考察解三角形的应用．设出边长，用余弦定理求出角的余弦，转化为正弦，这样可表示出三角形的面积，从而求得最大值．注意边长的范围可由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得出．三、解答题：一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点.〔1〕求证：PN 平面ABCD ；〔2〕假设AP PD ⊥，且2AB =，4=AD ，求二面角B PC N --的余弦值. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕12【解析】 【分析】〔1〕由PA AB ⊥及矩形可证AB ⊥平面PAD ，从而得AB PN ⊥，再由等腰三角形得一个垂直后可得线面垂直；〔2〕以N 为原点，,,NA NE NP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系〔其中E 是BC 中点〕，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角余弦值得二面角余弦值．【详解】〔1〕由题意，知AB AD ⊥，AB PA ⊥，又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PADAB ∴⊥平面PAD ，又PN ⊂平面PAD ，AB PN ∴⊥，由PA PD =，NA ND =得：PN ADABAD A =， ,AB AD ⊂平面ABCD ，PN ∴⊥平面ABCD〔2〕由AP PD ⊥，NA ND =，2AB =， 4=AD 得：2NA ND PN NE ====取BC 的中点 E ，连结NE ，那么//NE AB ，故NE AD ⊥，由〔1〕知：PN NA ⊥， PN NE ⊥，NE NA ⊥以N 为原点，,,NA NE NP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，于是，有：(0,0,0)N ， (2,0,0)A ， (2,2,0)B ， (2,2,0)C -， (0,0,2)P ，(0,0,2)NP ∴=， (4,0,0)CB =，(2,2,2)CP =-设平面NPC 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么由0,0.m NP m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：0,2220.z x y z =⎧⎨-+=⎩获得1y =：(1,1,0)m =，设平面BPC 的一个法向量为(,,)u a b c =那么由0,0.u CB u CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：0,2220.a a b c =⎧⎨-+=⎩，获得1b =：(0,1,1)u =，cos ,m u m u m u⋅∴〈〉==11222=⨯∴二面角B PC N --的余弦值为12.【点睛】此题考察证明线面垂直，考察求二面角．在立体图形中有垂直关系时，可建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．{}n a 的前n 项和n S 满足()241n n S a =+〔*n N ∈〕.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2122323n n n T ++-=【解析】 【分析】〔1〕利用11n n n a S S ++=-可求得数列{}n a 的递推关系，证得它是等差数列，再由11a S =求得1a 后可得{}n a 的通项公式；〔2〕分组求和，分成一个等差数列与一个等比数列的和． 【详解】〔1〕由()241n n S a =+()*n N ∈知：当1n =时，有()21141a a =+， 10a >，解得11a =由()241n n S a =+， ()21141n n S a ++=+两式相减，得：()()2211411n n n a a a ++=+-+，化简得：2211220n n n n a a a a ++---=变形得：()()1120n n n n a a a a +++--=，对*n N ∀∈，有0n a >，12n n a a +∴--，即12n n a a +-=故 数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-〔2〕2n a n n b a =+，21n a n =-，21212n n b n -∴=-+(1321)n T n ∴=+++-()35212222n -+++++()214[1(21)]214nn n -+-=+-22423n n⨯-=+2122323n n ++-=2122323n n n T ++-∴=【点睛】此题考察由n S 与n a 的关系求通项公式，考察分组求和法．在n S 与n a 的关系时，通过利用11n n n a S S ++=-或者1(2)n n n a S S n -=-≥求出数列的递推式或者(2)n a n ≥，但要注意此处不含1a ，11a S =．19.“绿水青山就是金山银山〞，“建立美丽中国〞已成为HY中国特色HY生态文明建立的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为理解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度〔单位：cm〕，经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如下图的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗.〔1〕求图中a的值；〔2〕所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，局部数据如列联表：A试验区B试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完好，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；〔3〕用样本估计总体，假设从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望EX.附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)20k【答案】〔1〕0.025a =；〔2〕列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系；〔3〕分布列见解析，()1E X = 【解析】 【分析】〔1〕由频率分布直方图中所有频率〔小矩形面积〕和为1可求得a ；〔2〕由频率分布直方图求出优质树苗和非优质树苗的株数后可填写上列联表，求出2K 后知有无关系； 〔3〕由〔2〕知这批树苗为优质树苗的概率为3011204=，X 的可能取值为0，1，2，3，4， X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算出各概率，得分布列，根据期望公式计算出期望．【详解】〔1〕根据频率分布直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =. 〔2〕根据频率分布直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯= 列联表如下：可得；22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.310.8287=<< 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论 〔3〕用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为3011204= X 的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知：X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭4413()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =即：04041381(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；13141327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 22241327(2)44128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3134133(3)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4044131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X ∴的分布列为：∴数学期望为1()414E X =⨯= 〔或者812727()01225664128E X =⨯+⨯+⨯3134164256+⨯+⨯=〕. 【点睛】此题考察频率分布直方图，考察HY 性检验，考察二项分布和期望，正确认识频率分布直方图是解题根底．xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，且PAB ∆满足3tan tan 4A B =.记点P 的轨迹为曲线C . 〔1〕求C 的方程，并说明是什么曲线；〔2〕假设M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠假设存在，恳求出定点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22142(2)x y x +=≠±，C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆〔不含左、右顶点〕；〔2〕存在定点(0,6)Q【解析】【分析】〔1〕设点P 的坐标为(,)x y ，3tan tan 4A B =说明34PA PB k k =-，把这个等式用,x y 表示出来化简后即得；〔2〕假设存在的定点(0,)Q m 符合题意，当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消去y 得x 的一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +， MQO NQO ∠=∠，得0MQ NQ k k +=，代入1212,x x x x +化简后分析所得式子与k 无关时的m 值，同时验证MN 斜率不存在时，定点Q 也满足．【详解】〔1〕由3tan tan 4A B =，得34PA PB k k =-，设点P 的坐标为(,)x y ，那么： 3(2)224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得：221(2)43x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为22142(2)x y x +=≠± C ∴是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆〔不含左、右顶点〕〔2〕假设存在的定点(0,)Q m 符合题意由题意知：直线,AD BD 的斜率分别为14AD k =，14BD k =- 由题意及〔1〕知：直线MN 与直线,AD BD 均不重合，当直线MN 的斜率k 存在时 设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y 由MQO NQO ∠=∠，得直线,MQ NQ 的倾斜角互补，故0MQ NQ k k += 又1212MQ NQ y m y m k k x x --+=+12121122kx m kx m x x +-+-=+()1212124(12)2k x m x x x x +-+= ()12124(12)0kx x m x x ∴+-+=① 由221,431.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，整理得：()22344110k x kx ++-=. ()221644340k k ∆=++>，又122434k x x k -+=+，1221134x x k -=+② 代②入①得：221144(12)3434k k m k k --⋅+-⋅++28(6)034k m k-==+③ 当14k ≠±时，又k 不恒为0，∴当且仅当6m =时，③式成立 ∴当直线MN 的斜率k 存在时，存在定点(0,6)Q 满足题意.当直线MN 的斜率不存在时，点(0,6)Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意.综上所述，在 y 轴上存在定点(0,6)Q ，使得MQO NQO ∠=∠.【点睛】此题考察求轨迹方程，由方程确定曲线，考察直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设动点坐标，()11,M x y ，()22,N x y ，应用韦达定理求得1212,x x x x +，代入题设条件中得出结论．此题考察了学生的运算求解才能．()()22x f x e sinx ax a e =-+-,其中 2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性;(2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减.(2)证明见及解析.【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可断定函数的单调性．(2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,x a f x e sinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦; ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减(2)要证()220x e sinx axa e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立 令()()22g a x a sinx e =-+-, 即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立 即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立∵sin 1x e +<∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,那么006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()2200000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-, =200sin 7sin 44x x x e ++- ∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-< [)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或者求参数的取值情况，属于难题．〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.22.选修4－4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数，0απ≤<)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=.(1)当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； (2)直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且两点对应的参数12,t t 互为相反数，求||AB 的值．【答案】〔1〕(0,0)，π)4〔2〕【解析】试题分析：〔1〕曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，直线l 的普通方程为y x =，联立解出方程组即可；〔2〕把直线l 的参数方程代入曲线C ，根据12AB t t =-结合韦达定理可得结果.试题解析：〔1〕由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即2240x y x +-=，\当π4α=时，直线l 的参数方程21,221,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，化为直角坐标方程为y x =， 联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩解得交点为()0,0或者()2,2， 化为极坐标为()0,0，π22,4⎛⎫ ⎪⎝⎭〔2〕把直线l 的参数方程代入曲线C ，得()2220t sin cos t αα+--=， 可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以()2121212422AB t t t t t t =-=+-=．f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)假设f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或者x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：〔1〕解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．〔2〕原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：〔1〕当a ＝－3时，f 〔x 〕＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f 〔x 〕≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f 〔x 〕≥3无解；当x≥3时，由f 〔x 〕≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f 〔x 〕≥3的解集为{x|x≤1或者x≥4}． 6分〔2〕f 〔x 〕≤|x－4||x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|〔4－x〕－〔2－x〕≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数制卷人：打自企；成别使；而都那。

制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

地区2021年高三年级第一次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分HY一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．选〔A 〕【解析】由图可知，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,5,6B =∴{}0,4,5,6,7,8UA =，(){}5,6U A B =，应选A ．2．选〔A 〕【解析】∵图象关于坐标原点对称的函数是奇函数，()33x x -=-，3y x =是奇函数；而33x x -≠-，33x x -≠，3x y =是非奇非偶函数；函数3log y x =中0x >，3log y x =是非奇非偶函数；()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数．3．选〔A 〕【解析】∵22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =- ，应选A ． 4．选〔B 〕【解析】①②正确，对于③，l 与m 还可能是异面直线；对于④m 与β还可能斜交，平行或者m β⊂，③、④错误.5．选〔B 〕【解析】依题意知，对任意12,,x x x ∈R ，都有()()()1211f x f x f x -≤≤≤≤ 令2x π=-，12f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而()111f x -≤≤-，∴1()1f x =-，12,2x k k ππ=-∈Z 同理22,2x n n ππ=+∈Z ，那么122()1x x k n π-≥--π≥，选B ．6．选〔D 〕【解析】由题意知()11012312n n n q q q q qq--=⋅⋅⋅⋅=，即()1102n n -=解得5n =，应选D ．7．(文科)选〔A 〕【解析】由2320x x +->得2230x x --<，解之，得13x -<<(理科)选〔C 〕【解析】∵()411rr n rr n T C x -+=- ，依题意有451n -⨯=，∴21n =2143r -=-，6r =，于是，展开式中含31x的项是第7项. 8．选〔C 〕【解析】由框图可知，该程序的功能是计算54s n =+++到首次不少于14的n 的值，即(),s n 由以下运算得：()()()0,505,5154,41→+-→+-()93,31→+-()122,21→+-，所以输出1n =，应选C .9．选〔D 〕【解析】由得510sin ,sin 510A B ==，算得()2sin sin 2C A B =+=，而sin 2sin a Ab B==，又21a b -=-，故2,1a b ==，又由sin sin c aC A=，解得5c =，应选D ． 10．选〔C 〕【解析】依题意知所得的多面体是各棱长均为22的八面体，长为22且该八面体可看作两个一样的四棱锥组成的，不妨在各棱方形的正四棱锥1O —2345O O O O 中求该球的半径．球心O 为正2345O O O O 的中心，半径为OF ，F 一定在正三角形134O O O 中线1O E 上，在1Rt O OE ∆中，11126,,244O O OE O E ===，由11O O OE OF O E ⋅=⋅，解得36OF =，∴该球的外表积243S OF ππ=⋅=，应选C ．11．选〔A 〕【解析】画出2xy -=与ln y x =的图象，不妨设01a b <<<，易知2ln a a -=-，2ln bb -=，所以()ln ln 220ba b a ----=-<，即()ln 0ab <，于是01ab <<12．选〔B 〕【解析】设()()()1122,,,,,1A x y B x y P t -，那么()11,1PA PB x t y ⋅=-+()22,1x t y ⋅-+()()2121212121x x t x x t y y y y =-++++++ (*)曲线24x y =在其上点()()1122,,,A x y B x y 处的切线方程分别为()112x x y y =+…①()222x x y y =+…②，解由①②组成的方程组，得1212,24x x x xx y +==，又依题意知1212,124x x x x t +==-，∴12122,4x x t x x +==-，又2114x y =，2224x y =∴()21212214x x y y ==，()222212122121224824444x x x x x x t y y t +-++=+===+将它们代入(*)式 得22421210PA PB t t t t ⋅=--⋅+++++=，应选B ．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．填52．【解析】由得12b a =，∴214b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22254a b a +=，即2254c a =，∴52e = 14．(文科) 填1-．【解析】sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴2sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2sin2π，即1-≤sin cos x x +≤2 ∴sin cos x x +的最小值为1-．(理科)填①②③．【解析】∵()cos sin sin xF x tdt tx πππ--===⎰，其中,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴①②③正确；而()()sin cos 2sin 4F x f x x x x π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴2sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2sin 2π， 即1-≤()()F x f x +≤2 ∴()()F x f x +的最小值为1-．15．填25．【解析】∵在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1， ∴0.12000b=，解得200b =，设分层抽样的方法在全校抽取n 名学生参加社区效劳，那么有102000200200n =+，解得50n =，50151025x =--=． 16．填b ∈[0,+∞〕．【解析】如图，假设()4,250,30,3x y x y x y x b ⎧⎫-+≥-≥≥-+⎨⎬⎩⎭非空， ()4,250,30,3x y x y x y x b ⎧⎫-+≥-≥≥-+⎨⎬⎩⎭(){}22,25x y x y ⊆+≤，那么直线43y x b =-+， 在直线43y x =-与直线483y x =-+之间平行挪动，故08b ≤≤． 假设()4,250,30,3x y x y x y x b ⎧⎫-+≥-≥≥-+⎨⎬⎩⎭为空集，那么b>8.三、解答题〔一共70分〕 17．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕由得60,120αβ=︒=︒，那么60βα-=︒，那么3sin()2βα-=. …6分 〔Ⅱ〕OC OA OB λμ=+，222222cos 60OC OA OB OA OB λμλμ∴=++︒221λμλμ∴=++≤2222223()22λμλμλμ+++=+，22λμ+≥23． 由题意知当且仅当33λμ==时，22λμ+取最小值23． …12分18．〔本小题满分是12分〕 〔文科〕〔Ⅰ〕取AD 的中点O ，连结,NO BO ，N 是SA 的中点，O 是AD 的中点，//NO SD ∴. 又SD ⊥底面ABCD ，NO ∴⊥底面ABCD ，MC ⊂平面ABCD ，NO MC ∴⊥,又ABCD 是正方形，M 、O 分别是AB 、AD 的中点，由平面几何知识可得：BO MC ⊥,NOBO O =,MC ∴⊥平面NOB ,NB ⊂平面NOB ，∴NB MC ⊥…6分〔Ⅱ〕取线段SD 的中点P 即可.设SC 的中点为Q ，连结,PQ MQ ，12PQ CD ∴=且PQ 1//2CD ；又1//2AM CD 且12AM CD =； //PQ AM ∴且PQ AM =APQM ∴是平行四边形， //AP MQ ∴，AP ⊄平面SMC ，MQ ⊂平面SMC ，//AP ∴平面SMC . …12分〔理科〕〔Ⅰ〕如图，建立空间直角坐标系，那么(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0)D A B ，(0,1,0),(0,0,2)C S ，111,,0,,0,122M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111,,0,,1,1,22CM BN ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111101022CM BN ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⨯-+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CM BN ∴⊥=，即NB MC ⊥. …6分〔Ⅱ〕易知平面SAD 的一个法向量是(0,1,0)DC =,设平面SMC 的法向量为(,,)a b c =n ，又 11,,2,(0,1,2)2SM SC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,120220a b c b c ⎧+-=⎪∴⎨⎪-=⎩，令1c =，那么2,1b a == (1,2,1)∴=n ， 于是 26cos ,36DC DC DC ⋅<>===n n n. …12分19．〔本小题满分是12分〕〔文科〕〔Ⅰ〕甲、乙两人可能被排在1,2号；1,3号；1,4号；1,5号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4 号；3,5号；或者4,5号一共10种情形．其中甲、乙两人至少有一个被安排在偶数号 的情形有：安排在1,2号；1,4号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；或者4,5号一共7种情形；甲、乙两人的演出序号被安排在不相邻的演出序号有：1,3号；1,4号；1,5号；2,4号；2,5号；或者3,5号一共6种情形．记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数〞为事件A ，那么7()10P A =； …6分 〔Ⅱ〕记“甲、乙两人的演出序号不相邻〞为事件B ，由〔Ⅰ〕的分析可知63()105P B ==． …12分 〔理科〕ξ可能的取值为1,2,3,4,5，那么12161(1)3C P C ξ===；114211654(2)15C C P C C ξ===；1114321116541(3)5C C C P C C C ξ===； 11114322111165432(4)15C C C C P C C C C ξ===； 111114321211111654321(5)15C C C C C P C C C C C ξ===.ξ的分布列为：1412171234531551553E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …12分20．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕∵()ln f x x ax =-，∴()f x 的定义域为()0,+∞，()11axf x a x x-'=-=当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上无极值点；当0a >时，()0f x '=，∴()10,x a=∈+∞， ()f x '、()f x 随的变化情况如下表：从上表可以看出，当0a >时，()f x 有唯一的极大值点x a=； …6分 〔Ⅱ〕当0a >时，()f x 在1x a=处获得极大值1ln 1f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此极大值也是最大值． 要使()f x≤1-恒成立，只需1ln 1f a a ⎛⎫=--⎪⎝⎭≤1-∴a ≥1， ∴a 的取值范围是[)1,+∞．…12分21．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(，所以直线AM 的斜率为AM k x =≠，同理，直线BM 的斜率为BM k x=≠,1(5x =-≠，整理得M 的轨迹E 的方程为：221(5x y x +=≠ …6分〔Ⅱ〕 〔文科〕设直线l 的斜率为k ，方程为 (2)y k x =+，由点到直线的间隔 =，解得：1k =±.①当1k =时，直线l 为：2y x =+，代入2215x y +=得：2620150x x ++=，解得：1,210106x -±=，1,22106y ±=， 于是，可以得到C ，D 两点的坐标，不妨设1122(,),(,)C x y D x y故22101010102102106666CD ⎛⎫⎛⎫-+--+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭253； ②当1k =-时，同理可得： 253CD =假设k 不存在，那么原点到直线l 的间隔 为2，与矛盾． 综上：253CD = …12分 〔理科〕设对角线的方程为：(2y k x =+），依题意知k 存在，且0k ≠．由22(2),1.5y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：222(15)40k y ky k +--=，得1,2242(15)k y k ±∆=+． 又依题意知，等腰梯形的中位线的长即为2222122251164(15)()15k k k k k y y k +-+-∆-===+，tan k θ= 21225tan 1tan 25sin 254sin sin y y θθθθθ+-===+25124sin sin θθ⨯5=仅当14sin .sin θθ=即30θ=或者150时等号成立． …12分22．〔本小题满分是10分〕〔Ⅰ〕∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴ADB ACB ∠=∠，CDF ABC ∠=∠ 又∵AB AC =，∴ACB ABC ∠=∠∴ADB CDF ∠=∠，而ADB EDF ∠=∠∴EDF CDF ∠=∠ …6分 〔Ⅱ〕∵ADB ACB ∠=∠，ACB ABC ∠=∠∴ADB ABC ∠=∠，又BAD FAB ∠=∠ ∴ABD ∆∽AFB ∆ ∴AB ADAF AB=，即2AB AF AD =⋅ …10分23．〔本小题满分是10分〕根据题意，设直线l 的参数方程为：cos sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕．曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩化成普通方程得：224x y +=，将cos sin x t y t θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入224x y +=得：222cos )sin 4t t θθ+=，化简整理得：260t t θ++=， 12t t θ+=-，126t t =由题意得： 2AB MA MB =，而222121212()()4AB t t t t t t =-=+-，126MA MB t t ==即：240cos 246θ-=，解得：cos θ=1sin 2θ∴=，tan k θ==所求直线l 的方程为：y x =-，或者y x =+． …10分24．〔本小题满分是10分〕令()21f x x x =++-，∵()()()()21221321211x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩ ∴()min 3f x =由题意，223a a -<，解得，13a -<<，于是{}13a a a ∈-<< …10分以上各题的其它解法，限于篇幅，从略.请相应评分.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

2021届高三数学第一次诊断性考试试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

，，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，化简集合，然后根据交集的定义求解即可.【详解】，由交集的定义可得，应选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数可得结论.【详解】，应选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.，，假设，那么实数m的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，又因为，，所以，应选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：〔1〕两向量平行，利用解答；〔2〕两向量垂直，利用解答.中，，，那么公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，应选C.【点睛】此题主要考察等比数列的性质，以及等比数列根本量运算，意在考察灵敏运用所学知识解决问题的才能，属于简单题.5.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，说明空气质量越好，其对应关系如下表：AQI指数值0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染以下图是某10月1日—20日AQI指数变化趋势：以下表达错误的选项是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，一共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大局部指数在100以下，10月中旬大局部指数在100以上，所以正确，应选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考察书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进展解答.为执行如下图的程序框图输出的值，那么式子的值是A. －1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论. 【详解】由的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，可得，因为，所以，，应选D.【点睛】此题主要考察条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考察考生的信息处理才能及综合运用知识解决问題的才能，解决算法的交汇性问题的方：〔1〕读懂程序框图、明确交汇知识，(2〕根据给出问题与程序框图处理问题即可.xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为〔其中〕，那么A. B.C. D.【答案】B【分析】利用三角函数的定义求出的值，由二倍角的余弦公式可得结果.【详解】在第三象限，且，由正弦函数的定义可得，，应选B.【点睛】此题主要考察三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考察综合运用所学知识解决问题的才能，属于中档题.的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果. 【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，应选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象满足，假设与的夹角为，那么m的值是A. 2B.C. 1D.【答案】A【分析】由求得，，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.【详解】，又，，，，，即，得或者〔舍去〕，故的值是2，应选A.【点睛】此题主要考察向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，〔此时往往用坐标形式求解〕；〔2〕求投影，在上的投影是；〔3〕向量垂直那么;(4)求向量的模〔平方后需求〕.10.偶函数在(－∞，0]上单调递增，令，，，那么a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】C【解析】【分析】化简，可得，根据单调性与奇偶性可得结果.【详解】偶函数在上单调递增，在上单调递减，，，，即，应选C.【点睛】在比拟，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比拟大小．在为单调函数，那么实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由排除，由排除，从而可得结果.【详解】利用特值法：时，；时，单调递增，即合题意，排除；时，，单调递减，即合题意，排除，应选A.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进展检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 假设结果为定值，那么可采用此法. 特殊法是“小题小做〞的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以进步做题速度和效率，又能进步准确性，这种方法主要合适以下题型:(1)求值问题〔可将选项逐个验证〕；〔2〕求范围问题〔可在选项里面取特殊值，逐一排除〕；〔3〕图象问题〔可以用函数性质及特殊点排除〕；〔4〕解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.，要使函数的零点个数最多，那么k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，时，最多有两个根，最多有2个根，即时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，时，最多有两个根，最多有2个根，即在有两个根时，的零点最多为4个，，解得，应选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

卜人入州八九几市潮王学校高中2021级第一次诊断性考试数学〔文科〕参考解答及评分意见一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．DABBCBACDCDA二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．f -1(x )=e 2x 〔x ∈R 〕14．21-≤a ≤2115．16．①③④ 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．17．〔1〕频数4，频率；………………6分如下列图为样本频率分布条形图．…………………10分〔2〕∵，∴任意抽取一件产品，估计它是一级品或者二级品的概率为．……………12分 18．〔1∴a 1=S 1=21+1－1当n ≥2时，有〔2n +1－n －2又∵n =1时，也满足a n =2n－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n －1〔n ∈N *〕．……………………6分 〔2〕∵16+=x y ，x 、y ∈N *，∴1+x =1，2，3，6， 于是x =0，1，2，5，而x ∈N *，∴B ={1，2，5}．……………………9分∵A ={1，3，7，15， (2)－1}，∴A ∩B ={1}．……………………12分 19．〔1〕∵)(x f =x x 2)(12+，∴x xx f 21)(2+=〔x ＞0〕．……………3分 〔2〕∵g 〔x 〕=ax 2+2x 的定义域为〔0，+∞〕． ∵g 〔1〕=2+a ，g 〔－1〕不存在，∴g 〔1〕≠－g 〔－1〕，∴不存在实数a 使得g 〔x 〕为奇函数．……………………5分〔3〕∵f 〔x 〕－x ＞2，∴f 〔x 〕－x －2＞0， 即21x +x －2＞0，有x 3－2x 2+1＞0， 于是〔x 3－x 2〕－〔x 2－1〕＞0，∴x 2〔x －1〕－〔x －1〕〔x +1〕＞0，∴〔x －1〕〔x 2－x －1〕＞0，∴〔x －1〕〔x －251-〕〔x －251+〕＞0， ∴结合x ＞0得0＜x ＜1或者251+>x ． 因此原不等式的解集为{x ｜0＜x ＜1或者251+>x}．……………………12分 20．〔1〕∵f 〔1〕=0，∴9+3a =0，∴a =－3．……………………4分〔2〕f 〔x 〕=〔3x 〕2+a ·3x． 令3x =t ，那么1≤t ≤3，g 〔t 〕=t 2+at ，对称轴t =12≥-a ．……………………6分 i 〕当1≤－2a ≤3，即－6≤a ≤－2时， y (t )｜min =g (－2a )=42a -，此时)2(log 3a x -=． ii 〕当－2a ＞3，即a ＜－6时，g (t )在[1，3]上单调递减， ∴g (t )｜min =g 〔3〕=3a +9，此时x =1．……………………10分综上所述，当a ＜－6时，f 〔x 〕｜min =3a +9；当－6≤a ≤－2时，f 〔x 〕｜min =42a -．……………………12分21．〔1〕5221)(23+--=x x x x f ， ∴f ′(x )=3x 2－x －2，由f ′(x )＞0得32-<x 或者x ＞1， ∴增区间为)32,(--∞，〔1，+∞〕，减区间为)1,32(-．……………………4分 〔2〕f ′(x )=3x 2－2x －2=0，得x =32-〔舍去〕，x =1． 又f (0)=5，f (1)=27，f (2)=7，所以f (x )｜max =7，得k ＞7． ……………………8分〔3〕f ′(x )=3x 2－2mx －2，其图象恒过定点〔0，－2〕，由此可知，3x 2－2mx －2=0必有一正根和一负根，只需要求正根在〔0，1〕上，∴f ′(0)·f ′(1)＜0，∴m ＜21．……………………12分 22．〔1〕∵〔S n －1〕a n －1=S n －1a n －1－a n ，∴〔S n －S n －1－1〕a n －1=－a n ，即a n a n －1－a n －1+a n =0．∵a n ≠0，假设不然，那么a n －1=0，从而与a 1=1矛盾，∴a n a n －1≠0，∴a n a n －1－a n －1+a n =0两边同除以a n a n －1，得1111=--n n a a 〔n ≥2〕． 又111=a ，∴{na 1}是以1为首项，1为公差为等差数列， 那么n n a n=⨯-+=1)1(11，n a n 1=．……………………4分 〔2〕∵b n =a n 2=21n ，∴当n =1时，T n =n 12-；……………………5分 当n ≥2时，n n n T n )1(1321211112111222-++⨯+⨯+<+++= nn n 12)111()3121()211(1-=--++-+-+= ． ……………………8分〔3〕k n k a n +=+111，∴∑∑==+=+n k n k nk n k a 11111．设g 〔n 〕=n n n k n n k 21211111+++++=+∑= ， ∴221121213121)()1(+++++++++=-+n n n n n n g n g )212111(nn n +++++- 022112111221121>+-+=+-+++=n n n n n ， ∴g (n )为增函数，从而g (n )｜min =g 〔1〕=21．……………………10分 因为g (n ))12(log 23-+->a a 对任意正整数n 都成立，高-考+资-源+网. 所以21)12(log 23-+->a a ，得log a 〔2a －1〕＜2，即log a 〔2a －1〕＜log a a 2． ①当a ＞1时，有0＜2a －1＜a 2，解得a ＞21且a ≠1，∴a ＞1． ②当0＜a ＜1时，有2a －1＞a 2＞0，此不等式无解． 综合①、②可知，实数a 的取值范围是〔1，+∞〕．……………………12分。

卜人入州八九几市潮王学校2021年七中高考数学一诊试卷〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，且，那么〔〕【答案】A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴对称轴是x=3．∵P〔X≥5〕=0.2，∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．应选：A．【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，应选D.【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕A. B.C. D.【答案】B【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选：B．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕A.1B.-1C.-2D.2【答案】C【解析】【分析】令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．【详解】令z=a+bi，代入，〔a-1+bi〕=a+3+bi，,，应选C.【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕A. B. C. D.【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；所以横线处应填写上的条件为，应选C.【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．满足，那么的最大值是〔〕A.-1B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A〔〕，的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“〞是“〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由可推出，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】假设，那么，所以，即“〞不能推出“〞，反之也不成立，因此“〞是“〞的既不充分也不必要条件.应选D【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于根底题型.的图象的一条对称轴方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.【详解】f〔x〕==sinx=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，应选B.【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．分解因式得，m为常数，假设，那么A. B. C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，应选D.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球与四个面都相切的外表积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4,AB=12,∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．那么由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．应选B.【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，，设D是BC 边的中点，且的面积为，那么等于A.2B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.应选A.【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差〞数列，那么条件概率〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“局部等差〞数列一共有以下24个根本领件，〔1〕其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，一共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，含5，3，1的也有上述4个，一共24个，=.应选C.【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下列图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比较根底．的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值是______．【答案】3【解析】【分析】由先求出坐标，进而求出直线方程，再和准线方程联立，求出点坐标，即可求出结果.【详解】因为点在上，，所以，即，不妨设在第一象限，那么，所以,故直线的方程为，因为，又准线，代入可得，所以.故答案为3【点睛】此题主要考察抛物线的简单性质，根据知三点一共线，求即是求出两点纵坐标绝对值的比值问题，属于根底题型.，，c为自然对数的底数，假设，那么的最小值是______．【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．有三个不同的零点，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将函数有三个不同的零点转化为在上有两个根，即在上有两个根,用导数的方法研究函数的单调性和值域即可.【详解】因为，由可得，即函数在上有一个零点；所以函数有三个不同的零点等价于方程在上有两个不等实根，等价于方程在上有两个不等实根；即与函数在上有两个不同交点；由得,由得;由得,即函数在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，所以,因为与函数在上有两个不同交点，所以.故答案为【点睛】此题主要考察函数零点，根据题意可将函数有零点，转化为两函数图像有交点的问题来处理，属于常考题型.三、解答题〔本大题一一共7小题，一共82.0分〕中，，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．【详解】设正项等比数列的公比为，那么由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.于是，所以，.由，，所以当时，由累加法得，.又也适宜上式，所以的通项公式为，.【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答以下问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深〞假设每年的梅雨天气互相HY，求Q镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁〞在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由降雨量亩产量500 700 600 400【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比较得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为〔或者0.15625〕.根据题意，总利润为〔元〕，其中.所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.27 35故总利润〔万元〕的数学期望〔万元〕.因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的HY方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的HY方程为.设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得.解得，于是，即.设，那么.由得，得，解得，于是.又，由两点的坐标可得直线的方程为.又由点坐标可得直线的方程为.两式相乘，消去参数得.〔假设只求出交点又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.故直线与的交点的轨迹方程.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ假设多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】见解析见解析【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而平面平面.利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.和交于一点，四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，那么，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．，其中为常数.假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；假设对，都有，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．【详解】求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.对，，所以在区间内单调递减.①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公一共点的极坐标.【答案】【解析】【分析】〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．，且.假设，求的最小值；假设，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.。

卜人入州八九几市潮王学校第十八2021届高三数学上学期第一次诊断考试试题〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，那么A B ⋃=A.{1}B.{12}， C.{0123}，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，应选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或者韦恩图进展处理. 2.设p ：x<3，q ：-1<x<3，那么p 是q 成立的〔〕 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，应选C.【点睛】此题主要考察充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型. 3.以下函数中，既是偶函数又存在零点的是〔〕 A.y =lnx B.21y x =+C.y =sinxD.y =cosx【答案】D 【解析】 【详解】选项A ：ln y x =的定义域为〔0,+∞〕，故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：此题主要考察函数的奇偶性和零点的概念. 4.3:280p x x ∀-＞，＞，那么p ⌝为〔〕 A.3280x x ∀-≤＞， B.30280x x ∃-≤＞，C.3280x x ∀≤-≤，D.30280x x ∃≤-≤，【答案】B 【解析】 【分析】的.【详解】3:280p x x ∀-＞，＞，那么p ⌝为30280x x ∃-≤＞，应选B 【点睛】.lg(1)()1x f x x +=-的定义域是〔〕 A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞D.[1,1)(1,)-⋃+∞【答案】C 【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10{10x x +>-≠，解得(1,1)(1,)x ∈-⋃+∞.考点：定义域. 6.假设函数()f x 22(2)1ax a a x =+-+为偶函数，那么实数a 的值是〔〕A.1B.12C.0D.0或者12【答案】D 【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即22(2)1ax a a x --+22(2)1ax a a x =+-+，∴220a a -=，解得0a =或者12a =．选D ． 7.复数122izi+=-〔i 为虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕 A.－1 B.0C.1D.i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，应选C ．【点睛】此题主要考察了复数的运算法那么和复数的概念，其中解答中熟记复数的根本运算法那么和复数的概念及分类是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．8.设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩那么满足()2f x 的x 的取值范围是〔〕A.[1,2]-B.[0,2]C.[1,)+∞D.[0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的形式，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，122x-≤，11x -≤，解得0x ≥所以01x ≤≤ 当1x >时，221log 2log 1x x -≤⇒≥-，解得：12x≥所以：1x >， 综上可知不等式的解集是[)0,+∞.应选：D【点睛】此题考察分段函数，解不等式，重点考察计算才能，属于根底题型. 0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，那么a b c ，，的大小关系是〔〕 A.a b c ＜＜ B.a cb ＜＜ C.b ac ＜＜D.b c a ＜＜【答案】C 【解析】 由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，应选C .考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小. 10.曲线322y x x x =+-在1x =-处的切线斜率是〔〕A.1B.-1C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义，曲线322y x x x=+-在1x =-处的切线斜率即为'(1)f -，先求32()2f x x x x =+-的导函数，再取1x =-即可得解.【详解】解:由32()2y f x x x x ==+-,那么'2()322f x x x =+-,所以'2(1)3(1)2(1)21f -=⨯-+⨯--=-, 即曲线322y x x x =+-在1x =-处的切线斜率是1-，应选B.【点睛】此题考察了导数的几何意义，重点考察了运算才能，属根底题. 11.定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(2)2018f =，那么(2018)(2016)f f +=A.4034B.2021C.2021D.2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再结合条件求解.【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以(x)f(x 4)f =-+，所以(4)(44)()()f x f x f x f x +=--+=-=-所以(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数的周期是8, 所以(2018)(2016)(2)(0)201802018f f f f +=+=+=.应选C【点睛】此题主要考察函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.假设关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2)-∞-B.(,2)-∞-C.(6,)-+∞D.(,6)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题意不等式等价于()2max42a xx <--，转化为求函数的最大值.【详解】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a xx <--设()224226y x x x =--=--当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈--所以2a <-. 应选：A【点睛】此题考察根据不等式存在性问题求参数的取值范围，重点考察转化与化归的思想，属于根底题型. 二、填空题〔每空5分，一共20分〕13.151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=______．【答案】1- 【解析】【详解】试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222-+-=+-=⨯-=-=-=-． 考点：对数的运算． 14.偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，假设()()23f x f ->，那么x 的取值范围是____________.【答案】()1,5-【解析】偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴不等式()()23f x f ->等价为()()23f x f ->，那么23x -<，即323x -<-<，那么15x -<<，即不等式的解集为()1,5-，故答案为()1,5-.【方法点晴】此题主要考察抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：〔1〕一定注意抽象函数的定义域〔这一点是同学们容易忽略的地方，不能掉以轻心〕；〔2〕注意应用函数的奇偶性〔往往需要先证明是奇函数还是偶函数〕；〔3〕化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.15.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________．【答案】()4,+∞ 【解析】 设2ln ,280y u u x x ==-->，2x <-或者4x >ln y u =为增函数，28u x x =--在(4,)+∞为增函数，根据复合函数单调性“同增异减〞可知：函数()()2ln 28f x x x =--的单调递增区间是(4,)+∞.16.αβ=，那么cos cos αβ=②“0x R ∃∈，使得200x x ->〞的否认是：“x R ∀∈，均有20x x -<〞；24x =〞是“2x =-〞的充分不必要条件；④p ：{},,a a b c ∈，q ：{}{},,a a b c ⊆，p 且q________ 【答案】①④ 【解析】【分析】对于③，先求“24x =〞的充要条件，再判断其充要条件与“2x =-〞的充要性即可；对于④，因为pq p 且q【详解】αβ=，那么cos cos αβ=0x R ∃∈，使得2000x x ->〞的否认是：“x R ∀∈，均有20x x -≤对于③，“24x =〞的充要条件为“22x x ==-或24x =〞是“2x =-对于④，因为{},,a a b c ∈，所以p {}{},,a a b c ⊆，所以qp 且q故答案为①④ 【点睛】三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、解答过程或者演算步骤． 17.全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}|16B x x x =->.〔1〕求()R AC B ；〔2〕假设{}|12Cx m x m =-+<<，()()R C A C B ⊆，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕(){}|21R AC B x x =-≤<〔2〕12m ≤【解析】 【分析】〔1〕先求集合B ,再求其补集，再求()R AC B 即可；〔2〕由{}|21C x x ⊆-≤<，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，那么需讨论C =∅，C ≠∅两种情况，再列不等式组求解即可. 【详解】【解】〔1〕由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}|1A x x =<.260x x -->，()()320x x -+>，得{}|32B x x x =><-或.{}|23R C B x x =-≤≤，∴(){}|21R AC B x x =-≤<.〔2〕{}|21C x x ⊆-≤<，①当C=∅时，满足要求，此时12m m -+≥，得1m ≤-；②当C ≠∅时，要{}|21C x x ⊆-≤<，那么121221m mm m -+<⎧⎪-+≥-⎨⎪≤⎩，解得112m -<≤；由①②得，12m ≤. 【点睛】此题考察了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考察了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18.p ：3x a -<〔a 为常数〕；q()lg 6x -有意义．〔1〕假设1a =，求使“p q ∧x 的取值范围；〔2〕假设p 是q 成立的充分不必要条件，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕[)1,4-〔2〕[]2,3【解析】试题分析：〔1〕通过解不等式得到p ：33a x a -<<+，q ：16x -≤<，求两个不等式的交集即可；〔2〕假设p 是q 成立的充分不必要条件，那么A B ⊂，列式求解即可.试题解析：p ：3x a -<等价于：33x a -<-<即33a x a -<<+；q()lg 6x -有意义等价于：1060x x +≥⎧⎨->⎩，即16x -≤<〔1〕1a =时，p 即为24x -<<假设“p q ∧2416x x -<<⎧⎨-≤<⎩，得：14x -≤< 故1a =时，使“p q ∧x 的取值范围是[1-，4)〔2〕记集合{|33}A x a x a =-<<+，{|16}B x x =-≤<假设p 是q 成立的充分不必要条件，那么A B ⊂，因此：3136a a -≥-⎧⎨+≤⎩，∴23a ≤≤，故实数a 的取值范围是[]2,3．19.函数()()1100f x a x a x=-＞，＞． 〔1〕求证：f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是单调递增函数；〔2〕假设f 〔x 〕在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求a 的值． 【答案】〔1〕证明见解析 〔2〕25【解析】 【分析】〔1〕根据函数单调性的定义，按照取值，作差，变形，定号，即可证出；〔2〕根据〔1〕可知，函数f 〔x 〕在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()112222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，解出即可． 【详解】〔1〕证明：设x 2＞x 1＞0，那么x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，∵()()21212112*********x x f x f x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，∴f 〔x 2〕＞f 〔x 1〕，∴f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是单调递增的．〔2〕∵f 〔x 〕在〔0，+∞〕上是单调递增的，∴f 〔x 〕在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， ∴()112222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，即1122a -=，1122a -=， ∴25a=． 【点睛】此题主要考察函数单调性的证明和应用，属于根底题．20.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.【答案】(1)f (x )是偶函数(2)()[]()[],1,0,0,12,1,2x x f x x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩【解析】试题分析：〔1〕因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )，又f 〔x 〕是最小正周期为2的函数，所以f (x ＋2)＝f (x )，那么f (－x )＝f (x )，所以得f 〔x 〕是偶函数；〔2〕由-1≤x≤0时，f 〔x 〕=-x ，根据f (x )是偶函数得当0≤x≤1时，f 〔x 〕解析式；由f 〔x 〕是最小正周期为2的函数，得1≤x≤2时，f 〔x 〕解析式.试题解析：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ).又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，那么f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故()[]()[],1,0,0,12,1,2x x f x x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩21.函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．〔1〕务实数m 的值；〔2〕假设函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕2；〔2〕(]1,3.【解析】【分析】 〔1〕设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；〔2〕作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】〔1〕()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩为奇函数，当0x <时，0x ->，那么()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 那么()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；〔2〕由〔1〕可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如以下列图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-， 由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，那么121a -<-≤，解得13a . 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】此题考察奇函数解析式的求解，同时也考察了利用函数在区间上的单调性求参数，考察运算求解才能，属于中等题.22.设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.〔1〕求()f π的值； 〔2〕当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】〔1〕4π-〔2〕4 【解析】【分析】〔1〕由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--， 再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，〔2〕由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：〔1〕由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.〔2〕由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-， 得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()fx x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，那么()f x 44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，那么1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考察了函数性质的应用，重点考察了作图才能，属中档题.。