高三第一次诊断性考试数学理科试题

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。

甘肃省 第一次高考诊断测试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．-3－4iB ．-3 +4iC ．3－4iD ．3+4i【答案】A【解析】()()()22234338634121i i i i i i i i i i i --⋅--⎛⎫====-- ⎪+⋅⎝⎭+。

2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，则f （1）=A ．3B ．-1C ．1D ．-3 【答案】D【解析】因为当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，所以()13f -=，又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()13f =-。

3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？ 【答案】A【解析】第一次循环：12,24k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第二次循环：13,211k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第三次循环：14,226k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第四次循环：15,257k k S S k =+==+=，此时应满足条件结束循环，输出S 的值为57，所以判断框里的条件应该是k>4？。

一、单选题二、多选题1. 已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2，4}，则=A ．{1}B ．{3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}2. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O 逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）A．B．C．D．3. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，，，直线AC 1与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为，则异面直线BA 1与B 1C 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4. 已知直线的倾斜角为，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）A．B．C．D．6. 在复平面内，复数（为虚数单位），则为（ ）A．B．C．D．7. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知，设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知a ，b为正数，，则（ ）A．的最大值为B ．的最小值为3C ．的最大值为D．的最小值为10. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列说法正确的是（ ）A ．四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则四棱柱在顶点处的离散曲率为C ．若四面体在点处的离散曲率为，则平面甘肃省2023届高三第一次高考诊断理科数学试题三、填空题四、解答题D ．若四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面的夹角为11.如图，已知正方形的对角线，相交于点，将沿对角线翻折，使顶点到点的位置，在翻折的过程中，下列结论正确的是（）A ．⊥平面B．与不可能垂直C ．直线与平面所成角的最大值是45°D．四面体的体积越大，其外接球的体积也越大12. 下列结论正确的是（ ）A ．若复数满足，则为纯虚数B ．若复数满足，则C ．若复数满足，则D．若复数，满足，则13. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．14. 若“，”为假命题，则实数的最小值为______．15. 曲线在处的切线方程为__________.16.已知动点在以为圆心，为半径的圆上，直线过定点，动点在线段上，且满足记的运动轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）当时，设直线交于，两点，作点关于轴的对称点，直线与轴交于点，求的值．17. 如图所示，在底面为正方形的四棱柱中，.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.已知等差数列的前n项和为．(1)求q的值；(2)若与的等差中项为18，满足，求数列的前n项和．19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知函数，若，则曲线在点处的曲率为．（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．20. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数．21. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.。

卜人入州八九几市潮王学校2021年七中高考数学一诊试卷〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，且，那么〔〕【答案】A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴对称轴是x=3．∵P〔X≥5〕=0.2，∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．应选：A．【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，应选D.【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕A. B.C. D.【答案】B【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选：B．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕A.1B.-1C.-2D.2【答案】C【解析】【分析】令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．【详解】令z=a+bi，代入，〔a-1+bi〕=a+3+bi，,，应选C.【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕A. B. C. D.【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；所以横线处应填写上的条件为，应选C.【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．满足，那么的最大值是〔〕A.-1B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A〔〕，的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“〞是“〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由可推出，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】假设，那么，所以，即“〞不能推出“〞，反之也不成立，因此“〞是“〞的既不充分也不必要条件.应选D【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于根底题型.的图象的一条对称轴方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.【详解】f〔x〕==sinx=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，应选B.【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．分解因式得，m为常数，假设，那么A. B. C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，应选D.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球与四个面都相切的外表积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4,AB=12,∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．那么由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．应选B.【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，，设D是BC 边的中点，且的面积为，那么等于A.2B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.应选A.【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差〞数列，那么条件概率〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“局部等差〞数列一共有以下24个根本领件，〔1〕其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，一共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，含5，3，1的也有上述4个，一共24个，=.应选C.【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下列图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比较根底．的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值是______．【答案】3【解析】【分析】由先求出坐标，进而求出直线方程，再和准线方程联立，求出点坐标，即可求出结果.【详解】因为点在上，，所以，即，不妨设在第一象限，那么，所以,故直线的方程为，因为，又准线，代入可得，所以.故答案为3【点睛】此题主要考察抛物线的简单性质，根据知三点一共线，求即是求出两点纵坐标绝对值的比值问题，属于根底题型.，，c为自然对数的底数，假设，那么的最小值是______．【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．有三个不同的零点，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将函数有三个不同的零点转化为在上有两个根，即在上有两个根,用导数的方法研究函数的单调性和值域即可.【详解】因为，由可得，即函数在上有一个零点；所以函数有三个不同的零点等价于方程在上有两个不等实根，等价于方程在上有两个不等实根；即与函数在上有两个不同交点；由得,由得;由得,即函数在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，所以,因为与函数在上有两个不同交点，所以.故答案为【点睛】此题主要考察函数零点，根据题意可将函数有零点，转化为两函数图像有交点的问题来处理，属于常考题型.三、解答题〔本大题一一共7小题，一共82.0分〕中，，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．【详解】设正项等比数列的公比为，那么由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.于是，所以，.由，，所以当时，由累加法得，.又也适宜上式，所以的通项公式为，.【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答以下问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深〞假设每年的梅雨天气互相HY，求Q镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁〞在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由降雨量亩产量500 700 600 400【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比较得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为〔或者0.15625〕.根据题意，总利润为〔元〕，其中.所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.27 35故总利润〔万元〕的数学期望〔万元〕.因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的HY方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的HY方程为.设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得.解得，于是，即.设，那么.由得，得，解得，于是.又，由两点的坐标可得直线的方程为.又由点坐标可得直线的方程为.两式相乘，消去参数得.〔假设只求出交点又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.故直线与的交点的轨迹方程.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ假设多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】见解析见解析【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而平面平面.利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.和交于一点，四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，那么，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．，其中为常数.假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；假设对，都有，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．【详解】求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.对，，所以在区间内单调递减.①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公一共点的极坐标.【答案】【解析】【分析】〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．，且.假设，求的最小值；假设，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.。

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一诊数学（理）试卷第1页（共4页）达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一1．已知集合{|}A x =≤1，{|1}B x x =<，则A B = A ．[0 1)，B ．(0 1)，C ．( 1)-∞，D ．( 1]-∞，2．复数z 满足12i z=，则z =A ．12-B ．12C ．1i2-D ．1i23．已知向量a ，b ，满足⊥a b ，(12)，a = ，则(=a a A ．0B ．2C D ．54．四川省将从2022模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数5．三棱锥P ABC -的底面ABC 为直角三角形，ABC △的外接圆为圆O ，PQ ⊥底面ABC ，Q在圆O 上或内部，现将三棱锥的底面ABC 放置在水平面上，则三棱锥P ABC -的俯视图不可能是A ．B ．C ．D ．一诊数学（理）试卷第2页（共4页）6．“0a b >>”是“e b a ab->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数n 为同余数，则称n 为整同余数．2021年11月3日，2020年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与L -函数的算术”项目荣获2020年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破性进展．在ABC △中，π2C =，ABC △绕AC 旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为5:4，若ABC △的面积n 为整同余数，则n 的值可以为A ．5B ．6C ．8D ．128．将函数1π()sin()23f x x ω=+(0)ω>图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，直线l 与曲线()y g x =仅交于11()A x y ，，22()B x y ，，ππ(())66P g ，三点，π6为1x ，2x 的等差中项，则ω的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．29．点F 为双曲线22221x y a b-=(0 0)a b >>，的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点A ，O 为原点，||OA b =，则双曲线的离心率为AB．C．D10.曲线()()ln ()f x x m x m =+∈R 在点(1(1))f ，处的切线平分圆22(2)(1)5x y -+-=，则A ．()y f x =有两个零点B ．()y f x =有极大值C ．()y f x =在(0 )+∞，上为增函数D ．当1x >时，()0f x >11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则A ．异面直线1DD 与1B F所成角的余弦值为5B ．点P 为正方形1111A BCD 内一点，当DP ∥平面1B EF 时，DP的最小值为2C ．过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为12π12.函数()f x 满足(2)()2f x f x -+=，令()(1)1g x f x =+-，对任意的0x <，都有()()1x g xg x x =-，若12(10099!g =，则(0)f =A ．1-B ．3C ．1D ．199!一诊数学（理）试卷第3页（共4页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．81()x x +展开式中的常数项为（用数字作答）．14．定义 a c ad bc b d =-，现从集合{|10}x x *∈<N 中随机取两个不同的元素m ，n ，则满足032=nm的概率为．15．已知正方形ABCD 边长为2，M ，N 两点分别为边BC ，CD 上动点，45=∠MAN ，则CMN △的周长为．16．斜率为1的直线l 与曲线2:2C y px =(00)p >y ，≥交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，F 为22y px =的焦点，212x x -=，3AF BF +=，点00102()()M x y x x x <<，为曲线C 上一点，当MAB △的面积取最大值时，MF =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码x12345人均可支配收入y （单位：万元） 1.30 1.40 1.62 1.68 1.80(1)根据上表统计数据，计算y 与x 的相关系数r ，并判断y 与x 是否具有较高的线性相关程度（若0.30||0.75r <≤，则线性相关程度一般，若||0.75r ≥则线性相关程度较高，r 精确到0.01）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）．参考公式和数据：相关系数()()niix x y y r --=∑，51() 1.28iii x x y y =--=∑，521()0.17ii y y =-≈∑ 1.3≈.18.(12分)已知正项等比数列{}n a 前n 项和为n S ，342a a =，当2n ≥时，12n n S S m -=+，m ∈R ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n n m S S +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．一诊数学（理）试卷第4页（共4页）ABCDEFP19．(12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥.E 为AD 延长线上一点，PE ⊥平面ABCD ，2PE AD =，tan 2PDA ∠=-.F 是PB 中点．(1)证明：EF PA ⊥；(2)若22BC AD ==，三棱锥E PDC -的体积为13，求二面角F DE C --的余弦值．20．(12分)已知直线l ：(0)y kx k =>交椭圆C :2212x y +=于A ，B 两点，1F ，2F 为C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点在C 上．(1)求k 的值；(2)过2F 斜率为1k 的直线交线段AB 于点D ，交C 于点M ，N ，求22||||F D MN 的最小值．21．(12分)已知函数()eln mxf x x x -=-（m ∈R ）．(1)若1x =是函数()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；(2)证明：当12m <-时，曲线()y f x =上的所有点均在抛物线2x y =的内部．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ---=，直线l 的参数方程为2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数．(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，定点(2 2)P ，，求PA PB +的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)设函数12)(-=x x f ．(1)若()()f x f x m >+的解集为{|0}x x <，求实数m 的值；(2)若0a b <<，且()()f a f b =，求411a b +-的最小值．达州市普通高中2023届第一次诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：1.A 2.C3.D4.C5.D6.A7.B8.C9.D10.D 11.B12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．7014．12415．416．1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)由表知x 的平均数为1234535x ++++==．522221((13)(23)(53)10i i x x =∴-=-+-++-=∑．5()0.98iix x y y r --=∑．75.098.0> ,∴y 与x 具有较高的线性相关程度．(2)设增长率为p ，则1.8(1)p +≥1.98,解得p ≥0.1．∴min 0.110%p ==．该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为10%．18．解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，∵0n a >，∴0q >，∴由342a a =得3131)(q a q a =．∴11=a ．∵12n n S S m -=+，∴212S S m =+，322S S m =+，32212()S S S S -=-，即322a a =，∴223==a aq ．所以1112()n n n a a q n --*==∈N ．(2)∵212S S m =+，∴1212a a a m +=+，∴112=-=a a m ．∴1(12)21()12n n n S n *⋅-==-∈-N ．∴1112211(21)(21)2121n n n n n n n n m m S S +++⋅⋅==-⋅----．∴12231111111()()()212121212121n n n T +=-+-++------ 12111--=+n ．19．(1)证明：∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PE AB ⊥．∵AB BC ⊥，AD BC ∥，∴AB AD ⊥．又E AD PE = ，∴AB ⊥平面PAD ．取P A的中点M，连接EM，FM，∵F为PB的中点，∴FM AB∥．∴FM PA⊥．∵tan2PDA∠=-，∴tan2PDE∠=，∴2=DEPE，∴ADDEPE22==，∴D为AE的中点，∴PE AE=，∴EM PA⊥．又MFMEM=，∴PA⊥平面EFM．∵EF⊂平面EFM，∴EF PA⊥.(2)解：∵222BC AD DE===，∴2PE=.∴BC AE∥，且BC AE=，∵AB BC⊥，∴四边形ABCE为矩形，∴CE⊥平面PAE.1111123323E PDC P DEC DECV V S PE CE--==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴1=CE.以E为原点，分别以EA，EC，EP方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz．则D(1 0 0)，，，C(0 1 0)，，，1(1 1)2F，，，∴(1 0 0)ED=，，,1(1 1)2EF=，，易知1(0 0 1)=，，n是平面DEC的一个法向量．设平面FDE的一个法向量为2(z)x y=，，n，∴22EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，nn，即102xx y z=⎧⎪⎨++=⎪⎩，．不妨取2y=-，得2(021)=-，　，　n．∴1212125cos||||5⋅<>===⋅，n nn nn n．由图知二面角CDEF--的平面角为锐角，∴二面角CDEF--的余弦值为5. 20．解：(1)由题知1(1 0)F-，，2(1 0)F，.设1F关于直线l的对称点坐标为()x y''，，则11122yx ky xk'⎧=-⎪⎪'+⎨''-⎪=⋅⎪⎩，解得2221121kxkkyk⎧-'=⎪⎪+⎨⎪'=-⎪+⎩．根据条件得2222222(1)412(1)(1)k kk k-+=++，解得21k=，即1k=．(2)设1122(),()M x y N x y，，.把y x=带入椭圆C方程得A,B的坐标为66)33，()33--.由已知得直线MN的方程为1(1)y k x=-①交线段AB于D,16633k，即2-12k≤≤．设()D DD x y，，在①中令y x=，得111Dkxk=-，∴121||)1kF Dk=--1=．AB CMEFPDxyz把①代入2212x y +=并化简得2222111(12)4220k x k x k +-+-=．0∆>，221112122211422,1212k k x x x x k k -+=⋅=++.∴211221)|||12k MN x x k +=-=+．∴222||||F D MN =．令11t k =-，则22121121223()(1)33k k t +=-+-，当，32t =即112k =-时，212112(1)k k +-取得最小值23．所以22||||F D MN的最小值为6．21．解：(1)由()e ln mx f x x x -=-得0x >，且1()e e mx mx f x mx x --'=--．∵1x =是函数()f x 的极值点，∴(1)e e 10m m f m --'=--=，即110em m--=．设11()1e x x f x -=-，则12()ex x f x -'=．当2x <时，1()0f x '<，1()f x 单调递减，当2x >时1()0f x '>，1()f x 单调递增．又当2x >时，1()0f x <，且1(0)0f =，∴0m =．当0m =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-．若01x <<，()0f x '<，()f x 单调递减；若1x >，()0f x '>，()f x 单调递增，∵(1)0f '=，∴1x =是()f x 的极小值点．所以()f x 的单调减区间为(0 1]，，增区间为[1 )+∞，．(2)证明：∵12m <-，0x >，∴12mx x ->，∴12e e x mx->．∴12()eln e ln x mxf x x x x x -=->-．构造函数12e()x g x x=，则122(2)e ()2x x g x x -'=，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．由于(2)0g '=，∴min e ()(2)2g x g ==．设2ln ()1x h x x =+，则312ln ()xh x x-'=，当0x <<时，()0h x '>，()h x单调递增，当x >时，()0h x '<，()h x单调递减．由于0h '=，∴max ()h x h ==112e+．∵2e 1e 2e 1(1)022e 2e---+=>，∴min max ()()g x h x >，∴()()g x h x >，∴12e x x >2ln 1x x +，即122e ln x x x x ->．∴2()f x x >．所以曲线()y f x =上所有的点都在抛物线2x y =内．22．解：(1)将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入C 的极坐标方程22cos ρρθ-220222*********(2)易知点P 在直线l 上，将直线l 的参数方程2cos ()2sin x t t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，为参数代入曲线C 方程得4)sin 1()cos 1(22=+++θθt t ，整理得02)cos (sin 22=-++t t θθ．设点A ，B 对应该的参数分别为1t ，2t ，则)cos (sin 221θθ+-=+t t ，0221<-=t t ，由参数t 的几何意义不妨令||||1P A t =,||||2PB t =．∴||||||||||2121t t t t PB P A -=+=+122sin 44)(21221+=-+=θt t t t ．当12sin -=θ，即ππ()4k k θ=-∈Z 时，22|)||(|min =+PB P A ．23．(1)解：不等式可化为|1|||22-+>m x x ，∴|1||1|-+>-m x x ，两边同时平方可得222m m mx -<．原不等式解集为{|0}x x <，∴0>m ，即21m x -<．∴021=-m，2=m ．(2)解： )()(b f a f =，∴|1||1|22--=b a ，|1||1|-=-b a ．)1(2)1(||x f x f x -==+，∴)(x f y =关于直线1=x 对称，∴b a <<<10，∴11-=-b a ，即2=+b a ．所以1)1(45)1114(-+-+=-+-+b a a b b a b a ≥9425=+，当且仅当1)1(4-=-b aa b ，即34,32==b a 时取“=”，∴114-+b a 的最小值为9．。

一、单选题二、多选题1. 已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，若使且在待机10小时后有超过的电量，则的可能取值为（ ）A．B．C．D．2.已知是两条不同的直线是两个不同的平面,则的充分条件是（ ）A ．与平面所成角相等B．C．D．3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是A．B．C．D．4. 设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像．若在上单调，则的值不可能为（ ）A．B．C．D．6. 某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数45253818以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x 瓶的概率估计值为0.1，则x =（ ）A ．100B ．300C ．400D ．6007. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．8.设等差数列的前n项和为，且，则（ ）A ．26B ．32C ．52D ．649. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且，，则（ ）四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试理科数学试题 (2)四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试理科数学试题 (2)三、填空题A ．双曲线的离心率为B．过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，则C．若为的中点，则直线（其中为坐标原点）和直线的斜率之积为D．的内切圆半径和的内切圆半径之比为10.函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（）A．B．C．D．11. 如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（）A．B．C ．四边形的面积最小值与最大值之比为D ．四棱锥与多面体体积之比为12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台．如图所示，过作底面的垂线，垂足为G ．记，，，面与面所成角为，面与面所成角为x ，，，，则（）A ．正四棱台的体积为B．C．D．13. （理）如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是____________．四、解答题14.设等差数列的前项和，若且，则__________．15.若，则____________．16.在中，，，．(1)求；(2)若角为钝角，求的周长．17. 在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．(1)若，，求的面积；(2)求的取值范围．18. 已知.(1)讨论的单调性；(2)若，判断的零点个数.19.如图，四棱锥中，，，，，．(1)求证：平面PA C.(2)求四棱锥的体积.20.已知递增数列满足，，且、、成等比数列．（1）求；（2）若，求数列的前项和．21. 某超市在2017年五一正式开业，开业期间举行开业大酬宾活动，规定：一次购买总额在区间内者可以参与一次抽奖，根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下：(1)求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留到整数）；(2)若根据超市的经营规律，购买金额与平均利润有以下四组数据：购买金额x(单位:元)100200300400利润:(单位:元)15254060试根据所给数据，建立关于的线性回归方程，并根据1中计算的结果估计超市对每位顾客所得的利润参考公式: ，。

一、单选题二、多选题1. 若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．2. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic ，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元3. 若函数满足，且当时，，则（ ）A ．－1B．C ．0D．4. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．5. 设函数，则（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．86. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种7.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8. 已知中，，，，点P 为边AB 上的动点，则的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．49. 下列说法正确的是（ ）A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B ．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变10. 下列命题正确的有（ ）A ．空间中两两相交的三条直线一定共面B ．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线C ．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行D ．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或11. 设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题12. 若，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A．B．C．D．13. 已知集合，，若则实数的值为________14. 已知抛物线的焦点为F ，斜率为1的直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点到抛物线准线的距离为8，则______．15. 已知，且，则等于______．16.已知函数的最大值为2．(1)求函数在上的单调递减区间；(2)中，，，分别是角，，所对的边，，，且，求的面积．17. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x 表示年份代码(2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y 表示市场规模(单位：亿元)，试回答：(1)根据条形统计图中数据，计算变量y 与x 的相关系数r ，并用r 判断两个变量y 与x 相关关系的强弱(精确到小数点后2位)；(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).附：线性回归方程，其中；相关系数；参考数据：.18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知.（1）求角B 的大小；（2）求的取值范围.19. 如图，在三棱锥中，分别是AC ，PC 的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．21. 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.已知，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设几何体、的体积分别为，求的值.。

一、单选题二、多选题1.在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是A．B．C．D．2.展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．3. 设集合S={x|x ＞﹣2}，T={x|x 2+3x ﹣4≤0}，则（∁R S ）∪T=（ ）A ．（﹣2，1]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）4. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有4名男员工和6名女员工参加．其中男员工每人1分钟内踢毽子的数目为；女员工每人1分钟内踢毽子的数目为．则从这10名员工中随机抽取2名，他们1分钟内踢毽子的数目大于50的概率是（ ）A．B．C．D．5. 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹､惠更斯三人各自得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：（，为自然对数的底数）.若，，，则（）A．B．C．D．6. 设a，，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在中，，为上一点，若，则实数的值A．B．C．D．8.若，且，函数，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．9.已知数列的前n项和为，且，，则（ ）A ．当时，B．C．数列单调递增，单调递减D ．当时，恒有10.已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ）四川省乐山市2024届高三第一次调研考试数学（理）试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题A．展开式的奇数项的二项式系数的和为B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C ．展开式中不存在常数项D ．展开式中含项的系数为11. 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（）A．B．C．D ．112. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0).若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________.13. 向量在向量方向上的投影为______．14. 已知函数，现有以下命题：①是偶函数；②是以为周期的周期函数；③的图像关于对称； ④的最大值为．其中真命题有________．15. 已知随机变量的分布列为012则________；若，则_______．16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.19.已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k 的值；八、解答题九、解答题十、解答题(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：20. 已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；（II ）求平面EFG 与平面ABCD所成锐二面角的大小．21. 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.22.函数．(1)讨论的单调性；(2)当在上单调递增时，证明：对任意且．。