上海市杨浦区2012届高三上学期期末质量抽测(一模)文科数学试题

2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 计算：limn→∞(1−2nn+3)=________．2. 不等式xx−1>2的解集是________ (用区间表示)．3. 若全集U=R，函数y=3x的值域为集合A，则C U A=________．4. （文）已知圆锥的母线长l=5cm，高ℎ=4cm，则该圆锥的体积是________cm3．5. 在(x+1x)4的二项展开式中，x2的系数是________（结果用数字作答）．6. 已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当x∈(0, 2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________．7. 若行列式|x2x−121|=1，则x=________．8. 在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是________．（结果精确到0.01）9. 某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是________．10. 某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________．11. 若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相切，则a2+b2=________．12. 若点P是椭圆x29+y2=1上的动点，定点A的坐标为(2, 0)，则|PA|的取值范围是________．13. 已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是________．14. 设函数f(x)=log2(2x+1)的反函数为y=f−1(x)，若关于x的方程f−1(x)=m+f(x)在[1, 2]上有解，则实数m的取值范围是________．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0, +∞)上单调递减的函数为（）A f(x)=10|x|B f(x)=x 3C f(x)=lg 1|x|D f(x)=cosx16. 若等比数列{a n }前n 项和为S n =2n +a ，则复数z =i a+i 在复平面上对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限17. “a =2”是“函数f(x)=|x −a|在[2, +∞)上是增函数”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 即非充分也非必要条件18. 若F 1，F 2分别为双曲线C:x 29−y 227=1的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐标为(2, 0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线．则|AF 2|的值为（ ）A 3B 6C 9D 27三、解答题（共5小题，满分74分）19. 已知在正四棱锥P −ABCD 中（如图），高为1cm ，其体积为4cm 3，求异面直线PA 与CD 所成角的大小．20. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2b −c)cosA −acosC =0，（1）求角A 的大小；（2）若a =√3，S △ABC =3√34，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 21. 若函数y =f(x)，如果存在给定的实数对(a, b)，使得f(a +x)⋅f(a −x)=b 恒成立，则称y =f(x)为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f(x)=x 3 ②f(x)=2x（2）已知函数f(x)=tanx 是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对(a, b)．22. 已知△ABC 的三个顶点在抛物线Γ：x 2=y 上运动．（1）求Γ的准线方程；（2）已知点P 的坐标为(2, 6)，F 为抛物线Γ的焦点，求|AP|+|AF|的最小值，并求此时A 点的坐标；（3）若点A 在坐标原点，BC 边过定点N(0, 1)，点M 在BC 上，且AM →⋅BC →=0，求点M 的轨迹方程．23. 已知函数f(x)=3x 2x+3，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗．（1）求a 2，a 3，a 4的值；（2）求证：数列{1a n }是等差数列； （3）设数列{b n }满足b n =a n−1⋅a n (n ≥2)，b 1=3，S n =b 1+b 2+...+b n ，若S n <m−20112对一切n ∈N ∗成立，求最小正整数m 的值．2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）答案1. −12. (1, 2)3. (−∞, 0]4. 12π5. 46. 27. 18. 0.309. 8010. y ={x −2,x >12x ，x ≤111. 112. [√22, 5]13. (−4,2)14. [log 213，log 235] 15. C16. D17. A18. B19. 解：连接AC 、BD 交于O 点，连接PO ，则PO 就是正四棱锥的高设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ，底边长为a ，则依题意得，正四棱锥P −ABCD 体积为V =13a 2×1=4 … ∴ a =2√3，可得AC =2√6Rt △PAO 中，OA =√6，PO =1∴ PA =√12+(√6)2=√7 …因为CD // AB ，所以直线PA 与AB 所成的锐角就是PA 与CD 所成角θ． …△PAB 中，PA =PB =√7，AB =2√3，∴ cos∠PAB =7+12−72×√7×2√3=√217，即cosθ=√217， 所以PA 与CD 所成角θ=arccos √217． … 20. 解：（1）∵ (2b −c)cosA −acosC =0，由正弦定理，得(2sinB−sinC)cosA−sinAcosC=0，∴ 2sinBcosA−sin(A+C)=0，sinB(2cosA−1)=0，∵ 0<B<π，∴ sinB≠0，∴ cosA=12，∵ 0<A<π，∴ A=π3．（2）∵ S△ABC=12bcsinA=3√34，即12bcsinπ3=3√34∴ bc=3①由余弦定理可知cosA=b 2+c2−32bc=12∴ b2+c2=6，②由①②得b=c=√3，∴ △ABC为等边三角形．21. 解：（1）①若f(x)=x3是“Ω函数”，则存在实数对(a, b)，使得f(a+x)⋅f(a−x)=b，即(a2−x2)3=b时，对x∈R恒成立…而x2=a2−√b3最多有两个解，矛盾，因此f(x)=x3不是“Ω函数”…②若f(x)=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x⋅2a−x=22a，即存在常数对(a, 22a)满足，因此f(x)=2x是“Ω函数”（2）解：函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”，设有序实数对(a, b)满足，则tan(a−x)tan(a+x)=b恒成立当a=kπ+π2，k∈Z时，tan(a−x)tan(a+x)=−cot2x，不是常数；…因此a≠kπ+π2，k∈Z，当x≠mπ+π2，m∈Z时，则有(btan2a−1)tan2x+(tan2a−b)=0恒成立，所以btan2a−1=0且tan2a−b=0∴ tan2a=1，b=1∴ a=kπ+π4，k∈Z，b=1…∴ 当x=mπ+π2，m∈Z，a=kπ±π4时，tan(a−x)tan(a+x)=cot2a=1．因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a, b)=(kπ±π4, 1)，k∈Z…22. 解：（1）由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以准线为y=−14…（2）解：由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为(0, 14)…由A作准线为y=−14的垂线，垂足为Q，当且仅当三点P，A，Q共线时，|AP|+|AF|取得最小，最小值为6+14=254，…此时A 点的坐标为(2, 4)…（3）设点M 的坐标为(x, y)，BC 边所在的方程过定点N(0, 1)，… ∴ AM →=(x,y)，MN →=(−x,1−y)∵ AM →⋅BC →=0∴ AM →⋅MN →=0，所以，−x ×x +y(1−y)=0，即y 2+x 2−y =0(x ≠0)…23. （1）解：∵ a 1=1，a n+1=f(a n )，n ∈N ∗，∴ a 2=35，a 3=37，a 4=13． …（2）解：由 a n+1=f(a n )=3a n 2a n +3 得 1a n+1−1a n =23，… 所以，{1a n}是首项为1，公差为23的等差数列 … （3）解：由（2）得1a n =1+23(n −1)=2n+13，a n =32n+1． … 当n ≥2时，b n =a n−1a n =92 (12n−1−12n+1)，当n =1时，上式同样成立，… 所以s n =b 1+b 2+b 3+...+b n =92 (1−13+13−15+15−17+...+12n−1−12n+1)=92(1−12n+1)．因为S n <m−20112，所以 92(1−12n+1)<m−20112 对一切n ∈N ∗成立，…又92(1−12n+1)随n 递增，且lim n →∞(1−12n+1)=92，所以，92≤m−20112， 所以，m ≥2020，m 的最小值为2020． …。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝ 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230x x +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN ⋅ 的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A 、16 B 、72 C 、86 D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） PA DB C20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？y POxA22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若22MF =，求点M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k （2k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k kb a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。

杨浦区2012学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(文)考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若函数()x x f 3=的反函数为()x f 1-，则()=-11f．【答案】0【解析】由31x=得，0x =，即1(1)0f -=。

2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z .【解析】因为1111i z i i i-==-=--，则z = 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 【答案】2【解析】由抛物线的方程可知24p =，所以2p =，即抛物线的焦点到准线的距离为2.4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ． 【答案】11x y =⎧⎨=⎩【解析】由题意可知对应的线性方程组为232x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩。

所以该线性方程组的解是11x y =⎧⎨=⎩。

5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 【答案】tan 2arc【解析】由210y x --=得21y x =+，所以直线的斜率为tan 2k α==，所以tan 2arc α=，即直线的倾斜角为tan 2arc 。

6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．【答案】【解析】二项展开式的通项公式为717k k kk T C x a -+=，由75k -=得2k =，所以25237T C x a =，即5x 的系数为2227217C a a ==，所以213a =，所以a =。

7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 【答案】50π【解析】因为线与旋转轴的夹角030=α，设底面圆的半径为r ，则010sin305r ==。

浦东新区2012学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合{}{}{}0,,1,2,1A m B A B === ，则实数=m 1 2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是_21x y =⎧⎨=⎩___3．函数)2(log 2-=x y 的定义域 ),3[+∞ 4．已知R y x ∈,，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为1165．函数1y =0≥x ）的反函数是 2(1)y x =-（1≥x ） 6．函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 π 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S 52 8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为1639．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值等于 1-10．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π俯视图左视图主视图11．二项式nx ⎛+ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n 812．如图所示，一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 2π+13．非零向量OA 与OB ，对于任意的,t R ∈OA tOB +的最小值的几何意义为 点A 到直线OB 的距离。

14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 54 种二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ”的 （ A ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=x x f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为（ B ） ()A 12- ()B 14- ()C 14()D 017．若1x ，2x ，3x ，…，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，，33x ，…，20133x 的方差为（ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 2718．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈。

2012年上海一模矩阵和行列式，算法初步汇编一、填空题1(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·10)．根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是．答案：()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x ；2．(2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科）·5)根据右图所示的程序框图，输出结果i = 答案：83．(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·7)若行列式11212=-x x ，则=x ． 答案：文1；4．(2011学年第一学期上海市长宁区高三教学质量检测·2)行列式131312101---中3-的代数余子式的值为_________.答案：-55．(2011学年普陀区·7)如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为．答案：6．(2011学年第一学期上海市长宁区高三教学质量检测·8)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则从集合{}3,2,1,0中所有满足条件的S 0值为._______答案：07．(青浦区2011学年第一学期高三年级期末质量抽查考试·8)已知命题“03211111=aa”是命题“a A ∈”的必要非充分条件, 请写出一个满足条件的非空集合=A ．答案：{}1=A 或{}4=A 8．(上海市崇明高三数学·6)如果由矩阵1112m x m y m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的关于,x y 的二元一次方程组无解，则实数m = ． 答案：19．(上海市浦东高三数学试题及答案（文科）2012.01·5)某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式0123212a b 的值是_2-. 10．(闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）·17)已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是图2[答]（）A ．0a b c ++= ．B ．a b c、、两两平行．C ．a b //．D ．a b c 、、方向都相同．答案：B ；11．(所属试卷名称·6)已知二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，若记12a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，12b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，12c c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该方程组存在唯一解的条件为 (用a 、b 、c 表示）． 答案：a 与b不平行12．(闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）·10)执行右图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为． 答案：23；13．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·10)一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是．答案：5；14(上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（文科)·10)．根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是．答案：()⎩⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x； 15．(2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）·10)如图所示的算法框图，则输出的值是_________．答案：；16．(上海市奉贤区2012届高三期末调研试卷数学试题文理科·11)下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果=s __________答案：1017．(上海市崇明高三数学·9)若()(0,1)x f x a a a =>≠ ，定义由右框图表示的运算（函数1()f x -是函数()f x 的反函数），若输入2x =-时，输出14y =，则输入18x =时，输出y = ．答案：3-S90。

AA 1B 1c 1BCD浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（文科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．1； 2．21x y =⎧⎨=⎩； 3．),3[+∞； 4．116； 5．2(1)y x =-（1≥x ）；6．π； 7．52； 8．163； 9．1-； 10．8π； 11．8； 12．2323π+； 13．点A 到直线OB 的距离； 14．54 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．A ； 16．B ； 17．D ； 18．D . 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）122242V =⋅⋅⋅=；…………………………………6分 （2）设M 是1AA 的中点，连结,DM BM ，1//DM AC ∴,BDM ∴∠是异面直线BD 与1AC 所成的角.………8分在BDM ∆中，5,2BD BM MD ===， ()()()22252510cos 10225BDM +-∠==⋅⋅.…10分 即10arccos10BDM ∠=. ∴异面直线BD 与1AC 所成的角为10arccos10.…………………………………12分 20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅=R i ∈-++)32sin 2()cos 32sin 2(θθθ (2)分232sin =∴θ…………………………………………………………………4分 又 πθ220≤≤ ，ππθ3232或=∴， 36ππθ或=∴…………………6分 （2）)cos 2,1OZ 3sin 2(OZ 21θθ（），，=-= θθcos 32sin 2OZ OZ 21-=⋅ )3sin(4πθ-=……………………………………………………10分3233ππθπ≤-≤-，4)3sin(432≤-≤-∴πθ []4,32OZ OZ 21-∈⋅∴………………………………………………………14分21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，…………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈ ………4分于是32253200≤≤S 为所求.………………………6分（2） 矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ……………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分 当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，CMABNP所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时，则31<<p ，取2=n 时，则53<<p ，显然常数p 不存在， 所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”；…………………………………………2分 而数列}{n b 是“-p 摆动数列”，0=p .由n n b )21(-=，于是0)21(121<-=++n n n b b 对任意n 成立，所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”.……………………………………………4分 （2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”，p c >1，即存在常数p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立. 即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，………………………………………………………6分 所以p c p c p c m >⇒⇒>>⇒>-1231 ，……………………………………7分 同理p c p c p c p c p c n <⇒⇒<⇒<⇒<--242120))(( ，………………8分 所以122-<<m n c p c .………………………………………………………………9分 因此对任意的*,N n m ∈，都有122-<m n c c 成立.………………………………10分 （3）当1=n 时，11-=d ，当*∈≥N n n ,2时，)12()1(1--=-=-n S S d n n n n ，综上，)12()1(--=n d n n …………………………………………………………12分 即存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)12)(12()1(121<+--=++n n d d n n n 成立， 所以数列}{n d 是“-p 摆动数列”；………………………………………………14分 当n 为奇数时12+-=n d n 递减，所以11-=≤d d n ，只要1->p 即可，当n 为偶数时12-=n d n 递增，32=≥d d n ，只要3<p 即可.………………15分 综上31<<-p .所以数列}{n d 是“-p 摆动数列”，p 的取值范围是)3,1(-.…………………16分 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）（1）解： 函数2222202()22(1)12x x y T x x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩ 函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤==121)1(42104)(222x x x x x T y …………………………………4分（2）22212,02()12(1),12x a x T x a x a x ⎧+≤<⎪⎪+=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，122,02()12(1),12x a x a T x a x a x a ⎧+≤+<⎪⎪+=⎨⎪--≤+≤⎪⎩………………………………………6分则当且仅当2222a a a a ==-且时，即0a =.综上可知当0a =时，有2()()()T x a T x a T x +=+=恒成立.……………8分（3）① 当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数13j N j *∈≤≤，， 都有1022jx ≤≤，故有 234321()(2)(2)(2)16y T x T x T x T x x =====.……13分② 由①可知当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有4()16T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,16161616x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，10102,,816161616x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故有4411()()=16()16288T x T x x x =--=-+， 因此同理归纳得到，当1,1616i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(015)i N i ∈≤≤，时， 4444211()(1)(2)=2221ix i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数…………………15分1,1616i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 解方程4()T x kx =得，()21(1)32(1)2i i i x k +--=-- 要使方程4()T x kx =在[]0,1x ∈上恰有15个不同的实数根，则必须()()141514152141(1)2151(1)32(1)232(1)2k k⋅+--⋅+--=---- 解得1615k =方程的根()21(1)32(1)2n n n n x k-+-=+-(115)n N n *∈≤≤，………………………17分 这15个不同的实数根的和为： 121415S x x x x =++++0+2+4+6+8+10+12+142+4+6+8+10+12+14225+16163216-16+1515==.…………18分浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（文科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合{}{}{}0,,1,2,1A m B A B === ，则实数=m . 2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 .3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 5．函数1y x =+（0≥x ）的反函数是 . 6．函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 . 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = .8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则li m n n S →∞的值为 .9．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值等于 .10．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为2cm .11．二项式12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式前三项系数成等差数列，则n = .12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13．非零向量OA 与OB，对于任意的,t R ∈OA tOB + 的最小值的几何意义为 .14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“co s c o s a A b B = ”的 （ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=xx f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为 （ ） ()A 12- ()B 14- ()C 14 ()D 017．若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，33,x ，20133x 的方差为（ ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 2718．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)O N O A O B λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）()A 2y x = ()B 2y x =()C s i n 3y x π= ()D 1y x x=-三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．俯视图左视图主视图AA 1B 1c 1BCD19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=.（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1AC 所成的角. 20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数[]122sin 3,1(2cos ),0,z i z i θθθπ=-=+∈. （1）若12z z R ⋅∈，求角θ；（2）复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ,其中O 为坐标原点，求12OZ OZ ⋅的取值范围. 21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n b )21(-=，*∈N n ，判断}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；CMABNP（2）设数列}{n c 为“-p 摆动数列”，p c >1，求证：对任意正整数*,m n N ∈，总有122-<m n c c 成立；（3）设数列}{n d 的前n 项和为n S ，且n S n n ⋅-=)1(，试问：数列}{n d 是否为“-p 摆动数列”，若是，求出p 的取值范围；若不是，说明理由.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求定义在[]0,1上的两个函数2()y T x =和()2)(x T y =的解析式；（2）是否存在实数a ，使得2()+()T x a T x a =+恒成立，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x =，()n N *∈① 当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求4()y T x =的解析式； 已知下面正确的命题： 当11,1616i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时(115)i N i *∈≤≤，，都有44()()8i T x T x =-恒成立. ② 若方程4()T x k x =恰有15个不同的实数根，确定k 的取值；并求这15个不同的实数根的和.。

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知 ()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为 ___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 ………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ． 已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =.(1)求实数a 的值； (2)若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 .20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43m ax ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xx k f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时tt f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分 所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分 得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分 即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分 故 813>n 解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭……4分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又有3m ≠±，∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为211d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ 当22213510432243k k k k +=⇒=⇒=±+时等号成立, 此时直线110:12l y x =±-……18分试卷分析 3014.1.4题号：题长：内容：1.学生反映的知识问题：2.学生反映的能力问题：3.学生反映的错误问题：4.学生反映的不同解法：5.其他：。

崇明县2012学年第一学期期末考试试卷 高 三 数 学（一模）（考试时间120分钟，满分150分） 考生注意：本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（每题4分，共56分）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】3+5i【解析】由(2)117z i i -=+得117(117)(2)1525352(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+。

2、已知(0,)απ∈且tan()34πα+=-，则α= .【答案】512π 【解析】由tan()34πα+=-得,43k k Z ππαπ+=-+∈，所以7,12k k Z παπ=-+∈。

因为(0,)απ∈，所以5444πππα<+<，所以当1k =时，751212ππαπ=-+=。

3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是 . 【答案】+=0x y【解析】直线:10l x y -+=的斜率为1，所以过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线的斜率为1-，所以对应方程为(1)(1)y x --=--，即+=0x y 。

4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-≤≤==-<≤，则AB 等于 .【答案】[]-1,1【解析】13{,11}{11}A y y x x y y ==-≤≤=-≤≤，1{2,01}{1}B y y x y y x==-<≤=≤，所以{11}[1,1]AB y y =-≤≤=-。

5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -= . 【答案】1-【解析】由223x +=得21x =，所以1x =-，即1(3)1f -=-。

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=,则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． 求抛物线Γ方程；求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. 已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设na b n n +=．（1）求2a ； （2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠±.①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5. 3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分 (2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分(3) 由（2）得n n n n b b 311,3== ……11分8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故 813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分所以13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:12l y x =±- ……18分。

2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=．2．（4分）不等式的解集是（用区间表示）．3．（4分）若全集U=R，函数y=3x的值域为集合A，则C U A=．4．（4分）若圆锥的母线长l=5（cm），高h=4（cm），则这个圆锥的体积等于．5．（4分）在的二项展开式中，x2的系数是（结果用数字作答）．6．（4分）已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=．7．（4分）若行列式=1，则x=．8．（4分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是．（结果精确到0.01）9．（4分）某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是．10．（4分）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．11．（4分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1相切，则a2+b2=．12．（4分）若点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为（2，0），则|PA|的取值范围是．13．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是．14．（4分）设函数f（x）=的反函数为y=f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．f（x）=10|x|B．f（x）=x3C．f（x）=lg D．f（x）=cosx 16．（5分）若等比数列{a n}前n项和为，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．（5分）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[2，+∞）上是增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．即非充分也非必要条件18．（5分）若F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|的值为（）A．3B．6C．9D．27三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知在正四棱锥P﹣ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm3，求异面直线PA与CD所成角的大小．20．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．（14分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f （a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．22．（16分）已知△ABC的三个顶点在抛物线：x2=y上运动．（1）求的准线方程；（2）已知点P的坐标为（2，6），F为抛物线的焦点，求|AP|+|AF|的最小值，并求此时A点的坐标；（3）若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，1），点M在BC上，且，求点M的轨迹方程．23．（18分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列{b n}满足b n=a n﹣1•a n（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m的值．2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）计算：=﹣1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由极限的性质，把等价转化为（1﹣），由此能够求出结果．【解答】解：=（1﹣）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查极限的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（4分）不等式的解集是（1，2）（用区间表示）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】先将2移项，然后通分，利用同解变形将不等式化为（x﹣2）（x﹣1）＜0，利用二次不等式的解法求出解集．【解答】解：不等式同解于：，即，即（x﹣2）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜2，所以不等式的解集是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查解决分式不等式时，先通过移项，将右边化为0，然后通过同解变形将分式不等式化为整式不等式来解，属于基础题．3．（4分）若全集U=R，函数y=3x的值域为集合A，则C U A=（﹣∞，0]．【考点】1F：补集及其运算；48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】11：计算题．【分析】由指数函数的值域知A={y|y＞0}，再由全集U=R，能求出C U A．【解答】解：∵函数y=3x的值域为集合A，∴A={y|y＞0}，∵全集U=R，∴C U A={y|y≤0}=（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意补集的性质和应用．4．（4分）若圆锥的母线长l=5（cm），高h=4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积=×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积=×π×32×4=12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．5．（4分）在的二项展开式中，x2的系数是4（结果用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由其二项展开式的通项公式T r+1=•x4﹣r•x﹣r即可求得x2的系数．【解答】解：∵的二项展开式的通项公式T r+1=•x4﹣r•x﹣r=•x4﹣2r，∴令4﹣2r=2得r=1．∴x2的系数为：=4．故答案为：4．【点评】本题考查二项式定理，熟练应用其通项公式是关键，属于基础题．6．（4分）已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】先由f（x+4）=f（x），知函数f（x）为周期为4的函数，故f（7）=f （﹣1），再由f（x）是R上的偶函数，知f（﹣1）=f（1），最后代入已知解析式求值即可【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（7）=f（﹣1+4+4）=f（﹣1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣1）=f（1）∴f（7）=f（1）∵x∈（0，2）时，f（x）=2x2，∴f（7）=f（1）=2×12=2故答案为2【点评】本题考查了函数的周期性定义及其应用，函数的奇偶性应用，转化化归的思想方法7．（4分）若行列式=1，则x=1．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】利用，由行列式=1，能求出x．【解答】解：∵=x2﹣2（x﹣1）=1，∴x=1．故答案为：1．【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（4分）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是0.30．（结果精确到0.01）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先求出从这批产品中抽取4个，则事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率．【解答】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为：=×=≈0.30．故答案为：0.30．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9．（4分）某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是80．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】设在高二学生中的抽样人数应该是x，根据总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，可得=，由此解得x 的值．【解答】解：设在高二学生中的抽样人数应该是x，则由分层抽样的定义和方法可得，=，解得x=80，故答案为80．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（4分）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】EF：程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11．（4分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1相切，则a2+b2=1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】由圆C的方程找出圆心C的坐标与半径r，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关系式，变形后即可求出所求式子的值．【解答】解：由圆C：x2+y2=1，得到圆心C（0，0），半径r=1，∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d=r，即=1，则a2+b2=1．故答案为：1【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r 时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．12．（4分）若点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为（2，0），则|PA|的取值范围是[，5]．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】设出点P的坐标，求出|PA|，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用配方法，即可求得结论．【解答】解：设P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+（y﹣0）2=x2﹣4x+4+y2又∵（x，y）满足∴|PA|2=x2﹣4x+4+y2=x2﹣4x+4+（1﹣）=x2﹣4x+5其中﹣3≤x≤3关于x的二次函数，开口向上，它的对称轴是x=根据二次函数的性质，可知：当x=时，|PA|2取得最小值；当x=﹣3时，|PA|2取得最大值25．所以，|PA|的取值范围是[，5]故答案为：[，5]【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查距离的计算，解题的关键是转化为二次函数，利用配方法求解．13．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．14．（4分）设函数f（x）=的反函数为y=f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是．【考点】3R：函数恒成立问题；4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由f（x）=可求得y=f﹣1（x），又关于x的方程f﹣1（x）=m+f （x）在[1，2]上有解，可得m=，从而可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=，∴2x+1=2y，∴x=，∴y=f﹣1（x）=；∵关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=在[1，2]上有解，而y=为增函数，∴≤m≤，即≤m≤．故答案为：[，]．【点评】本题考查反函数，通过反函数考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．f（x）=10|x|B．f（x）=x3C．f（x）=lg D．f（x）=cosx 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】利用函数奇偶性的定义可排除B，利用函数的性质可排除D，利用复合函数的单调性即可得到答案．【解答】解：对于B，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），为奇函数，与题意不符；对于D，偶函数f（x）=cosx在（0，+∞）上不是单调函数，故与题意不符；对于A，当x∈（0，+∞），f（x）=10x，在（0，+∞）上单调递增，与题意不符；而C，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且当x∈（0，+∞）时，y=为减函数，y=lgx 为增函数，由复合函数的性质可知，偶函数f（x）=lg在区间（0，+∞）上单调递减，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，考查复合函数的单调性，掌握基本初等函数的性质是关键，属于中档题．16．（5分）若等比数列{a n}前n项和为，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】89：等比数列的前n项和；A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由等比数列{a n}前n项和为，得到a=﹣1．故z==，再由复数的代数形式的运算法则，求出z，从而得到z=在复平面上对应的点位于第几象限．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为，∴a1=2+a，a2=（4+a）﹣（2+a）=2，a3=（8+a）﹣（4+a）=4，∴22=（2+a）×4，解得a=﹣1．∴z=====，∴复数z=在复平面上对应的点（）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算法则和几何意义，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和应用．17．（5分）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在[2，+∞）上是增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．即非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[2，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．【解答】解：若“a=2”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣2|在区间[2，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，所以“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数f （x）=|x﹣a|的图象要熟练掌握．18．（5分）若F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|的值为（）A．3B．6C．9D．27【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值，利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径|AF2|．【解答】解：双曲线C：的左、右焦点坐标分别为F1（﹣6，0），F2（6，0）．不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴==2又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故选：B．【点评】本题着重考查了双曲线的简单性质、三角形内角平分线定理和余弦定理等知识点，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知在正四棱锥P﹣ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm3，求异面直线PA与CD所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】连接AC、BD交于O点，连接PO．根据锥体体积公式，结合题中数据可算出正四棱锥的底面边长，从而用勾股定理算出PA长，然后在△PAB中，利用余弦定理计算出∠PAB的余弦值，因为CD∥AB，所以这个余弦值就是PA与CD所成角θ的余弦值，从而得到异面直线PA与CD所成角的大小．【解答】解：连接AC、BD交于O点，连接PO，则PO就是正四棱锥的高设异面直线PA与CD所成角的大小θ，底边长为a，则依题意得，正四棱锥P﹣ABCD体积为V=a2×1=4 …（4分）∴a=2，可得AC=2Rt△PAO中，OA=，PO=1∴PA==…（7分）因为CD∥AB，所以直线PA与AB所成的锐角就是PA与CD所成角θ．…（9分）△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB==，即cosθ=，所以PA与CD所成角θ=arccos．…（12分）【点评】本题给出一个正四面体，叫我们求异面直线所成角，着重考查了正棱锥的性质、余弦定理和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．20．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用正弦定理把（2b﹣c）cosA﹣acosC=0中的边转化成角的正弦，进而化简整理得sinB（2cosA﹣1）=0，求得cosA，进而求得A．（2）根据三角形面积公式求得bc，进而利用余弦定理求得b2+c2进而求得b和c，结果为a=b=c，进而判断出∴△ABC为等边三角形．【解答】解：（Ⅰ）∵（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）∵，即∴bc=3①由余弦定理可知cosA==∴b2+c2=6，②由①②得，∴△ABC为等边三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析问题和灵活运用所学知识的能力．21．（14分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f （a﹣x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；①f（x）=x3②f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据新定义，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f （x）=x3不是“Ω函数”，f（x）=2x是“Ω函数”；（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，即可求出a，b．【解答】解：（1）①若f（x）=x3是“Ω函数”，则存在实数对（a，b），使得f （a+x）•f（a﹣x）=b，即（a2﹣x2）3=b时，对x∈R恒成立…（2分）而x2=a2﹣最多有两个解，矛盾，因此f（x）=x3不是“Ω函数”…（3分）②若f（x）=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x•2a﹣x=22a，即存在常数对（a，22a）满足，因此f（x）=2x是“Ω函数”（6分）（2）解：函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，设有序实数对（a，b）满足，则tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立当a=kπ+，k∈Z时，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2x，不是常数；…（8分）因此a≠kπ+，k∈Z，当x≠mπ+，m∈Z时，则有（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立，所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0∴tan2a=1，b=1∴a=kπ+，k∈Z，b=1 …（13分）∴当x=mπ+，m∈Z，a=kπ±时，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2a=1．因此满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的实数对（a，b）=（kπ±，1），k ∈Z…（14分）【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系，属于中档题．22．（16分）已知△ABC的三个顶点在抛物线：x2=y上运动．（1）求的准线方程；（2）已知点P的坐标为（2，6），F为抛物线的焦点，求|AP|+|AF|的最小值，并求此时A点的坐标；（3）若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，1），点M在BC上，且，求点M的轨迹方程．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（1）由抛物线的方程，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向上，故可得准线方程；（2）利用抛物线的定义，将点到焦点距离转化为到准线的距离，利用三点共线，即可得到结论；（3）利用向量的垂直关系，即可求M的轨迹方程．【解答】解：（1）由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以准线为y=﹣…（3分）（2）解：由x2=y得抛物线的焦点在y轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，）…（4分）由A作准线为y=﹣的垂线，垂足为Q，当且仅当三点P，A，Q共线时，|AP|+|AF|取得最小，最小值为=，…（7分）此时A点的坐标为（2，4）…（9分）（3）设点M的坐标为（x，y），BC边所在的方程过定点N（0，1），…（10分）∴∵∴，所以，﹣x×x+y（1﹣y）=0，即y2+x2﹣y=0（x≠0）…（16分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义与性质，考查轨迹方程的求解，定位定量是关键．23．（18分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列{b n}满足b n=a n﹣1•a n（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若对一切n∈N*成立，求最小正整数m的值．【考点】83：等差数列的性质；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题．【分析】（1）直接根据数列的首项和递推关系，求出a2，a3，a4的值．（2）由a n+1=f（a n）=得﹣=，从而得出结论．（3）解：由（2）得a n =，进而求得b n，用裂项法求得s n=（1﹣），又（1﹣）随n递增，且（1﹣）=，可得≤，由此求得最小正整数m的值．【解答】（1）解：∵a1=1，a n+1=f（a n），n∈N*，∴a2 =，a3=，a4=．…（3分）（2）解：由a n+1=f（a n）=得﹣=，…（8分）所以，{}是首项为1，公差为的等差数列…（9分）（3）解：由（2）得=1+（n﹣1）=，a n =．…（11分）当n≥2时，b n=a n﹣1a n=（﹣），当n=1时，上式同样成立，…（13分）所以s n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）．因为，所以（1﹣）＜对一切n∈N*成立，…（16分）又（1﹣）随n递增，且（1﹣）=，所以，≤，所以，m≥2020，m的最小值为2020．…（18分）【点评】本题主要考查数列与函数的综合应用，数列与函数的综合应用，属于难题．。