几种简单的几何图形及其推理复习

图形的规律总结图形的规律可以是形状或者图案的重复、变化、对称等。

对于一些特定的图形，我们可以通过观察和推理来找出它们的规律，并用数学的方式描述出来。

在这篇文章中，我将总结一些常见的图形规律，并且介绍如何用数学方法来描述它们。

首先，我们来看一些常见的图形规律。

对于一些简单的几何图形，如正方形、矩形和圆形，它们的规律通常是很明显的。

例如，正方形的四条边相等且相互平行，内角都是直角；矩形的对边相等且相互平行，内角仍然是直角；圆形的周长与直径之间有一个固定的比例关系，即π（pi）。

这些规律可以通过观察和测量来确定。

另一个常见的图形规律是图形的对称性。

对称性是指图形可以被分成两个相互对称的部分。

例如，正方形和圆形都具有对称性，因为它们可以通过某条轴线进行折叠，两边完全一致。

而心形和星形则没有对称性，因为它们无法通过任何轴线折叠成两部分。

对称性是一种十分有趣和重要的图形规律，它不仅存在于几何图形中，也存在于自然界中的很多物体和生物体中。

另一种常见的图形规律是图形的重复性。

重复性是指图形中某些元素的不断重复出现。

例如，螺旋线就是一个具有重复性的图形，其中螺旋的形状和方向不断重复出现。

由于图形的重复性，我们可以用一些简单的数学方法来描述它们。

例如，我们可以用数列来描述螺旋线中每个点的坐标，从而得到一个数学模型。

除了上述的常见图形规律外，还有一些更复杂的图形规律存在。

例如，菲波那切数列中的每个数字都是前两个数字的和。

这个数列正是菲波那切螺旋的边长与半径之比。

这个规律的数学描述为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n>2，Fi表示第i个菲波那切数。

这个规律不仅在螺旋线中存在，还在数学、自然科学、金融等领域中有广泛的应用。

事实上，这个规律是无穷多级的，即每个数字都是前两个数字的和，这使得这个数列有一些奇特的性质。

除了菲波那切数列，还有其他一些数列和图形规律有着类似的特点。

例如，斐波那契数列中的每个数字都是前两个数字的和。

2019年精选北京课改版数学七年级下册第七章观察、猜想与证明7.7 几种简单几何图形及其推理复习特训六十四第1题【单选题】某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( )A、甲B、甲与丁C、丙D、丙与丁【答案】：【解析】：第2题【单选题】4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是( )A、AB、BC、CD、D【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，∠1＝60o，∠2＝60o，∠3＝57o，则∠4＝57o，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是( )A、因为∠1＝60o＝∠2，所以a∥b，所以∠４＝∠3＝57oB、因为∠4＝57o＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60oC、因为∠2＝∠5，又∠1＝60o，∠2＝60o，故∠1＝∠5＝60o，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57oD、因为∠1＝60o，∠2＝60o，∠3＝57o，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60o－57o＝3o，【答案】：【解析】：第4题【单选题】世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积( )A、6分B、7分C、8分D、9分【答案】：【解析】：第5题【单选题】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是( )A、3B、4C、5D、6【答案】：【解析】：第6题【单选题】甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了( )A、1场B、2场C、3场D、4场【答案】：【解析】：第7题【单选题】某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( )A、甲、丙B、甲、丁C、乙、丁D、丙、丁【答案】：【解析】：第8题【单选题】七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为( )A、甲、乙、丙、丁B、甲、丙、乙、丁C、甲、丁、乙、丙D、甲、丙、丁、乙【答案】：【解析】：第9题【单选题】如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果( )A、15粒B、18粒C、20粒D、31粒【答案】：【解析】：第10题【填空题】老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为A：没有人；B：一个人；C：二个人；D；三个人；E：四个人。

智汇好题目小学生的思维具有直观性和形象性等特点，借助现实可见的实物学具、模型、几何图形等可为学生提供丰富的学材，将抽象的推理内容变得具体形象，为复杂推理问题提供解决的路径和方法。

在数与代数领域中如何借助几何直观，开展数学观察、对比、分析、推理等活动，是发展学生逻辑思维的关键切入口。

我们尝试设计一组图形推理题目，运用几何直观打通数与形之间的关联，引导学生在逐步深入的观察、思考和探究中，发现变与不变的规律，建构数量关系的模型，并在此过程中发展推理意识。

【题目】第1题 静态转化中的推理数学课上，李老师让同学们探索一类特殊分数之和的计算方法。

爱思考的轩轩总有不同的想法，借助图形（如图1）巧算它们的和。

1 2+14+18+116=22-116=151613+16+112+124=23-124=152414+18+116+132=24-1=…… (1)2141818116116131611212414132图1（1）仔细观察轩轩的做法，把第三道算式的计算过程补充完整。

（2）轩轩的想法让大家眼前一亮，不禁跃跃欲试。

请你填一填：15+110+120+140=-；17+114+128+…+1224=-。

第2题 动态关联中的推理聪聪用1cm2的正方形纸片摆出不同的图形（如图2）并进行研究，你能帮帮他吗？图2（1）观察图2，填写表1。

表1 层数与面积关系统计表层数1234…8…n 面积/cm2149……（2）利用发现的规律，佳佳制作了图3所示“方阵”。

照这样排下去，排在（5，1）位置的数是（ ），排在（8，2）位置的数是（ ），当n大于2时，排在（n，3）位置的数是（ ）。

……………10111213…56714…23815…14916…5432112345图3巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组华 松 陈维花76智慧教学 2024年2月第3题 联想操作中的推理数学中有些证明和推理是不需要文字的，仅凭图形就能清楚解释数学公式或道理，这种以图代字、不证自明的“无字证明”比严谨的文字证明更为优雅和有条理。

行测考试中图形数字推理备考要点目前，图形数字推理常见的题型有三种：㈠圆圈型数字推理：1、有心圆圈型；2、无心圆圈型；㈡九宫格数字推理：3×3网格形式；㈢其他几何型数字推理：1、三角形；2、环形；3、正方形；4、长方形一、圆圈型数字推理1、有心圆圈型：周边数字通过运算得到中间圈内的数字。

2、无心圆圈型：周边数字之间满足一个基本运算等式。

解题一般规律1、基本规律是通过加减乘除，较少情况用到“倍数”和“乘方”。

2、运算方向一般为上下、左右、交叉（交叉最常见）。

(一) 有心圆圈型1、奇数法则：（1）如果每个圆圈中都是偶数个奇数，那么解题一般从“加减”入手。

（2）如果有一个圆圈中有奇数个奇数，那么这道题一般无法通过“加减”完成，应该优先考虑“乘法”和“除法”。

2、非奇数解法：（1）先加减，后相乘。

如果前面两个中心数字容易分解，先对其分解，然后在周边数字中构造因数。

（2）先乘除，后加减。

如果两个中心数字有一个较大且不易分解，应先从周边数字出发，选取两个先相乘，然后进行修正。

（二）无心圆圈型1、运算目标：有心圆圈型一般以中心数字为运算目标，而无心圆圈型从形式上看没有一个确定的目标，那么一般的运算目标我们定位为，圆圈中的两个数字的加减乘除=两外两个数字的加减乘除。

2、当无心圆圈型涉及到乘法，优先考虑较小数字相乘。

3、把一个两位数字拆分成个位数和十位数，分别放在圆圈的两个位臵得考法，大家一定要注意。

二、九宫格数字推理（一）等差等比型（最简单，越来越少考）：数字沿行方向与列方向呈等比或等差规律。

（二）分组计算型：九宫格中按照行和列分组计算，得到的结果呈简单规律。

（三）线性递推型（较常见）：一般模式为“第一列的a倍加上第二列的b倍等于第三列”，但目标数列可能是第一列，也可能是第三列。

三、其他几何型数字推理（一）三角形：中心数字为运算的目标数字。

（二）正方形（略）（三）五格型（略）图形形式数字推理常见题型一、圆圈形式数字推理此类题型题干是几个圆圈，每个圆圈被分成四份，考生需要总结前几个圆圈中数字之间的关系，选择最恰当的一项，使得最后一个圆圈也符合前面的规律。

行测考试中图形数字推理备考要点目前，图形数字推理常见的题型有三种：㈠圆圈型数字推理：1、有心圆圈型；2、无心圆圈型；㈡九宫格数字推理：3×3网格形式；㈢其他几何型数字推理：1、三角形；2、环形；3、正方形；4、长方形一、圆圈型数字推理1、有心圆圈型：周边数字通过运算得到中间圈内的数字。

2、无心圆圈型：周边数字之间满足一个基本运算等式。

解题一般规律1、基本规律是通过加减乘除，较少情况用到“倍数”和“乘方”。

2、运算方向一般为上下、左右、交叉（交叉最常见）。

(一) 有心圆圈型1、奇数法则：（1）如果每个圆圈中都是偶数个奇数，那么解题一般从“加减”入手。

（2）如果有一个圆圈中有奇数个奇数，那么这道题一般无法通过“加减”完成，应该优先考虑“乘法”和“除法”。

2、非奇数解法：（1）先加减，后相乘。

如果前面两个中心数字容易分解，先对其分解，然后在周边数字中构造因数。

（2）先乘除，后加减。

如果两个中心数字有一个较大且不易分解，应先从周边数字出发，选取两个先相乘，然后进行修正。

（二）无心圆圈型1、运算目标：有心圆圈型一般以中心数字为运算目标，而无心圆圈型从形式上看没有一个确定的目标，那么一般的运算目标我们定位为，圆圈中的两个数字的加减乘除=两外两个数字的加减乘除。

2、当无心圆圈型涉及到乘法，优先考虑较小数字相乘。

3、把一个两位数字拆分成个位数和十位数，分别放在圆圈的两个位置得考法，大家一定要注意。

二、九宫格数字推理（一）等差等比型（最简单，越来越少考）：数字沿行方向与列方向呈等比或等差规律。

（二）分组计算型：九宫格中按照行和列分组计算，得到的结果呈简单规律。

（三）线性递推型（较常见）：一般模式为“第一列的a倍加上第二列的b倍等于第三列”，但目标数列可能是第一列，也可能是第三列。

三、其他几何型数字推理（一）三角形：中心数字为运算的目标数字。

（二）正方形（略）（三）五格型（略）图形形式数字推理常见题型一、圆圈形式数字推理此类题型题干是几个圆圈，每个圆圈被分成四份，考生需要总结前几个圆圈中数字之间的关系，选择最恰当的一项，使得最后一个圆圈也符合前面的规律。

以下是几何六大模型推理：
鸟头（共角）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，特点是有相等的角或共同的角或有互补的角。

倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或倍长类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型。

等腰三角形有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等。

已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理。

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE=1/2BC来解题。

全等变换：包括平移、对称、旋转等模型。

平移模型是平行等线段（平行四边形）；对称模型是以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等；旋转模型是相邻等线段绕公共顶点旋转。

构造法：当问题条件不够时，可以通过构造新的条件来解决问题。

例如，通过构造辅助线、辅助圆或辅助图形等方式来添加新的条件，从而将问题转化为易于解决的形式。

以上是几何六大模型推理，希望对你有所帮助。

2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。

高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。

其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。

试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。

一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

2．会简单应用空间两点间的距离公式。

四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。

5．理解数形结合思想。

了解圆锥曲线的简单应用。

四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。

几何图形推理方法几何图形推理是指通过观察和分析几何图形的性质和关系，以推断出未知的信息或构造出满足特定条件的图形的方法。

在解决几何问题时，有效的推理方法可以帮助我们更快地找到解决方案，并提高问题解决的准确性和效率。

本文将介绍几个常见的几何图形推理方法，帮助读者更好地理解和应用。

1. 基于图形特征的推理方法几何图形通常具有特定的性质和特征，通过观察和分析这些特征，我们可以得出很多推理结论。

例如，如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么它是一个正方形。

在这种推理方法中，我们可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特征，推导出相应的结论。

2. 基于图形相似性的推理方法几何图形的相似性是指它们形状和比例相同或相似。

根据几何图形的相似性，我们可以进行比例推理和相似图形构造。

比例推理是指通过图形的相似性，建立起几何图形间边长比例的关系。

而相似图形构造则是通过直接构造相似图形，满足特定条件的几何要求。

通过这种推理方法，我们可以精确计算图形的面积比例、边长比例等参数。

3. 基于图形的变换推理方法图形的变换是指通过平移、旋转、对称等操作，改变图形的位置、方向或形状。

利用图形的变换特性，我们可以推导出一些结论。

比如，通过对称变换，我们可以得出两个对称图形相等的结论。

通过旋转变换，我们可以根据旋转角度和次数，得出图形间角度关系的推理结论。

变换推理方法是一种直观而强大的几何图形推理方法。

4. 基于等价推理的方法等价推理是指利用几何图形的等式关系进行推理。

在几何图形中，有很多等式关系成立，如勾股定理、余弦定理等。

利用这些等式关系，我们可以推导出一些角度、边长的值。

例如，已知一个三角形的两个角度和一边的长度，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。

通过等式关系的推理方法，我们可以在解决几何问题时，利用已知的条件得出未知的结果。

几何图形推理方法是解决几何问题的重要手段。

通过运用不同的推理方法，我们可以更深入地理解几何图形的性质和关系，并能更高效地解决与几何图形相关的问题。