简单几何体

简单几何体教案教案标题：探索简单几何体教学目标：1. 了解什么是简单几何体，并能够辨认和描述它们；2. 掌握简单几何体的基本属性，例如边数、面数和顶点数；3. 能够通过观察和实践，发现简单几何体之间的关系和特征；4. 培养学生的观察力、思维能力和合作精神。

教学资源：1. 简单几何体的模型或图片；2. 黑板/白板和彩色粉笔/马克笔；3. 学生练习册。

教学步骤：引入活动：1. 利用实物或图片展示简单几何体，例如立方体、圆柱体、圆锥体和球体。

2. 引导学生观察这些几何体的形状、边数、面数和顶点数，并鼓励他们提出自己的观察结果。

探索活动：3. 将学生分成小组，每个小组分配一种简单几何体的模型或图片。

4. 要求学生观察并描述他们手中的几何体，包括边数、面数和顶点数。

5. 引导学生讨论他们观察到的相似和不同之处，并记录在黑板/白板上。

知识巩固：6. 教师向学生介绍简单几何体的基本属性，包括：- 立方体：六个面、八个顶点和十二条边；- 圆柱体：三个面、两个圆形底面、一个侧面、两个顶点和零条边；- 圆锥体：两个面、一个圆形底面、一个侧面、一个顶点和零条边；- 球体：一个面、零个顶点和零条边。

7. 教师提供更多的简单几何体示例，并要求学生根据所学知识进行分类。

拓展活动：8. 将学生分成新的小组，每个小组分配一种简单几何体的模型或图片。

9. 要求学生设计一个小游戏或活动，让其他小组通过观察和描述来猜测他们手中的几何体是什么。

总结与评价：10. 教师与学生共同回顾所学内容，并提醒学生简单几何体的基本属性和分类方法。

11. 鼓励学生互相评价他们在小组活动中的表现，并提供积极的反馈和建议。

作业：12. 要求学生完成练习册中与简单几何体相关的练习题，巩固所学知识。

教学延伸：- 引导学生进一步探索简单几何体的应用，例如建筑设计、工程制图和艺术创作等领域。

- 鼓励学生使用不同材料和工具制作简单几何体的模型，以加深对其属性的理解。

简单几何体
基本思想：利用空间图形，培养空间想象能力，分析图形及其结构特征
1，简单旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球
分析截面：横截面（中截面）、竖截面（轴截面）
2，简单多面体：棱柱（直、正）、棱锥（正）--高与斜高、棱台（正）---高与斜高
分析截面：横截面、竖截面
3，组合体
4，折叠与展开
位于同一面上的诸元素间的位置关系不变，而涉及两个面之间的图形之间则发生量的变化。

立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的好方法
1，已知某圆柱的底面半径为1cm，高为2cm，求该圆柱的侧面积，表面积和体积。

2，已知用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长。

3，圆台的两底面的半径分别为2和5
，母线长为
4，已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，求这两个截面圆心之间的距离。

5，已知某正三棱柱的底面边长为1，高为2，求该正三棱柱的侧面积，表面积和体积。

6，已知正四棱锥V A B C D
-，底面面积为16
，侧棱长为，计算它的高和斜高。

7，设正三棱台的上、下底面的边长分别为2cm和5cm，侧棱长为5cm，求这个棱台的高。

8，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30︒，在一条棱上取A、B两
点，OA=4cm，OB=3cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面摩擦），求此绳在A、B之间的最短绳长。

国赛中职数学简单几何体教案教案标题：国赛中职数学简单几何体教案教案目标：1. 通过本课的学习，学生将能够理解简单几何体的概念和特征。

2. 学生将能够运用所学知识解决与简单几何体相关的问题。

3. 学生将能够在国赛中应用所学知识，提高解题能力和竞赛成绩。

教学重点：1. 理解简单几何体的定义和特征。

2. 运用所学知识解决简单几何体相关的问题。

教学难点：1. 运用所学知识解决与简单几何体相关的复杂问题。

2. 在国赛中应用所学知识，提高解题能力和竞赛成绩。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、国赛相关试题。

2. 学生准备：教材、练习册、计算器、尺子、铅笔等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过展示一些简单几何体的图片，引发学生对几何体的兴趣，并与学生讨论几何体的特点和应用。

Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过教学课件或黑板，向学生介绍简单几何体的定义和特征，如球体、立方体、圆柱体等，并给出相关的示例。

Step 3：知识巩固（15分钟）教师组织学生进行小组讨论，让学生运用所学知识解决一些简单几何体相关的问题，并在讨论中指导学生思考和解决问题的方法。

Step 4：拓展应用（15分钟）教师提供一些国赛相关的试题，让学生运用所学知识解决问题，并进行个人或小组竞赛，以提高学生的解题能力和竞赛成绩。

Step 5：总结归纳（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在国赛中应用所学知识的重要性和技巧。

Step 6：作业布置（5分钟）教师布置相关的练习题，要求学生独立完成，并鼓励学生参加国赛前的模拟考试，以检验学习效果。

教学延伸：1. 鼓励学生参加数学竞赛，提高解题能力和竞赛成绩。

2. 提供更多的国赛相关试题，让学生进行针对性的练习和讨论。

教学评估：1. 教师通过课堂讨论和练习题的批改，评估学生对简单几何体的理解和应用能力。

2. 参加国赛前的模拟考试，评估学生在竞赛中的解题能力和竞赛成绩。

教学反思：1. 针对学生在解题过程中的困难和错误，及时给予指导和纠正。

几何体的三种分类方法几何体是指具有一定形状和空间特征的物体，它们可以根据不同的特征和属性进行分类。

在几何学中，常用的三种分类方法是按形状、按结构和按特征。

下面将分别对这三种分类方法进行详细介绍。

一、按形状分类按形状分类是最常用的几何体分类方法之一，它根据几何体的外形特征将其划分为不同的类别。

常见的按形状分类的几何体有球体、圆柱体、正方体、长方体、圆锥体等。

1. 球体：球体是由所有与一个固定点距离相等的点组成的几何体，它具有无限个面、边和顶点，并且所有的面都是等圆面。

球体在日常生活中广泛应用，如篮球、足球等都属于球体。

2. 圆柱体：圆柱体是由一个圆形的底面和一个平行于底面的圆形顶面连同这两个圆面之间的所有点组成的几何体。

圆柱体具有两个平行的底面、一个侧面和两个顶点。

常见的圆柱体有水杯、筒灯等。

3. 正方体：正方体是由六个相等的正方形面组成的几何体，它具有六个正方形面、八个顶点和十二条边。

正方体在建筑、家具等领域中被广泛应用，如盒子、骰子等。

4. 长方体：长方体是由六个矩形面组成的几何体，它具有六个矩形面、八个顶点和十二条边。

长方体在日常生活中随处可见，如电视机、书桌等。

5. 圆锥体：圆锥体是由一个圆形的底面和一个顶点连同这两个面之间的所有点组成的几何体。

圆锥体具有一个圆形底面、一个尖顶和一个侧面。

常见的圆锥体有冰淇淋蛋筒、路灯等。

二、按结构分类按结构分类是根据几何体的内部结构将其分类。

常见的按结构分类的几何体有简单几何体和复杂几何体。

1. 简单几何体：简单几何体是指由基本几何图形组成的几何体，它们可以用简单的公式计算其面积和体积。

如球体、正方体、圆柱体等都属于简单几何体。

2. 复杂几何体：复杂几何体是指由多个基本几何图形组合而成的几何体，它们的面积和体积计算比较复杂。

如椎体、棱柱体、棱锥体等都属于复杂几何体。

三、按特征分类按特征分类是根据几何体的特征和属性将其分类。

常见的按特征分类的几何体有对称几何体和非对称几何体。

小学一年级数学题认识简单的几何体几何体是数学中研究空间形状的一个重要概念。

在小学一年级，孩子们开始接触简单的几何体，通过认识它们的形状和性质，培养他们的观察力和空间想象力。

本文将介绍小学一年级数学中认识简单的几何体的内容。

一、点、线、面在认识几何体之前，我们先来了解一些基础概念。

点是几何的基本元素，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

线是由无数个相邻点连在一起形成的，它是一维的。

面是由无数个相邻线连在一起形成的，它是二维的。

二、认识简单的几何体1. 圆柱体首先，我们来认识圆柱体。

圆柱体是一种由两个平行的圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体。

它的形状像一根筒子，常见的例子有铅笔盒、可乐罐等。

圆柱体的性质有：- 两个底面都是圆形，底面的直径相等；- 侧面是一个矩形，它的长度等于两个底面圆的周长；- 高度是两个底面的中心之间的距离。

2. 球体接下来，我们认识球体。

球体是一种所有点到一个给定点的距离相等的几何体。

它的形状像一个篮球，常见的例子有球形水果、乒乓球等。

球体的性质有：- 所有点到球心的距离相等；- 没有面和侧面；- 最大的距离是球的直径，最短的距离是球的半径。

3. 正方体再来，我们认识正方体。

正方体是一种六个面都是正方形的几何体。

它的形状像一个立方体骰子，每个面都是相等的。

正方体的性质有：- 六个面都是正方形，所以每个面的长度和宽度相等；- 所有的面都是平行的；- 对于一个正方体来说，相对的两个面是平行的，并且相等。

4. 圆锥体最后，我们认识圆锥体。

圆锥体是一种由一个圆面和连接圆面和一个顶点的侧面组成的几何体。

它的形状像一个蛋筒，常见的例子有冰淇淋筒、喇叭等。

圆锥体的性质有：- 底面是一个圆形，顶点和圆形底面的中心连线叫做轴；- 侧面是一个锥形，它的轮廓是直角三角形；- 高度是顶点到底面的距离。

三、通过练习巩固认识为了巩固对几何体的认识，我们可以通过一些练习题来加深理解。

1. 小明手中有一个篮球，它是什么几何体？答案：篮球是一个球体。

14.3旋转体的概念例题精讲【例1】过球面上两点作球的大圆，可能的个数是 （ ）A 、有且只有一个B 、一个或无穷多个C 、无数个D 、以上均不正确 【参考答案】B 如果这两个点和圆心共线则有无数个，如果这两个点和圆心不共线则只有一个，所以选B【例2】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都有可能 【参考答案】B【例3】面积为Q 的菱形，绕其一边旋转，则所得旋转体的表面积是（ ） A 、 Q π B 、2Q π C 、3Q π D 、4Q π 【参考答案】D【例4】正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A 、1∶3B 、1∶3C 、1∶33D 、 1∶9【参考答案】C【例5】如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF DE ⊥，F 是垂足．（1）求证：AF DB ⊥；（2）如果圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．【参考答案】（1）DA ⊥平面ABE ，∴DA BE ⊥， 又AE BE ⊥， ∴BE ⊥平面ADE ，∴DE 是直线DB 在平面ADE 内的射影，由AF DE ⊥E 及三垂线定理，知AF DB ⊥． （2）过E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连结OH ，由平面ABCD ⊥平面ABE ，知EH ⊥平面ABCD ⊥，则EDF ∠为直线DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱底面半径为R ，则2DA AB R ==，于是23=22V R R R ππ•=圆柱，212=233ABE V s R R EH ∆•=D-ABE ，依题意：3223,23R R EH ππ=得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，∴AH R =，则5DH R = , ∴5EH tg EDH DH ∠==5arctan 5．【例6】已知,OA OB 是圆锥底面互相垂直的两条半径，C 是母线PB 的中点，且3PB =，2OA OB ==，求,A C 两点在圆锥侧面上的最短距离．【参考答案】展开其侧面，可得3APB π∠=，于是在APC ∆中由余弦定理得332AC =．过关演练1．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 ． 2．已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是 ．3．如果圆锥的侧面展开图半圆,那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 （ ）A ． ︒30B ． ︒45C ． ︒60D ． ︒904．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是 ．5． 圆锥全面积是侧面积的2倍，侧面展开图圆心角为α，则角α的取值范围是 ．6． 已知一个圆锥，过高的中点且平行于底面的截面的面积是4，则底面半径是 ．7． 把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是（ ） A ．cm 3 B ．cm 6 C ． cm 8 D ．cm 128． 三角形ABC 中，3AB =4BC =，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为（ ）AB CP D EFA ．π4B ．π)34(3+C ．12πD ．π)34(+ 9． 过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是（ ）A ．πB ． 2πC ． 3πD ． 23π 10． 圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少？11． 圆柱的母线长为10cm ，用一平行于轴且与轴相距2cm 的平面去截这个圆柱，且截面在圆柱底面截得的弧为120°，求此截面的面积12． 若过圆锥顶点的一个截面与圆锥的底面成60°角，截面截得圆锥底面的弧所对的圆心角为120°，底面圆心到截面的距离为3 dm ，求圆锥的侧面积及截面的面积．13． 已知圆锥底面的周长为C ，母线与底面的夹角为60°，将圆锥放倒在平面上，绕其顶点滚动一周，求圆锥的高旋转后所得的旋转面的面积．14． 已知圆锥的底面半径10OA cm =，母线30PA cm =，由底面圆周上一点A 出发绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？最短路线上的点到底面的距离最大是多少？14.4几何体表面积例题精讲【例1】圆锥母线长为1，侧面展开圆心角为ο240，该圆锥的体积是( )A 、π8122 B 、π818 C 、π8154 D 、π8110【参考答案】设圆锥底半径为r ，由已知有l r ππ234240==ο，得32=r ． ∴35122=-=r h ．∴ππ8154312==h r V ．应选C ．【例2】已知AB 是球O 的直径，2AB R =，若过1O 且与AB 垂直的截面截得圆1O ，当1OO d =（0d R <<），则圆1O 的半径r = ；【例3】圆柱体的轴截面的高为3，轴截面面积是9π，则圆柱的全面积为 ． 【参考答案】992π+【例4】如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是π163cm ，那么它的底半径等于( )A 、4cm 324B 、cm 4C 、cm 322D 、cm 2【参考答案】D【例5】棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱，侧面积和体积时，相应的截面面积依次321,,S S S ，则…………………………………………………………（ ）A 、321S S S <<B 、123S S S <<C 、312S S S <<D 、231S S S <<【参考答案】棱锥被平行于底面的平面所截，若顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比为k ，则它们对应棱长的比等于k ，底面积（侧面积、全面积）的比等于2k ，体积比等于3k ． 设棱锥的底面积为S ，高为h ，以截面为底面的棱锥的高分别为321,,h h h ，则21S S ＝21h h ，S S 2＝h h2，SS 3＝h h 3，由题意，得 h h 1＝21，21)(h h ＝21，23)(h h ＝21 ∴21S S ＝21，S S 2＝21，SS 3＝321． ∵21<21<321，∴ 321S S S << 故选A【例6】设SA SB 、是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，底面积为100π，C 是SB 中点，AC 与底面所成角为4560︒∠=︒，AOB ．求这圆锥的体积．【参考答案】：如图，作CK OB ⊥于KΘSO OAB ⊥底面 ∴⊥面底面S B AOB O ，从而CK AOB ⊥底面 连结AK AC CAK ，，∠为AC 与底面所成二面角的平面角 即∠=︒==CAK CK AK CK SO 4512，， 又底面积为100π，故底面半径为10 在∆OAK 中，可求得AK =53，故SO =103∴=⋅⋅=V 圆锥13100103100033ππ过关演练1． 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是 ．2． 已知正三棱锥的底面边长为2cm ，高为1cm ，求该三棱锥表面积．（结果精确到20.1cm ） 3． 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，如图所示，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到20.1cm ）4． 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为 1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ．5． 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．6． 长方体的表面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是（ ） A ． 32 B ．14 C ． 5 D ．67． 以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的（ ）A ．31 B ．41 C ．91 D ．161 8． 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ） A ．π28B ．π8C ．π24D ．π49． 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ． 610． 一个n 棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都为30︒，若此棱锥的底面面积为S ，则它的侧面积等于（ ） A ．12S B ． 3S C ． 23 D ． 2S 11． 已知直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是32cm 和42cm ，求此直平行六面体的侧面积．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面对角线1A B 与侧面11ACC A 成45°角，4AB =，求棱柱的表面积．13． 直三棱柱111ABC A B C -各顶点都在同一球面上，12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于多少？14． 设地球的半径为R ，卫星离地面的高度为H ，要使地球上13面积上的人能同时见到卫星，则H 等于（ ）A ． RB ．2RC ．3RD ．4R15． 由三条直线1,20x x y =+-=和20x y --=围成一个封闭的平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的表面积．14.5几何体的体积例题精讲【例1】球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为 （ ）A 、3πB 、43πC 、83πD 、32π 【参考答案】B【例2】母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）A 、263π B 、2π C 、233π D 、223π 【参考答案】A【例3】已知圆锥的全面积是272cm π，侧面展开图是一个半圆，求它的体积． 【参考答案】设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图的中心角为π，∴l r ππ=2，r l 2=，又223r rl r S S S πππ=+=+=侧底全，ππ2732=r ，∴3=r ，6=l圆锥的高3322=-=r l h ，∴ππ39312==h r V （3cm ）【例4】设长方体的三条棱长分别为c b a 、、，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则=++cb a 111 【参考答案】 由题意可列方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=++2256222abc c b a c b a解得 ①式-②式可得11222=++ac bc ab ④ ④式÷③式可得411111=++c b a ． 【例5】斜三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱1AA 和AB 、AC 都成ο45的角，则棱柱的侧面积为 ，体积为 ．【参考答案】记侧面B B AA 11、C C AA 11、C C BB 11的面积分别为321S S S 、、，则ab ab S S 2245sin 21=︒==，ab S =3， 所以ab S S S S )12(+=++=321侧因为侧棱1AA 和AB 、AC 都成ο45的角，所以1AA 与底面成ο60角， 棱柱的高b BB h 2360sin 1=︒=，底面积243a S =底 棱柱的体积b a b a h S V 228123433131=⋅⋅==底【例6】如图，ABC ∆中，,3,30,9000==∠=∠BC ABC ACB 在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AB AC 、分别相切于点M C 、，与BC 交于点N ），求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积． 【参考答案】设半圆的半径为r ，在ABC ∆中，,3,30,9000==∠=∠BC ABC ACB连接OM ，则AB OM ⊥， 设x OM =，则x OB 2=， 因为B OC BC 0+=， 所以x BC 3=，即33=r ．130tan =︒⋅=BC AC ． 阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高 3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径 33=r 的球． 所以，2)33(34331⋅-⋅⋅=-=ππ球圆锥V V V ．过关演练1． 已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（ ） A ．22 B ．332 C ．324 D ．3342． 已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两直角边AC 和BC 的长分别为4cm 和3cm ，侧棱AA '的长为10cm ，求满足下列条件的三棱柱的体积．（1）侧棱AA '垂直于底面；（2）侧棱AA '与底面所成的角为60°．3． 求棱长都为a 的正四棱锥的体积和表面积．4． 正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π5． 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A B ．13π C ．23π D6． 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．433 B ．33 C ． 43 D ．1237． 有棱长为6的正四面体S ABC -，C B A ''',,分别在棱,,SA SB SC 上，且2,3,SA SB ''== 4SC '=，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为（ ） A ．91 B ．81 C ．41 D ．31 8． 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．9． 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为多少？10． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90,1ABC AB BC ∠===o，若1A C 与平面ABC 所成角为45o，求三棱锥1A ABC -的体积．11． 在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60︒．求四棱锥P ABCD -的体积．12． 如图，四面体ABCD 中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2,CA CB CD BD ====2AB AD ==E 到平面ACD 的距离．13． 长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求三棱锥P DEN -的体积．14.6球面距离例题精讲【例1】球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ） A 、3π B 、43π C 、83π D 、32π 【参考答案】B【例2】设地球半径为R ，若甲地位于北纬ο45，东经ο120，乙地位于南纬ο75，东经ο120，则甲乙两地的球面距离为 （ ） A 3R B 、6R π C 、56R π D 、23R π【参考答案】D【例3】在北纬60o圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离．【参考答案】不妨设甲、乙两地所在的小圆半径为r ，圆心角为α，易得R r 21=，所以有R R 2121⋅=απ，所以πα=，甲、乙两点间的距离为r 2，即R ，故球心角为3π所以甲，乙两地间的球面距离为3Rπ【例4】设地球的半径为R ，点A 和点B 分别在北纬ο45西经ο40和北纬ο45东经ο50处， （1）求B A ,两点间纬线的长度；（2）求B A ,两点的球面距离【参考答案】设北纬ο45圈的中心为1O ，地球球心为O ，由经度的意义知1405090AO B ∠=︒+︒=︒,45,A B ︒Q 在北纬圈上 1145OBO OAO ∴∠=∠=︒∴111cos 452O A O B O O OA R ===︒=11,,Rt AO B AB R ∆==在中,3AOB AOB π∴∆∴∠=为等边三角形因此：（1）在北纬ο45圈上AB 弧长为;4221R A O ππ=（2）在球面上B A ,两点的球面距离为R 3π【例5】已知在半径为2的球面上有D C B A ,,,四点，若2==CDAB ,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A 、3 B、3C 、D 、3【参考答案】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD ,交AB 与P ,设点P 到CD 的距离为h ，则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时, 22max 22123h =-=max 33V =【例6】地球半径为R ，B A ,两地均在北纬ο45圈上，两地的球面距离为3Rπ，求,A B 两地的经度之差的绝对值【参考答案】设地球球心为O ，B A ,所在纬线圈的圆心为1O ，α=∠AOB 由题意得：R R⋅=απ3，得3Rπα=，所以R AB =，又1122BO R AO ==故21π=∠B AO ，即,A B 两地的经度之差的绝对值为ο90过关演练1． 过球面上任意两点，作球的大圆个数是（ ）A ．有且只有一个B ． 有且只有两个C ． 无数个D ． 一个或无穷多个2． 已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经12127'︒，北纬318'︒，台北的位置约为东经12127'︒，北纬255'︒，求两个城市之间的距离．（结果精确到1千米） 3． 已知北京的位置约为东经116︒，北纬40︒，纽约的位置约为西经74︒，北纬40︒，求两个城市之间的距离．（结果精确到1千米）4． 正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．5．在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离是 ．6． 在120°的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各有且仅有一个公共点，则这两个点之间的球面距离为 ．7． 地球北纬45°圈上有,A B 两地分别在东经70°和160°处，若地球的半径为R ，则,A B 两地的球面距离是（ ）A ． 14R πB ． 13R πC ． 12R π D ． 2R 8． 已知球面上两点的球面距离为5cm ，过这两点的球半径成60°角，则球半径为（ ）A ．5cm πB ．15cm πC ． 5cm πD ． 15cm π9． 在北纬30°圈上两地,A B 的经度差为锐角β，若sin 3β=，地球的半径为R ，求,A B 两地的球面距离．10． 在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC 的，则B C 、两点的球面距离是多少？ 11． 纬度为α的纬度圈上有,A B 两点，这两点在纬度圈上的弧长为cos R πα（R 为地球半径），求这两点间的球面距离．12． 已知半径为R 的球面上有三点,,A B C ，已知,A B 与,A C 间的球面距离都是2Rπ，,B C 间的球面距离为3Rπ，过,,A B C 三点作球的截面，求球心O 到截面ABC 的距离．。

1•简单几何体及空间图形的基本关系1、柱、锥.台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面.对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等：平行于底面的截而绘与底而全等的多边形。

（2）棱锥几何特征：侧而、对角而都是三角形；平行于底而的截面与底而相似，其相似比等于顶点到截而距离与高的比的平方。

（3）棱台：几何特征：①上下底而是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行：③轴与底面圆的半径亚口：④侧面展开图足一个矩形。

（5）圆锥；定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底而出一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧而展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的亚直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底而是两个圆；②侧而母线交于原圆锥的顶点；③侧而展开图泉一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆而旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截而是圆；②球而上任总一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图定义三视图：主视图（光线从几何体的前面向后而正投影）：左视图（从左向右）、俯视图（从上向下〉注：主视图反映了物体的高度和长度：俯视图反映了物体的长度和宽度：左视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的亶观图一一二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平而内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理h Aw【、Bwl、Awa、Bwanlua公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平而；两平行直线确定一平面。

简单几何体知识整合核心要点归纳一、多面体与旋转体1．棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．2．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．3．棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．4．将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．二、三视图和直观图1．三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形．具体包括：(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度．2．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．三、几何体的表面积与体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： S 正棱台侧＝12（c ＋c′）h′――→c ′＝0S 正棱锥侧＝12ch′――→c ＝c′h ＝h′S 正棱柱侧＝ch Ｋ c ′＝0时，棱锥可以看作上底周长为0的棱台．设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2.2．几何体占有空间部分的大小，明确柱、锥、台的体积公式间的关系，可进一步加强对三个几何体的认识．V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h Ｋ S 上＝0时，棱锥可以看作上底面面积为0的棱台；S 上＝S 下时，棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台．设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3. 3．解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．许多球的有关问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体，把球的问题转化为多面体的问题加以解决．。