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1、建立文件
2、设置渐变
3、用线性渐变填充背景
4、新建立一个图层，用椭圆选区工具并同时按shift键绘制一正圆选区
5、设置渐变，圆的渐变至少有三种色调：高光、明暗交界线、反光
6、用径向渐变，从左上角向右下角拉出渐变
7、建立新的图层，用矩形选框工具绘制一矩形选区
8、设置渐变
9、用线性渐变从左至右进行填充
10、取消选择，快捷键ctrl+D
11、绘制一椭圆选区
12、用线性渐变，从右至左反向拉出渐变效果
13、将刚才绘制的椭圆选区，向下移动（注意：一定要选择椭圆/矩形工具的前提下，才能移动选区）
14、用矩形选框工具进行加选
15、执行选择——反选，按Delete删除多余的部分
16、在新建立一图层，按绘制圆柱柱身的方法绘制一矩形，并用线性填充渐变
17、执行编辑——变换——透视，将右上角或左上角的节点向中心移动
18、绘制椭圆选区，做为圆锥的底面
19、用矩形选区进行加选
20、执行反选，并删除。
立体几何点线面自制教案一、教学目标1. 让学生掌握立体几何的基本概念，理解点、线、面的定义及它们之间的关系。
2. 培养学生运用立体几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生动手制作、观察和分析立体几何模型的能力。
二、教学内容1. 点的定义及表示方法2. 线的定义及表示方法3. 面的定义及表示方法4. 点、线、面之间的关系5. 立体几何模型的制作与观察三、教学重点与难点1. 重点：掌握点、线、面的定义及表示方法，理解它们之间的关系。
2. 难点：立体几何模型的制作与观察，运用立体几何知识解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解点、线、面的定义及表示方法。
2. 采用实践法让学生动手制作立体几何模型，培养观察和分析能力。
3. 采用案例分析法引导学生运用立体几何知识解决实际问题。
五、教学准备1. 教师准备立体几何模型及相关图片。
2. 学生准备纸张、剪刀、胶水等制作工具。
教案内容待补充六、教学过程1. 导入：通过展示现实生活中的立体几何模型，如建筑物、家具等，引导学生关注立体几何在生活中的应用。
2. 新课导入：讲解点的定义及表示方法，如在空间中的一个点可以用一个小圆圈表示。
3. 案例分析：分析现实生活中的点，如椅子上的螺丝钉、桌子上的笔等。
4. 课堂互动：让学生举例说明生活中的点，加深对点的理解。
5. 练习：让学生在纸上绘制不同的点，并描述它们的位置。
六、教学过程1. 导入：通过展示现实生活中的立体几何模型，如建筑物、家具等，引导学生关注立体几何在生活中的应用。
2. 新课导入：讲解点的定义及表示方法，如在空间中的一个点可以用一个小圆圈表示。
3. 案例分析：分析现实生活中的点，如椅子上的螺丝钉、桌子上的笔等。
4. 课堂互动：让学生举例说明生活中的点，加深对点的理解。
5. 练习：让学生在纸上绘制不同的点，并描述它们的位置。
七、教学过程1. 导入：通过展示现实生活中的立体几何模型，如建筑物、家具等，引导学生关注立体几何在生活中的应用。
《1.1 简单几何体》同步练习●三维目标1．知识与技能(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类．2．过程与方法通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力．3．情感、态度与价值观通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：简单几何体的结构特征．难点：简单几何体的分类．教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征．●教学建议本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体．●教学流程创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？⇒引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征⇒通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正【问题导思】观察下列图形思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较观察下列图形思考它们有什么共同特征？【提示】 组成几何体的每个面都是平面多边形．1．多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征有两个面互的平面去截棱锥，底面例1以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？【思路探究】解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．【自主解答】图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．规律方法1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆锥侧面；(4)不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆台侧面；(5)与旋转轴平行的线段旋转所得的图形是圆柱侧面．互动探究若将本例中的三角板绕直线l旋转360°(如图1－1－1，其中三角形斜边上的高与直线l垂直)，得到什么图形？图1－1－1【解】旋转360°，得一个圆柱挖去以圆柱上下两个底面为底面的两个圆锥而成的几何体．例2如图1－1－2所示是长方体AB CD—A′B′C′D′，当用平面BCEF把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体是棱柱吗？若不是，请说明理由；若是，请指出其底面和侧棱．图1－1－2【思路探究】(1)所得的两部分中哪两个面是互相平行的？(2)若用平行平面作为棱柱的底面，各部分是否是棱柱？【自主解答】截面BCEF右方部分是棱柱BB′F—CC′E，其中平面BB′F和平面CC′E 是其底面，BC，B′C′，FE是其侧棱，截面BCEF左方部分是棱柱ABF A′—DCED′，其中四边形ABF A′和DCED′是其底面，AD，BC，FE，A′D′是其侧棱．规律方法1．对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．2．认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征．变式训练下列几何体中棱柱的个数为()图1－1－3A．5B．4C．3D．2【解析】①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．【答案】 D例3图1－1－4【思路探究】认真分析所给几何体的结构，根据简单几何体的特征来说明其组成．【自主解答】图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体．图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底面重合的三棱台组成的组合体．规律方法1．熟练掌握各简单几何体的特征是解决本题的关键．2．组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．变式训练试判断下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．【解】图①是由一个圆锥，一个圆柱和一个圆台组合而成的；图②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的；图③是由一个三棱台和一个三棱柱组合而成的；图④是由一个球和一个圆柱组合而成的.忽视棱柱的定义致误典例有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？【错解】因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．【错因分析】题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．【防范措施】正确理解简单几何体的特征、定义可以避免错误．【正解】满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体．2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．3．组合体的构成(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种类型．1．有下列命题，其中正确的是()①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”，故①③错误，②④正确．【答案】 D2．如图1－1－5是由图中的哪个平面图形旋转后得到的()【解析】因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.所以选A.【答案】 A3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解析】若是六棱锥，则顶点在底面上，不能构成几何体．【答案】 D4．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，矩形ABCD绕AB旋转得圆柱，求其底面半径r及母线长l.【解】因为AB为旋转轴，所以r＝BC＝3，l＝AB＝2.一、选择题1．下列命题中正确的是()A．圆锥的底面和侧面都是圆面B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】A错误，圆锥的侧面应为曲面；B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.【答案】 C2．下列说法中正确的是()A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条【解析】棱柱都有两个底面，A错误；三棱柱的顶点最少，6个；侧棱最少，3条；棱最少，9条．故选B.【答案】 B3．(2013·宿州高一检测)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．【答案】 D4．下列命题中，正确的是()①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③圆台的所有母线的延长线交于同一点；④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．A．①④B．②③C．③④D．③【解析】①中棱锥的顶点位置不定，未必能保证侧面为全等的等腰三角形，故①错；②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等，但并不一定为正棱锥(以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC 中，SB＝SC＝AB＝AC＝2，SA＝BC＝1，显然满足条件，但并非正三棱锥．故选D.【答案】 D图1－1－65．如图1－1－6，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱台的组合体D．不确定【解析】水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．【答案】 A二、填空题6．(1)伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成________体；(2)用铁丝做一个三角形，在三个顶点上分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形，从而获得一个几何体模型，如果筷子的长度相同且所在直线平行，那么这个几何体是________．【解析】 (1)由圆柱的结构特征可知此圆木近似地看作是一个圆柱体；(2)在该模型中已知一面为三角形，含有筷子的三个面为平行四边形，可知另一个铁丝三角形所在面与最先的铁丝三角形所在平面平行，故此几何体是三棱柱．【答案】 (1)圆柱 (2)三棱柱图1－1－77．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．【解析】 三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．【答案】 圆锥挖去一个球的组合体8．(2013·日照高一检测)圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．【解析】 画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．【答案】 63 cm 2三、解答题9．如图1－1－8所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．图1－1－8【解】先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：10．用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥母线长是3 cm，求圆台的母线长．【解】设圆台的母线长为y cm，圆台上、下底面半径分别是x cm、4x cm，作圆锥的轴截面如图．在Rt△SOA中，O′A′∥OA，所以SA′∶SA＝O′A′∶OA.即3∶(y＋3)＝x∶4x，解得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.图1－1－911．如图1－1－9所示，是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【解】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.备选例题已知下列说法：①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；③用一个平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台；④以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3【思路探究】利用旋转体的定义判断．【自主解答】甲圆锥是以直角三角形的直角边为轴旋转形成的，如果不是直角边，将得到图甲所示的几何体，故①错误．圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的，故②错误．如图乙(1)所示，如果用来截圆锥的平面平行于圆锥的底面，则可得一圆锥和一圆台，否则将得不到圆锥与圆台(如图乙(2)所示)，故③错．乙④是球面的定义，球面所围成的几何体叫作球．如常见的篮球、足球可看作球面而不是球．【答案】 A规律方法1．本题主要考查对圆锥、圆柱、圆台、球的定义的理解．特别注意旋转面与旋转体的差别：旋转体包含旋转面所围成的空间中的部分．2．概念辨析题的判断方法：①利用定义、性质直接判断；②利用常见几何体举反例．备选变式有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．【解析】球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．【答案】①。
三维几何体建模
例一：简约茶几
1、启动软件，设置单位为毫米。
2、单击创建几何体按钮，在顶视图中创建一长方体（长500、宽500、高20）命名为茶几面。
3、单击创建几何体按钮，在顶视图中创建一长方体（长15、宽15、高-120）命名为茶几腿。
4、复制3个茶几腿放在茶几面的四个角端。
5、单击创建几何体按钮，在前视图中创建一长方体（长15、宽470、高15）命名为茶几架。
6、将创建好的茶几架在同一平面内复制。
7、在前视图中把前面创建好的上层茶几架复制出下层茶几架。
8、对该模型进行保存，为以后赋材质贴图做准备。
1。
几何体展开图的制作及注意事项教案一、教学目标：1. 让学生掌握常见几何体的展开图样式及特点。
2. 培养学生动手操作能力，能独立制作出各种几何体的展开图。
3. 培养学生空间想象力，理解几何体展开图与实际几何体的关系。
4. 培养学生学会观察、分析、总结的能力，能够发现并解决几何体展开图制作过程中的问题。
二、教学内容：1. 了解几何体的展开图概念，理解展开图是将几何体表面展开成平面图形的过程。
2. 学习常见几何体的展开图样式，如：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
3. 掌握展开图的制作步骤，包括：选择合适的视图、画出几何体的边界线、连接边界线、填充内部区域等。
4. 学习展开图的注意事项，如：保持展开图的完整性、避免出现重叠和遗漏、保持展开图与实际几何体的对应关系等。
三、教学重点与难点：1. 重点：常见几何体的展开图样式及制作步骤。
2. 难点：展开图的注意事项，特别是在制作复杂几何体展开图时，如何保持其完整性和准确性。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解几何体展开图的概念、制作步骤及注意事项。
2. 采用示范法，展示不同几何体的展开图制作过程，让学生直观地理解展开图的制作方法。
3. 采用实践法，让学生动手制作各种几何体的展开图，巩固所学知识。
4. 采用讨论法，引导学生总结制作展开图时的经验和技巧，互相交流学习。
五、教学准备：1. 准备几何体模型，如：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等，以便让学生直观地观察和理解。
2. 准备展开图制作工具，如：直尺、剪刀、胶水等。
3. 准备展开图示例，以便让学生参考和模仿。
4. 准备练习题，以便让学生在课后巩固所学知识。
六、教学过程：1. 导入：通过展示几何体模型，引导学生回顾几何体的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解几何体展开图的概念，介绍常见几何体的展开图样式及特点。
3. 示范：展示不同几何体的展开图制作过程，让学生直观地理解展开图的制作方法。
4. 实践：让学生动手制作各种几何体的展开图，教师巡回指导，解答学生疑问。
简单几何体知识网络简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。
两个互相平行的面叫做棱柱的底面, 其余各面叫做棱柱的侧面, 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱, 侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线, 两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系, 棱柱可分为: 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形⋯⋯我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯⋯棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示, 或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示, 如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/ B/ C/ D/ E/ , 或棱柱AC/.棱柱的性质：(1) 侧棱都相等, 侧面都是平行四边形；(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3) 过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积 : 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 C 与高 h 的乘积, 即S 直棱柱 Ch , 斜棱柱的侧 面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长 C 1 与侧棱长 l 的乘积 ,即S斜棱柱侧 C 1 l, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和 .[活用实例 ][例1] 如图，在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知 AB=5，AD=4，AA 1=3， AB AD ，(1) 求证 : 顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上 ; (2)求这个平行六面体的表面积 .[ 题解 ](1) 如图 , 连结 A 1O, 则 A 1O ⊥底面 ABCD. 作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交 AD 于N,连结 A 1M,A 1N.由三垂线定理得 A 1M ⊥ AB,A 1N ⊥AD.∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴A 1M=A 1N.∴ OM=ON. ∴ 点 O 在∠ BAD 的平分线上 .13(2)AM AA 1 cos3 ,3 2 2 AN 3 ,2 33 侧面AB 1和侧面 DC 1的面积都等于4 =6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于5 =7.5,22 又AB AD ， 两底面面积都等于 4 5=20， 平行六面体的表面积为 2(6+7.5 )+20=47. [例2] 如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱 ,过点A 1、B 、C 1的平面和平面 ABC 的交线记作 l . (1) 判定直线 A 1C 1和l 的位置关系 ,并加以证明 ; (2) 若 A 1A=1,AB=4,BC=3, ∠ ABC=90° , 求顶点到直线[ 题解 ](1) 根据棱柱的定义知平面 A 1B 1C 1和平面 ABC 平行 .由题设知直线 A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面 A 1BC 1 ,直线 l =平面A 1BC 1∩平面 ABC. 根据两平面平行的性质定理有 l ∥A 1C 1.(2) 解法一 :过点A 1作A 1E ⊥ l 于E,则A 1E 的长为点 A 1到l 的距离 .连结AE.由直棱柱的定义知 A 1A ⊥平面 ABC. ∴ 直线 AE 是直线 A 1E 在平面 ABC 上的射影 . 又 l 在平面 ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有 AE ⊥l .A 1AB= A 1AD= ，3l 的距离 .4由棱柱的定义知 A 1C 1∥AC,又l ∥A 1C 1, l ∥AC.作BD ⊥AC 于D,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高 ,且BD=AE,从而AE=BD=AB BCAC435 12 5在Rt △A 1AE 中, ∵ A 1A=1, ∠ A1AE=90°212 2 2 13 13 A 1E AE 2 A 1A( )2 12 . 故点 A 1到直线 l 的距离为.5 5 5 解法二 : 同解法一得 l ∥ AC.由平行直线的性质定理知∠ CAB=∠ABE,从而有 Rt △ABC ∽Rt △ BEA,AE:BC=AB:AC,BC AB AE , 以下同解法一 .AC[例3] 如图, 已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱 ,D 是AC 中点. (1) 证明 AB 1∥平面 DBC1;(2) 假设 AB 1⊥BC 1,求以 BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数 .[ 题解 ](1) ∵ A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱 , ∴四边形 B 1BCC 1是矩形 . 连结B 1C 交BC 1于E,则B 1E=EC.连结 DE. 在△ AB1C 中, ∵AD=DC ∴, DE ∥AB 1.又 AB 1 平面 DBC 1, DE 平面 DBC 1, ∴ AB 1∥平面 DBC 1.(2) 作DF ⊥BC,垂足为 F,则DF ⊥面B 1BCC 1,连结EF,则EF 是ED 在平面 B 1BCC 1上的射影 .∵AB 1⊥ BC 1, 由(1) 知AB 1∥DE,∴DE ⊥BC 1,则BC 1⊥EF,∴∠ DEF 是二面角α的平面角1 设AC=1, 则 DC= .2∵△ ABC 是正三角形 ,∴在 Rt △DCF 中,DF DC sinC3 ,CF= DC cosC取 BC 中点 G.∵ EB=EC,∴ EG ⊥BC. 在Rt △ BEF 中 ,AC=1, 2 3 1EF 2 BF GF, 又BF=BC-FC= , GF= ,44∴∠ DEF=45° . 故二面角α为 45°.概念 棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥 .这 个多边形叫做棱锥的底面 , 其余各面叫做棱锥的侧面 , 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 , 各侧面的公共点 叫做棱锥的顶点 , 顶点到底面的距离叫做棱锥的高 .棱锥的分类 : 按底面多边形的边数 , 棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ⋯⋯ 棱锥的表示法 : 棱锥用表示顶点和底面各顶点 , 或者底面一条对角线端点的字母来表示 . 例如,棱锥 S-ABCDE,或棱锥 S-AC. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥 . 正棱锥的性质：(1) 各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2) 棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影(底面的边心距)组成一个直角三角形，这个直角角三角形的 一个锐角是侧面与底面的夹角；(3) 棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影(底面正多边形外接圆半径)也组成一个直角三角形，这个直 角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。
数学教具制作方法1. 引言数学教具是帮助学生理解和掌握数学概念和操作的重要工具。
通过亲自制作数学教具，学生可以更深入地理解数学知识，提高他们的学习兴趣和动手能力。
本文将介绍一些简单易行的数学教具制作方法，帮助教师和家长为学生创造一个更具互动性和趣味性的学习环境。
2. 数学教具制作方法2.1 折纸圆锥体折纸圆锥体是一种简单而又有趣的数学教具，它可以帮助学生更好地理解圆的性质和计算圆的表面积和体积。
制作折纸圆锥体的方法如下：1.准备一个正方形的纸张；2.将纸张对角线对折，使其成为一个三角形；3.将纸张的一条边对折到三角形的底边上，形成一个相似的小三角形；4.沿着小三角形的斜边将纸张剪掉一部分，使其成为一个扇形；5.将剪掉的扇形部分卷起，形成一个圆锥体。
学生可以通过折纸圆锥体来感受圆的形状和计算其表面积和体积，进一步理解相关的数学概念。
2.2 计算尺计算尺是一种能够帮助学生理解和计算比例关系的数学教具。
制作计算尺的方法如下：1.准备一张长方形的纸张；2.在纸张的两个短边上分别标记出1到10的刻度点；3.在纸张的长边上通过刻度点画上一条直线，作为一个参考线；4.在参考线上选择一个刻度点，将其连接到纸张的短边上对应的刻度点，形成一个斜线；5.通过斜线上的刻度点，可以对应出参考线上的刻度点，从而帮助学生计算比例关系。
计算尺可以用来进行简单的数学运算和解决比例问题，激发学生对数学的兴趣和动手能力。
2.3 平面几何模型平面几何模型是一种可以帮助学生更好地理解和感受平面几何知识的数学教具。
制作平面几何模型的方法如下：1.准备一些彩色的卡纸；2.使用直尺和铅笔在卡纸上画出不同形状的图形，如正方形、长方形、三角形等；3.使用剪刀将图形切割出来；4.将图形的边缘用胶水粘合起来，形成一个立体的平面几何模型。
通过手工制作的平面几何模型，学生可以直观地感受和观察不同形状的图形，进一步理解其性质和特点。
3. 总结通过制作数学教具，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高他们的学习兴趣和动手能力。
自制几何模型，领略数学之美数学在我们眼里经常是枯燥、古板的。
铺天盖地的公式，抽象的线条和坐标。
相信大多数人都曾为之头痛不已。
今天我们放松一下，带大家一起来做个模型，领略下数学之美。
材料：纸板(木板、塑料也行，加工难度要高一点)，胶水工具：剪刀，刀片首先下载这个模板(pdf格式)将模板中的S状图形打印到纸上，你可以根据自己的需要控制打印的尺寸。
建议稍大一点，这样子虽然剪裁需要花费多一点时间，但是装配起来会容易许多。
小心的将纸模上的S形裁剪下来。
然后以此为样板，从你准备的纸板或木板上裁剪出30个这样的S形下来。
这是个需要耐心和体力的活。
如果刀子足够锋利的话，可以节省不少时间。
建议在裁剪过程中经常更换一下刀片。
凑足30块S形纸板以后，真正具有挑战性的工作才刚刚开始。
首先我们来观察一下这个成品的细节，注意看各个边角。
每一块S形的交汇处都是一样的：S形两端的平坦部分整齐的粘在一起。
这还只是个基本原则，还有很多迷宫般的细节要处理。
为了更好的理解这些细节，请注意观察下列几何图示。
将整个模型的最外端各点联合起来，其实是一个简单的12面体。
每个顶点其实也是三个接壤的五边形的共同顶点。
随便选择三个这样的五边形，就能确定下这么一个点，然后我们顺着这个点画一条直线，连接到其相对的另一个顶点，连接两个相对顶点的这样一条线，就是我们要架设S形的轴心线。
如图：如果我们画上多条这样的线会是什么样子呢?请看：这样我们就很容易得到了多块S形的架设路径。
但是，这些如上图所示，这些线条是相交的。
而实际中我们的S形都是各自独立完整的一块。
怎么办?解决之道就是将线条弯曲，以避免交叉。
如下图：12画上多条线看看从顶部来看，还可以看到一个完美的漩涡状图形：我们把每一对顶点都连上线，完整的示意图就出现了。
请注意，我们的每个顶点都有三条这样的线。
试试看就知道了。
去掉示意图的外皮，一个完美的几何模型出现了，看起来非常奥妙。
照着线条去组装你的纸板吧，感受那份渐渐显现的神奇。
如何在CAD中制作立体几何体立体几何体在设计领域中起到非常重要的作用，可以用来制作建筑模型、产品原型和虚拟场景。
在CAD软件中，可以利用各种工具和技巧来创建立体几何体。
以下是一些简单的步骤，可以帮助你在CAD中制作立体几何体。
首先，在CAD软件中打开一个新的绘图文件。
选择合适的绘图单位，并根据需要设置适当的视图范围和比例。
其次，选择绘图工具栏上的“画线”工具或按快捷键“L”来绘制基本的线段。
通过连接线段，你可以绘制出各种形状的多边形。
选中线段并使用拖拽或对齐等工具可以调整它们的大小和位置。
接下来，使用“推拉”工具或按快捷键“E”来拉伸你绘制好的多边形，从而创建一个立方体或长方体。
在弹出的对话框中输入你想要的高度或长度，然后按下“确定”按钮即可生成一个立体几何体。
此外，你还可以利用“旋转”工具或按快捷键“RO”来旋转你的立体几何体。
通过提供旋转中心和角度，你可以将几何体沿任意轴旋转。
这将帮助你在CAD中创建更复杂的几何体。
此外，CAD软件还提供了一些布尔运算工具，用于将不同的几何体组合在一起，以创建更复杂的形状。
例如，你可以使用“联合”工具将两个几何体合并为一个整体，使用“差异”工具从一个几何体中减去另一个几何体，或使用“交集”工具创建两个几何体的交叉区域。
如果你需要在立体几何体上创建孔洞或开口，可以使用“切割”工具来实现。
选择需要切割的几何体和切割工具，然后指定切割位置和方向。
完成后，你将获得一个具有开口或孔洞的立体几何体。
最后，在完成你的立体几何体后，你可以使用渲染或着色工具来增加其真实感。
通过添加纹理、灯光和材质，你可以使立体几何体看起来更加逼真，并提供更好的可视化效果。
以上是在CAD中制作立体几何体的一些基本步骤和技巧。
通过熟练掌握这些工具和方法，你可以轻松地创建各种各样的立体几何体，并将其应用于不同的设计项目中。
不断练习和探索CAD软件，你将能够通过自己的创造力和想象力创造出更多令人惊叹的立体几何体。
